第四節 數列求和,基礎梳理,數列求和的常用方法 （1）公式法 直接用等差、等比數列的求和公式. 掌握一些常見數列的前n項和公式. (2)倒序相加法 如果一個數列an，與首末兩端等“距離”的兩項的和相等或等于同一常數，那么求這個數列的前n項和就可用倒序相加法，如 等差 數列的前n項和就是用此法推導的.,（3）錯位相減法 如果一個數列的各項是由一個等差數列和一個等比數列的對應項之積構成的，那么這個數列的前n項和即可用此法來求，如 等比 數列的前n項和就是用此法推導的.,（4）裂項相消法 把數列的通項拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可以相互抵消，從而求得其和.常見的拆項公式有： ,(5)分組求和法 有一類數列，既不是等差數列，也不是等比數列，若將這類數列適當拆開，可分為幾個等差，等比或常見的數列，即先分別求和，然后再合并，形如： an+bn,其中an是等差數列，bn是等比數列； ,典例分析,題型一 利用錯位相減法求和 【例1】(2008全國) 在數列an中，a1=1,an+1=2an+2n. (1)設 ,證明:數列bn是等差數列； (2)求數列an的前n項和sn. 分析 (1)求bn+1，觀察bn與bn+1的關系. （2）由an=n2n-1的特點可知，運用錯位相減法求和sn. 解（1）證明： 由已知an+1=2an+2n,得 又b1=a1=1,因此bn是首項為1，公差為1的等差數列.,（2）由(1)知 sn=1+221+322+n2n-1, 兩邊乘以2,得2sn=2+222+n2n, 兩式相減,得sn=-1-21-22-2n-1+n2n =-(2n-1)+n2n=(n-1)2n+1. 學后反思 (1)一般地，如果數列an是等差數列，bn是等比數列，求數列anbn的前n項和時，可采用錯位相減法.,（2）用錯位相減法求和時，應注意： 要善于識別題目類型，特別是等比數列公比為負數的情形更值得注意；,在寫出“sn”與“qsn”的表達式時應特別注意將兩式“錯項對齊”， 以便于下一步準確寫出“sn-qsn”的表達式;,應用等比數列求和公式時必須注意公比q1這一前提條件，如果不能確定公比q是否為1,應分兩種情況討論，這在以前高考中經常考查.,舉一反三 1. (2010廣州綜測)已知數列 中， 且 (n2且nn*). (1)若數列 為等差數列，求實數的值； （2）求數列 的前n項和,解析: （1）方法一： , , 設 ,由 為等差數列， 則有,綜上可知，當=-1時，數列 為首項是2，公差是1的等差數列. （2）由(1)知， 即 令 , 則 , -，得 ,題型二 利用裂項相消法求和 【例2】 (2008江西)等差數列an的各項均為正數,a1=3,前n項和為sn,bn為等比數列,b1=1,且b2s2=64,b3s3=960. (1)求an與bn; (2)求,分析 易求得sn=n(n+2),而 ,應用裂項法就能求出 的值.,(2)sn=3+5+(2n+1)=n(n+2),所以,解 （1）設an的公差為d,bn的公比為q,則d為正數， an=3+(n-1)d,bn=qn-1, 依題意有 故an=3+2(n-1)=2n+1,bn=8n-1.,學后反思 如果數列的通項公式可轉化為f(n+1)-f(n)的形式，常采用裂項 求和的方法.特別地，當數列形如 ，其中an是等差數列時，可嘗試采用此法. 常用裂項技巧如：,使用裂項法，要注意正負項相消時，消去了哪些項，保留了哪些項；要注意由于數列an中每一項an均裂成一正一負兩項，所以互為相反數的項合并為零后，所剩正數項與負數項的項數必是一樣多的，切不可漏寫未被消去的項，未被消去的項有前后對稱的特點.實質上，正負項相消是此法的根源和目的.,舉一反三 2. 求數列,的前n項和sn.,解析：,題型三 倒序相加法求和 【例3】 設函數 圖象上有兩點p1(x1,y1),p2(x2,y2)，若p為p1p2的中點，且p點的橫坐標為 (1)求證：p點的縱坐標為定值，并求出這個值； （2）求,分析 （1）由已知函數圖象上兩點p1,p2,可得 設p(x,y),根據中點坐標公式去求 (2)根據（1）的結論：若x1+x2=1,則由f(x1)+f(x2)=1.可以得到 ，利用倒序相加法進行求解. 解 (1)p為p1p2的中點，x1+x2=1, 又,(2)由x1+x2=1,得,學后反思 本題在求和時，運用了第（1）問所得等式f(x)+f(1-x)=1得到通項的特征，即 ，由于距首末兩項等距的兩項相加的和為定值，所以可以用倒序相加法求和.,舉一反三 3. 