數學教材習題變式訓練（數列）一、有關通項問題1、利用求通項（北師大版第20頁習題5）數列的前項和（1）試寫出數列的前5項；（2）數列是等差數列嗎？（3）你能寫出數列的通項公式嗎？變式題1、設數列的前n項和為Sn=2n2，求數列的通項公式； 解：（1）：當故an的通項公式為的等差數列.變式題2、數列an的前n項和為Sn，且a1=1，n=1，2，3，求a2，a3，a4的值及數列an的通項公式 解：（I）由a1=1，n=1，2，3，得，由（n2），得（n2），又a2=，所以an=(n2), 數列an的通項公式為變式題3、已知數列的首項前項和為，且，證明數列是等比數列解：由已知可得兩式相減得即從而當時所以又所以從而故總有，又從而即數列是等比數列；2、解方程求通項：（北師大版第17頁習題3）在等差數列中，（1）已知；（2）已知；(3)已知.變式題1、是首項，公差的等差數列，如果，則序號等于（A）667 （B）668 （C）669 （D）670分析：本題考查等差數列的通項公式，運用公式直接求出.解：，解得，選C點評：等差等比數列的通項公式和前n項和的公式是數列中的基礎知識，必須牢固掌握.而這些公式也可視作方程，利用方程思想解決問題.3、待定系數求通項：寫出下列數列的前5項：（1）變式題1、已知數列滿足求數列的通項公式；解：是以為首項，2為公比的等比數列即4、由前幾項猜想通項：（北師大版第8頁習題1）根據下面的圖形及相應的點數，在空格及括號中分別填上適當的圖形和數，寫出點數的通項公式.（1）（4）（7）（ ）（ ）變式題1、如下圖，第（1）個多邊形是由正三角形“擴展“而來，第（2）個多邊形是由正方形“擴展”而來，如此類推.設由正邊形“擴展”而來的多邊形的邊數為，則 ； . 解：由圖可得：，所以；又所以=變式題2、（北師大版第9頁習題2）觀察下列各圖，并閱讀下面的文字，像這樣，10條直線相交，交點的個數最多是（ ），其通項公式為 .2條直線相交，最多有1個交點3條直線相交，最多有3個交點4條直線相交，最多有6個交點A40個 B45個 C50個 D55個解：由題意可得：設為條直線的交點個數，則，因為，由累加法可求得：，所以，選B.二、有關等差、等比數列性質問題1、（北師大版第31頁習題3）一個等比數列前項的和為48，前2項的和為60，則前3項的和為（ ）A83 B108 C75 D63變式題1、一個等差數列前項的和為48，前2項的和為60，則前3項的和為 。解：若數列為等差數列，則等差數列，可得：48，12，-60成等差數列，所以=36.變式題2、等比數列的各項為正數，且（ ） A12 B10 C8 D2+ 解：因為所以，而，所以選B.點評：高考試題的一個重要特點就是考查學生對問題敏銳的觀察能力和迅速有效的思維能力，靈活運用數學知識和性質可提高我們的正確解題的速度. 因此，對相關知識的性質要深刻地理解和掌握并能靈活運用.2、（北師大版第19頁習題4）設數列是單調遞增的等差數列，前三項的和為12，前三項的積為48，則它的首項是（ ）A1 B.2 C.4 D.8變式題1、在各項都為正數的等比數列中，首項，前三項和為21，則（ ）（A）33 （B）72（C）84（D）189分析：本題主要是考查等比數列的基本概念和性質，可利用方程思想將等比數列問題轉化為和處理，也可利用等比數列的定義進行求解.解法一：設公比為，由題知，得或（舍去)，故選C.解法二：由得，(舍去)，.三、數列求和問題1、（北師大版第20頁習題4）已知是等差數列，其中，公差。（1）求數列的通項公式，并作出它的圖像；（2）數列從哪一項開始小于0？（3）求數列前項和的最大值，并求出對應的值變式題1、已知是各項不為零的等差數列，其中，公差，若,求數列前項和的最大值解：，所以，即數列前5項和為最大值變式題2、在等差數列中，求的最大值解法一：由，得：，解得由二次函數的性質，當時，有最大值169解法二：先求出，由，所以當時，有最大值169解法三：由，得，而，故0故當時，有最大值169點評：解決等差數列前項和最值問題的方法通常有：、利用二次函數求最值；、利用通項公式求使得；利用性質求出符號改變項2、求和：變式題1、已知數列和，設，求數列的前項和解：，兩式相減得變式題2、設是等差數列，是各項都為正數的等比數列，且，（）求，的通項公式；（）求數列的前n項和解：（）設的公差為，的公比為，則依題意有且解得，所以，（），得，點評：錯位相減法適用于通項公式形容的數列，其中是等差數列，是各項不為0的等比數列變式題2設等比數列的公比為q，前n項和為Sn，若Sn+1,Sn，Sn+2成等差數列，則q的值為 .分析：本題主要考查等比數列的求和公式，等差數列的概念運用，可直接求得.解：，則有，.，若，則。3、利用等比數列的前項和公式證明變式題、已知.當時，求數列的前n項和解：（）當時，這時數列的前項和式兩邊同乘以，得 式減去式，得若，若，點評：在使用等比數列的求和公式時，要注意對公比q的討論，即，這是學生平時容易忽略的問題，應引起足夠的重視，另外要求學生有運算化簡的能力.4、（1）已知數列的通項公式為，求前項的和；（2）已知數列的通項公式為，求前項的和變式題1、已知數列的通項公式為，設，求解：2（） 2（）（）（）（）（）2（）.變式題2、數列an中，a18，a42，且滿足：an+22an+1an0（nN*），（）求數列an的通項公式；（）設，是否存在最大的整數m，使得任意的n均有總成立？若存在，求出m；若不存在，請說明理由解：（）an+22an+1an0，an+2an+1an+1an（nN*），an是等差數列，設公差為d，a18，a4a13d