2024年上海市高考數(shù)學(xué)試卷2024.06一、填空題（本大題共有12題，滿分54分.其中第1-6題每題4分，第7-12題每題滿分5分)考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號(hào)的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果.1.設(shè)全集，集合，則______．2.已知?jiǎng)t______．3.已知?jiǎng)t不等式的解集為_(kāi)_____．4.已知，，且是奇函數(shù)，則______．5.已知，且，則的值為_(kāi)_____．6.在的二項(xiàng)展開(kāi)式中，若各項(xiàng)系數(shù)和為32，則項(xiàng)的系數(shù)為_(kāi)_____．7.已知拋物線上有一點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為9，那么點(diǎn)到軸的距離為_(kāi)_____．8.某校舉辦科學(xué)競(jìng)技比賽，有3種題庫(kù)，題庫(kù)有5000道題，題庫(kù)有4000道題，題庫(kù)有3000道題．小申已完成所有題，他題庫(kù)的正確率是0.92，題庫(kù)的正確率是0.86，題庫(kù)的正確率是0.72．現(xiàn)他從所有的題中隨機(jī)選一題，正確率是______．9.已知虛數(shù)，其實(shí)部1，且，則實(shí)數(shù)為_(kāi)_____．10.設(shè)集合中的元素皆為無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位正整數(shù)，且元素中任意兩者之積皆為偶數(shù)，求集合中元素個(gè)數(shù)的最大值______．11.已知點(diǎn)B在點(diǎn)C正北方向，點(diǎn)D在點(diǎn)C的正東方向，,存在點(diǎn)A滿足，則______(精確到0.1度)12.無(wú)窮等比數(shù)列滿足首項(xiàng)，記，若對(duì)任意正整數(shù)集合是閉區(qū)間，則的取值范圍是______．二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，其中第13-14題每題滿分4分，第15-16題每題滿分5分)每題有且只有一個(gè)正確答案，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)編號(hào)上，將代表答案的小方格涂黑，選對(duì)得滿分，否則一律得零分.13.已知?dú)夂驕囟群秃Ｋ韺訙囟认嚓P(guān)，且相關(guān)系數(shù)為正數(shù)，對(duì)此描述正確的是（）A.氣候溫度高，海水表層溫度就高B.氣候溫度高，海水表層溫度就低C.隨著氣候溫度由低到高，海水表層溫度呈上升趨勢(shì)D.隨著氣候溫度由低到高，海水表層溫度呈下降趨勢(shì)14.下列函數(shù)的最小正周期是的是（）A. B.C. D.15.定義一個(gè)集合，集合中的元素是空間內(nèi)的點(diǎn)集，任取，存在不全為0的實(shí)數(shù)，使得．已知，則的充分條件是（）A. B.C. D.16.已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，定義集合，在使得的所有中，下列成立的是（）A.存在是偶函數(shù) B.存在在處取最大值C.存在是嚴(yán)格增函數(shù) D.存在在處取到極小值三、解答題（本大題共有5題，滿分78分）解下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號(hào)的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟17.如圖為正四棱錐為底面的中心．（1）若，求繞旋轉(zhuǎn)一周形成幾何體的體積；（2）若為的中點(diǎn)，求直線與平面所成角的大小．18.若．（1）過(guò)，求解集；（2）存在使得成等差數(shù)列，求的取值范圍．19.為了解某地初中學(xué)生體育鍛煉時(shí)長(zhǎng)與學(xué)業(yè)成績(jī)的關(guān)系，從該地區(qū)29000名學(xué)生中抽取580人，得到日均體育鍛煉時(shí)長(zhǎng)與學(xué)業(yè)成績(jī)的數(shù)據(jù)如下表所示：時(shí)間范圍學(xué)業(yè)成績(jī)優(yōu)秀5444231不優(yōu)秀1341471374027（1）該地區(qū)29000名學(xué)生中體育鍛煉時(shí)長(zhǎng)不少于1小時(shí)人數(shù)約為多少？