【專題7.1幾何體的表面積與體積】總覽題型總覽題型梳理一．考情分析考點要求考題統計考情分析1.認識柱、錐、臺、球及其簡單組合體的結構特征，并能運用這些特征描述現實生活中簡單物體的結構。2.能畫出簡單空間圖形（長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡易組合）的三視圖，能識別上述三視圖所表示的立體模型，會用斜二測法畫出它們的直觀圖。3.會用平行投影與中心投影兩種方法畫出簡單空間圖形的三視圖與直觀圖，了解空間圖形的不同表示形式。4.理解柱、錐、臺、球的表面積與體積的計算公式，能運用公式計算一些簡單組合體的表面積和體積。5.會利用割補法、等體積法等數學方法求一些不規則幾何體的體積。6.能根據幾何體的三視圖或直觀圖，求幾何體的表面積或體積，以及解決與之相關的一些實際問題。7.能運用空間幾何體的表面積與體積公式，結合相關幾何知識，解決一些與最值、范圍有關的問題。2024年 新課標Ⅰ卷：未明確單獨考查該知識點，可能融合在其他立體幾何綜合題中。 甲卷：理科第14題，5分。 天津卷：第9題，5分。2023年 新課標Ⅰ卷：第12題，5分；第14題，5分，共10分。 乙卷：理科第8題，5分。 甲卷：文科第10題，5分。 天津卷：第8題，5分。1.考查題型與分值：題型以選擇題、填空題為主，偶爾在解答題中有所涉及。選擇題、填空題一般每題分值為5分，在新高考中，若考查兩個小題，占比分值約為10分；若考查一個小題和一個解答題，占比分值約為18分22分。2.命題熱點：空間幾何體的結構特征、表面積和體積的計算是命題熱點，主要考查柱、錐、臺、球及簡單組合體的相關計算。3.能力要求：要求考生具備較強的空間想象能力、計算能力，能用轉化與化歸的思想解題，通過對空間幾何體的表面積與體積的計算，考查直觀想象能力與數學運算能力。4.綜合考查：常與空間點、線、面的位置關系等知識綜合考查，在解答題中，可能會先證明線面關系、面面關系，再涉及幾何體表面積或體積的計算。5.難度分析：選擇題、填空題難度中等，若出現在解答題中，通常屬于中等偏上難度二：知識講解與題型分類【題型一：圓錐的表面積與體積】【知識講解】圓錐的定義以直角三角形的一條直角邊所在直線為旋轉軸，其余兩邊旋轉形成的面所圍成的旋轉體叫做圓錐。旋轉軸叫做圓錐的軸，垂直于軸的邊旋轉而成的圓面叫做圓錐的底面，不垂直于軸的邊旋轉而成的曲面叫做圓錐的側面，這條邊無論旋轉到什么位置，都叫做圓錐側面的母線。圓錐的表面積計算公式：。其中是底面半徑，是母線長。公式推導：圓錐的表面積由側面積和底面積組成。圓錐的側面展開圖是一個扇形，扇形的弧長等于圓錐底面圓的周長，半徑為圓錐的母線長。根據扇形面積公式（這里為弧長，為半徑），可得圓錐側面積為。圓錐的底面積為，所以圓錐的表面積。圓錐的體積計算公式：，其中是底面半徑，是圓錐的高。公式推導：可以通過實驗法或積分法來推導圓錐體積公式。實驗法通常是用等底等高的圓柱和圓錐容器，將圓錐容器裝滿水倒入圓柱容器中，會發現三次剛好倒滿，所以圓錐體積是等底等高圓柱體積的，而圓柱體積，故圓錐體積。圓錐相關元素的關系圓錐的高、底面半徑和母線構成直角三角形，滿足勾股定理。通過這個關系，已知其中兩個量，就可以求出第三個量，進而計算圓錐的表面積和體積。例題精選例題精選【例題1】（2025·黑龍江·一模）已知圓錐的軸截面是一個斜邊長為的等腰直角三角形，則圓錐的表面積為（

