RC、RL及RLC串聯電路幅頻和相頻特性的研究【摘要】本文主要研究RC，RL和RLC串聯電路在不同頻率的信號下的響應，在雙蹤示波器上同時觀察電阻和電感（或電容）上輸出電壓幅度和相位差的變化，定量研究了RLC串聯電路的幅頻特性和相頻特性。同時發現在實際的實驗操作中，電阻，電容以及電感的參數的選擇對本實驗有很大的影響，掌握了幅頻特性和相頻特性的測量方法，使理論知識和實驗內容有機的結合起來。【關鍵詞】串聯電路；RLC電路；相頻特性；幅頻特性1引言RC、RL和RLC串聯電路是大學物理實驗的設計性實驗之一，在交流電路中，幅頻特性和相頻特性是RC、RL和RLC串聯電路的重要性質，并在電子電路中被廣泛應用。本文對實驗方法進行改進，采用幅頻和相頻特性的測量方法，觀察各種參數變化，進一步了解各種參數對幅頻特性和相頻特性的影響。2實驗設計原理在RC，RL ，RLC 串聯電路中， 若加在電路兩端的正弦交流信號保持不變，則當電路中的電流和電壓變化達到穩定狀態時，電流（或者某元件兩端的電壓）與頻率之間的關系特性稱為幅頻特性；電壓、電流之間的位相差與頻率之間的關系特性稱位相頻特性。2.1 RC串聯電路 電路如圖1所示。令表示電源的圓頻率，U，I，,分別表示電源電壓，電路中的電流，電阻R上的電壓和電容C上的有效值。表示電路電流I和電源電壓U間的相位差，則：RC總阻抗為： （1）其中的模為： （2） （3）為U和I之間的相位差，即 （4）根據交流歐姆定律，電阻上的電壓為： （5）電容上的電壓為： （6） 總電壓為： （7）圖2為上述電壓、電流（有效值）的矢量圖，注：此處角度取逆時針方向為正值。從（7）式中解出I，然后分別代入（5）式、（6）式得： (8) (9)2.1.1幅頻特性當0時，0 ，U ；當逐漸增大時，隨著逐漸增大，隨著逐漸減小；當時，U ，0 。利用這樣的幅頻特性，可以將電源中的不同頻率的信號分開，從而構成各種濾波器。幅頻特性曲線如圖3所示。圖3幅頻特性曲線2.1.2相頻特性由圖2和式（3）可知，輸出電壓與輸入電壓U之間的相位差(= )與圓頻率有關。當較小時，；當很大時，0。另外，與是互余角，用相頻特性可組成相移電路2.2.RL串聯電路 電路如圖（4）所示。令表示電源的圓頻率，U，I，,分別表示電源電壓，電路中的電流，電阻R上的電壓和電感L上的有效值。表示電路電流I和電源電壓U間的相位差，則：圖4RL的總阻抗為： （10）其模為： （11）其輻角為： （12） (13) (14) (15)同樣，將（15）中的I帶入（13）和（14）可得到： （16） （17）由上面的公式可得以下RL串聯電路的特性：2.2.1幅頻特性當0時，U ，0 ；當逐漸增大時，隨著逐漸減小，隨著逐漸增大；當時，0 ，U 。圖5其曲線如圖（5）所示。利用此幅頻特性可組成濾波器。圖5 2.2.2相頻特性 圖6 圖7由式（12）和圖7可知：= ，當從0逐漸增大并趨近于時，相應的從0逐漸減小并趨近于。2.3 RLC串聯電路電路如圖8所示，不同于RC和RL電路： (18) (19) 圖8 (20) (21)相位差 （22）由式（21）得出串聯電路的相頻特性結論如下：（1）諧振頻率當=0時，并且=U為極大值。此時的頻率f 記為諧振頻率，電路的這一特殊狀態稱為諧振態，。圖9（2） 當時，即，。電流的相位落后于電源電壓，整個電路呈電感性。隨著的較小，趨于；（3）當時，即，。電流的相位超前于電 源電壓，整個電路呈電容性。隨著的減小，趨于。圖9為RLC串聯電路的幅頻特性曲線：測量相位用雙蹤示波法比較方便。3實驗設計方案3.1幅頻特性測量3.1.1 RC串聯電路圖10 RLC實驗裝置連接儀器（要注意示波器的探測線，函數發生器的信號線與電路的連接，在測量時注意公共地點的選取）；函數發生器輸出信號峰峰值電壓U=1Vpp,調節函數發生器的頻率在f=10K100K之間，實驗中R=1K，C=4700Pf,取10個不同的頻率點，用示波器分別測量電阻和電容的峰峰值電壓和，將數據記錄在表格中。