本章優化總結 專題探究精講 本章優化總結 知識體系網絡 知識體系網絡 專題探究精講 數列的通項公式是數列的重要內容之一 只要存在數列的通項公式 許多問題就可迎刃而解 對于等差數列和等比數列的通項公式的求解可直接使用通項公式求解 而對于非等差 等比數列的通項公式的求解可通過適當的變形 構造等 使之成為等差或等比數列求解 因此 數列通項公式的求解問題往往是解決數列難題的關鍵 現根據數列的結構特征把常見求解方法和技巧總結如下 1 觀察法就是根據數列的前幾項的變化規律 觀察歸納出數列的通項公式的方法 設數列 an 的前n項和為sn 2n2 bn 為等比數列 且a1 b1 b2 a2 a1 b1 求數列 an 和 bn 的通項公式 解 當n 1時 a1 s1 2 當n 2時 an sn sn 1 2n2 2 n 1 2 4n 2 當n 1也適用 故 an 的通項公式為an 4n 2 即 an 是a1 2 公差d 4的等差數列 3 累加法求形如an 1 an f n f n 為等差或等比數列或其他可求和的數列 的數列通項 可用累加法求通項 即令n 1 2 3 n 1得到n 1個式子累加求得通項 累加法是反復利用遞推關系得到n 1個式子累加求出通項 這種方法最終轉化為求 f n 的前n項的和 要注意求和的技巧 已知數列 an 中 a1 1 且an 1 an 3n n 求數列 an 的通項公式 解 由an 1 an 3n n 得an an 1 3n 1 n 1 an 1 an 2 3n 2 n 2 a3 a2 32 2 a2 a1 3 1 規律小結 對于由形如an 1 an f n 型的遞推公式求通項公式 1 當f n d為常數時 為等差數列 則an a1 n 1 d 2 當f n 為n的函數時 用累加法 方法如下 由an 1 an f n 得當n 2時 an an 1 f n 1 an 1 an 2 f n 2 3 已知a1 a an 1 an f n 其中f n 可以是關于n的一次函數 二次函數 指數函數 分式函數 求通項an 若f n 是關于n的一次函數 累加后可轉化為等差數列求和 若f n 是關于n的二次函數 累加后可分組求和 若f n 是關于n的指數函數 累加后可轉化為等比數列求和 若f n 是關于n的分式函數 累加后可裂項求和 4 累乘法若數列 an 能寫成an an 1f n 1 n 2 的形式 則可由an an 1f n 1 an 1 an 2f n 2 an 2 an 3f n 3 a2 a1f 1 連乘求得通項公式 累乘法是反復利用遞推關系得到n 1個式子累乘求出通項 這種方法最終轉化為求 f n 的前n 1項的積 要注意求積的技巧 已知數列 an 滿足an 1 2nan 且a1 1 求an 數列的求和是數列運算中的重要內容 對于等差數列和等比數列可直接利用公式計算 對于有具體特征的非等差 等比數列可轉化為等差數列或等比數列的形式 再求其前n項和 常用的求和方法有公式法 分組法 裂項相消法 倒序相加法 錯位相減法等 解題時要認真研究數列通項的特點 從而確定恰當的求和方法 1 裂項相消法對于裂項后明顯有能夠相消的項的一類數列 在求和時常用 裂項法 分式的求和多利用此法 可用待定系數法對通項公式進行拆項 相消時應注意消去項的規律 即消去哪些項 保留哪些項 常見的拆項公式有 2 分組法如果一個數列的每一項都是由幾個獨立的項組合而成 并且各獨立項可組成等差或等比數列 則可利用其求和公式分別求和 從而得到原數列的和 3 倒序相加法若所給數列 an 中與首 末項等距的兩項之和相等 則把所給數列按下標從小到大的順序書寫和的等式 再按下標從大到小的順序書寫和的等式 再把這兩個等式左右兩邊相加即得數列的前n項和 此種方法通稱為倒序相加法 例如 等差數列前n項和公式的推導方法 思路點撥 本題是求函數值的和 通過對其