（2）估計(jì)該地區(qū)初中學(xué)生日均體育鍛煉的時(shí)長(zhǎng)（精確到0.1）（3）是否有的把握認(rèn)為學(xué)業(yè)成績(jī)優(yōu)秀與日均體育鍛煉時(shí)長(zhǎng)不小于1小時(shí)且小于2小時(shí)有關(guān)？（附：其中，．）20.已知雙曲線左右頂點(diǎn)分別為，過(guò)點(diǎn)的直線交雙曲線于兩點(diǎn).（1）若離心率時(shí)，求的值．（2）若為等腰三角形時(shí)，且點(diǎn)在第一象限，求點(diǎn)的坐標(biāo)．（3）連接并延長(zhǎng)，交雙曲線于點(diǎn)，若，求取值范圍．21.對(duì)于一個(gè)函數(shù)和一個(gè)點(diǎn)，令，若是取到最小值的點(diǎn)，則稱是在的“最近點(diǎn)”．（1）對(duì)于，求證：對(duì)于點(diǎn)，存在點(diǎn)，使得點(diǎn)是在的“最近點(diǎn)”；（2）對(duì)于，請(qǐng)判斷是否存在一個(gè)點(diǎn)，它是在“最近點(diǎn)”，且直線與在點(diǎn)處的切線垂直；（3）已知在定義域R上存在導(dǎo)函數(shù)，且函數(shù)在定義域R上恒正，設(shè)點(diǎn)，．若對(duì)任意的，存在點(diǎn)同時(shí)是在的“最近點(diǎn)”，試判斷的單調(diào)性．2024年上海市高考數(shù)學(xué)試卷2024.06一、填空題（本大題共有12題，滿分54分.其中第1-6題每題4分，第7-12題每題滿分5分)考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號(hào)的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果.1.設(shè)全集，集合，則______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)補(bǔ)集的定義可求.【詳解】由題設(shè)有，故答案為：2.已知?jiǎng)t______．【答案】【解析】【分析】利用分段函數(shù)的形式可求.【詳解】因故，故答案為：.3.已知?jiǎng)t不等式的解集為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】求出方程的解后可求不等式的解集.【詳解】方程的解為或，故不等式的解集為，故答案為：.4.已知，，且是奇函數(shù)，則______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)可求參數(shù).【詳解】因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，故即，故，故答案為：.5.已知，且，則的值為_(kāi)_____．【答案】15【解析】【分析】根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示得到方程，解出即可.【詳解】，，解得．故答案為：15．6.在的二項(xiàng)展開(kāi)式中，若各項(xiàng)系數(shù)和為32，則項(xiàng)的系數(shù)為_(kāi)_____．【答案】10【解析】【分析】令，解出，再利用二項(xiàng)式的展開(kāi)式的通項(xiàng)合理賦值即可.【詳解】令，，即，解得，所以的展開(kāi)式通項(xiàng)公式為，令，則，．故答案為：10．7.已知拋物線上有一點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為9，那么點(diǎn)到軸的距離為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】根據(jù)拋物線的定義知，將其再代入拋物線方程即可.【詳解】由知拋物線的準(zhǔn)線方程為，設(shè)點(diǎn)，由題意得，解得，代入拋物線方程，得，解得，則點(diǎn)到軸的距離為．故答案為：．8.某校舉辦科學(xué)競(jìng)技比賽，有3種題庫(kù)，題庫(kù)有5000道題，題庫(kù)有4000道題，題庫(kù)有3000道題．小申已完成所有題，他題庫(kù)的正確率是0.92，題庫(kù)的正確率是0.86，題庫(kù)的正確率是0.72．現(xiàn)他從所有的題中隨機(jī)選一題，正確率是______．【答案】0.85【解析】【分析】求出各題庫(kù)所占比，根據(jù)全概率公式即可得到答案.【詳解】由題意知，題庫(kù)的比例為：，各占比分別為，則根據(jù)全概率公式知所求正確率．故答案為：0.85．9.已知虛數(shù)，其實(shí)部為1，且，則實(shí)數(shù)為_(kāi)_____．【答案】2【解析】【分析】設(shè)，直接根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，再根據(jù)復(fù)數(shù)分類即可得到答案.【詳解】設(shè)，且.則，，，解得，故答案為：2.10.