）A． B． C． D．【例題2】（2025·四川自貢·二模）已知圓錐的母線長是底面半徑的2倍，則該圓錐的側面積與表面積的比值為（

）A． B． C． D．2【例題3】（2025·山西臨汾·二模）已知圓錐的底面半徑為，其側面展開圖為個圓，則該圓錐的母線長為（

）A．4 B． C． D．相似練習相似練習【相似題1】（2025·河北·三模）已知底面半徑為的圓錐其軸截面面積為，過圓錐頂點的截面面積最大值為，若，則該圓錐的側面積為（

）A． B． C． D．【相似題2】（2025·吉林長春·二模）如圖，過圓錐的軸的截面邊長為4的正三角形，過的中點作平行于底面的截面，以截面為底面挖去一個圓柱，則余下幾何體的表面積為（

）A． B． C． D．【相似題3】（2025·北京·模擬預測）已知某圓錐高，軸截面為等腰直角三角形，則其側面積，體積.【相似題4】（2425高二下·上海·階段練習）將一斜邊長為2的等腰直角三角形以其一直角邊所在直線為旋轉軸旋轉一周，所形成的幾何體的側面積為．【題型二：圓柱的表面積與體積】【知識講解】圓柱的定義以矩形的一邊所在直線為旋轉軸，其余三邊旋轉形成的面所圍成的旋轉體叫做圓柱。旋轉軸叫做圓柱的軸，垂直于軸的邊旋轉而成的圓面叫做圓柱的底面，平行于軸的邊旋轉而成的曲面叫做圓柱的側面，該邊無論旋轉到什么位置，都叫做圓柱側面的母線。圓柱的表面積計算公式：。這里為底面半徑，為圓柱的高。公式推導：圓柱的表面積由兩個底面圓的面積和側面面積組成。底面圓的面積根據圓的面積公式，所以兩個底面圓面積為。圓柱側面展開圖是一個矩形，矩形的一邊長等于圓柱底面圓的周長，另一邊長為圓柱的高，根據矩形面積公式，所以側面積為。那么圓柱的表面積。圓柱的體積計算公式：，其中是底面半徑，是圓柱的高。公式推導：我們可把圓柱看作是由無數個底面圓疊加而成。底面積為，疊加的高度為，根據柱體體積通用公式（是底面積，是高），所以圓柱體積。圓柱各元素關系圓柱的高與母線長相等，且母線垂直于底面。知道圓柱的高和底面半徑，就能利用上述公式計算其表面積和體積。需要注意的是，圓柱的高、底面半徑與母線長并不都相等，只有高和母線長相等。圓柱外接球半徑的計算公式如下：當圓柱底面半徑為，高為時，。此公式的推導是基于圓柱外接球的性質，即外接球的球心到圓柱上下底面圓心的距離相等且為，球心到底面圓周上任意一點的距離為外接球半徑，根據勾股定理可得上述公式。圓柱外接球的表面積公式為，體積公式為，將前面所求的代入這兩個公式，就可以計算出圓柱外接球的表面積和體積。例題精選例題精選【例題1】（2025·福建泉州·一模）已知圓柱的底面半徑與球的半徑均為1，且圓柱的側面積等于球的表面積，則該圓柱的母線長等于（

）A．1 B．2 C．3 D．4【例題2】（2425高二下·河南·階段練習）已知某圓柱的表面積為，則該圓柱的體積的最大值為（

）A． B． C． D．【例題3】（2425高三上·云南昆明·期末）四面體各個面都是邊長為2的正三角形，其三個頂點在圓柱的下底面圓周上，另一個頂點是上底面的圓心，則圓柱的外接球的表面積（

）A． B． C． D．相似練習相似練習【相似題1】（2023·江蘇·三模）已知底面半徑為的圓錐，其軸截面是正三角形，它的一個內接圓柱的底面半徑為，則此圓柱與圓錐的側面積的比值為（

