第三章 直線與方程一、概念理解：1、傾斜角：找：直線向上方向、x軸正方向； 平行：=0； 范圍：0180 。2、斜率：找k ：k=tan （90）； 垂直：斜率k不存在； 范圍： 斜率 k R 。3、 斜率與坐標(biāo)： 構(gòu)造直角三角形（數(shù)形結(jié)合）； 斜率k值于兩點(diǎn)先后順序無關(guān)； 注意下標(biāo)的位置對應(yīng)。4、 直線與直線的位置關(guān)系： 相交：斜率（前提是斜率都存在） 特例-垂直時(shí)： ； 斜率都存在時(shí)： 。 平行： 斜率都存在時(shí)：； 斜率都不存在時(shí)：兩直線都與x軸垂直。 重合： 斜率都存在時(shí)：；二、方程與公式：1、直線的五個(gè)方程： 點(diǎn)斜式： 將已知點(diǎn)直接帶入即可； 斜截式： 將已知截距直接帶入即可； 兩點(diǎn)式： 將已知兩點(diǎn)直接帶入即可； 截距式： 將已知截距坐標(biāo)直接帶入即可； 一般式： ，其中A、B不同時(shí)為0 在距離公式當(dāng)中會(huì)經(jīng)常用到直線的“一般式方程”。2、求兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)：直接將兩直線方程聯(lián)立，解方程組即可（可簡記為“方程組思想”）。3、距離公式： 兩點(diǎn)間距離： 推導(dǎo)方法：構(gòu)造直角三角形“勾股定理”； 點(diǎn)到直線距離： 推導(dǎo)方法：構(gòu)造直角三角形“面積相等”； 平行直線間距離： 推導(dǎo)方法：在y軸截距代入式；4、中點(diǎn)、三分點(diǎn)坐標(biāo)公式：已知兩點(diǎn) AB中點(diǎn)： 推導(dǎo)方法：構(gòu)造直角“相似三角形”； AB三分點(diǎn)： 靠近A的三分點(diǎn)坐標(biāo) 靠近B的三分點(diǎn)坐標(biāo) 推導(dǎo)方法：構(gòu)造直角“相似三角形”。l 中點(diǎn)坐標(biāo)公式，在求對稱點(diǎn)、第四章圓與方程中，經(jīng)常用到。l 三分點(diǎn)坐標(biāo)公式，用得較少，多見于大題難題。3、 解題指導(dǎo)與易錯(cuò)辨析：1、解析法（坐標(biāo)法）： 建立適當(dāng)直角坐標(biāo)系，依據(jù)幾何性質(zhì)關(guān)系，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)；yxo 依據(jù)代數(shù)關(guān)系（點(diǎn)在直線或曲線上），進(jìn)行有關(guān)代數(shù)運(yùn)算，并得出相關(guān)結(jié)果； 將代數(shù)運(yùn)算結(jié)果，翻譯成幾何中“所求或所要證明”。2、 動(dòng)點(diǎn)P到兩個(gè)定點(diǎn)A、B的距離“最值問題”： 的最小值：找對稱點(diǎn)再連直線，如右圖所示： 的最大值：三角形思想“兩邊之差小于第三邊”； 的最值：函數(shù)思想“轉(zhuǎn)換成一元二次函數(shù)，找對稱軸”。3、 直線必過點(diǎn)： 含有一個(gè)未知參數(shù)-y=(a-1)x+2a+1 = y=(a-1)(x+2)+3令：x+2=0 = 必過點(diǎn)(-2,3) 含有兩個(gè)未知參數(shù)-(3m-n)x+(m+2n)y-n=0 = m(3x+y)+n(2y-x-1)=0 令：3x+y=0、2y-x-1=0 聯(lián)立方程組求解 = 必過點(diǎn)(-1/7,3/7)4、 易錯(cuò)辨析： 討論斜率的存在性： 解題過程中用到斜率，一定要分類討論：斜率不存在時(shí)，是否滿足題意； 斜率存在時(shí)，斜率會(huì)有怎樣關(guān)系。 注意“截距”可正可負(fù)，不能“錯(cuò)認(rèn)為”截距就是距離，會(huì)丟解； （求解直線與坐標(biāo)軸圍成面積時(shí)，較為常見。） 直線到兩定點(diǎn)距離相等，有兩種情況： 直線與兩定點(diǎn)所在直線平行； 直線過兩定點(diǎn)的中點(diǎn)。 （求解過某一定點(diǎn)的直線方程時(shí)，較為常見。） 一 傾斜角與斜率（一）知識點(diǎn)1. 當(dāng)直線l與x軸相交時(shí)，我們把x軸正方向與直線l向上方向之間所成的角叫做直線l的傾斜角.