山東師大附中2023級高二階段檢測（2025.3）數(shù)學(xué)試卷命題：房華審題：寧衛(wèi)兵本試卷共4頁，19題，全卷滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的考生號、姓名、考場號及座位號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需要改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將答題卡交回.第Ⅰ卷一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的.1已知函數(shù)，則（）A.0 B.1 C. D.【答案】A【解析】【分析】直接求導(dǎo)代入即可得解.【詳解】由題，，故.故選：A.2.設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線方程為，則（）A.1 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義進(jìn)行求解即可.【詳解】切線的斜率為，由，故選：C3.一木塊沿某一斜面自由下滑，測得下滑的水平距離與時(shí)間之間的函數(shù)關(guān)系式為，則時(shí)，此木塊在水平方向的瞬時(shí)速度為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義知瞬時(shí)速度為該時(shí)刻處的導(dǎo)數(shù)值.【詳解】因?yàn)椋詴r(shí)，此木塊在水平方向的瞬時(shí)速度為.故選：A4.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，為的導(dǎo)函數(shù)，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】直接由導(dǎo)數(shù)的幾何意義結(jié)合函數(shù)圖象即可求解.【詳解】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，表示曲線在處的切線斜率，表示曲線在處的切線斜率，表示，兩點(diǎn)連線的斜率，由圖可知，當(dāng)從0變化到1時(shí)，切線斜率越來越大，所以，對比選項(xiàng)可知，D正確.故選：D.5.當(dāng)是函數(shù)的極值點(diǎn)，則的值為A.-2 B.3 C.-2或3 D.-3或2【答案】B【解析】【分析】由f，解得或-2，再檢驗(yàn)是否函數(shù)的極值點(diǎn)，可得結(jié)論.【詳解】由，得，∵x＝1是函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)，∴（1）＝6﹣+a＝0，解得或2，當(dāng)2時(shí)，恒成立，即單增，無極值點(diǎn)，舍去；當(dāng)3時(shí)，時(shí)，x＝1或x=9，滿足x＝1為函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)，∴．故選B【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值問題，注意在x=處導(dǎo)數(shù)值為0不一定滿足x=是極值點(diǎn)，屬于易錯(cuò)題．6.已知函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，則的最大值為（）A.1 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意將問題轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上恒成立，利用分離參數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究最值即可得到答案.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，所以在區(qū)間上恒成立，即，令，，則，所以在上單調(diào)遞增，則，故，即的最大值為，故選：B7.設(shè)，，，則，，大小關(guān)系是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)的單調(diào)性可得（3），從而得到，，的大小關(guān)系．【詳解】考查函數(shù)，則，在上單調(diào)遞增，，（3），即，，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小，考查了構(gòu)造法和轉(zhuǎn)化思想，屬基礎(chǔ)題．8.若函數(shù)和的圖象上恰好有兩對關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)，則函數(shù)和為“對偶函數(shù)”．已知，是“對偶函數(shù)”，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意可得有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，從而可得有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，利用導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性、極值的關(guān)系即可求解.【詳解】因?yàn)椋恰皩ε己瘮?shù)”，所以函數(shù)與的圖象上恰好有兩對關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)，所以，即有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，則有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解．令，則，所以當(dāng)時(shí)，,當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在處取得極小值，且，．又，所以，a的取值范圍為,故選：A.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得2分或3分或4分，有選錯(cuò)的得0分.9.函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖像如圖所示，以下命題正確的是（）A.函數(shù)在處取得最小值 B.在區(qū)間上單調(diào)遞增C.是函數(shù)的極小值點(diǎn) D.