北京師范大學(xué)附屬實(shí)驗(yàn)中學(xué)2027屆高一下學(xué)期數(shù)學(xué)階段測試一班級_____姓名_____學(xué)號_____一、選擇題（每小題4分，共32分）1.的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式計(jì)算可得.【詳解】.故選：A2.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又是周期為的函數(shù)為（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的奇偶性、周期性逐一判斷得解.【詳解】對于AC，函數(shù)，都是奇函數(shù)，A不是，C不是；對于B，函數(shù)是偶函數(shù)，周期為，B不是；對于D，函數(shù)是偶函數(shù)，周期為，D是.故選：D3.已知扇形的圓心角為2弧度，弧長為，則該扇形的面積為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】求出扇形的半徑，利用扇形面積公式求出答案.【詳解】設(shè)扇形的半徑為cm，則，則該扇形的面積為.故選：C4.要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)圖象上的所有點(diǎn)（）A.先向右平移個單位長度，再將所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變）B.先向右平移個單位長度，再將所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的（縱坐標(biāo)不變）C.先向右平移個單位長度，再將所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變）D.先向右平移個單位長度，再將所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的（縱坐標(biāo)不變）【答案】C【解析】【分析】利用平移變換和伸縮變換得到相應(yīng)的圖象.【詳解】A：向右平移個單位長度得，橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍得，故A錯誤；B：向右平移個單位長度得，橫坐標(biāo)縮短到原來的得，故B錯誤；C：向右平移個單位長度得，橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍得，故C正確；D：向右平移個單位長度得，橫坐標(biāo)縮短到原來的得，故D錯誤.故選：C.5.如圖是函數(shù)的部分圖象，則該函數(shù)解析式為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定的函數(shù)圖象，利用五點(diǎn)法作圖求出各參數(shù)即可.【詳解】觀察圖象知，，函數(shù)的周期，則，由，得，而，則，所以.故選：B6.在中，，則“”是“是鈍角三角形”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】先判斷如果能不能推出是鈍角三角形，再判斷如果是鈍角三角形，是否一定有即可.【詳解】如果，由于B是三角形的內(nèi)角，并且,則，，是鈍角三角形，所以是充分條件；如果是鈍角三角形，不妨設(shè)，則，所以不是必要條件；故選：A.7.已知是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時，的圖象如圖所示，則不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由已知結(jié)合偶函數(shù)的對稱性可確定時函數(shù)性質(zhì)，然后結(jié)合分式不等式的求法可求．【詳解】因?yàn)槭嵌x在,上的偶函數(shù)，當(dāng)時，單調(diào)遞減，，所以時，函數(shù)單調(diào)遞增，,所以的解集,,，的解集，當(dāng)時，的解集,,，時的解集,,，則不等式可轉(zhuǎn)化為或，解得或或．故選：C．8.已知函數(shù)，若關(guān)于的方程在區(qū)間上有且僅有4個不相等的實(shí)數(shù)根，則正數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用換元法求出的取值范圍，再根據(jù)三角函數(shù)的圖象得到的不等式，即可得答案；【詳解】令，∵，∴，設(shè)，若關(guān)于x的方程在區(qū)間上有且僅有4個不相等的實(shí)數(shù)根，則在上有且僅有4個不相等的實(shí)數(shù)根，∴，故選：D.二、填空題（每小題4分，共24分）9.已知，，則角是第_____象限角.【答案】三【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)在各個象限符號求解即可.