第6講對數與對數函數 知識梳理 1 對數的概念一般地 如果a a 0 a 1 的b次冪等于N 即ab N 那么數b叫作以a為底N的對數 記作 其中a叫作對數的底數 N叫作真數 2 對數的性質 換底公式與運算性質 1 對數的性質 alogaN logaab b a 0 且a 1 2 對數的運算法則如果a 0且a 1 M 0 N 0 那么 N logaN b loga MN loga logaMn n R logamMn logaM m n R 且m 0 3 對數的重要公式 換底公式 a b均大于零且不等于1 logab 推廣logab logbc logcd logaM logaN logaM logaN nlogaMa logad 3 對數函數及其性質 1 概念 函數y logax a 0 且a 1 叫做對數函數 其中x是自變量 函數的定義域是 0 2 對數函數的圖像與性質 0 R 1 0 y 0 y 0 y 0 y 0 增函數 減函數 4 反函數指數函數y ax a 0 且a 1 與對數函數 a 0 且a 1 互為反函數 它們的圖像關于直線 對稱 y logax y x 診斷自測 解析 1 log2x2 2log2 x 故 1 錯 2 形如y logax a 0 且a 1 為對數函數 故 2 錯 4 當x 1時 logax logbx 但a與b的大小不確定 故 4 錯 答案 1 2 3 4 2 已知函數y loga x c a c為常數 其中a 0 且a 1 的圖像如圖 則下列結論成立的是 A a 1 c 1B a 1 01D 00 即logac 0 所以0 c 1 答案D 答案D 4 2015 浙江卷 若a log43 則2a 2 a 答案 1 A 2 20 規律方法 1 在對數運算中 先利用冪的運算把底數或真數進行變形 化成分數指數冪的形式 使冪的底數最簡 然后正用對數運算法則化簡合并 2 先將對數式化為同底數對數的和 差 倍數運算 然后逆用對數的運算法則 轉化為同底對數真數的積 商 冪再運算 3 ab N b logaN a 0 且a 1 是解決有關指數 對數問題的有效方法 在運算中應注意互化 答案 1 A 2 1 考點二對數函數的圖像及應用 例2 1 2017 鄭州一模 若函數y a x a 0 且a 1 的值域為 y y 1 則函數y loga x 的圖像大致是 解析 1 由于y a x 的值域為 y y 1 a 1 則y logax在 0 上是增函數 又函數y loga x 的圖像關于y軸對稱 因此y loga x 的圖像應大致為選項B 2 如圖 在同一坐標系中分別作出y f x 與y x a的圖像 其中a表示直線在y軸上截距 由圖可知 當a 1時 直線y x a與y log2x只有一個交點 答案 1 B 2 a 1 規律方法 1 在識別函數圖像時 要善于利用已知函數的性質 函數圖像上的特殊點 與坐標軸的交點 最高點 最低點等 排除不符合要求的選項 2 一些對數型方程 不等式問題常轉化為相應的函數圖像問題 利用數形結合法求解 訓練2 1 函數y 2log4 1 x 的圖像大致是 解析 1 函數y 2log4 1 x 的定義域為 1 排除A B 又函數y 2log4 1 x 在定義域內單調遞減 排除D 答案 1 C 2 B 考點三對數函數的性質及應用 多維探究 命題角度一比較對數值的大小 例3 1 2016 全國 卷 若a b 0 0cb 答案B 答案C 命題角度三對數型函數的性質 例3 3 已知函數f x loga 3 ax 1 當x 0 2 時 函數f x 恒有意義 求實數a的取值范圍 2 是否存在這樣的實數a 使得函數f x 在區間 1 2 上為減函數 并且最大值為1 如果存在 試求出a的值 如果不存在 請說明理由 解 1 a 0且a 1 設t x 3 ax 則t x 3 ax為減函數 x 0 2 時 t x 的最小值為3 2a 當x 0 2 時 f x 恒有意義 規律方法 1 確定函數的定義域 研究或利用函數的性質 都要在其定義域上進行 2 如果需將函數解析式變形 一定要保證其等價性 否則結論錯誤 3 在解決與對數函數相關的比較大小或解不等式問題時 要優先考慮利用對數函數的單調性來求解 在利用單調性時 一定要明確底數a的取值對函數增減性的影響 及真數必須為正的限制條件 訓練3 1 設a log32 b log52 c log23 則 A a c bB b c aC c b aD c a b 2 已知函數f x loga 8 ax a 0 且a 1 若f x 1在區間 1 2 上恒成立 則實數a的取值范圍是 思想方法 1 對數值取正 負值的規律當a 1且b 1或00 當a 1且01時 logab 0 2 利用單調性可解決比較大小 解不等式 求最值等問題 其基本方法是 同底法 即把不同底的對數式化為同底的對數式 然后根據單調性來解決 3 比較冪 對數大小有兩種常用方法 1 數形結合 2 找中間量結合函數單調性 4 多個對數函數圖像比較底數大小的問題 可通過比較圖像與直線y 1交點的橫坐標進行判定 易錯防范 1 在對數式中 真數必須是大于0的 所以對數函數y logax的定義域應為 0 對數函數的單調性取決于底數a與1的大小關系 當底數a與1的大小關系不確定時 要分0