山東省青島市即墨區重點中學2025年初三第四次模擬試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）1．如圖，在Rt△ABC中，BC=2，∠BAC=30°，斜邊AB的兩個端點分別在相互垂直的射線OM，ON上滑動，下列結論：①若C，O兩點關于AB對稱，則OA=；②C，O兩點距離的最大值為4；③若AB平分CO，則AB⊥CO；④斜邊AB的中點D運動路徑的長為π．其中正確的是（）A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②④2．如圖，在平行四邊形ABCD中，點E在邊DC上，DE：EC=3：1，連接AE交BD于點F，則△DEF的面積與△BAF的面積之比為（）A．3：4 B．9：16 C．9：1 D．3：13．甲隊修路120m與乙隊修路100m所用天數相同，已知甲隊比乙隊每天多修10m，設甲隊每天修路xm.依題意，下面所列方程正確的是A．B． C．D．4．如圖，經過測量，C地在A地北偏東46°方向上，同時C地在B地北偏西63°方向上，則∠C的度數為（）A．99° B．109° C．119° D．129°5．下列說法正確的是（）A．負數沒有倒數B．﹣1的倒數是﹣1C．任何有理數都有倒數D．正數的倒數比自身小6．我國作家莫言獲得諾貝爾文學獎之后，他的代表作品《蛙》的銷售量就比獲獎之前增長了180倍，達到2100000冊．把2100000用科學記數法表示為（）A．0.21×108 B．21×106 C．2.1×107 D．2.1×1067．如圖，直線a，b被直線c所截，下列條件不能判定直線a與b平行的是（）A．∠1=∠3 B．∠2+∠4=180° C．∠1=∠4 D．∠3=∠48．如圖是由長方體和圓柱組成的幾何體，它的俯視圖是（）A． B． C． D．9．二次函數y＝x2﹣6x+m的圖象與x軸有兩個交點，若其中一個交點的坐標為（1，0），則另一個交點的坐標為（）A．（﹣1，0） B．（4，0） C．（5，0） D．（﹣6，0）10．如圖，圓O是等邊三角形內切圓，則∠BOC的度數是（）A．60° B．100° C．110° D．120°二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分）11．如圖，已知，點為邊中點，點在線段上運動，點在線段上運動，連接，則周長的最小值為______．12．若關于x的分式方程有增根，則m的值為_____．13．若代數式在實數范圍內有意義，則實數x的取值范圍為_____．14．若關于的一元二次方程無實數根，則一次函數的圖象不經過第_________象限.15．如圖，AB是⊙O的切線，B為切點，AC經過點O，與⊙O分別相交于點D，C，若∠ACB=30°，AB=，則陰影部分的面積是___．16．如圖，從一塊直徑是8m的圓形鐵皮上剪出一個圓心角為90°的扇形，將剪下的扇形圍成一個圓錐，圓錐的高是_________m．三、解答題（共8題，共72分）17．（8分）如圖，在平面直角坐標系中，矩形OABC的頂點B坐標為（4，6），點P為線段OA上一動點（與點O、A不重合），連接CP，過點P作PE⊥CP交AB于點D，且PE＝PC，過點P作PF⊥OP且PF＝PO（點F在第一象限），連結FD、BE、BF，設OP＝t．（1）直接寫出點E的坐標（用含t的代數式表示）：；（2）四邊形BFDE的面積記為S，當t為何值時，S有最小值，并求出最小值；（3）△BDF能否是等腰直角三角形，若能，求出t；若不能，說明理由．18．（8分）計算：（π﹣1）0+|﹣1|﹣÷+（﹣1）﹣1．19．（8分）如圖1，△ABC與△CDE都是等腰直角三角形，直角邊AC，CD在同一條直線上，點M、N分別是斜邊AB、DE的中點，點P為AD的中點，連接AE，BD，PM，PN，MN．（1）觀察猜想：圖1中，PM與PN的數量關系是，位置關系是．（2）探究證明：將圖1中的△CDE繞著點C順時針旋轉α（0°＜α＜90°），得到圖2，AE與MP、BD分別交于點G、H，判斷△PMN的形狀，并說明理由；（3）拓展延伸：把△CDE繞點C任意旋轉，若AC=4，CD=2，請直接寫出△PMN面積的最大值．20．（8分）計算：＋()－2-8sin60°21．（8分）如圖，在△ABC中，∠CAB＝90°，∠CBA＝50°，以AB為直徑作⊙O交BC于點D，點E在邊AC上，且滿足ED＝EA．（1）求∠DOA的度數；（2）求證：直線ED與⊙O相切．22．（10分）某校九年級數學測試后，為了解學生學習情況，隨機抽取了九年級部分學生的數學成績進行統計，得到相關的統計圖表如下．成績/分120﹣111110﹣101100﹣9190以下成績等級ABCD請根據以上信息解答下列問題：（1）這次統計共抽取了名學生的數學成績，補全頻數分布直方圖；（2）若該校九年級有1000名學生，請據此估計該校九年級此次數學成績在B等級以上（含B等級）的學生有多少人？（3）根據學習中存在的問題，通過一段時間的針對性復習與訓練，若A等級學生數可提高40%，B等級學生數可提高10%，請估計經過訓練后九年級數學成績在B等級以上（含B等級）的學生可達多少人？23．（12分）如圖，已知A（﹣4，n），B（2，﹣4）是一次函數y＝kx+b的圖象和反比例函數y＝的圖象的兩個交點．求反比例函數和一次函數的解析式；求直線AB與x軸的交點C的坐標及△AOB的面積；直接寫出一次函數的值小于反比例函數值的x的取值范圍．24．如圖，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=72°．（1）用直尺和圓規作∠ABC的平分線BD交AC于點D（保留作圖痕跡，不要求寫作法）；（2）在（1）中作出∠ABC的平分線BD后，求∠BDC的度數．