3.1.2 RL串聯電路函數發生器輸出信號峰峰值電壓U=1Vpp,調節函數發生器的頻率在f=1003000之間，實驗中R=40，L=1mH,取10個不同的頻率點，用示波器分別測量電阻和電感的峰峰值電壓和，將數據記錄在表格中。3.2.3 RLC串聯電路函數發生器輸出信號峰峰值電壓U=1Vpp,調節函數發生器的頻率在f=45K100K之間，實驗中R=1K，L=1mH,C=4700pF,取10個不同的頻率點，用示波器分別測量電阻,電感和電容的峰峰值電壓，和，將數據記錄在表格中。注：在圓頻率附近可取5個點，便于畫波形圖。3.2相頻特性測量在進行三個電路波形的測量時，將CH1和CH2的信號設為交流耦合，用光標線讀出和或者和的時間差，若或超前，t記為正值，否則t取負值，再根據公式可求出相位差。對于RLC串聯電路，可同時觀察和電信號電壓的時間差從而求出相位。將每次測量的時間差記錄在表格中。4實驗數據處理及結果分析4.1 RC幅頻、相頻特性曲線的研究4.1.1實驗數據記錄表1 f(KHz)10202528333540507090(V)0.2600.4400.5200.5400.5800.6200.6400.6800.7400.760(V)0.9400.8200.7800.74006800.6200.5600.5400.4400.360T(s)100.0 50.040.035.730.328.625.020.014.311.1t(s)-20.2 -8.1 -5.8 -4.8-3.7-3.3-2.6-1.7-0.8-0.4()-73.55-59.43 -53.56 -50.41 -45.74 -44.05 -40.26 -34.11 -25.82 -20.62 4.1.2 RC幅頻、相頻曲線 4.1.3數據處理與分析從上圖相頻特性曲線中可以看出：當=時，f=40KHz,即此時的為所測量得的信號的圓頻率。=時，理論值，相對不確定度： 百分差：結果表達： 相對不確定度：百分差：從幅頻特性曲線可看出：當逐漸增大時，隨著逐漸增大，隨著逐漸減小；當=時，此時的頻率即為電信號的圓頻率。4.2 RL幅頻、相頻特性曲線的研究4.2.1實驗數據記錄表2 f(Hz)200030005000550060006300640070001000030000(V)0.934 0.882 0.766 0.738 0.708 0.690 0.684 0.652 0.518 0.188 (V)0.320 0.446 0.638 0.674 0.706 0.724 0.728 0.760 0.864 0.996 T(ms)0.50 0.33 0.20 0.18 0.17 0.16 0.16 0.14 0.13 0.13 t()24.4 23.5 21.3 20.8 20.2 19.9 19.7 19.1 16.1 7.4 ()17.55 25.39 38.42 41.12 43.63 45.04 45.50 48.09 58.06 79.64 4.2.2 RL相頻曲線4.2.3數據處理與分析從上圖相頻特性曲線中可以看出：當=時，f=6.2KHz,即此時的為所測量得的電源圓頻率。=時， 理論值， 相對不確定度： 百分差：結果表達： 相對不確定度：百分差：從幅頻特性曲線可看出：當逐漸增大時，隨著逐漸增大，隨著逐漸減小；當=時，此時的頻率即為電信號的圓頻率。4.3 RLC相頻特性曲線的研究 4.3.1實驗數據記錄表3 f(kHz)506065707580859095100(V)1.6401.7401.7801.8201.8401.7601.7801.9001.9201.940(V)1.1000.9800.9000.8800.8400.8000.7600.7400.7200.700(V)0.5000.6600.7400.8200.9001.0001.0801.1801.2601.380T(ms)100.00 50.00 15.38 14.29 13.70 13.33 11.76 11.11 5.00 2.00 t(ms)-20.2 -7.9 -0.2 0.0 0.1 0.1 0.4 0.4 0.8 0.5 ()-72.89 -56.74 -4.08 0.00 2.33 3.83 10.79 13.96 54.60 89.98 4.3.2 RCL串聯電路相頻特性曲線4.3.3數據處理與分析從上圖相頻特性曲線中可以看出：當時，f=70KHz,即此時的為電路的諧振頻率。