）A． B． C． D．【相似題2】（2024高三·全國·專題練習）已知某圓柱的高和底面直徑均為4，某圓錐與該圓柱的底面積和側面積相等，則該圓錐的體積為（

）A． B． C． D．【相似題3】（2425高三上·遼寧·期末）已知圓柱與圓錐的高均為2，且二者底面半徑相等，若圓柱的側面積與圓錐的表面積相等，則圓錐的體積為.【相似題4】（2425高三上·山東·階段練習）已知圓柱的軸截面是邊長為的正方形，圓錐的軸截面是邊長為的等邊三角形，若圓柱與圓錐的表面積相等，則．【相似題5】（2425高三上·北京·期末）已知圓柱和圓錐的底面半徑相等，側面積相等，且它們的高均為，則圓錐的體積為.【題型三：圓臺的表面積與體積】【知識講解】圓臺的定義用一個平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面與截面之間的部分叫做圓臺。圓臺也可以看作是由直角梯形繞垂直于底邊的腰所在直線旋轉而成的旋轉體。圓臺的表面積計算公式：，其中為上底面半徑，為下底面半徑，為母線長。公式推導：圓臺的表面積等于上底面面積、下底面面積與側面積之和。上底面面積為，下底面面積為。圓臺的側面展開圖是一個扇環，扇環的面積可以通過大扇形面積減去小扇形面積得到。設扇環的圓心角為，大扇形的半徑為，小扇形的半徑為，則。根據扇形面積公式（為扇形半徑），以及弧長公式（為弧長），可得圓臺側面積為。所以圓臺的表面積。圓臺的體積計算公式：，其中為圓臺的高，為上底面半徑，為下底面半徑。公式推導：圓臺的體積可以通過大圓錐體積減去小圓錐體積得到。設大圓錐的高為，小圓錐的高為，則。根據圓錐體積公式，可得圓臺體積為。由相似三角形的性質可知，即，又因為，所以，。將和代入體積公式并化簡，可得。設圓臺的上底面半徑為，下底面半徑為，高為，圓臺外接球半徑為。首先求圓臺上下底面所在圓面的圓心，到圓臺軸截面與上下底面交點的距離，，由相似三角形可得，。然后根據勾股定理可得外接球半徑公式：。圓臺外接球的表面積公式為，體積公式為，將前面所求的代入這兩個公式，就可以計算出圓臺外接球的表面積和體積。例題精選例題精選【例題1】（2425高三下·重慶·階段練習）已知圓臺上下底面圓的半徑分別為1，3，母線長為4，則該圓臺的表面積為（

）A． B． C． D．【例題2】（2425高三下·重慶渝中·階段練習）已知高為4的圓臺存在內切球，其下底半徑為上底半徑的4倍，則該圓臺的表面積為（

）A． B． C． D．【例題3】（2025·安徽滁州·一模）中國被稱為“制扇王國”，折扇的起源歷史悠久，最早可以追溯到西漢時期.現有一把折扇，其結構如圖.完全展開后扇面的圓心角為，上板長為若把該扇面圍成一個圓臺，則圓臺的高為（）A． B． C． D．相似練習相似練習【相似題1】（2025·廣東廣州·一模）已知球的表面積為，一圓臺的上、下底面圓周都在球的球面上，且下底面過球心，母線與下底面所成角為，則該圓臺的側面積為（

）A． B． C． D．【相似題2】（2025高三·全國·專題練習）底面半徑為3的圓錐被平行底面的平面所截，截去一個底面半徑為1、高為1的圓錐，所得圓臺的體積為（

）A． B． C． D．【相似題3】（2025高三·全國·專題練習）已知圓臺的高為，且同時過上、下底面直徑縱截面的等腰梯形的周長為10，面積為，則該圓臺的體積為（

