1 3 3函數的最大值與最小值 一 復習引入 如果在x0附近的左側f x 0 右側f x 0 那么 f x0 是極小值 2 導數為零的點是該點為極值點的必要條件 而不是充分條件 極值只能在函數的導數為零且在其附近左右兩側的導數異號時取到 3 在某些問題中 往往關心的是函數在一個定義區間上 哪個值最大 哪個值最小 而不是極值 1 當函數f x 在x0處連續時 判別f x0 是極大 小 值的方法是 二 新課 函數的最值 觀察右邊一個定義在區間 a b 上的函數y f x 的圖象 發現圖中 是極小值 是極大值 在區間上的函數的最大值是 最小值是 f x1 f x3 f x2 f b f x3 問題在于如果在沒有給出函數圖象的情況下 怎樣才能判斷出f x3 是最小值 而f b 是最大值呢 導數的應用 求函數最值 2 將y f x 的各極值與f a f b 端點處 比較 其中最大的一個為最大值 最小的一個最小值 求f x 在閉區間 a b 上的最值的步驟 1 求f x 在區間 a b 內極值 極大值或極小值 所有極值連同端點函數值進行比較 最大的為最大值 最小的為最小值 典型例題 1 求出所有導數為0的點 2 計算 3 比較確定最值 動手試試 求下列函數在給定區間上的最大值與最小值 04浙江文21 本題滿分12分 已知a為實數 求導數 若 求在 2 2 上的最大值和最小值 若在 2 和 2 上都是遞增的 求a的取值范圍 例2 典型例題 小結 求在 a b 上連續 a b 上可導的函數f x 在 a b 上的最值的步驟 1 求f x 在 a b 內的極值 2 將f x 的各極值與f a f b 比較 其中最大的一個是最大值 最小的一個是最小值 思考 反思 本題屬于逆向探究題型 其基本方法最終落腳到比較極值與端點函數值大小上 從而解決問題 往往伴隨有分類討論 2 求最大 最小 值應用題的一般方法 1 分析實際問題中各量之間的關系 把實際問題化為數學問題 建立函數關系式 這是關鍵一步 2 確定函數定義域 并求出極值點 3 比較各極值與定義域端點函數的大小 結合實際 確定最值或最值點 1 實際應用問題的表現形式 常常不是以純數學模式反映出來 首先 通過審題 認識問題的背景 抽象出問題的實質 其次 建立相應的數學模型 將應用問題轉化為數學問題 再解 應用 解 設箱底邊長為x 則箱高h 60 x 2 箱子容積v x x2h 60 x2 x3 2 0 x 60 令 解得x 0 舍去 x 40 且v 40 16000 由題意可知 當x過小 接近0 或過大 接近60 時 箱子的容積很小 因此 16000是最大值 答 當x 40cm時 箱子容積最大 最大容積是16000cm3 解 設b x 0 0 x 2 則a x 4x x2 從而 ab 4x x2 bc 2 2 x 故矩形abcd的面積為 s x ab bc 2x3 12x2 16x 0 x 2 令 得 所以當時 因此當點b為時 矩形的最大面積是 拓展提高 我們知道 如果在閉區間 a b 上函數y f x 的圖像是一條連續不斷的曲線 那么它必定有最大值和最小值 那么把閉區間 a b 換成開區間 a b 是否一定有最值呢 函數f x 有一個極值