1 解三角形應用問題的基本思路是 實際問題 實際問題 2 解三角形應用問題的一般步驟如下 1 準確理解題意 分清已知與所求 2 根據題意畫出示意圖 3 建立數學模型 合理運用 正確求解 并作答 數學問題 正弦定理和余弦定理 1 從a處望b處的仰角為 從b處望a處的俯角為 則 的關系為 a b c 90 d 180 解析 由仰角與俯角的定義可知 答案 b2 若點p在q的北偏東44 則q在p的 a 東偏北46 b 東偏北44 c 南偏西44 d 西偏南44 解析 畫圖即可解得 答案 c 3 在200米高的山頂上 測得山下一塔頂與塔底的俯角分別為30 60 則塔高為 米 4 如圖 為了測量河的寬度 在一岸邊選定兩點a b望對岸的標記物c 測得 cab 30 cba 75 ab 120m 則這條河的寬度為 m 解析 因為 cab 30 cba 75 則 acb 180 30 75 75 所以ac ab 120m 答案 60 1 解三角形應用題常見的幾種情況 1 實際問題經抽象概括后 已知量與未知量全部集中在一個三角形中 可用正弦定理或余弦定理求解 2 實際問題經抽象概括后 已知量與未知量涉及兩個 或兩個以上 三角形 這時需作出這些三角形 先解夠條件的三角形 然后逐步求出其他三角形中的解 有時需設出未知量 由幾個三角形列出方程 解方程得出所要求的解 2 方位角與方向角要區分 方位角是指從正北方向順時針旋轉到目標方向線的最小正角 方向角是東 西 南 北 東南 西北 北偏東30 南偏西45 等 3 如何將實際問題的角 長度歸結到三角形中 及解后考慮實際問題的實際意義 案例1 如圖所示 a b c d都在同一個與水平面垂直的平面內 b d為兩島上的兩座燈塔的塔頂 測量船于水面a處測得b點和d點的仰角分別為75 30 于水面c處測得b點和d點的仰角均為60 ac 0 1km 試探 即時鞏固詳解為教師用書獨有 考點一測量距離問題 關鍵提示 根據圖中的已知條件求出點與點之間的距離 結合圖形和計算出的距離作出判斷 然后把b d間距離的計算轉化為與b d間距離相等的另外兩點之間的距離 解 在 acd中 dac 30 adc 60 dac 30 所以cd ac 0 1 又 bcd 180 60 60 60 故cb是 cad底邊ad的中垂線 所以bd ab 解 在 acd中 cad 180 acd adc 60 cd 6000 acd 45 在 bcd中 cbd 180 bcd bdc 135 cd 6000 bcd 30 又 abd中 adb adc bdc 90 根據勾股定理 實際所需電線長度約為1 2ab 7425 6 m 考點二測量高度問題 案例2 如圖 a b是水平面上的兩個點 相距800m 在a點測得山頂c的仰角為25 bad 110 又在b點測得 abd 40 其中d是點c在水平面上的垂足 試求山高cd 精確到1m 關鍵提示 在 abd中利用正弦定理求出ad 再求cd 即時鞏固2 如圖所示 在地面上有一旗桿op 為測得它的高度h 在地面上取一基線ab ab 20m 在a處測得p點的仰角 oap 為30 在b處測得p點的仰角 obp 為45 又測得 aob 60 試求旗桿的高度 精確到0 1m 考點三測量角度問題 關鍵提示 假設沿cd方向行駛能最快截獲走私船 并記截獲地點為d 構造 abc和 bcd 利用正弦定理和余弦定理解此三角形 所以 abc 45 所以b點在c點的正東方向上 所以 cbd 90 30 120 所以緝私船沿北偏東60 的方向行駛 才能最快截獲走私船 大約需要15分鐘 即時鞏固3 沿一條小路前進 從a到b 方位角 從正北方向順時針轉到ab方向所成的角 是50 距離是470m 從b到c 方位角是80 距離是860m 從c到d 方位角是150 距離是640m 試畫出示意圖 并算出從a到d的方位角和距離 解 如圖所示 連結ac 在 abc中 abc 50 180 80 150 考點四創新應用 案例4 如圖 海中小島a周圍38海里內有暗礁 船正向南航行 在b處測得小島a在船的南偏東30 該船航行30海里后 在c處測得小島a在船的南偏東45 如果該船不改變航向 繼續向南航行 有無觸礁的危險 關鍵提示 船繼續向南航行 有無觸礁的危險 取決于a到直線bc的距離與38海里的大小 于是我們只需先算出ac 或ab 再算出a到bc所在直線的距離 將它與38海里比較即得到答案 解 在 abc中 bc 30 b 30 acb 180 45 135 所以 a 15 60cos15 60cos 45 30 60 cos45 cos30 sin45 sin30 即時鞏固4 外國船只除特許外 不得進入離我國海岸線dnmile以內的區域 如圖所示 設a和b是我國的觀測站 a與b之間的距離為snmile 海 解 假設該外國船只距我國海岸線的距離為h h 0 則 發出警告 的數學含義是確定不等式h d 于是問題化歸為用已知數表示h 即已知 s 求