【詳解】由，則角是第一、三象限角，又，則角是第三象限角.故答案：三.10.函數(shù)定義域?yàn)開____.【答案】【解析】【分析】由題干可知要滿足根號下非負(fù)，再結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)可解得定義域.【詳解】由題意知，即，由正弦函數(shù)的性質(zhì)可解得，即的定義域?yàn)?故答案.11.如圖，單位圓被點(diǎn)分為12等份，其中.角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，若的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則__________；若，則角的終邊與單位圓交于點(diǎn)__________.（從中選擇，寫出所有滿足要求的點(diǎn)）【答案】①.②.【解析】【分析】求出終邊經(jīng)過則對應(yīng)的角和的關(guān)系.【詳解】，所以終邊經(jīng)過則角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，若的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則，所以，即或即或經(jīng)過點(diǎn)故答案為：；12.已知命題若為第一象限角，且，則．能說明p為假命題的一組的值為__________，_________．【答案】①.②.【解析】【分析】根據(jù)正切函數(shù)單調(diào)性以及任意角的定義分析求解.【詳解】因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，若，則，取，則，即，令，則，因?yàn)椋瑒t，即，則.不妨取，即滿足題意.故答案為：.13.已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，且在上單調(diào)，則的最大值為_____.【答案】【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的對稱性求出，即可求出函數(shù)解析式，再根據(jù)的取值范圍，求出的取值范圍，根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)得到不等式組，解得即可；【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于直線對稱，所以，，即，，又，所以，從而.因?yàn)椋裕驗(yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，即，故的最大值為.故答案為：14.已知函數(shù)，給出下列四個結(jié)論：①存在無數(shù)個零點(diǎn)；②區(qū)間是的單調(diào)遞增區(qū)間；③若，則；④在上無最大值.其中所有正確結(jié)論的序號為_____.【答案】①③【解析】【分析】解方程，可判斷①；利用特值法可判斷②；推導(dǎo)出，可判斷③；分析函數(shù)在區(qū)間上的最大值點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，再根據(jù)最值定理可判斷④.【詳解】對于①，由，解得函數(shù)的定義域?yàn)椋睿傻茫瑒t，故，所以函數(shù)有無數(shù)個零點(diǎn)，①正確；對于②，，，因?yàn)椋裕屎瘮?shù)在上不可能單調(diào)遞增，故②錯誤；對于③，對任意的，，，所以當(dāng)時，有，故③正確；對于④，當(dāng)時，，令，可得，，解得，，假設(shè)函數(shù)在上的最大值點(diǎn)為，則，設(shè)，因?yàn)椋瑒t，所以，則，所以在上存在最大值點(diǎn)，則，又因?yàn)樵谏鲜且粭l連續(xù)不斷的曲線，所以函數(shù)在上存在最大值，故函數(shù)在上存在最大值，④錯誤；綜上，①③正確.故答案為：①③.三、解答題（共44分）15.已知函數(shù)，.（1）填寫下表，用“五點(diǎn)法”作函數(shù)在一個周期內(nèi)的圖象；

00

0

0（2）函數(shù)的最小正周期_____；（3）求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間和對稱中心.【答案】（1）見解析（2）（3）單調(diào)遞增區(qū)間：，；對稱中心：.【解析】【分析】(1)利用給定的角依次求出對應(yīng)的三角函數(shù)值，進(jìn)而填表，結(jié)合“五點(diǎn)法”畫出圖象即可；(2)根據(jù)正弦函數(shù)的周期公式計(jì)算即可；(3)利用整體代入法結(jié)合正弦函數(shù)的周期性和對稱性求解即可.【小問1詳解】x00200函數(shù)圖象如圖所示，【小問2詳解】由，可知；【小問3詳解】令，，得，.所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間：，.