湖南省長沙市瀏陽市重點校聯考2023-2024學年高一（下）期中數學試卷一、單選題（本大題共8小題，每題5分，共40分，每小題只有一個選項符合題意）1．（5分）已知集合，，則（）A． B． C． D．2．（5分）已知復數，則z的虛部是（）A． B． C． D．3．（5分）已知角α的終邊上有一點，則的值為（）A．3 B．-3 C．1 D．-14．（5分）設a，b是兩條直線，α，β是兩個平面，則a⊥b的一個充分條件是（）A．，， B．，， C．，， D．，，5．（5分）如圖所示，在正方形ABCD中，E為AB的中點，F為CE的中點，則（）A． B． C． D．6．（5分）已知圓柱的軸截面ABCD為正方形，E為上底面圓弧的中點，則異面直線DE與AB所成角的余弦值為（）A． B． C． D．7．（5分）已知，，均為單位向量，，則的值為（）A． B． C． D．8．（5分）如圖為函數的圖象，P，R，S為圖象與x軸的三個交點，Q為函數圖象在y軸右側部分上的第一個最大值點，則的值為（）A． B． C． D．二、多選題（本大題共4小題，每題5分，共20分，每小題有多個選項符合題意，全部選對得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）（多選）9．（5分）以下結論正確的有（）A．側棱垂直于底面的棱柱一定是直棱柱 B．等底面積、等高的兩個柱體，體積相等 C．經過圓錐頂點的平面截圓錐所得截面一定是三角形，且軸截面面積最大 D．有兩個面互相平行，其余四個面都是等腰梯形的六面體為棱臺（多選）10．（5分）以下命題正確的是（）A． B．C．若復數z滿足，則z對應的點在第四象限 D．是復數（，）為純虛數的必要不充分條件（多選）11．（5分）的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，則下列命題正確的有（）A．若，則 B．若，，，則有一解 C．已知的外接圓的圓心為O，，，M為BC上一點，且有， D．若為斜三角形，則（多選）12．（5分）如圖，在正方體中，點P是的中點，點Q是直線上的動點，則下列說法正確的是（）A．是直角三角形 B．異面直線PD與所成的角為 C．當AB的長度為定值時，三棱錐的體積為定值 D．平面平面三、填空題（本大題共4小題，每題5分，共20分）13．（5分）已知向量與的夾角為，，，則____．14．（5分）已知向量，，則向量在向量的方向上的投影向量為.（結果用坐標表示）15．（5分）已知函數，若，恒成立，則實數t的取值范圍是．16．（5分）如圖，有一圓柱形的開口容器（下表面密封），其軸截面是邊長為2的正方形，P是BC中點，現有一只螞蟻位于外壁A處，內壁P處有一米粒，則這只螞蟻取得米粒所需經過的最短路程為．四、解答題（本大題共6小題，共70分，17題為10分，18-22每題12分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17．（10分）在中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．（1）求B；（2）若，的面積為，求b．18．（12分）已知向量，．（1）若向量，且，求的坐標；（2）若向量與互相垂直，求實數k的值．19．（12分）已知圓錐的側面展開圖為半圓，母線長為．（1）求圓錐的底面積；（2）在該圓錐內按如圖所示放置一個圓柱，當圓柱的側面積最大時，求圓柱的體積．20．（12分）如圖，有一直徑為8米的半圓形空地，現計劃種植甲、乙兩種水果，已知單位面積種植甲水果的經濟價值是種植乙水果經濟價值的5倍，但種植甲水果需要有輔助光照．半圓周上的C處恰有一可旋轉光源滿足甲水果生產的需要，該光源照射范圍是∠，點E，F的直徑AB上，且．（1）若，求AE的長；（2）設，求該空地產生最大經濟價值時種植甲種水果的面積．21．（12分）已知函數是定義域為R的奇函數．（1）求a的值；（2）若對，不等式恒成立，求實數m的取值范圍．22．（12分）如圖，在三棱臺中，，，，．（1）求證：平面平面ABC；（2）若直線AE與平面BCFE所成角為，求平面DEC和平面ABC所成角的正切值．參考答案與試題解析一、單選題（本大題共8小題，每題5分，共40分，每小題只有一個選項符合題意）1．【解答】解：集合，，則．故選：B．2．【解答】解：，則z的虛部是．故選：B．3．【解答】解：依題意得，則．故選：B．4．【解答】解：對于A，，，，則a與b可能平行或異面；對于B，，，，可得a∥b；對于C，，，，則a與b可能平行，相交或異面；對于D，，，，則．