當(dāng)直線l與x軸平行或重合時(shí), 我們規(guī)定它的傾斜角為0. 則直線l的傾斜角的范圍是.2. 傾斜角不是90的直線的斜率，等于直線的傾斜角的正切值，即. 如果知道直線上兩點(diǎn)，則有斜率公式. 特別地是，當(dāng)，時(shí)，直線與x軸垂直，斜率k不存在；當(dāng)，時(shí)，直線與y軸垂直，斜率k=0.注意：直線的傾斜角=90時(shí)，斜率不存在，即直線與y軸平行或者重合. 當(dāng)=90時(shí)，斜率k=0；當(dāng)時(shí)，斜率，隨著的增大，斜率k也增大；當(dāng)時(shí)，斜率，隨著的增大，斜率k也增大. 這樣，可以求解傾斜角的范圍與斜率k取值范圍的一些對應(yīng)問題.(二)例題精析例1 經(jīng)過，兩點(diǎn)的直線的斜率是_，傾斜角是_解：經(jīng)過，兩點(diǎn)的直線的斜率，故傾斜角為歸納小結(jié)：本題考查過已知兩點(diǎn)的斜率和傾斜角解題關(guān)鍵是準(zhǔn)確應(yīng)用過兩點(diǎn)的斜率計(jì)算公式，并理解斜率和傾斜角之間的內(nèi)在關(guān)系，例2 若直線與直線的交點(diǎn)位于第一象限，則直線的傾斜角的取值范圍是（ ）A B C D解：直線恒過定點(diǎn)直線與軸和軸的交點(diǎn)設(shè)為，則兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，直線的斜率為，對應(yīng)的傾斜角為，直線與軸垂直，對應(yīng)的傾斜角為故為正確選項(xiàng)歸納小結(jié)：本題考查直線的傾斜角與斜率，認(rèn)識到直線是過定點(diǎn)的直線系是問題解決的關(guān)鍵 通過特殊位置的研究，得到問題的答案，充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想方法，同時(shí)對計(jì)算能力和三角函數(shù)的基礎(chǔ)知識也有一定要求鞏固提高1已知兩點(diǎn)，直線過定點(diǎn)且與線段AB相交，求直線的斜率的取值范圍. 二 兩條直線平行與垂直的判定（一）知識點(diǎn)1. 對于兩條不重合的直線 、，其斜率分別為、，有：（1）；（2）.2. 特例：兩條直線中一條斜率不存在時(shí)，另一條斜率也不存在時(shí)，則它們平行，都垂直于x軸；.（二）例題講解例3 已知過點(diǎn)和點(diǎn)的直線與直線平行，則的值為（ ）A B C D解：過點(diǎn)和點(diǎn)的直線的斜率為直線可變形為，故其斜率為過點(diǎn)和點(diǎn)的直線與直線平行， 解得 故為正確選項(xiàng)歸納小結(jié)：兩條直線平行，是兩條直線位置關(guān)系中的特殊情況，也是高考考查的重點(diǎn)本題要先由兩點(diǎn)坐標(biāo)表示出對應(yīng)直線的斜率，再由兩條直線平行，斜率相等，建立關(guān)于的方程，通過解方程得到問題的答案 本題的解題過程，充分體現(xiàn)了解析幾何的本質(zhì)：用代數(shù)方法研究圖形的幾何性質(zhì) 要認(rèn)真體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想及方程思想例4直線過點(diǎn)且與直線垂直，則的方程是（ ）A B C D解：直線的斜率為 因?yàn)樗笾本€與直線垂直，所以，所求直線的斜率為線過點(diǎn)，由點(diǎn)斜式得直線方程為，即歸納小結(jié)：兩條直線垂直是兩條直線位置關(guān)系中的特殊情況，也是高考的考察重點(diǎn)內(nèi)容當(dāng)兩條直線垂直且斜率存在時(shí)，其對應(yīng)的斜率乘積等于本題先由直線的互相垂直關(guān)系，求出所求直線的斜率，再由點(diǎn)斜式求出了直線方程注意體會(huì)方程思想，同時(shí)，要注意，直線方程的確定要根據(jù)具體情況，選擇合適的形式鞏固提高1直線的斜率是方程的兩根，則的位置關(guān)系是 . 2若過點(diǎn)的直線與過點(diǎn)的直線平行，則m= . 三 直線的點(diǎn)斜式方程（一）知識點(diǎn)1. 點(diǎn)斜式（point slope form）：直線過點(diǎn),且斜率為k，其方程為.2. 