數字信號的最佳接收,一、引言 二、數字信號接收的統計表達式 三、最佳接收的準則 二、匹配濾波器 三、用匹配濾波器構成的最佳接收機 四、最佳接收機與實際接收機誤碼性能比較,1 引言,通信系統中信道特性不理想及信道噪聲的存在，直接影響接收系統的性能， 而一個通信系統的質量優劣在很大程度上取決于接收系統的性能。,研究從噪聲中如何最好地提取有用信號，且在某個準則下構成最佳接收機，使接收性能達到最佳，這就是最佳接收理論。,研究對象,接收問題,研究的問題,最佳接收或信號接收最佳化的問題,從數字信號接收統計模型出發，依據某種最佳接收準則，推導出相應的最佳接收機結構，然后再分析其性能。,前面分析的問題是,給出接收機模型然后分析其性能,現在討論的問題是,2 數字信號接收的統計表述,帶噪聲的數字信號的接收，實質上是一個統計接收問題， 也可以說數字信號接收過程是一個統計判決過程。從統計學的觀點來看，數字信號接收可以用一個統計模型來表述.,消息空間、信號空間、噪聲空間、觀察空間及判決空間分別 代表消息、信號、噪聲、接收波形及判決的所有可能狀態的 集合,在數字通信系統中， 消息是離散的狀態， 設消息的狀態集合為 X=x1, x2, , xm 若消息集合中每一狀態的發送是統計獨立的， 第i個狀態xi的出現概率為P(xi)， 則消息X的一維概率分布為 X1 x2 xm P(x1) P(x2) P(xm) 根據概率的性質有,若消息各狀態x1, x2, , xm出現的概率相等，則有,消息是各種物理量， 本身不能直接在數字通信系統中進行傳輸 需要將消息變換為相應的電信號s(t)，用參數S來表示。,因此,將消息變換為信號可以有各種不同的變換關系，通常最直接的方法是建立消息與信號之間一一對應的關系，即消息xi與信號si(i=1, 2， ， m)相對應。 這樣，信號集合S也由m個狀態所組成 即,S=s1, s2, , sm,并且信號集合各狀態出現概率與消息集合各狀態出現概率相等，即,. . .,同時也有,若消息各狀態出現的概率相等， 則有,P(si)是描述信號發送概率的參數 通常稱為先驗概率， 它是信號統計檢測的第一數據,信道特性是加性高斯噪聲信道，噪聲空間n是加性高斯噪聲。 在前面各章分析系統抗噪聲性能時，用噪聲的一維概率密度函數來描述噪聲的統計特性, 在本章最佳接收中，為了更全面地描述噪聲的統計特性，采用噪聲的多維聯合概率密度函數。,噪聲n的k維聯合概率密度函數為,n1, n2, , nk為噪聲n在各時刻的可能取值,若噪聲是高斯白噪聲， 則它在任意兩個時刻上得到的樣值都是互不相關的，同時也是統計獨立的；,注意,若噪聲是帶限高斯型的，按抽樣定理對其抽樣，則它在抽樣時刻上的樣值也是互不相關的， 同時也是統計獨立的,根據隨機信號分析，若隨機信號各樣值是統計獨立的，則其k維聯合概率密度函數等于其k個一維概率密度函數的乘積，即,f(ni)是噪聲n在ti時刻的取值ni的一維概率密度函數,若ni的均值為零，方差為2n，則其一維概率密度函數為,噪聲n的k維聯合概率密度函數為,是噪聲的方差，即功率,信號通過信道疊加噪聲后到達觀察空間， 觀察空間的觀察波形為,由于n(t)是均值為零， 方差為2n的高斯過程，則當出現信號si(t)時, y(t)的概率密度函數fsi(y)可表示為,fsi(y)稱為似然函數，它是信號統計檢測的第二數據,根據y(t)的統計特性，按照某種準則，即可對y(t)作出判決， 判決空間中可能出現的狀態r1, r2, , rm與信號空間中的各狀態s1, s2, , sm相對應。