杯賽真題 迎春杯 四年級 初賽 1 7 一對一咨詢 62513535 62511886 2009 數學解題能力展示數學解題能力展示 讀者評選活動讀者評選活動 四年級組初賽試題四年級組初賽試題 測評時間 測評時間 2008 年年 12 月月 6 日日 11 00 12 00 一 填空題 填空題 每題 每題 10 分 共分 共 60 分 分 1 計算 337 300372009 2 老師買了同樣數目的田格本 橫線本和練習本 他發給每個同學 1 個田格本 3 個橫線 本和 5 個練習本 這時橫線本還剩 24 個 那么田格本和練習本共剩了 個 3 有 60 名學生 男生 女生各 30 名 他們手拉手圍成一個圓圈 如果讓原本牽著手的男 生和女生放開手 可以分成 18 個小組 那么 如果原本牽著手的男生和男生放開手時 分成了 個小組 4 國際象棋中 馬 的走法如左圖所示 位于 位置 的 馬 只能走到標有 的格中 在 5 5 個方格的 國際象棋棋盤上 如右圖 放入四枚白馬 用 表 示 和四枚黑馬 用 表示 要求將四枚白馬移至 四枚黑馬的位置 將四枚黑馬移至四枚白馬的位置 而且必須按照國際象棋的規則 棋 子只能移動到空格中 每個格最多放一枚棋子 那么最少需要 步 5 小明在桌上將若干個紅球排成一排 然后在每相鄰的 2 個球之間放 2 個黃球 最后在每 相鄰的2個球之間再放2個藍球 這時桌上共有2008個球 那么其中黃球有 個 6 如圖所示 某小區花園的道路為一個長 480 米 寬 200 米的長方形 一個邊長為 260 米的菱形和十字交叉的兩條道路組成 一天 王大爺 A 處進入花園 走遍花園的所有 道路并從 A 處離開 如果他每分鐘走 60 米 那么他從進入花園到走出花園最少要用 分 二 二 填空題 填空題 每題 每題 15 分 共分 共 90 分 分 A 杯賽真題 迎春杯 四年級 初賽 2 7 一對一咨詢 62513535 62511886 7 有一類多位數 從左數第 3 位數字開始 每位上的數都等于其左邊第 2 個數減去左邊第 1 個數的差 如 74312 6422 那么這類數中最大的是 8 一些奇異的動物在草坪上聚會 有獨腳獸 1 個頭 1 只腳 雙頭龍 2 個頭 4 只腳 三腳貓 1 個頭 3 只腳 和四腳 蛇 1 個頭 4 只腳 如果草坪上的動物共有 58 個頭 160 只腳 且四腳蛇的數量恰好是雙頭龍的 2 倍 那么其中獨腳 獸有 只 9 如圖 請將 1 個 1 2 個 2 3 個 3 7 個 7 8 個 8 填入 6 6 的表格中 使得相同 的數所在的方格都連在一起 相連的兩個方格必須有公共邊 現在已經給出了其中 8 個 方 格 中 的 數 并 且 知 道 A B C D E F 各 不 相 同 那 么 六 位 數ABCDEF 是 10 老師在黑板上寫了三個不同的整數 小明每次先擦掉第 一個數 然后在最后寫上另兩個數的平均數 如此做了 7 次 這時黑板上三個數的和為 159 如果開始時老師在 黑板上寫的三個數之和為 2008 且所有寫過的數都是整 數 那 么 開 始 時 老 師 在 黑 板 上 寫 的 第 一 個 數 是 11 請將 1 12 這 12 個自然數分別填入到右圖的方框中 每個數只出現 1 次 使得每個等 式都成立 12 一個小正方體印章 每面刻著 1 至 6 中的一個數字 各 面數字互不相同 且相對兩面數字之和都是 7 小明用 這個小正方體印章在右圖的方格內滾動 每格恰好經過 一 次 那 么 所 有 小 方 格 中 印 下 的 數 字 之 和 最 多 是 5 6 A B C D E F 1 2 3 4 7 8 杯賽真題 迎春杯 四年級 初賽 3 7 一對一咨詢 62513535 62511886 參考答案 2009 數學解題能力展示數學解題能力展示 讀者評選活動讀者評選活動 