第二章 直線與平面的位置關(guān)系DCBA2.1空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系1 平面含義：平面是無限延展的2 平面的畫法及表示（1）平面的畫法：水平放置的平面通常畫成一個(gè)平行四邊形，銳角畫成450，且橫邊畫成鄰邊的2倍長(zhǎng)（如圖）AL（2）平面通常用希臘字母、等表示，如平面、平面等，也可以用表示平面的平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)或者相對(duì)的兩個(gè)頂點(diǎn)的大寫字母來表示，如平面AC、平面ABCD等。3 三個(gè)公理：（1）公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)公理1作用：判斷直線是否在平面內(nèi)CBA（2）公理2：過不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。符號(hào)表示為：A、B、C三點(diǎn)不共線 = 有且只有一個(gè)平面，使A、B、C。公理2作用：確定一個(gè)平面的依據(jù)。推論1：一條直線與它外一點(diǎn)確定一個(gè)平面。推論2：兩條平行直線確定一個(gè)平面。推論3：兩條相交直線確定一個(gè)平面。PL（3）公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線。符號(hào)表示為：P =L，且PL公理3作用：判定兩個(gè)平面是否相交的依據(jù)2.1.2 空間中直線與直線之間的位置關(guān)系1 空間的兩條直線有如下三種關(guān)系：共面直線 相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；平行直線：同一平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)；異面直線： 不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)。2 公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。符號(hào)表示為：設(shè)a、b、c是三條直線強(qiáng)調(diào)：公理4實(shí)質(zhì)上是說平行具有傳遞性，在平面、空間這個(gè)性質(zhì)都適用。公理4作用：判斷空間兩條直線平行的依據(jù)。3 等角定理：空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)4 異面直線： a與b所成的角的大小只由a、b的相互位置來確定，與O的選擇無關(guān)，為了簡(jiǎn)便，點(diǎn)O一般取在兩直線中的一條上； 兩條異面直線所成的角(0， ； 當(dāng)兩條異面直線所成的角是直角時(shí)，我們就說這兩條異面直線互相垂直，記作ab； 兩條直線互相垂直，有共面垂直與異面垂直兩種情形； 計(jì)算中，通常把兩條異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為兩條相交直線所成的角。2.1.3 2.1.4 空間中直線與平面、平面與平面之間的位置關(guān)系1、直線與平面有三種位置關(guān)系：（1）直線在平面內(nèi) 有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)（2）直線與平面相交 有且只有一個(gè)公共點(diǎn)（3）直線在平面平行 沒有公共點(diǎn)指出：直線與平面相交或平行的情況統(tǒng)稱為直線在平面外，可用a 來表 a a=A a】2.2.1 直線與平面平行的判定1、線面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行。簡(jiǎn)記為：線線平行，則線面平行。 符號(hào)表示： 線線平行線面平行2.2.2 平面與平面平行的判定1、兩個(gè)平面平行的判定定理：一個(gè)平面內(nèi)的兩條交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行。 符號(hào)表示： 線面平行 面面平行2、 判斷定理的推論：一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線互相平行，那么這兩個(gè)平面平行。符號(hào)表示：3、判斷兩平面平行的方法有三種：（1）用定義；（2）判定定理；（3）垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行。2.2.3 直線與平面平行的性質(zhì)1、線面平行的性質(zhì)定理：一條直線與一個(gè)平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行。簡(jiǎn)記為：線面平行則線線平行。 符號(hào)表示：作用：利用該定理可解決直線間的平行問題。2.2.4 平面與平面平行的性質(zhì)2、性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平行平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行。 符號(hào)表示：作用：可以由平面與平面平行得出直線與直線平行2.3.1直線與平面垂直的判定1、定義:如果直線l與平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線l與平面互相垂直，記作l，直線l叫做平面的垂線，平面叫做直線l的垂面。如圖，直線與平面垂直時(shí),它們唯一公共點(diǎn)P叫做垂足。符號(hào)表示：2、判定定理：一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。符號(hào)表示：注意點(diǎn)： 定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；2.3.2平面與平面垂直的判定1、二面角的概念：表示從空間一直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形 2、二面角的記法：二面角 或3、面面垂直的判定定理：一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直。符號(hào)表示：2.3.3 直線與平面垂直的性質(zhì)1、 性質(zhì)定理：垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行。 符號(hào)表示：2、 性質(zhì)定理：一條直線與一個(gè)平行垂直，那么過這條直線的平面也與此平面垂直符號(hào)表示：2.3.4平面與平面垂直的性質(zhì)1、性質(zhì)定理： 兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直。符號(hào)表示：2、性質(zhì)定理：垂直于同一平面的直線和平面平行。 符號(hào)表示：一、異面直線所成的角1.已知兩條異面直線，經(jīng)過空間任意一點(diǎn)O作直線，我們把與所成的銳角（或直角）叫異面直線所成的角。2.角的取值范圍：；二、直線與平面所成的角1. 定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角，叫這條斜線和這個(gè)平面所成的角2.角的取值范圍：。三、兩個(gè)半平面所成的角即二面角：1、從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角。這條直線叫做二面角的棱，這兩個(gè)半平面叫做二面角的面。 2、二面角的取值范圍： 兩個(gè)平面垂直：直二面角。3.求二面角的平面角的常用方法有：（1）定義法 ：在棱上取一點(diǎn)O，然后在兩個(gè)平面內(nèi)分別作過棱上O點(diǎn)的垂線。（2）垂線法 （3）垂面法 （4）射影面積法第二章 點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系1、如圖，在四面體ABCD中，CBCD，ADBD，點(diǎn)E、F分別是AB、BD的中點(diǎn)求證：(1)直線EF面ACD. (2)平面EFC平面BCD.2.在直三棱柱中， ，點(diǎn)為的中點(diǎn)求異面直線與所成角的余弦值_C_1_B_1_A_1_A_B_C3在四面體ABCD中，ABC與DBC都是邊長(zhǎng)為4的正三角形(1)求證：BCAD；(2)若點(diǎn)D到平面ABC的距離等于3，求二面角ABCD的正弦值；(3)設(shè)二面角ABCD的大小為，猜想 為何值時(shí)，四面體ABCD的體積最大(不要求證明)(第3題)4、如圖，在底面是直角梯形的四棱錐ABCD中，ADBC，ABC90，SA面ABCD，SAABBC，AD(1)