在處切線的斜率大于零【答案】ABD【解析】【分析】由導(dǎo)函數(shù)的圖像知道導(dǎo)函數(shù)在對應(yīng)點(diǎn)或區(qū)間的正負(fù)，由此知道對應(yīng)點(diǎn)或區(qū)間上原函數(shù)的切線斜率或單調(diào)性，逐一判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】由圖可知，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴函數(shù)在處取得最小值，A選項(xiàng)正確；當(dāng)時(shí)，，∴在區(qū)間上單調(diào)遞增，B選項(xiàng)正確；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴在處沒有極值，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，∴在處切線的斜率大于零，C選項(xiàng)正確.故選：ABD.10設(shè)函數(shù)，則（）A.是的極大值點(diǎn)B.當(dāng)時(shí)，C.當(dāng)時(shí)，D.曲線有且只有一個(gè)對稱中心，且該對稱中心坐標(biāo)為【答案】ACD【解析】【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再結(jié)合極值、對稱性逐項(xiàng)判斷得解.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)镽，求導(dǎo)得，當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，對于A，是的極大值點(diǎn)，A正確；對于B，在上單調(diào)遞減，，則，B錯(cuò)誤；對于C，當(dāng)時(shí)，，，，C正確；對于D，令，，函數(shù)是奇函數(shù)，函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，則函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，若函數(shù)的圖象還有一個(gè)對稱中心，則，而不為常數(shù)，因此點(diǎn)不是函數(shù)圖象的對稱中心，即函數(shù)的圖象有且只有一個(gè)對稱中心，則曲線有且只有一個(gè)對稱中心，且該對稱中心坐標(biāo)為，D正確.故選：ACD11.已知函數(shù)，對定義域內(nèi)任意，都有，則正實(shí)數(shù)的取值可能是（）A. B. C.1 D.【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)已知條件將問題轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)，化為，求，根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)正負(fù)情況可得在上恒成立，構(gòu)造函數(shù)，求，根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最值即可解題.【詳解】因?yàn)椋裕钥苫癁椋矗涣睿瑒t有對于定義域內(nèi)任意，都有，所以在上單調(diào)遞減，所以在上，；因?yàn)椋裕矗驗(yàn)椋裕矗涣睿?dāng)時(shí)，解得，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；可化為，，因?yàn)樗裕挥桑芍?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，根據(jù)在上的單調(diào)性以及的正負(fù)情況，有：若，則在上恒成立，所以，即在上恒成立；令，則，，解得，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增減，所以時(shí)，取得最大值，，所以；因?yàn)椋鶟M足題意，不合題意，所以ACD正確，B錯(cuò)誤.故選：ACD.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：隱蔽性指對同構(gòu)，需要補(bǔ)因式，如：，兩邊同乘以，化為，即.第Ⅱ卷三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知直線與曲線在點(diǎn)處的切線垂直，則直線的斜率為________.【答案】##【解析】【分析】應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線的斜率，即可得直線的斜率.【詳解】由題設(shè)，則，所以與曲線在點(diǎn)處的切線垂直的直線斜率為.故答案為：13.若函數(shù)，則使得成立的的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)的單調(diào)性，得出等價(jià)于，求解即可.【詳解】由可得：函數(shù)定義域?yàn)椋?因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立,所以，則函數(shù)為上的增函數(shù).所以等價(jià)于，解得：.故答案為：.14.已知函數(shù)，函數(shù)，若函數(shù)恰有三個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是_____________．【答案】【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)法，作出函數(shù)的大致圖象，令，或，由沒有解，得到的解的個(gè)數(shù)與方程解的個(gè)數(shù)相等求解.【詳解】解：當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，與一次函數(shù)相比，函數(shù)增長更快，從而，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，與對數(shù)函數(shù)相比，一次函數(shù)增長更快，從而當(dāng)，且時(shí)，，根據(jù)以上信息，可作出函數(shù)的大致圖象：令，得或，由圖象可得沒有解，所以方程的解的個(gè)數(shù)與方程解的個(gè)數(shù)相等，而方程的解的個(gè)數(shù)與函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)相等，由圖可知：當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有3個(gè)交點(diǎn)．