設(shè)集合中的元素皆為無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位正整數(shù)，且元素中任意兩者之積皆為偶數(shù)，求集合中元素個(gè)數(shù)的最大值______．【答案】329【解析】【分析】三位數(shù)中的偶數(shù)分個(gè)位是0和個(gè)位不是0討論即可.【詳解】由題意知集合中且至多只有一個(gè)奇數(shù)，其余均是偶數(shù)．首先討論三位數(shù)中的偶數(shù)，①當(dāng)個(gè)位為0時(shí)，則百位和十位在剩余的9個(gè)數(shù)字中選擇兩個(gè)進(jìn)行排列，則這樣的偶數(shù)有個(gè)；②當(dāng)個(gè)位不為0時(shí)，則個(gè)位有個(gè)數(shù)字可選，百位有個(gè)數(shù)字可選，十位有個(gè)數(shù)字可選，根據(jù)分步乘法這樣的偶數(shù)共有，最后再加上單獨(dú)的奇數(shù)，所以集合中元素個(gè)數(shù)的最大值為個(gè)．故答案為：329．11.已知點(diǎn)B在點(diǎn)C正北方向，點(diǎn)D在點(diǎn)C的正東方向，,存在點(diǎn)A滿足，則______(精確到0.1度)【答案】【解析】【分析】設(shè)，在和中分別利用正弦定理得到，，兩式相除即可得到答案.【詳解】設(shè)，在中，由正弦定理得，即’即①在中，由正弦定理得，即，即，②因?yàn)椋茫糜?jì)算器即可得，故答案為：.12.無(wú)窮等比數(shù)列滿足首項(xiàng)，記，若對(duì)任意正整數(shù)集合是閉區(qū)間，則的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】當(dāng)時(shí)，不妨設(shè)，則，結(jié)合為閉區(qū)間可得對(duì)任意的恒成立，故可求的取值范圍.【詳解】由題設(shè)有，因?yàn)椋剩剩?dāng)時(shí)，，故，此時(shí)為閉區(qū)間，當(dāng)時(shí)，不妨設(shè)，若，則，若，則，若，則，綜上，，又為閉區(qū)間等價(jià)于為閉區(qū)間，而，故對(duì)任意恒成立，故即，故，故對(duì)任意的恒成立，因，故當(dāng)時(shí)，，故即.故答案為：.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：與等比數(shù)列性質(zhì)有關(guān)的不等式恒成立，可利用基本量法把恒成立為轉(zhuǎn)為關(guān)于與公比有關(guān)的不等式恒成立，必要時(shí)可利用參變分離來(lái)處理.二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，其中第13-14題每題滿分4分，第15-16題每題滿分5分)每題有且只有一個(gè)正確答案，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)編號(hào)上，將代表答案的小方格涂黑，選對(duì)得滿分，否則一律得零分.13.已知?dú)夂驕囟群秃Ｋ韺訙囟认嚓P(guān)，且相關(guān)系數(shù)為正數(shù)，對(duì)此描述正確的是（）A氣候溫度高，海水表層溫度就高B.氣候溫度高，海水表層溫度就低C.隨著氣候溫度由低到高，海水表層溫度呈上升趨勢(shì)D.隨著氣候溫度由低到高，海水表層溫度呈下降趨勢(shì)【答案】C【解析】【分析】根據(jù)相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)可得正確的選項(xiàng).【詳解】對(duì)于AB，當(dāng)氣候溫度高，海水表層溫度變高變低不確定，故AB錯(cuò)誤.對(duì)于CD，因?yàn)橄嚓P(guān)系數(shù)為正，故隨著氣候溫度由低到高時(shí)，海水表層溫度呈上升趨勢(shì)，故C正確，D錯(cuò)誤.故選：C.14.下列函數(shù)的最小正周期是的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)輔助角公式、二倍角公式以及同角三角函數(shù)關(guān)系并結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)一一判斷即可.【詳解】對(duì)A，，周期，故A正確；對(duì)B，，周期，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，，是常值函數(shù)，不存在最小正周期，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，，周期，故D錯(cuò)誤，故選：A．15.定義一個(gè)集合，集合中的元素是空間內(nèi)的點(diǎn)集，任取，存在不全為0的實(shí)數(shù)，使得．