如果函數f(x)滿足:對任意的實數m、n都有f(m)+f(n)=f(m+n)且f(1 005)=2,求f(2)+f(4)+f(6)+f(2 008)的值.,解析： 由f(x)對任意實數m、n都有f(m)+f(n)=f(m+n)，得 f(1 005)+f(1 005)=f(2 010)=2+2=4; f(2)+f(2 008)=f(2 010)=4; f(1 004)+f(1 006)=4. 令s=f(2)+f(4)+f(6)+f(2 008), 則s=f(2 008)+f(2 006)+f(2), 于是2s=f(2)+f(2 008)+f(4)+f(2 006)+f(2 008)+f(2)= 41 004=4 016,故s= 4 016=2 008.,題型四 分組法求和 【例4】(14分)(2008陜西)已知數列an的首項 (1)證明：數列 是等比數列； (2)求數列 的前n項和sn. 分析 (1)由已知條件利用等比數列的定義證明，即根據 ，從中得到 的等式關系. （2）充分利用（1）的結論得出 欲求數列 的前n項和sn, 可先求出 的值.,解 (1)證明：,學后反思 某些數列，通過適當分組，可得出兩個或幾個等差數列或等比數列，進而利用等差數列或等比數列的求和公式求和，從而得出原數列的和.拆項法是通過對數列通項結構的分析研究，將數列分解轉化為若干個能求和的新數列的差，從而求得原數列的和的一種求和方法.,4. 求和:,解析： 當x1時， 當x=1時， =4n.,易錯警示,【例1】 求和,錯解 ,錯解分析 錯解中在計算 時，沒注意到項數是n+1項，而不是n項，從而導致解題錯誤.,正解 ,【例2】在等差數列 中， 是數列 的前n項和. 若 , ,求,錯解 由 由 ，得n5.5. 設 ,錯解分析 忽略對n的討論，由于n的不同，數列 并不是等差數列，當n5時, ,當n6時，,正解 由 由 ,得n5.5. 設 當n5時， 當n5時，,考點演練,已知數列 的前n項和 ,求 的值.,解析: 當n2時， 當n=1時， 故 (nn*), 原式=,11. 已知數列 的前n項和 (1)求證：數列 是等差數列； （2）若 ,求數列 的前n項和,解析： (1)證明： 當n2時， 又因為 適合上式,故 (nn*). 當n2時, 所以 是等差數列且d=4,(2) , , -得 ,12. (2009湖北)已知 是一個公差大于0的等差數列，且滿足 , (1)求數列 的通項公式； （2）若數列 和數列 滿足等式: (n為正整數)，求數列 的前n項和,解析： (1)設等差數列 的公差為d,則依題設d0, 由 ,得 . 由 ,得 . 由得 ,將其代入得 ,即 , 又d0,d=2,代入得 (2)令 ,則有 , 由(1)得 , ,則 (n2),即當n2時， 又當n=1時， , ,n=1, ,n2.,于是 即,第三節 等比數列,基礎梳理,1. 等比數列的定義 一般地，如果一個數列 從第2項起，每一項與它的前一項的比都等于同一個常數，那么這個數列叫做等比數列，這個常數叫做等比數列的 公比，通常用字母q表示. 2. 等比數列的通項公式 一般地，對于等比數列an的第n項an,有公式an= a1qn-1 ,這就是等比數列an的通項公式，其中a1為首項，q為公比. 3. 等比中項 如果 a,g,b成等比數列 ，那么g叫做a與b的 等比中項.,4. 等比數列的常用性質 (1)通項公式的推廣：an=am qn-m (n,mn*). (2)若an為等比數列，且k+l=m+n(k、l、m、nn*),則 akal= aman. (3)若an,bn（項數相同）是等比數列，則 (bn0)仍是等比數列.,5. 等比數列的前n項和公式 等比數列an的公比為q(q0),其前n項和為sn，當q=1時，sn=na1;當q1時，sn= a1+a1q+a1qn-1，即,6. 等比數列前n項和的性質 等比數列an的前n項和為sn,則sn,s2n-sn,s3n-s2n仍成等比數列.,題型一 等比數列的基本運算 【例1】設等比數列an的公比為q(q0)，它的前n項和為40,前2n項和為3 280,且前n項中數值最大項為27,求數列的第2n項. 分析 利用前n項和公式列出關于a1與q的方程組，求出a1與q即可，但是需注意的是應分q=1和q1兩種情況討論. 解 若q=1，則na1=40,2na1=3 280，矛盾.,得1+qn=82,qn=81. 將代入，得q=1+2a1. 又q0,qn=81,q1,an為遞增數列. an=a1qn-1=27. 由、得q=3,a1=1,n=4. a2n=a8=137=2 187. 學后反思 在等比數列求基本量的運算中“知三求二”問題通常是利用通項公式與前n項和公式建立方程(組)，解之即可，同時利用前n項和公式時需對q進行討論.,解析: a9+a10=a, a9(1+q)=a, 又a19+a20=b,a19(1+q)=b, 由 得 則a99(1+q)=x, 由 得 答案:,舉一反三 1.