,3 關于最佳接收的準則,在數字通信系統中，最直觀且最合理的準則是 “最小差錯概率”準則,在通信中，由于噪聲和畸變的作用，使接收發生錯誤，我們總期望錯誤接收的概率越小越好,原因,由于在傳輸過程中，信號會受到畸變和噪聲的 干擾，發送信號si(t)時不一定能判為ri出現，而是 判決空間的所有狀態都可能出現。,以二進制數字通信系統為例分析其原理,問題,二進制數字通信系統，在噪聲背景下按何種方法接收信號才能獲得最小錯誤概率？,思路,先找出每一次判決總的平均錯誤概率,然后用求極值的方法，使 滿足,找到最佳劃分點，可得似然比準則為,當 時，得到的最大似然準則為,對于多進制情形，假定先驗等概，最大似然準則可表示為,數字信號最佳接收的概念：能使誤碼率最小的接收方式稱為最佳接收，相應的接收機稱為最佳接收機。,理論和實踐都已證明：在白噪聲干擾下，如果線性濾波器的輸出端在某一時刻上使信號的瞬時功率與白噪聲平均功率之比值達到最大，就可以使判決電路出現錯誤判決的概率最小。這樣的線性濾波器稱為匹配濾波器。所以匹配濾波器是最大輸出信噪聲比意義下的最佳線性濾波器。用匹配濾波器構成的接收機是滿足最大輸出信噪比準則的最佳接收機，也稱為匹配濾波器接收機。,4 匹配濾波器,匹配濾波器是指在白噪聲為背景的條件下，輸出信噪比最大的最佳線性濾波器。,（一） 匹配濾波器的傳輸特性,設匹配濾波器的輸入信號：,根據線性疊加原理，匹配濾波器的輸出信號：,求付氏反變換可得到輸出信號,輸出噪聲的功率譜密度為,t0時刻的輸出信號值為,t0時刻輸出信號的瞬時功率為：,輸出噪聲的平均功率為：,在時刻t0上匹配濾波器輸出信號瞬時功率與噪聲平均功率的比值為：,為上式的最大值，需要使用許瓦茲不等式：,根據許瓦茲不等式等號成立的條件可知，瞬時信噪比,達最大值,的條件是,（二）匹配濾波器的沖激響應,根據傳輸特性,與沖激響應,是一對付氏變換，,匹配濾波器的沖激響應為：,1,t,2,t,t,（a),),(,t,s,1,t,-,2,t,-,t,（b),),(,t,s,-,t,（c),),(,0,t,t,s,-,2,0,t,t,t,2,0,t,t,=,（d),t,2,0,t,t,),(,0,t,t,s,-,),(,0,t,t,s,-,（e),圖9.2.2 匹配濾波器的沖激響應,（三）匹配濾波器的輸出波形,匹配濾波器的輸出等于輸入信號與沖激響應的卷積：,根據自相關函數是偶函數的特性：,從這個意義上來說，匹配濾波器可以看成一個計算輸入信號自相關函數的相關器。,匹配濾波器的輸出信號,在,時達到最大值：,輸入信號進行處理，從而在,時刻形成輸出信號的峰值。,這個結果再次說明，在,時刻之前，匹配濾波器對,例1已知信號,匹配濾波器的傳輸函數和匹配濾波器的輸出信號波形。,如下圖(a)所示，求與之匹配的,解:,其它,輸出信號：,的自相關函數為,所以,匹配濾波器輸出波形的波形圖如圖(d)所示。,（四）匹配濾波器小結,1匹配濾波器的傳輸函數,因此信號不同，對應的匹配濾波器也不同。也就是說，對某個信號匹配的濾波器，對其它信號就不是匹配濾波器了。