斜截式（slope intercept form）：直線的斜率為k，在y軸上截距為b，其方程為.3. 點(diǎn)斜式和斜截式不能表示垂直x軸直線. 若直線過點(diǎn)且與x軸垂直,此時(shí)它的傾斜角為90，斜率不存在，它的方程不能用點(diǎn)斜式表示，這時(shí)的直線方程為，或. 4. 注意：與是不同的方程，前者表示的直線上缺少一點(diǎn)，后者才是整條直線.鞏固提高1已知直線l過點(diǎn)，它的傾斜角是直線的兩倍，則直線l的方程為（ ）. A. B. C. D. 2過點(diǎn)P(1,2)且與原點(diǎn)O距離最大的直線l的方程（ ）. A. B. C. D. 3傾斜角是，在軸上的截距是3的直線方程是 .4 將直線繞它上面一點(diǎn)（1，）沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)15，得到的直線方程是 . 四 直線的兩點(diǎn)式方程（一）知識點(diǎn)1. 兩點(diǎn)式（two-point form）：直線經(jīng)過兩點(diǎn)，其方程為， 2. 截距式（intercept form）：直線在x、y軸上的截距分別為a、b，其方程為.3. 兩點(diǎn)式不能表示垂直x、y軸直線；截距式不能表示垂直x、y軸及過原點(diǎn)的直線.4. 線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式.鞏固提高1直線在軸上的截距是（ ）. A. B. C. D. 2過兩點(diǎn)和的直線在軸上的截距為（ ）. A. B. C. D. 23已知點(diǎn)A（1，2）、B（3，1），則線段AB的垂直平分線的方程是（ ）. A B C D4過點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程是 .五 直線的一般式方程（一）、知識點(diǎn)1. 一般式（general form）：，注意A、B不同時(shí)為0. 直線一般式方程化為斜截式方程，表示斜率為，y軸上截距為的直線.2 與直線平行的直線，可設(shè)所求方程為；與直線垂直的直線，可設(shè)所求方程為. 過點(diǎn)的直線可寫為.經(jīng)過點(diǎn)，且平行于直線l的直線方程是；經(jīng)過點(diǎn)，且垂直于直線l的直線方程是.3. 已知直線的方程分別是：（不同時(shí)為0），（不同時(shí)為0），則兩條直線的位置關(guān)系可以如下判別：（1）； （2）；（3）與重合； （4）與相交.如果時(shí)，則；與重合；與相交. 鞏固提高1若，則直線必經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)是（ ）. A. B. C. D. 2直線與兩坐標(biāo)軸圍成的面積是（ ）. A B C D3直線（）x+y=3和直線x+（）y=2的位置關(guān)系是（ ）. A. 相交不垂直 B. 垂直 C. 平行 D. 重合4已知直線mx+ny+1=0平行于直線4x+3y+5=0，且在y軸上的截距為，則m，n的值分別為（ ）. A. 4和3 B. 4和3 C. 4和3 D. 4和35若直線x+ay+2=0和2x+3y+1=0互相垂直，則a= . 6過兩點(diǎn)（5，7）和（1，3）的直線一般式方程為 ；若點(diǎn)（，12）在此直線上，則 六 兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)（一）知識點(diǎn)1. 一般地，將兩條直線的方程聯(lián)立，得到二元一次方程組. 若方程組有惟一解，則兩條直線相交，此解就是交點(diǎn)的坐標(biāo)；若方程組無解，則兩條直線無公共點(diǎn)，此時(shí)兩條直線平行；若方程組有無數(shù)解，則兩條直線有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)兩條直線重合.2. 方程為直線系，所有的直線恒過一個(gè)定點(diǎn)，其定點(diǎn)就是與的交點(diǎn).鞏固提高1直線與直線的位置關(guān)系是（ ）. A. 平行 B. 相交 C. 垂直 D. 