理論值， 相對不確定度： 百分差：結果表達： 相對不確定度：百分差：5實驗研究總結5.1在觀察波形時，室內的光線不宜過亮，否則屏幕不宜觀察。當信號用AC耦合模式時，由于黑棒內部是連通的，可以不需要用兩個端子，都則一個信號將無法顯示，即被短路。屏幕亮度也不應過高，否則波形線條會很粗，造成讀數不準確。5.2當f過高或過低時，信號都難以測量，不穩定。并且讀數時需注意橫縱坐標的單位標度大小，便于測量相位差，觸發耦合可選CH1，此時讀數比較簡單。5.3在進行RL串聯電路的測量實驗時，導線的接觸性對實驗較重要，當信號幾乎為一條平直的直線時，很可能是由于接觸不良引起的，應及時換線。5.4理論上，L兩端電壓會隨著f的增大而增大，電感值貌似可以任意選取，但實際操作不可行。我第一次采用40uH的電感線圈，由于參數國小，電感兩端所占電壓過小，幾乎看不出來，在示波器上顯示出非常淡且模糊的曲線，只有即mV的強度，無法從屏幕觀察，整個電路呈電阻性。5.5在測幅度時，縱向的單位刻度不宜取過大，否則精度不高，無法看出變化。5.6在進行最后一個電路RLC串聯電路的測量時，第一次采用47uF，10uF的電容效果均不理想，原因可能是由于電容過大。當f不足夠大時，C上所占的電壓非常小，實際不可觀察到理想的曲線，建議改為小電容如4700uF。5.7還有一個測量的問題，即共地，注意兩個端口只能接3根線，且其中一個黑端子注意位置，不要造成短路。綜上所述：不難得出，在RC,RL,RLC串聯電路中，各元件上的電壓幅度及相位隨信號頻率的改變而改變。在RLC串聯電路中，當信號頻率等于電源的圓頻率時，電路達到共振，此時U和I之間的相位差為0。另外，通過實驗發現在實際的操作中，電阻，電容以及電感的參數的選擇對本實驗有很大的影響，不合適的元件參數下實驗現象會出現不穩定，不明顯甚至無法觀察，這是實驗時應當注意的。參考文獻： 1主編 竺江峰，副主編 魯曉東 夏雪琴，大學物理實驗教程M北京：中國水利水電出版社，2011年9月. 2 邱關源，羅先覺.電路第五版.高等教育出版社,2006.5(2010重印).RC, RL And RLC Series Circuit Amplitude Frequency And Phase Frequency Characteristics Of The ResearchAbstract: The paper makes a study of the RC, RL and RLC series circuit in different frequency response under the signal.In the double trace oscilloscope and observe resistance and the inductance (or capacitance) output voltage amplitude and phase change,and it contains the quantitative study of RLC series circuit amplitude frequency characteristics and phase frequency characteristics.At the same time I found that in the actual experimental operation,the resistance,capacitance and inductance of the choice of parameters of this experiment has great effect.Through the experiment,I grasped the amplitude frequ