四年級組初賽試題四年級組初賽試題 測評時間 測評時間 2008 年年 12 月月 6 日日 11 00 12 00 一 填空題 填空題 每題 每題 10 分 共分 共 60 分 分 1 計算 337 300372009 解答 解答 2009371003721093757 原式 2 老師買了同樣數目的田格本 橫線本和練習本 他發給每個同學 1 個田格本 3 個橫線 本和 5 個練習本 這時橫線本還剩 24 個 那么田格本和練習本共剩了 個 解答 解答 解法 1 取特殊數 假設三種本子各 27 本 共 1 個同學 那么田格本剩下 26 本 練習本剩下 22 本 共剩 48 本 解法 2 發給每個同學的田格本與練習本的數目之和是 6 等于橫線本的 2 倍 而全部 田格本與練習本的數目也是全部橫線本數目的 2 倍 因此剩余的田格本與練習本也是剩 余橫線本的 2 倍 即剩下24 248 本 3 有 60 名學生 男生 女生各 30 名 他們手拉手圍成一個圓圈 如果讓原本牽著手的男 生和女生放開手 可以分成 18 個小組 那么 如果原本牽著手的男生和男生放開手時 分成了 個小組 解答 解答 每個男生能牽 2 次手 一共牽30 260 次 這 60 次牽手有重復計算 當男生與男生牽手時 會將牽手次數計算兩次 因此男生與男生的牽手對數共有 60 18221 對 則男生和男生放開手時 會分成 21 個小組 4 國際象棋中 馬 的走法如左圖所示 位于 位 置的 馬 只能走到標有 的格中 在 5 5 個 方格的國際象棋棋盤上 如右圖 放入四枚白馬 用 表示 和四枚黑馬 用 表示 要求將 四枚白馬移至四枚黑馬的位置 將四枚黑馬移至四枚白馬的位置 而且必須按照國際象 棋的規則 棋子只能移動到空格中 每個格最多放一枚棋子 那么最少需要 杯賽真題 迎春杯 四年級 初賽 4 7 一對一咨詢 62513535 62511886 步 解答 解答 每個棋子最少要移動 2 步 因此至少需要 16 步 按照下圖即可 右邊用同樣的 方法移動 5 小明在桌上將若干個紅球排成一排 然后在每相鄰的 2 個球之間放 2 個黃球 最后在每 相鄰的2個球之間再放2個藍球 這時桌上共有2008個球 那么其中黃球有 個 解答 解答 倒推 每放一次球后球的總數變成了原來的 3 倍少 2 個 因此放藍球之前的球數 為 200823670 個 再倒推一次 開始紅球有 67023224 個 于是黃球有 670224446 個 6 如圖所示 某小區花園的道路為一個長 480 米 寬 200 米的長方形 一個邊長為 260 米的菱形和十字交叉的兩條道路組成 一天 王大爺 A 處進入花園 走遍花園的所有 道路并從 A 處離開 如果他每分鐘走 60 米 那么他從進入花園到走出花園最少要用 分 解答 解答 這是一個一筆畫問題 圖中共 4 個奇點 要想走遍所有道路 至少需要重復走兩 條菱形的邊 于是最少要走 4802003260423600 米 那么最少需要 36006060 分鐘 二 二 填空題 填空題 每題 每題 15 分 共分 共 90 分 分 7 有一類多位數 從左數第 3 位數字開始 每位上的數都等于其左邊第 2 個數減去左邊第 1 個數的差 如 74312 6422 那么這類數中最大的是 解答 解答 逆推 從個位看起 個位 十位之和等于百位 十位 百位之和等于千位 一直下去 要使原來數最大 首先要使位數盡量多 那么個位 十位應該盡量小 而且 要使每位都盡量小 取個位為 1 十位為 0 則可以得到 1 0 1 1 2 3 5 8 容易驗證 要想得到 8 A 杯賽真題 迎春杯 四年級 初賽 5 7 一對一咨詢 62513535 62511886 位數只有這一種可能 因此最大的是 85321101 8 一些奇異的動物在草坪上聚會 有獨腳獸 1 個頭 1 