重合2已知直線的方程分別為 ，且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則（ ）. A. B. C. D. 3經(jīng)過直線與的交點(diǎn)，且垂直于直線的直線的方程是（ ）. A. B. C. D. 4直線20，4310和210相交于一點(diǎn)，則的值為（ ）. A. 1 B. 1 C. 2 D. 25若直線與直線平行，則 6已知直線l1: 2x-3y+10=0 , l2: 3x+4y-2=0. 求經(jīng)過l1和l2的交點(diǎn)，且與直線l3: 3x-2y+4=0垂直的直線l的方程.七 兩點(diǎn)間的距離一、知識點(diǎn)1. 平面內(nèi)兩點(diǎn)，則兩點(diǎn)間的距離為：.特別地，當(dāng)所在直線與x軸平行時(shí)，；當(dāng)所在直線與y軸平行時(shí)，；當(dāng)在直線上時(shí)，.2. 坐標(biāo)法解決問題的基本步驟是：（1）建立坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示有關(guān)量；（2）進(jìn)行有關(guān)代數(shù)運(yùn)算；（3）把代數(shù)運(yùn)算的結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系.鞏固提高1已知點(diǎn)且，則a的值為（ ）. A. 1 B. 5 C. 1或5 D. 1或52點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B在y軸上，線段AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)是，則的長為（ ）. A. 10 B. 5 C. 8 D. 63已知，點(diǎn)C在x軸上，且AC=BC，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（ ）. A. B. C. D. 4已知點(diǎn)，點(diǎn)到M、N的距離相等，則點(diǎn)所滿足的方程是（ ）. A. B. C. D. 5已知，則BC邊上的中線AM的長為 . 6已知點(diǎn)P（2，4）與Q（0，8）關(guān)于直線l對稱，則直線l的方程為 . 八 點(diǎn)到直線的距離及兩平行線距離（一）知識點(diǎn)1. 點(diǎn)到直線的距離公式為.2. 利用點(diǎn)到直線的距離公式，可以推導(dǎo)出兩條平行直線，之間的距離公式，推導(dǎo)過程為：在直線上任取一點(diǎn)，則，即. 這時(shí)點(diǎn)到直線的距離為(二)例題精析例7 已知點(diǎn)，求的面積解：設(shè)邊上的高為，則,邊上的高為就是點(diǎn)到的距離邊所在的直線方程為，即點(diǎn)到的距離因此，歸納小結(jié)：本題考查兩點(diǎn)間的距離、直線方程及點(diǎn)到直線的距離等知識，有一定的綜合性解題關(guān)鍵是確定一邊長及對應(yīng)的高由兩點(diǎn)間的距離公式，我們不難求出邊長，由已知點(diǎn)的坐標(biāo)，兩點(diǎn)式易得直線方程，再用點(diǎn)到直線的距離公式，求出點(diǎn)到直線的距離，問題可解要注意體會(huì)，數(shù)形結(jié)合既是思想，也是方法例8 已知直線經(jīng)過直線與的交點(diǎn)若點(diǎn)到的距離為3，求的方程解法一：由 得交點(diǎn)若直線的斜率不存在，則的方程為，顯然滿足題意若直線的斜率存在，設(shè)為，則直線的方程為由點(diǎn)到直線的距離公式得解得 所以，直線的方程為的方程為或解法二：經(jīng)過兩已知直線交點(diǎn)的直線系方程為，即，即，或的方程為或歸納小結(jié)：本題考查兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)及直線方程 已知直線過一點(diǎn)求直線方程一般采用點(diǎn)斜式，但如果對直線斜率概念理解不清，容易忘記驗(yàn)證斜率不存在的直線 本題也可用過兩直線交點(diǎn)的直線系方程來解 兩種方法，都體現(xiàn)了先設(shè)后求的待定系數(shù)和方程思想要注意提高解簡單絕對值方程及無理方程的能力鞏固提高1點(diǎn)（0，5）到直線y=2x的距離是（ ）. A. B. C. D. 2動(dòng)點(diǎn)在直線上，為原點(diǎn)，則的最小值為（ ）. A. B. C.