故答案為：四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知函數(shù)（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．【答案】（1）（2）單調(diào)增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為.【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)幾何意義，求出曲線在點(diǎn)處的切線方程即可；（2）利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可.【小問1詳解】，則，則切線的斜率，又，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為．【小問2詳解】，則，由，可得或；由，可得，所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為．16.已知函數(shù)在處的切線方程為.（1）求a的值；（2）證明：時(shí)，.【答案】（1）1（2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)在某點(diǎn)處的切線方程與該點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)的關(guān)系來求解的值；（2）通過構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而證明不等式.【小問1詳解】已知函數(shù)，對其求導(dǎo)可得.因?yàn)楹瘮?shù)在處的切線方程為，將代入可得：.由于切線方程為，其斜率為，所以，解得.【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，.要證明時(shí)，，即證明，移項(xiàng)可得.設(shè)，，對求導(dǎo)得.因?yàn)榈闹涤蚴牵詫τ冢校?這說明在上單調(diào)遞減.那么，將代入可得.所以，即時(shí)，.17.將一個(gè)邊長為1米的正六邊形鐵皮的六個(gè)角截去六個(gè)全等的四邊形，再把它沿虛線折起（如圖），做成一個(gè)無蓋的正六棱柱鐵皮盒.（1）試把這個(gè)正六棱柱鐵皮盒的容積表示為盒底邊長的函數(shù)；（2）多大時(shí)，盒子的容積最大？并求出最大值.【答案】（1）（2）當(dāng)米時(shí)，盒子的容積最大為立方米【解析】【分析】（1）求出盒子的高、盒子的底面積，得盒子的容積；（2）由（1）可得，利用導(dǎo)數(shù)求出的最大值即可.【小問1詳解】如圖，，則盒子的高，所以盒子的底面積，所以盒子的容積，【小問2詳解】由（1）可得，所以，令，解得（舍去），所以當(dāng)時(shí)，則單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，則單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)取得極大值，即最大值，所以當(dāng)米時(shí)，盒子的容積最大為立方米.18.已知函數(shù)，其中.（1）討論的單調(diào)性；（2）證明:在上均恰有一個(gè)零點(diǎn).【答案】（1）答案見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）通過求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)來判斷函數(shù)的增減區(qū)間；（2）結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性以及特殊點(diǎn)的函數(shù)值，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理來確定零點(diǎn)個(gè)數(shù).【小問1詳解】首先求函數(shù)的定義域和導(dǎo)數(shù).函數(shù)的定義域?yàn)?對求導(dǎo)可得，，.然后令，即，則，解得或.接著分情況討論：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號.所以在上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，.在區(qū)間和上，，所以在，上單調(diào)遞增；在區(qū)間上，，所以在上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，.在區(qū)間和上，，所以在，上單調(diào)遞增；在區(qū)間上，，所以在上單調(diào)遞減.綜上所得，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，且，由（1）可知，當(dāng)時(shí)，在取得極大值，在上恰有一個(gè)零點(diǎn).當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增.在上恰有一個(gè)零點(diǎn).當(dāng)時(shí)，在取得極大值，且，所以在上恰有一個(gè)零點(diǎn).綜上所得，，在上均恰有一個(gè)零點(diǎn).【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，考查利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)問題，解題的關(guān)鍵是分類討論思想的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化能力，通過構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求解即可，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力，屬于難題.19.已知（1）設(shè)，求的極值．（2）若在上恒成立，求的取值范圍．（3）若存在常數(shù)，使得對任意，恒成立，則稱在上有上界，函數(shù)稱為有上界函數(shù)．如是在上沒有上界的函數(shù)，是在上沒有上界的函數(shù)；都是在上有上界的函數(shù)．若，則是否在上有上界?若有，求出上界；若沒有，給出證明．【答案】（1）極小值，沒有極大值（2）（3）沒有，證明見解析【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求得的極值.（2）構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)以及不等式恒成立的知識求得的取值范圍.（3）根據(jù)（1）的結(jié)論，利用放縮法、綜合法證得沒有上界.【小問1詳解】，令，解得.所以在上單調(diào)遞減；上，單