參考答案一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）1、D【解析】分析：①先根據直角三角形30°的性質和勾股定理分別求AC和AB，由對稱的性質可知：AB是OC的垂直平分線，所以

②當OC經過AB的中點E時，OC最大，則C、O兩點距離的最大值為4；

③如圖2，當∠ABO=30°時，易證四邊形OACB是矩形，此時AB與CO互相平分，但所夾銳角為60°，明顯不垂直，或者根據四點共圓可知：A、C、B、O四點共圓，則AB為直徑，由垂徑定理相關推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于這條弦，但當這條弦也是直徑時，即OC是直徑時，AB與OC互相平分，但AB與OC不一定垂直；

④如圖3，半徑為2，圓心角為90°，根據弧長公式進行計算即可．詳解：在Rt△ABC中,∵∴①若C.O兩點關于AB對稱，如圖1，∴AB是OC的垂直平分線，則所以①正確；②如圖1，取AB的中點為E，連接OE、CE，∵∴當OC經過點E時，OC最大，則C.O兩點距離的最大值為4；所以②正確；③如圖2,當時,∴四邊形AOBC是矩形，∴AB與OC互相平分，但AB與OC的夾角為不垂直，所以③不正確；④如圖3,斜邊AB的中點D運動路徑是：以O為圓心,以2為半徑的圓周的則：所以④正確；綜上所述，本題正確的有：①②④；故選D.點睛：屬于三角形的綜合體，考查了直角三角形的性質，直角三角形斜邊上中線的性質，軸對稱的性質,弧長公式等，熟練掌握直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半是解題的關鍵.2、B【解析】

可證明△DFE∽△BFA，根據相似三角形的面積之比等于相似比的平方即可得出答案．【詳解】∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴DC∥AB，∴△DFE∽△BFA，∵DE：EC=3：1，∴DE：DC=3：4，∴DE：AB=3：4，∴S△DFE：S△BFA=9：1．故選B．3、A【解析】分析：甲隊每天修路xm，則乙隊每天修（x－10）m，因為甲、乙兩隊所用的天數相同，所以，。故選A。4、B【解析】

方向角是從正北或正南方向到目標方向所形成的小于90°的角，根據平行線的性質求得∠ACF與∠BCF的度數，∠ACF與∠BCF的和即為∠C的度數．【詳解】解：由題意作圖如下∠DAC=46°，∠CBE=63°，由平行線的性質可得∠ACF=∠DAC=46°，∠BCF=∠CBE=63°，∴∠ACB=∠ACF+∠BCF=46°+63°=109°，故選B．本題考查了方位角和平行線的性質，熟練掌握方位角的概念和平行線的性質是解題的關鍵．5、B【解析】