(2009濰坊模擬)在等比數列 中, (a0), 則 =_.,題型二 等比數列的判定 【例2】已知數列an滿足a1=1,an+1=2an+1(nn*). (1)求證：數列an+1是等比數列; (2)求通項公式an. 分析 利用等比數列的定義證明 為非零常數即可. 解 (1)an+1=2an+1,an+1+1=2(an+1) an+1是以a1+1=2為首項，2為公比的等比數列. (2)由（1）知an+1=22n-1=2n,an=2n-1.,學后反思 等比數列的判定方法主要有： (1)定義法: (q是不為0的常數，nn*)； (2)通項公式法：an=cqn(c,q均是不為0的常數，nn*); (3)中項公式法：a2n+1=anan+2(anan+1an+2不為零，nn*); (4)前n項和公式法： 是常數，且q0,q1).,舉一反三 2. (2010合肥質檢)已知數列 的前n項和為 ,數列 是公比為2的等比數列.求證：數列 成等比數列的充要條件是,證明：數列 是公比為2的等比數列, 即 ,n=1, n=1 ,n2, n2 顯然，當n2時， 充分性:當 時， ,所以對nn*,都有 ,即數列 是等比數列. 必要性:因為 是等比數列，所以 ,即 ,解得,題型三 等比數列的性質 【例3】 (1)在等比數列an中，a1+a2=324,a3+a4=36,求a5+a6的值； (2)已知一個等比數列的前四項之積為 ,第2、3項的和為 ,求這個等比數列的公比.,分析 (1)利用等比數列的性質求解. （2）注意4個數成等比數列的設法. 解 （1）由等比數列的性質,知a1+a2,a3+a4,a5+a6也成等比數列，則(a3+a4)2=(a1+a2)(a5+a6),a5+a6=4.,(2)依題意，設這四個數為a,aq,aq2,aq3, 則 學后反思 在等比數列的基本運算問題中，一般是建立a1、q滿足的方程組，求解方程組，但如果可利用等比數列的性質，便可減少運算量，提高解題速度，要注意挖掘已知，注意“隱含條件”.,舉一反三 3. (1)在等比數列an中，s4=1,s8=3,求a17+a18+a19+a20的值. (2)在等比數列an中，已知a3a4a5=8,求a2a3a4a5a6的值.,解析： （1）s4,s8-s4,s12-s8,s16-s12,s20-s16成等比數列，而s4=1，s8-s4=2， a17+a18+a19+a20=s424=124=16. （）a3a5=a24, a3a4a5=a34=8, a4=2. 又a2a6=a3a5=a24, a2a3a4a5a6 =32,題型四 等比數列的最值問題 【例4】(14分)等比數列an的首項為a1=2 008，公比. (1)設f(n)表示該數列的前n項的積，求f(n)的表達式; (2)當n取何值時，f(n)有最大值？,分析 （1）求出等比數列的通項公式an，然后根據f(n)=a1a2a3an求f(n)的表達式. （2）先判斷f(n)的符號，然后根據|f(n)|的單調性，進一步解決問題.,解,當n=12時，f(n)有最大值為 學后反思 只要明確a1的正負，q與1的大小關系即可確定等比數列的前n項和,但是對于求等比數列前n項和的最值問題的方法有:一是用定義，若f(n)f(n+1),f(n)f(n-1)，則f(n)為最大值；二是用函數法.,舉一反三 4. （2009濰坊模擬）已知等比數列bn與數列an滿足bn= （nn*）. (1)判斷an是何種數列，并給出證明； (2)若a8+a13=m,求b1b2b20; (3)若b3b5=39,a4+a6=3,求b1b2bn的最大或最小值. 解析: (1)證明:設bn的公比為q, bn=3an, 3a1qn-1=3an.an=a1+(n-1)log3q, an是以a1為首項，log3q為公差的等差數列.,（2）a8+a13=m, 由等差數列的性質，得a1+a20=a8+a13=m. (3)由b3b5=39,得a3+a5=9.,易錯警示,【例1】(2010臨沂質檢)已知數列 中， ,前n項的和為 ,對任意的自然數n2， 是 與 的等差中項. （1）求 的通項公式; (2)求,錯解(1)由已知得 , 又 ,得 , 兩式相減得 ,故 , 又 ,故 (2)由于 是首項為1，公比為 的等比數列， 故,錯解分析 錯解(1)主要忽視了 成立的前提n2,只能說明數列從第2項起為等比數列，至于整個數列 an是否為等比數列還需驗證 是否等于 ，這種在解答過程中忽視數列“定義域”限制而致錯的題目頻率是非常高的，應引起足夠的重