2 全光譜擬合法測量薄膜光學常數的數學模型2 全光譜擬合法測量薄膜光學常數的數學模型2.1光學薄膜的色散模型我們要求的薄膜光學常數是,也就是折射率消光系數各自與光波波長間的函數關系.這種函數關系不是簡單的對應,對于不同的半導體介質材料相應的制約因素可能就不盡相同了.這種復雜的對應關系歸結里起來主要是由于介質材料的色散模型所決定,常見的色散模型有:cauchy模型f-b模型sellmeier模型等等。2.1.1 cauchy模型對于大多數介質材料，遠離其吸收區，都滿足cauchy模型。其對應的函數關系可由以下方程組得出: (2.1) (2.2)、就是我們進行全局優化所需要求解的常數.在可見光譜范圍內, 非常大,因此對于的整體影響非常小,在精度要求不是特別高的情況下可以忽略不計。根據通常光學薄膜介質的性質,預設這些參數的解集范圍: 、。2.1.2 f-b模型f-b色散模型適用于非晶半導體和絕緣體材料，在f-b色散模型中，消光系數k是復合折射率的虛部（），它與光子能量e之間滿足： (2.3)根據kramers-krong關系，可以推得實部折射率滿足： (2.4)其中，,不是獨立的參數，它由決定： (2.5) (2.6) (2.7)代表光子能量在無窮大時的折射率；等于導帶與價帶中心距離的兩倍，與通過躍遷時激子壽命聯系起來；代表吸收最小的光子能量，稱為f-b帶隙，需要特別指出的是它不等于材料的光學帶寬，一般小于光學帶寬；是色散公式取的項數，對于無定型薄膜，而對于多晶薄膜。因此，,薄膜的光學常數可以由參數等決定，待擬合參數就為這五項。另外，因為，我們就可以建立起折射率、消光系數和波長之間的關系，所有程序函數的待定數據和自變量都已明確。備注：在f-b色散模型的參數中，一些物理限制條件必須被滿足：(1)所有的參數必須大于0；(2)f-b帶隙，并且和薄膜的材料的禁帶寬度接近；(3)為了保證有意義, 。2.1.3 sellmeier 模型sellmeier方程是描述媒質色散的重要公式之一。cauchy色散模型只能描述介質正常色散規律。1871年sellmeier根據洛倫茲的電子論推出介質色散的一般關系式，修正sellmeier方程的表達式如下： (2.8)式中，表示折射率，是入射光波長，是與吸收能帶有關的常數，為介質的吸收波長。sellmeier色散公式既能描述在介質的吸收區域內呈現的反常色散現象，它與cauchy色散模型相似，能在遠離吸收區域推出cauchy色散公式。sellmeier 模型適用于無吸收的透明介質，即：。由于對于大多數介質材料來說,遠離其吸收區,都滿足cauchy模型對應的函數關系，因此本課題中以cauchy模型為例建立數學模型。2.2全光譜擬合法測量薄膜光學常數的數學模型光譜擬合的過程其實就是將假設或者通過一步一步優化所得到的光學常數和薄膜厚度d值代入評價函數計算公式,并計算評價函數的逐漸優化的過程。首先考慮折射率為的介質垂直入射到拋光的折射率為的材料表面上，如下圖2.1所示，部分光將被反射掉，部分光將入射到材料內部。本文主要對單層薄膜的情況進行了分析。對于單層膜的情況，其結構由空氣薄膜基底系統三種介質組成，如 圖2.1所示。 基 底 薄 膜 環境介質圖2.1單層膜介質系統設單層膜正入射(即,)為例進行推導： （2.9） （2.10） （2.11）將式（2.9）、（2.10）、（2.11）代入透射率公式如下： (其中,) 其中 、 （令 則：）代入上式： 令則：經一系列化簡得： (2.12)本課題中以最小均方差函數作為目標優化函數，即： (2.13)有了目標優化函數計算式，我們根據已知的客觀條件或基本常識設定各個擬合常數的上下限，在這個區域內產生一組待測常數的解代入計算式得出相應的目標優化函數，然后