根據倒數的定義解答即可.【詳解】A、只有0沒有倒數，該項錯誤；B、﹣1的倒數是﹣1，該項正確；C、0沒有倒數，該項錯誤；D、小于1的正分數的倒數大于1,1的倒數等于1，該項錯誤.故選B.本題主要考查倒數的定義：兩個實數的乘積是1，則這兩個數互為倒數，熟練掌握這個知識點是解答本題的關鍵.6、D【解析】2100000=2.1×106.點睛:對于一個絕對值較大的數，用科學記數法寫成的形式，其中，n是比原整數位數少1的數.7、D【解析】試題分析：A．∵∠1=∠3，∴a∥b，故A正確；B．∵∠2+∠4=180°，∠2+∠1=180°，∴∠1=∠4，∵∠4=∠3，∴∠1=∠3，∴a∥b，故B正確；C．∵∠1=∠4，∠4=∠3，∴∠1=∠3，∴a∥b，故C正確；D．∠3和∠4是對頂角，不能判斷a與b是否平行，故D錯誤．故選D．考點：平行線的判定．8、A【解析】分析：根據從上邊看得到的圖形是俯視圖，可得答案．詳解：從上邊看外面是正方形，里面是沒有圓心的圓，故選A．點睛：本題考查了簡單組合體的三視圖，從上邊看得到的圖形是俯視圖．9、C【解析】

根據二次函數解析式求得對稱軸是x=3，由拋物線的對稱性得到答案．【詳解】解：由二次函數得到對稱軸是直線，則拋物線與軸的兩個交點坐標關于直線對稱，∵其中一個交點的坐標為，則另一個交點的坐標為，故選C．考查拋物線與x軸的交點坐標，解題關鍵是掌握拋物線的對稱性質．10、D【解析】

由三角形內切定義可知OB、OC是∠ABC、∠ACB的角平分線，所以可得到關系式∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB），把對應數值代入即可求得∠BOC的值．【詳解】解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠A=∠ABC=∠ACB=60°，∵圓O是等邊三角形內切圓，∴OB、OC是∠ABC、∠ACB的角平分線，∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=（180°﹣60°）=60°，∴∠BOC=180°﹣60=120°，故選D．此題主要考查了三角形的內切圓與內心以及切線的性質．關鍵是要知道關系式∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）．二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分）11、【解析】

作梯形ABCD關于AB的軸對稱圖形，將BC'繞點C'逆時針旋轉120°，則有GE'=FE'，P與Q是關于AB的對稱點，當點F'、G、P三點在一條直線上時，△FEP的周長最小即為F'G+GE'+E'P，此時點P與點M重合，F'M為所求長度；過點F'作F'H⊥BC'，M是BC中點，則Q是BC'中點，由已知條件∠B=90°，∠C=60°，BC=2AD=4，可得C'Q=F'C'=2，∠F'C'H=60°，所以F'H=，HC'=1，在Rt△MF'H中，即可求得F'M．【詳解】作梯形ABCD關于AB的軸對稱圖形，作F關于AB的對稱點G，P關于AB的對稱點Q，∴PF=GQ，將BC'繞點C'逆時針旋轉120°，Q點關于C'G的對應點為F'，∴GF'=GQ，設F'M交AB于點E'，∵F關于AB的對稱點為G，∴GE'=FE'，

∴當點F'、G、P三點在一條直線上時，△FEP的周長最小即為F'G+GE'+E'P，此時點P與點M重合，∴F'M為所求長度；

過點F'作F'H⊥BC'，

∵M是BC中點，

∴Q是BC'中點，

∵∠B=90°，∠C=60°，BC=2AD=4，

∴C'Q=F'C'=2，∠F'C'H=60°，

∴F'H=，HC'=1，∴MH=7，

在Rt△MF'H中，F'M；

∴△FEP的周長最小值為．

故答案為：．本題考查了動點問題的最短距離，涉及的知識點有：勾股定理，含30度角直角三角形的性質，能夠通過軸對稱和旋轉，將三角形的三條邊轉化為線段的長是解題的關鍵．12、±【解析】

增根是分式方程化為整式方程后產生的使分式方程的分母為0的根．有增根，最簡公分母x-3=0，所以增根是x=3，把增根代入化為整式方程的方程即可求出m的值．【詳解】方程兩邊都乘x-3，得x-2（x-3）=m2，∵原方程增根為x=3，∴把x=3代入整式方程，得m=±．解決增根問題的步驟：①確定增根的值；②化分式方程為整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相關字母的值．13、x≤1【解析】

根據二次根式有意義的條件可求出x的取值范圍．【詳解】由題意可知：1﹣x≥0，∴x≤1故答案為：x≤1．本題考查二次根式有意義的條件，解題的關鍵是利用被開方數是非負數解答即可．14、一【解析】