故選：D．5．【解答】解：根據題意得：，又，，所以．故選：D．6．【解答】解：設上下底面圓的圓心分別為F和O，連接OF，OE，EF，則，設軸截面正方形ABCD邊長為2，則，，在中，，所以，因為，所以∠ODE或其補角即為異面直線DE與AB所成的角，在中，，，，，所以異面直線DE與AB所成角的余弦值為．故選：A．7．【解答】解：由于、、均為單位向量，則，由可得，所以，即，所以，由，可得，所以，即，所以，由，可得，所以，即，所以，則．故選：D．8．【解答】解：設PR的中點為A，RS的中點為B，中，令，解得，所以；令，解得，所以；同理，；所以，，；所以．故選：D．二、多選題（本大題共4小題，每題5分，共20分，每小題有多個選項符合題意，全部選對得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）（多選）9．【解答】解：對A選項，∵側棱垂直于底面的棱柱一定是直棱柱，∴A選項正確；對B選項，根據柱體的體積公式可得：等底面積、等高的兩個柱體，體積相等，∴B選項正確；對C選項，當圓錐的軸截面面積是頂角為鈍角的等腰三角形時，軸截面面積不是最大，此時當經過圓錐頂點的平面截圓錐所得截面為等腰直角三角形時，截面面積最大，∴C選項錯誤；對D選項，當其余四個面的等腰梯形的所有腰的延長線不交于同一點時，不是棱臺，∴D選項錯誤．故選：AB．（多選）10．【解答】解：虛數不能比較大小，故A錯誤；，故B正確；∵復數z滿足，∴z對應的點在第二象限，故C錯誤；當，時，為純虛數，故是復數為純虛數的必要不充分條件，故D正確．故選：BD．（多選）11．【解答】解：在三角形中，當，由三角形的性質可知，，由正弦定理可知，，整理可得，故A正確；，又因為，所以B有兩解，B錯誤；因為的外接圓的圓心為O，所以，同理可得，又因為，所以，故C錯誤；因為，得，且為斜三角形，則，所以，故D正確．故選：AD．（多選）12．（5分）【解答】解：連接，，可得P為的中點，且為等邊三角形，可得，即為直角三角形，故A正確；由，且，可得四邊形為平行四邊形，即有，則異面直線PD與所成的角為，故B正確；當AB的長度為定值時，的面積為定值，由，平面，平面，則平面，可得Q到平面的距離，即Q到平面PBD的距離為定值，則三棱錐的體積為定值，即三棱錐的體積為定值，故C正確；若平面平面，設AC與BD交于點Q，連接PQ，可得PQ為平面和平面的交線，過D作，垂足為H，由面面垂直的性質定理可得DH⊥平面，而三棱錐為正三棱錐，D在底面上的射影為等邊三角形的中心，顯然矛盾，故D錯誤．故選：ABC．三、填空題（本大題共4小題，每題5分，共20分）13．（5分）【解答】解：因為向量與的夾角為，，，所以，所以，，即，解得．故答案為：2．14．（5分）【解答】解：，，，，則向量在向量的方向上的投影向量．故答案為：．15．【解答】解：，，，，∵在上遞減，，∴．故答案為：．16．（5分）【解答】解：側面展開后得矩形ABCD，其中，問題轉化為在CD上找一點Q，使最短作P關于CD的對稱點E，連接AE，令AE與CD交于點Q，則得的最小值就是AE為．故答案為：．四、解答題（本大題共6小題，共70分，17題為10分，18-22每題12分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17．（10分）【解答】解：（1）由題干條件可知，，由正弦定理得，因為，，所以．因為，所以或；（2）由（1）可得，所以，解得，而，所以；當時，由余弦定理得，可得．可得，所以，則，與題干矛盾，舍去，當時，由余弦定理得，可得．綜上．18．（12分）【解答】解：（1）∵向量，，向量，且，可設，∵，求得，∴或．（2）∵向量與互相垂直，∴，∴實數．19．（12分）【解答】解：（1）如圖，設，在半圓⊙A中，，弧長，則，所以，故圓錐的底面積為．（2）設圓柱的高，，在中，，∵，所以，即，，，所以，當，時，圓柱的側面積最大，此時．20．（12分）【解答】解：（1）由題意，中，，，，∴，∴或3；（2）由題意，，．在中，由正弦定理得，∴；在中，由正弦定理得，∴，該空地產生最大經濟價值時，的面積最大，，∵，∴，∴時，取最大值為，該空地產生最大經濟價值．21．（12分）【解答】解：（1）由函數為奇函數且定義為R，∵，當時，可得，故，則，得，經檢驗，符合題意，故；（2）由（1）可知，函數在上為減函數，由，得，所以，設，，則，又函數圖象是一條拋物線，開口向下，對稱軸為，所以在上，，