令，得，即的對稱中心為：.16.已知和是關(guān)于x的方程的兩實(shí)根，且．（1）求m的值；（2）求．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）根據(jù)韋達(dá)定理及同角關(guān)系式化簡即得；（2）由題可得，然后根據(jù)同角關(guān)系式將弦化切，計(jì)算即可求得.【小問1詳解】由題可知，又，得．【小問2詳解】因?yàn)榍遥瑒t且，而，解得（舍）或．綜上，．17.已知某地某一天4點(diǎn)~16點(diǎn)的溫度變化近似滿足函，.（1）求該地區(qū)這一天這一段時間內(nèi)的最大溫差；（2）直接寫出當(dāng)天這段時間內(nèi)，16點(diǎn)的溫度與哪些時刻的溫度相等？（3）某種細(xì)菌能在溫度不低于條件下生存，在4點(diǎn)～16點(diǎn)這段時間內(nèi)，該細(xì)菌最多能生存多長時間?【答案】（1）（2）點(diǎn)（3）小時【解析】【分析】（1）利用正弦型函數(shù)來求指定區(qū)間內(nèi)的最值即可求解；（2）利用正弦函數(shù)值在指定區(qū)間內(nèi)有兩解來求另一個解即可；（3）利用正弦型函數(shù)滿足的不等式，結(jié)合指定區(qū)間，即可求解.【小問1詳解】當(dāng)時，有，則，此時函數(shù)在時取到最大值為，在時取到最小值為，所以該地區(qū)這一天這一段時間內(nèi)的最大溫差為；【小問2詳解】當(dāng)時，，則，根據(jù)，可知，所以16點(diǎn)的溫度與12點(diǎn)的溫度相等；【小問3詳解】由題意可得：，因?yàn)椋钥傻茫海獾茫海栽摷?xì)菌能生存的最長時間為小時.18.設(shè)，，再從下面三個條件中選擇兩個作為已知條件，使的解析式唯一確定..（1）求的解析式；（2）設(shè)函數(shù)，對任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.條件①：對任意的，都有；條件②：最小正周期為；條件③：在上為增函數(shù).【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）若選擇②③，結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，求得的值，即可求得函數(shù)的解析式；但選擇①②或①③無法確定的值.（2）由，再由，求得，根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為恒成立，令，結(jié)合為單調(diào)遞增函數(shù)，求得，即可求解.【小問1詳解】若選擇①②：由函數(shù)最小正周期為，可得，可得，即，又由對任意的，都有，可得關(guān)于對稱，即，即，因?yàn)椋傻没蛘撸瑒t無法確定；若選擇①③：由對任意的，都有，可得關(guān)于對稱，即，即，又由函數(shù)在為單調(diào)遞增函數(shù)，可得，解得，又由，可得，因?yàn)楹瘮?shù)在為增函數(shù)，則滿足，解得，所以，即，解得，綜上，則無法確定，則無法確定.若選擇②③：由函數(shù)最小正周期為，可得，可得，即，又由，可得，因?yàn)楹瘮?shù)在為單調(diào)遞增函數(shù)，則滿足，解得，所以，所以；【小問2詳解】由，因?yàn)椋傻茫裕矗钟蓪θ我獾模坏仁胶愠闪ⅲ床坏仁胶愠闪ⅲ春愠闪ⅲ睿春愠闪ⅲ钤谏蠟閱握{(diào)遞增函數(shù)，則，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.19.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?若存在常數(shù)，，使得對于任意，成立，則稱函數(shù)具有性質(zhì).（1）判斷函數(shù)和具有性質(zhì)？(結(jié)論不要求證明)（2）若函數(shù)具有性質(zhì)，且其對應(yīng)的，.已知當(dāng)時，，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值；（3）若函數(shù)具有性質(zhì)，且直線為其圖像的一條對稱軸，證明：為周期函數(shù).【答案】（1）函數(shù)不具有性質(zhì)，具有性質(zhì)，（2）在上有最大值，（3）證明見解析【解析】分析】（1）直接利用性質(zhì)判斷；（2）由性質(zhì)，可求出的函數(shù)解析式，利用三角函數(shù)的性質(zhì)可求出其最大值；（3）由直線為圖像的一條對稱軸，可得，由性質(zhì)可求得，再由直線為圖像的一條對稱軸，得，從而可得結(jié)論【詳解】解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)是單調(diào)遞增函數(shù)，所以函數(shù)不具有性質(zhì)，當(dāng)時，函數(shù)對于任意，成立，所以具有性質(zhì)，（2）設(shè)，則，則題意