根據一元二次方程的定義和判別式的意義得到m≠0且△=（-2）2-4m×（-1）＜0，所以m＜-1，然后根據一次函數的性質判斷一次函數y=mx+m的圖象所在的象限即可．【詳解】∵關于x的一元二次方程mx2-2x-1=0無實數根，∴m≠0且△=（-2）2-4m×（-1）＜0，∴m＜-1，∴一次函數y=mx+m的圖象經過第二、三、四象限，不經過第一象限．故答案為一．本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與△=b2-4ac有如下關系：當△＞0時，方程有兩個不相等的實數根；當△=0時，方程有兩個相等的實數根；當△＜0時，方程無實數根．也考查了一次函數的性質．15、﹣【解析】連接OB．∵AB是⊙O切線，∴OB⊥AB，∵OC=OB，∠C=30°，∴∠C=∠OBC=30°，∴∠AOB=∠C+∠OBC=60°，在Rt△ABO中，∵∠ABO=90°，AB=，∠A=30°，∴OB=1，∴S陰=S△ABO﹣S扇形OBD=×1×﹣=﹣．16、【解析】分析：首先連接AO，求出AB的長度是多少；然后求出扇形的弧長弧BC為多少，進而求出扇形圍成的圓錐的底面半徑是多少；最后應用勾股定理，求出圓錐的高是多少即可．詳解：如圖1，連接AO，∵AB=AC，點O是BC的中點，∴AO⊥BC，又∵∴∴∴弧BC的長為：(m)，∴將剪下的扇形圍成的圓錐的半徑是：(m)，∴圓錐的高是：故答案為.點睛：考查圓錐的計算，正確理解圓錐的側面展開圖與原來扇形之間的關系式解決本題的關鍵.三、解答題（共8題，共72分）17、(1)、（t+6，t）；(2)、當t=2時，S有最小值是16；(3)、理由見解析．【解析】

（1）如圖所示，過點E作EG⊥x軸于點G，則∠COP=∠PGE=90°，由題意知CO=AB=6、OA=BC=4、OP=t，∵PE⊥CP、PF⊥OP，∴∠CPE=∠FPG=90°，即∠CPF+∠FPE=∠FPE+∠EPG，∴∠CPF=∠EPG，又∵CO⊥OG、FP⊥OG，∴CO∥FP，∴∠CPF=∠PCO，∴∠PCO=∠EPG，在△PCO和△EPG中，∵∠PCO=∠EPG，∠POC=∠EGP，PC=EP，∴△PCO≌△EPG（AAS），∴CO=PG=6、OP=EG=t，則OG=OP+PG=6+t，則點E的坐標為（t+6，t），（2）∵DA∥EG，∴△PAD∽△PGE，∴，∴，∴AD=t（4﹣t），∴BD=AB﹣AD=6﹣t（4﹣t）=t2﹣t+6，∵EG⊥x軸、FP⊥x軸，且EG=FP，∴四邊形EGPF為矩形，∴EF⊥BD，EF=PG，∴S四邊形BEDF=S△BDF+S△BDE=×BD×EF=×（t2﹣t+6）×6=（t﹣2）2+16，∴當t=2時，S有最小值是16；（3）①假設∠FBD為直角，則點F在直線BC上，∵PF=OP＜AB，∴點F不可能在BC上，即∠FBD不可能為直角；②假設∠FDB為直角，則點D在EF上，∵點D在矩形的對角線PE上，∴點D不可能在EF上，即∠FDB不可能為直角；③假設∠BFD為直角且FB=FD，則∠FBD=∠FDB=45°，如圖2，作FH⊥BD于點H，則FH=PA，即4﹣t=6﹣t，方程無解，∴假設不成立，即△BDF不可能是等腰直角三角形．18、2【解析】

先根據0次冪的意義、絕對值的意義、二次根式的除法、負整數指數冪的意義化簡，然后進一步計算即可.【詳解】解：原式=2+2﹣+2=2﹣2+2=2．本題考查了0次冪的意義、絕對值的意義、二次根式的除法、負整數指數冪的意義，熟練掌握各知識點是解答本題的關鍵.19、（1）PM=PN，PM⊥PN（2）等腰直角三角形，理由見解析（3）【解析】