只腳 雙頭龍 2 個頭 4 只腳 三腳貓 1 個頭 3 只腳 和四腳蛇 1 個頭 4 只腳 如果草坪上的動物共有 58 個頭 160 只腳 且四腳蛇的數量恰好是雙頭龍的 2 倍 那么其中獨腳獸有 只 解答 解答 因為四腳蛇是雙頭龍的 2 倍 因此可以將 2 條四腳蛇和 1 條雙頭龍合起來看 就 有 4 個頭和 12 只腳 它相當于 4 只三腳貓 那么我們可以把原來的動物看成只有獨腳 獸和三腳貓兩種 在這種情況下 獨腳獸有 3 58 1603 17 只 9 如圖 請將 1 個 1 2 個 2 3 個 3 7 個 7 8 個 8 填入 6 6 的表格中 使得相同的數所在的方格都連在一起 相連 的兩個方格必須有公共邊 現在已經給出了其中 8 個方格中 的數 并且知道 A B C D E F 各不相同 那么 六位數 ABCDEF是 解答 解答 容易看出 A B C D E F 中沒有 1 和 3 那么它們只能是 2 4 5 6 7 8 因此 2 只能是 D 4 只能是 E 從而 8 只能是 F 此時 6 只能是 C 否則 C 就沒法填 了 最后容易看出 A 為 5 B 為 7 因此ABCDEF是 576248 10 老師在黑板上寫了三個不同的整數 小明每次先擦掉第一個數 然后在最后寫上另兩個 數的平均數 如此做了 7 次 這時黑板上三個數的和為 159 如果開始時老師在黑板上 寫的三個數之和為 2008 且所有寫過的數都是整數 那么開始時老師在黑板上寫的第 一個數是 解答 解答 最后一個數為159353 倒過來想 每相鄰三個數中 最后一個數的 2 倍減去中間數就等于前面的數 如果 53 前面的數為 52 可得從后往前的數依次為 53 52 54 50 58 42 74 10 138 由 前三個數之和為 2008 知第一個數等于2008 10 1381860 下面說明沒有其它答案 如 果53前 面 的 數 為53a 則 可 依 次 算 出 從 后 往 前 的 數 分 別 為 53 53 53 533 535 53 11 5321 5343 5385aaaaaaaa 不能滿足要求 如果 53前 面 的 數 為53a 則 可 依 次 算 出 從 后 往 前 的 數 分 別 為 5 6 A B C D E F 1 2 3 4 7 8 杯賽真題 迎春杯 四年級 初賽 6 7 一對一咨詢 62513535 62511886 53 53 53 533 535 53 11 5321 5343 5385aaaaaaaa 要滿足要求只 能 1a 11 請將 1 12 這 12 個自然數分別填入到右圖的方框中 每 個數只出現 1 次 使得每個等式都成立 解答 解答 先考慮第 3 列 由6 知 第一個除 法的除數只能是 1 且第二個除法的被除數至少是 4 再 結合第 3 行算式 12 可知這兩個算式只能 是8 1426 123 40 或 8 1636 12260 之后分別嘗試容易得到唯一答案 12 一個小正方體印章 每面刻著 1 至 6 中的一個數字 各面 數字互不相同 且相對兩面數字之和都是 7 小明用這個 小正方體印章在右圖的方格內滾動 每格恰好經過一次 那么所有小方格中印下的數字之和最多是 解答 解答 要想每個方格恰好經過一次 只有 3 種走法 2 0 0 8 1 2 6 7 11 12 5 9 10 3 6 8 1 4 2 杯賽真題 迎春杯 四年級 初賽 7 7 一對一咨詢 62513535 62511886 一共有 3 組對面分別為 1 6 2 5 3 4 給每種圖形標數分別計算 假設第一個圖出發的前兩個印下的數字為 1 2 那么所有的數均可標出 此時圖中一共能配出 7 個相對的面 還剩下 3 個 2 2 個 1 和 1 個 4 由于 1 6 2 5 3 4 三組數可以互相交換 把它們換成最大的數 得到數字