,2匹配濾波器傳輸函數與信號頻譜有關，而信號頻譜的幅頻特性通常不為常數，也就是說匹配濾波器的幅度特性通常是不理想的，所以信號通過匹配濾波器會產生嚴重的波形失真。,3匹配濾波器只能用于接收數字信號。對數字信號的傳輸而言，我們關心的是取樣判決是否正確，不大關心波形是否失真，而匹配濾波器輸出能獲取最大信噪比，它有利于取樣判決，減小誤碼率，所以匹配濾波器適合于接收數字信號。因為匹配濾波器會使傳輸波形產生嚴重的失真，所以它不能用于模擬信號的接收。,說明最大輸出信噪比僅與信號的能量及白噪聲的功率譜密度有關，與信號的波形無關。但相同能量不同波形的信號，其匹配濾波器的傳輸函數是不同的。,4匹配濾波器輸出端的最大瞬時信噪比,表9-2-1 匹配濾波器有關公式,（一）最佳接收機結構,二元數字信號的最佳接收機框圖,5 用匹配濾波器構成的最佳接收機,當接收信號為,時，上支路匹配濾波器的輸出為,時對輸出進行取樣，取樣值達最大：,當接收信號為,時，下支路匹配濾波器的輸出為,時對輸出進行取樣，取樣值達最大，為,多元數字信號的最佳接收機框圖,（二）二元數字信號最佳接收機的誤碼率,接收機發生錯判的可能性大小用誤碼率來衡量。,判決器的任務就是比較上下兩支路積分值的大小并作出判決。判決規則如下：,（2）如果下支路的積分值大，判為,（1）如果上支路積分值大，判為,由于噪聲的影響，判決器會發生錯誤判決，有兩種錯判情況：,根據全概公式，最佳接收機的平均誤碼率為:,上支路送給判決器的積分值為,下支路送給判決器的積分值為,令判決量V為上支路積分值減去下支路的積分值，即,求V的概率密度函數： （1）V是一個高斯隨機變量。 （2）V的均值為,上式中,是信號,的能量，,(3) V的方差,所以高斯隨機變量V的概率密度函數為,V0的概率為：,求發s2(t)錯判成s1(t)的概率,上支路送給判決器的積分值為,發s2(t)時，接收機輸入信號為,下支路送給判決器的積分值為,令判決量V為下支路積分值減去上支路的積分值，即,求V的概率密度函數可從以下三個方面考慮：,（1）V是一個高斯隨機變量。 （2）V的均值為,(3) V的方差,所以高斯隨機變量V的概率密度函數為,V0的概率為:,得最佳接收機的誤碼率:,(三)各類系統最佳接收機誤碼率,在基帶系統中，已討論了單極性基帶系統、雙極性基帶系統的誤碼率。在調制技術這一章中，我們也介紹了2ASK、2FSK、2PSK、2DPSK各種解調方法的誤碼率。那么，如果用圖9.3.2所示的最佳系統來接收它們，誤碼率會是多少呢？下面我們討論這個問題。,單極性信號,代入公式得單極性信號最佳接收機的誤碼率為：,1.單極性基帶信號,雙極性信號的,雙極性信號最佳接收機的誤碼率為,2.雙極性基帶信號,前提條件：”1”、”0”等概，”1”碼能量為E1 ，”0”碼能量為E2。,2ASK信號最佳接收機的誤碼率為,3.2ASK信號,2ASK信號可表示為,前提條件：”1”、”0”等概，”1”碼能量為E1 ，”0”碼能量為0,n,m為正整數時。,此時，,2FSK信號最佳接收機誤碼率為,4.2FSK信號,2FSK信號可表示為,前提條件：”1”、”0”等概，”1”碼能量為E1 ，”0”碼能量為E2。,5.2PSK信號,2PSK可表示為,2PSK信號最佳接收機誤碼率為,前提條件：”1”、”0”等概，”1”碼能量為E1 ，”0”碼能