（1）由等腰直角三角形的性質易證△ACE≌△BCD，由此可得AE=BD，再根據三角形中位線定理即可得到PM=PN，由平行線的性質可得PM⊥PN；（2）（1）中的結論仍舊成立，由（1）中的證明思路即可證明；（3）由（2）可知△PMN是等腰直角三角形，PM=BD，推出當BD的值最大時，PM的值最大，△PMN的面積最大，推出當B、C、D共線時，BD的最大值=BC+CD=6，由此即可解決問題；【詳解】解：（1）PM=PN，PM⊥PN，理由如下：延長AE交BD于O，∵△ACB和△ECD是等腰直角三角形，∴AC=BC，EC=CD，∠ACB=∠ECD=90°．在△ACE和△BCD中，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴AE=BD，∠EAC=∠CBD，∵∠EAC+∠AEC=90°，∠AEC=∠BEO，∴∠CBD+∠BEO=90°，∴∠BOE=90°，即AE⊥BD，∵點M、N分別是斜邊AB、DE的中點，點P為AD的中點，∴PM=BD，PN=AE，∴PM=PM，∵PM∥BD，PN∥AE，AE⊥BD，∴∠NPD=∠EAC，∠MPA=∠BDC，∠EAC+∠BDC=90°，∴∠MPA+∠NPC=90°，∴∠MPN=90°，即PM⊥PN，故答案是：PM=PN，PM⊥PN；（2）如圖②中，設AE交BC于O，∵△ACB和△ECD是等腰直角三角形，∴AC=BC，EC=CD，∠ACB=∠ECD=90°，∴∠ACB+∠BCE=∠ECD+∠BCE，∴∠ACE=∠BCD，∴△ACE≌△BCD，∴AE=BD，∠CAE=∠CBD，又∵∠AOC=∠BOE，∠CAE=∠CBD，∴∠BHO=∠ACO=90°，∵點P、M、N分別為AD、AB、DE的中點，∴PM=BD，PM∥BD，PN=AE，PN∥AE，∴PM=PN，∴∠MGE+∠BHA=180°，∴∠MGE=90°，∴∠MPN=90°，∴PM⊥PN；（3）由（2）可知△PMN是等腰直角三角形，PM=BD，∴當BD的值最大時，PM的值最大，△PMN的面積最大，∴當B、C、D共線時，BD的最大值=BC+CD=6，∴PM=PN=3，∴△PMN的面積的最大值=×3×3=．本題考查的是幾何變換綜合題，熟知等腰直角三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質、三角形中位線定理的運用，解題的關鍵是正確尋找全等三角形解決問題，學會利用三角形的三邊關系解決最值問題，屬于中考壓軸題．20、4-2【解析】試題分析：原式第一項利用二次根式的化簡公式進行化簡，第二項利用負指數公式化簡，第三項利用特殊角的三角函數值化簡，合并即可得到結果試題解析：原式=2＋4-8×=2＋4-4=4-221、（1）∠DOA=100°；（2）證明見解析.【解析】試題分析：（1）根據∠CBA=50°，利用圓周角定理即可求得∠DOA的度數；（2）連接OE，利用SSS證明△EAO≌△EDO，根據全等三角形的性質可得∠EDO=∠EAO=90°，即可證明直線ED與⊙O相切．試題解析：（1）∵∠DBA=50°，∴∠DOA=2∠DBA=100°；（2）證明：連接OE，在△EAO和△EDO中，AO=DO，EA=ED，EO=EO，∴△EAO≌△EDO，得到∠EDO=∠EAO=90°，∴直線ED與⊙O相切．考點：圓周角定理；全等三角形的判定及性質；切線的判定定理22、（1）1人；補圖見解析；（2）10人；（3）610名.【解析】

（1）用總人數乘以A所占的百分比，即可得到總人數；再用總人數乘以A等級人數所占比例可得其人數，繼而根據各等級人數之和等于總人數可得D等級人數，據此可補全條形圖；

（2）用總人數乘以（A的百分比+B的百分比），即可解答；

（3）先計算出提高后A，B所占的百分比，再乘以總人數，即可解答．【詳解】解：（1）本次調查抽取的總人數為15÷=1（人），則A等級人數為1×=10（人），D等級人數為1﹣（10+15+5）=20（人），補全直方圖如下：故答案為1．（2）估計該校九年級此次數學成績在B等級以上（含B等級）的學生有1000×=10（人）；（3）∵A級學生數可提高40%，B級學生數可提高10%，∴B級學生所占的百分比為：30%×（1+10%）=33%，A級學生所占的百分比為：20%×（1+40%）=28%，∴1000×（33%+28%）=610（人），∴估計經過訓練后九年級數學成績在B以上（含B級