）A． B． C． D．【相似題4】（2025·寧夏銀川·一模）已知一個球與某圓臺的上下底面和側面均相切，若圓臺的側面積為，上下底面面積之比為，則該球的表面積為.【題型四：棱錐的表面積與體積】【知識講解】一、棱錐的定義有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的多面體叫做棱錐。這個多邊形面叫做棱錐的底面，有公共頂點的各個三角形面叫做棱錐的側面，各側面的公共頂點叫做棱錐的頂點，相鄰側面的公共邊叫做棱錐的側棱。根據底面多邊形的邊數，棱錐分為三棱錐、四棱錐等，其中三棱錐又被稱為四面體。二、棱錐的表面積計算公式：棱錐的表面積。其中是底面多邊形的面積，是各個側面三角形面積之和。若底面是正邊形，邊長為，邊心距（正多邊形的中心到邊的距離）為，則底面面積（對于常見的正三角形，；對于正方形，等）。設棱錐的側棱長為，對于正棱錐（底面是正多邊形，且頂點在底面的射影是底面正多邊形的中心的棱錐），側面三角形的高（斜高）為，則一個側面三角形的面積為，個側面面積。公式推導：表面積就是組成棱錐的各個面的面積總和。底面多邊形根據其形狀利用相應的多邊形面積公式計算。對于側面，因為每個側面都是三角形，根據三角形面積公式，在正棱錐中，底面邊長為三角形的底，斜高為三角形的高，將各個側面三角形面積相加就得到側面積，再加上底面積就得到棱錐的表面積。例如，正三棱錐底面是正三角形，邊長為，其面積，若側棱長為，斜高，三個側面面積，則正三棱錐表面積。三、棱錐的體積計算公式：，其中是棱錐的底面面積，是棱錐的高（頂點到底面的距離）。公式推導：實驗法：準備一個等底等高的三棱柱和三棱錐。將三棱錐裝滿沙子，倒入三棱柱中，會發現三次剛好能將三棱柱裝滿。這表明三棱錐體積是等底等高三棱柱體積的。而三棱柱體積，所以三棱錐體積。對于任意棱錐，都可以通過分割成多個三棱錐，利用三棱錐體積公式推導出其體積公式同樣為。四、棱錐各元素關系在正棱錐中，設底面正多邊形中心為，頂點為，底面正多邊形邊長為，邊心距為，側棱長為，斜高為，高為。頂點在底面的射影為，則有（由直角三角形$POB$，為底面正多邊形邊的中點，根據勾股定理得到），同時在側面三角形中，。通過這些關系，已知部分元素，可以求出其他元素，進而計算棱錐的表面積和體積。正四棱錐設正四棱錐底面邊長為，高為，其外接球半徑的公式為：。推導過程如下：正四棱錐底面是正方形，其中心到底面頂點的距離為。設球心為，則，根據勾股定理可得，經過化簡整理即可得到上述公式。正三棱錐設正三棱錐底面邊長為，高為，其外接球半徑的公式為：。推導過程如下：正三棱錐底面是正三角形，其中心到底面頂點的距離為。設球心為，則，根據勾股定理可得，化簡后可得到該公式。【例題精選】【例題1】（2025·陜西商洛·三模）已知正三棱錐的底面邊長為，側面積為，則該三棱錐的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【例題2】（2425高三下·河南新鄉·階段練習）已知正三棱錐底面邊長為，且其側面積是底面積的倍，則此正三棱錐的體積為（

）A． B． C． D．【例題3】（2425高三上·寧夏銀川·階段練習）底面邊長為，且側棱長為的正四棱錐的側面積為（

）A．20 B．16 C．24 D．6相似練習相似練習【相似題1】（陜西省西安市部分學校2025屆高三下學期3月模考數學試題）已知正四棱錐的底面邊長為6，體積為48，則該四棱錐的側面積為.【相似題2】（2425高二下·河南信陽·開學考試）若正四棱錐的高為6，且所有頂點都在半徑為4的球面上，則該正四棱錐的側面積為.【相似題3】（2425高二上·上海·階段練習）一個正三棱錐高為，底面是邊長為的正三角形，則此三棱錐的側面積為．【相似題4】（2425高二上·上海·階段練習）一個直角梯形的兩底長為2和5，高為4，將其繞較長的底旋轉一周，求所得旋轉體的表面積和體積.【題型五：棱柱的表面積與體積】【知識講解】表面積：，其中是底面多邊形的面積，是各個側面三角形面積之和。對于正棱錐，若底面周長為，斜高為，則。體積：，其中是棱錐的底面積，是棱錐的高。直棱柱外接球半徑公式對于直棱柱，設底面多邊形的外接圓半徑為，直棱柱的高為，其外接球半徑的公式為。特殊直棱柱外接球半徑公式應用正三棱柱：設底面正三角形邊長為，棱柱高為。因為底面正三角形外接圓半徑，所以外接球半徑。正四棱柱：設底面正方形邊長為，棱柱高為。由于底面正方形外接圓半徑，則外接球半徑。長方體：長方體可看作特殊的直棱柱，設長方體的長、寬、高分別為、、。此時底面長方形的外接圓直徑就是長方體的面對角線，根據勾股定理可得底面外接圓半徑，那么外接球半徑。這也可以直接根據長方體的體對角線就是外接球的直徑推導得出。正方體：正方體是特殊的長方體，設正方體棱長為，則其外接球半徑。這是因為正方體的體對角線長為，而體對角線長就是外接球直徑，所以半徑為。【例題精選】【例題1】（2425高三上·河北滄州·階段練習）已知一個正四棱柱和某正四棱錐的底面邊長相等，側面積相等，且它們的高均為，則此正四棱錐的體積為（