已知，則的充分條件是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】首先分析出三個(gè)向量共面，顯然當(dāng)時(shí)，三個(gè)向量構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則即可分析出正確答案.【詳解】由題意知這三個(gè)向量共面，即這三個(gè)向量不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，對(duì)A，由空間直角坐標(biāo)系易知三個(gè)向量共面，則當(dāng)無(wú)法推出，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，由空間直角坐標(biāo)系易知三個(gè)向量共面，則當(dāng)無(wú)法推出，故A錯(cuò)誤；對(duì)C，由空間直角坐標(biāo)系易知三個(gè)向量不共面，可構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則由能推出，對(duì)D，由空間直角坐標(biāo)系易知三個(gè)向量共面，則當(dāng)無(wú)法推出，故D錯(cuò)誤.故選：C．16.已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，定義集合，在使得的所有中，下列成立的是（）A.存在是偶函數(shù) B.存在在處取最大值C.存在是嚴(yán)格增函數(shù) D.存在在處取到極小值【答案】B【解析】【分析】對(duì)于ACD利用反證法并結(jié)合函數(shù)奇偶性、單調(diào)性以及極小值的概念即可判斷，對(duì)于B，構(gòu)造函數(shù)即可判斷.【詳解】對(duì)于A，若存在是偶函數(shù),取,則對(duì)于任意,而,矛盾,故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，可構(gòu)造函數(shù)滿足集合，當(dāng)時(shí)，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則該函數(shù)的最大值是，則B正確；對(duì)C，假設(shè)存在，使得嚴(yán)格遞增，則，與已知矛盾，則C錯(cuò)誤；對(duì)D，假設(shè)存在，使得在處取極小值，則在的左側(cè)附近存在，使得，這與已知集合的定義矛盾，故D錯(cuò)誤；故選：B.三、解答題（本大題共有5題，滿分78分）解下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號(hào)的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟17.如圖為正四棱錐為底面的中心．（1）若，求繞旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體的體積；（2）若為的中點(diǎn)，求直線與平面所成角的大小．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)正四棱錐的數(shù)據(jù)，先算出直角三角形的邊長(zhǎng)，然后求圓錐的體積；（2）連接，可先證平面，根據(jù)線面角的定義得出所求角為，然后結(jié)合題目數(shù)量關(guān)系求解.【小問(wèn)1詳解】正四棱錐滿足且平面，由平面，則，又正四棱錐底面是正方形，由可得，，故，根據(jù)圓錐的定義，繞旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體是以為軸，為底面半徑的圓錐，即圓錐的高為，底面半徑為，根據(jù)圓錐的體積公式，所得圓錐的體積是【小問(wèn)2詳解】連接，由題意結(jié)合正四棱錐的性質(zhì)可知，每個(gè)側(cè)面都是等邊三角形，由是中點(diǎn)，則，又平面，故平面，即平面，又平面，于是直線與平面所成角的大小即為，不妨設(shè)，則，，又線面角的范圍是，故.即為所求.18.若．（1）過(guò)，求的解集；（2）存在使得成等差數(shù)列，求的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出底數(shù)，再根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可求不等式的解；（2）存在使得成等差數(shù)列等價(jià)于在上有解，利用換元法結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可求的取值范圍．【小問(wèn)1詳解】因?yàn)榈膱D象過(guò)，故，故即（負(fù)的舍去），而在上為增函數(shù)，故，故即，故的解集為.