1 設函數f x 在點x0附近有定義 如果對x0附近的所有的點 都有 我們就說f x0 是函數f x 的一個極大值 如果對x0附近的所有的點 都有 我們就說f x0 是函數f x 的一個極小值 極大值與極小值統稱極值 2 一般地 求函數y f x 的極值的方法如下 解方程f x 0 當f x0 0時 f x f x0 f x f x0 1 如果在x0附近的左側f x 0 右側f x 0 那么f x0 是 值 2 如果在x0附近的左側 右側 那么f x0 是極小值 3 一般地 求f x 在 a b 上的最大值與最小值的步驟如下 1 求函數y f x 在 內的極值 2 將函數y f x 的 與端點處的函數值f a f b 比較 其中最大的一個是 最小的一個是 極大 f x 0 f x 0 a b 各個極值 最大值 最小值 1 下列命題中 正確的是 a 導數為0的點一定是極值點b 如果在點x0附近的左側f x 0 右側f x 0 那么f x0 是極大值c 如果在點x0附近的左側f x 0 右側f x 0 那么f x0 是極小值d 如果在點x0附近的右側f x 0 左側f x 0 那么f x0 是極大值解析 根據極值的定義可知b正確 答案 b 2 下列函數存在極值的是 答案b 3 函數f x 的定義域為 a b 導函數f x 在 a b 內的圖象如圖 則函數f x 在開區間 a b 內有極小值點 a 1個b 2個c 3個d 4個 解析 設導數f x 的圖象與x軸交點的橫坐標 除原點 從左到右分別為x1 x2 x3 從圖象知 在 a x1 x2 0 0 x3 上f x 0 在 x1 x2 x3 b 上f x 0 即在 a x1 上f x 遞增 在 x1 x2 上遞減 在 x2 x3 上遞增 在 x3 b 上遞減 函數f x 在開區間 a b 內有極小值點只有一點x2 答案 a 4 函數y xe x的極大值為 解析 y e x xe x 1 x e x 當x 1時函數遞增 當x 1時函數遞減 所以x 1時 函數取極大值 從以下幾點正確理解函數極值的概念 1 函數f x 在點x0及其附近有定義是指在點x0及其左右區域都有意義 2 極值點是函數f x 定義域中的內點 因而端點絕不是函數的極值點 3 極值是一個局部概念 是僅對某一點的左右兩側區域而言的 4 連續函數f x 在其定義域上的極值點可能不止一個 也可能沒有極值點 函數的極大值與極小值沒有必然的大小聯系 函數的一個極小值也不一定比它的一個極大值小 5 函數f x 在極值點處不一定存在導數 例如函數y x x 0是函數的極小值點 但在x 0處不存在導數 6 可導函數的極值點一定是使它的導數為零的點 反之使函數的導數為零的點 不一定是該函數的極值點 因此使導數為零的點僅是該點為極值點的必要條件 其充分條件是這個點兩側的導數異號 7 函數的極值是在局部范圍內討論問題 是一個局部概念 函數的最值是對整個定義域而言 是在整體范圍內討論問題 是一個整體性的概念 8 閉區間上的連續函數一定有最值 開區間內的可導函數不一定有最值 若有唯一的極值 則此極值必是函數的最值 9 函數在其定義區間上的最大值 最小值最多各有一個 而函數的極值則可能不止一個 也可能沒有極值 10 如果函數不在閉區間 a b 上可導 則確定函數的最值時 不僅比較使該函數的導數為零的點與端點處的值 還要比較函數在定義域內各不可導的點處的值 11 在解決實際應用問題時 如果函數在區間內只有一個極值點 那么要根據實際意義判斷是最大值還是最小值即可 不必再與端點的函數值進行比較 考點一函數的極值與導數 即時鞏固詳解為教師用書獨有 關鍵提示 先求出函數的導數 再由x 1是導函數等于零的根求得a的值 答案 3 即時鞏固1 已知函數f x x3 3ax2 2bx在x 1處有極小值 1 試確定a b的值 并求f x 的單調區間 考點二函數的最值與導數 案例2 設函數f x ln 2x 3 x2 1 討論f x 的單調性 1 求a b c的值 2 求y f x 在 3 1 上的最大值和最小值 解 1 由f x x3 ax2 bx c 得f x 3x2 2ax b 當x 1時 切線l的斜率為3 可得2a b 0 4a 3b 4 0 由 解得a 2 b 4 因為l上切點的橫坐標為x 1 所以f 1 4 所以1 a b c 4 所以c 5 2 由 1 可得f x x3 2x2 4x 5 所以f x 3x2 4x 4 考點三創新應用 案例3 已知函數f x x3 mx2 nx 2的圖象過點 1 6 且函數g x f x 6x的圖象關于y軸對稱 1 求m n的值及函數y f x 的單調區間 2 若a 0 求函數y f x 在區間 a 1 a 1 內的極值 關鍵提示 結合圖象進行討論 解 1 由函數f x 的圖象過點 1 6 得m n 3 由f x x3 mx2 nx 2 得f x 3x2 2mx n 則g x f x 6x 3x2 2m 6 x n 所以m 3 代入 得n 0 于是f x 3x2 6x 3x x 2 由f x 0得x 2或x 0 由f x 0得0 x 2 故f x 的單調增區間是 0 和 2 f x 的單調遞減區間是 0 2 2 由 1 得f x 3x x 2 令f x 0得x 0或x 2 當x變化時 f x f x 的變化情況如下表 由此可得 當0 a 1時 f x 在 a 1 a 1 內有極大值f 0 2 無極小值 當a 1時 f x 在 a 1 a 1 內無極值 當1 a 3時 f x 在 a 1 a 1 內有極小值f 2 6 無極大值 當a 3時 f x 在 a 1 a 1 內無極值 綜上得 當0 a 1時 f x 有極大值 2 無極小值 當1 a 3時 f x 有極小值 6 無極大值 當a 1或a 3時 f x 無極值 即時鞏固3 已知函數f x x3 3ax 1 a 0 1 求f x 的單調區間 2 若f x 在x 1處取得極值 直線y m與y f x 的圖象有三個不同的交點 求m的取值范圍 解 1 f x 3x2 3a 3 x2 a 當a 0時 對任意的x r 有f x 0 所以當a 0時 f x 的單調增區間為 2 因為f x 在x 1處取得極值 所以f 1 3