）A． B． C． D．【例題2】（2425高二下·云南玉溪·開學考試）已知正三棱柱的所有棱長相等，且六個頂點都在球的球面上，記正三棱柱的體積為，球的體積為，則（

）A． B． C． D．【例題3】（2425高三上·山東棗莊·期末）已知直三棱柱.則直三棱柱的體積為（

）A．2 B． C．6 D．相似練習相似練習【相似題1】（2425高三下·廣東廣州·階段練習）如圖，一個直三棱柱形容器中盛有水，側棱.若側面水平放置時，水面恰好過的中點，則當底面水平放置時，水面高為（

）A．6 B．8 C．9 D．10【相似題2】（2425高三上·浙江·期末）已知正三棱柱的側面積與以的外接圓為底面的圓柱的側面積相等，則正三棱柱與圓柱的體積的比值為.【相似題3】（2425高二下·河南商丘·開學考試）在底面邊長為2的正三棱柱中，異面直線與所成角的余弦值為，則該正三棱柱的體積為．【題型六：棱臺的表面積與體積】【知識講解】棱臺的定義1.棱臺是由平行于棱錐底面的平面截棱錐得到的幾何體。原棱錐的底面和截面分別叫做棱臺的下底面和上底面，其余各面叫做棱臺的側面，相鄰側面的公共邊叫做棱臺的側棱，上、下底面之間的距離叫做棱臺的高。棱臺的表面積1.棱臺的表面積等于各個面的面積之和，即。2.上、下底面的面積：如果棱臺的上底面和下底面是相似多邊形，設上底面面積為，下底面面積為，上、下底面的相似比為（上底面邊長與下底面相應邊長的比），則。對于常見的正棱臺（由正棱錐截得的棱臺），上、下底面是正多邊形，可根據正多邊形面積公式計算面積。例如，正邊形面積公式為（為邊長）。3.側面面積：棱臺的側面是梯形。對于正棱臺，設側面梯形的高為（也稱為斜高），上底面周長為，下底面周長為，則側面積。棱臺的體積1.棱臺的體積公式為，其中為棱臺的高，為上底面面積，為下底面面積。2.這個公式可以通過將棱臺補成棱錐，利用棱錐的體積公式推導得出。設大棱錐的高為，小棱錐（被截去的部分）的高為，則。大棱錐體積，小棱錐體積，棱臺體積，經過一系列推導可得上述體積公式。設正棱臺上下底面均為正邊形，上下底面外接圓半徑分別為、，棱臺的高為，球心到上下底面的距離分別為、，外接球半徑為。根據幾何關系，有，，且。對于正邊形，其外接圓半徑與邊長有特定的關系，如正三角形，正方形等。通過已知的上下底面邊長可求出、。然后利用上述關系聯立方程求解。例如，由和可得： 將代入可得： 這是正棱臺外接球半徑的一個表達式，實際問題中可根據具體數據代入計算。對于非正棱臺，一般需要通過更復雜的幾何分析或借助空間向量等方法來確定外接球的相關參數【例題精選】【例題1】（2025·貴州黔東南·一模）已知第一個正四棱臺的上底面邊長為，下底面邊長為，側棱長為4cm，第二個正四棱臺的上底面、下底面邊長與第一個相同，但高為第一個正四棱臺的3倍，則第二個正四棱臺的體積為（