小問(wèn)2詳解】因?yàn)榇嬖谑沟贸傻炔顢?shù)列，故有解，故，因?yàn)椋剩试谏嫌薪猓稍谏嫌薪猓睿谏系闹涤驗(yàn)椋始?19.為了解某地初中學(xué)生體育鍛煉時(shí)長(zhǎng)與學(xué)業(yè)成績(jī)的關(guān)系，從該地區(qū)29000名學(xué)生中抽取580人，得到日均體育鍛煉時(shí)長(zhǎng)與學(xué)業(yè)成績(jī)的數(shù)據(jù)如下表所示：時(shí)間范圍學(xué)業(yè)成績(jī)優(yōu)秀5444231不優(yōu)秀1341471374027（1）該地區(qū)29000名學(xué)生中體育鍛煉時(shí)長(zhǎng)不少于1小時(shí)人數(shù)約為多少？（2）估計(jì)該地區(qū)初中學(xué)生日均體育鍛煉的時(shí)長(zhǎng)（精確到0.1）（3）是否有的把握認(rèn)為學(xué)業(yè)成績(jī)優(yōu)秀與日均體育鍛煉時(shí)長(zhǎng)不小于1小時(shí)且小于2小時(shí)有關(guān)？（附：其中，．）【答案】（1）（2）（3）有【解析】【分析】（1）求出相關(guān)占比，乘以總?cè)藬?shù)即可；（2）根據(jù)平均數(shù)的計(jì)算公式即可得到答案；（3）作出列聯(lián)表，再提出零假設(shè)，計(jì)算卡方值和臨界值比較大小即可得到結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】由表可知鍛煉時(shí)長(zhǎng)不少于1小時(shí)的人數(shù)為占比，則估計(jì)該地區(qū)29000名學(xué)生中體育鍛煉時(shí)長(zhǎng)不少于1小時(shí)的人數(shù)為．【小問(wèn)2詳解】估計(jì)該地區(qū)初中生的日均體育鍛煉時(shí)長(zhǎng)約為．則估計(jì)該地區(qū)初中學(xué)生日均體育鍛煉的時(shí)長(zhǎng)為0.9小時(shí).【小問(wèn)3詳解】由題列聯(lián)表如下：其他合計(jì)優(yōu)秀455095不優(yōu)秀177308485合計(jì)222358580提出零假設(shè)：該地區(qū)成績(jī)優(yōu)秀與日均鍛煉時(shí)長(zhǎng)不少于1小時(shí)但少于2小時(shí)無(wú)關(guān)．其中．．則零假設(shè)不成立，即有的把握認(rèn)為學(xué)業(yè)成績(jī)優(yōu)秀與日均鍛煉時(shí)長(zhǎng)不小于1小時(shí)且小于2小時(shí)有關(guān)．20.已知雙曲線左右頂點(diǎn)分別為，過(guò)點(diǎn)的直線交雙曲線于兩點(diǎn).（1）若離心率時(shí)，求的值．（2）若為等腰三角形時(shí)，且點(diǎn)在第一象限，求點(diǎn)的坐標(biāo)．（3）連接并延長(zhǎng)，交雙曲線于點(diǎn)，若，求取值范圍．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)離心率公式計(jì)算即可；（2）分三角形三邊分別為底討論即可；（3）設(shè)直線，聯(lián)立雙曲線方程得到韋達(dá)定理式，再代入計(jì)算向量數(shù)量積的等式計(jì)算即可.【小問(wèn)1詳解】由題意得，則，．【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，雙曲線，其中，，因?yàn)闉榈妊切危瑒t①當(dāng)以為底時(shí)，顯然點(diǎn)在直線上，這與點(diǎn)在第一象限矛盾，故舍去；②當(dāng)以為底時(shí)，，設(shè)，則,聯(lián)立解得或或，因?yàn)辄c(diǎn)在第一象限，顯然以上均不合題意，舍去；（或者由雙曲線性質(zhì)知，矛盾，舍去）；③當(dāng)以為底時(shí)，，設(shè)，其中，則有，解得，即．綜上所述：.小問(wèn)3詳解】由題知，當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，此時(shí)，不合題意，則，則設(shè)直線，設(shè)點(diǎn)，根據(jù)延長(zhǎng)線交雙曲線于點(diǎn)，根據(jù)雙曲線對(duì)稱性知，聯(lián)立有，顯然二次項(xiàng)系數(shù)，其中，①，②，，則，因?yàn)樵谥本€上，則，，即，即，將①②代入有，即化簡(jiǎn)得，所以,代入到,得,所以,且，解得，又因?yàn)椋瑒t，綜上知，，．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第三問(wèn)的關(guān)鍵是采用設(shè)線法，為了方便運(yùn)算可設(shè)，將其與雙曲線方程聯(lián)立得到韋達(dá)定理式，再寫出相關(guān)向量，代入計(jì)算，要注意排除聯(lián)立后的方程得