）A． B． C． D．【例題2】（2025高三·全國·專題練習）已知正四棱臺，，分別是棱，的中點，平面將正四棱臺割成兩部分，則較小部分與較大部分的體積之比為（

）A． B． C． D．【例題3】（2025·河南·一模）已知某正四棱臺的上、下底面面積分別為1，16，高為2，則該正四棱臺的體積為（

）A．12 B．14 C．15 D．16相似練習相似練習【相似題1】（2425高二下·浙江·階段練習）已知正三棱臺的上、下底面的邊長分別為2和4，高為1，則此三棱臺的體積是（

）A． B． C． D．【相似題2】（2025·黑龍江齊齊哈爾·二模）已知正三棱臺的上底面邊長為，高為，體積為，則該正三棱臺的外接球表面積為（

）A． B． C． D．【相似題3】（2025·寧夏石嘴山·一模）正四棱臺的體積為，，，則直線AB1與直線BD所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【相似題4】（2425高一下·浙江杭州·階段練習）已知正四棱臺的上下底面分別是邊長為2和4的正方形，側棱長為2，則該正四棱臺的體積為．【相似題5】（2025高三·全國·專題練習）已知正三棱臺中，，，側棱，則該棱臺的體積為．課后針對訓練【高考真題感悟】課后針對訓練一、單選題1．（2021·新高考全國Ⅱ卷·高考真題）正四棱臺的上?下底面的邊長分別為2，4，側棱長為2，則其體積為（

）A． B． C． D．2．（2022·新高考全國Ⅰ卷·高考真題）南水北調工程緩解了北方一些地區水資源短缺問題，其中一部分水蓄入某水庫.已知該水庫水位為海拔時，相應水面的面積為；水位為海拔時，相應水面的面積為，將該水庫在這兩個水位間的形狀看作一個棱臺，則該水庫水位從海拔上升到時，增加的水量約為（）（

）A． B． C． D．3．（2022·新高考全國Ⅱ卷·高考真題）已知正三棱臺的高為1，上、下底面邊長分別為和，其頂點都在同一球面上，則該球的表面積為（

）A． B． C． D．4．（2003·全國·高考真題）如果圓臺的母線與底面成角，那么這個圓臺的側面積與軸截面面積的比為（

）A． B． C． D．5．（2003·全國·高考真題）已知圓錐的底面半徑為R，高為，它的內接圓柱的底面半徑為，該圓柱的全面積為（

）A． B． C． D．6．（2023·全國乙卷·高考真題）已知圓錐PO的底面半徑為，O為底面圓心，PA，PB為圓錐的母線，，若的面積等于，則該圓錐的體積為（

）A． B． C． D．7．（2024·廣東江蘇·高考真題）已知圓柱和圓錐的底面半徑相等，側面積相等，且它們的高均為，則圓錐的體積為（

）A． B． C． D．8．（2021·天津·高考真題）兩個圓錐的底面是一個球的同一截面，頂點均在球面上，若球的體積為，兩個圓錐的高之比為，則這兩個圓錐的體積之和為（

）A． B． C． D．9．（2022·新高考全國Ⅰ卷·高考真題）已知正四棱錐的側棱長為l，其各頂點都在同一球面上.若該球的體積為，且，則該正四棱錐體積的取值范圍是（

）A． B． C． D．10．（2022·全國甲卷·高考真題）甲、乙兩個圓錐的母線長相等，側面展開圖的圓心角之和為，側面積分別為和，體積分別為和．若，則（

）A． B． C． D．11．（2022·天津·高考真題）十字歇山頂是中國古代建筑屋頂的經典樣式之一，左圖中的故宮角樓的頂部即為十字歇山頂.其上部可視為由兩個相同的直三棱柱重疊而成的幾何體（如右圖）.這兩個直三棱柱有一個公共側面ABCD.在底面BCE中，若,,則該幾何體的體積為（

）A． B． C．27 D．12．（2023·天津·高考真題）在三棱錐中，