【專題2.5指數(shù)對數(shù)運算】總覽總覽題型梳理題型題型分類知識講解與常考題型【題型1：指數(shù)運算】知識講解知識講解指數(shù)的基本概念指數(shù)的定義：一般地，形如（，為正整數(shù)）的式子叫做指數(shù)式，其中叫做底數(shù)，叫做指數(shù)。表示個相乘，即（個）。例如，。指數(shù)的推廣： 當(dāng)時，規(guī)定（）。因為任何非零數(shù)的次方都等于，這是為了保證指數(shù)運算的連續(xù)性和一致性。 當(dāng)為負(fù)整數(shù)時，（）。例如，。 當(dāng)為分?jǐn)?shù)時，（，$m,n$為互質(zhì)的正整數(shù)，）。例如，。指數(shù)運算法則同底數(shù)冪相乘：（，$m,n$為實數(shù)）。例如，。同底數(shù)冪相除：（，$m,n$為實數(shù)）。例如，。冪的乘方：（，$m,n$為實數(shù)）。例如，。積的乘方：（，為實數(shù)）。例如，。商的乘方：（，為實數(shù)）。例如，。例題精選例題精選【例題1】（2425高一上·全國·課后作業(yè)）已知，則（

）A． B． C． D．【例題2】（2425高一上·全國·課后作業(yè)）化簡.【例題3】（2425高一上·全國·課后作業(yè)）（1）已知，求的值；（2）已知，求的值．相似練習(xí)相似練習(xí)【相似題1】（2425高一上·全國·課后作業(yè)）計算下列各式：(1)；(2)；(3)．【相似題2】（2425高一上·全國·課后作業(yè)）計算下列各式：(1)；(2)．【相似題3】（2425高一上·全國·課后作業(yè)）計算下列各式（式中字母都是正數(shù)）：(1)；(2)；(3)；(4).【題型2：指數(shù)對數(shù)互化】知識講解知識講解轉(zhuǎn)化的依據(jù)1.若（，且），那么叫做以為底的對數(shù)，記作。其中，叫做對數(shù)的底數(shù)，叫做真數(shù)。2.例如，，根據(jù)指數(shù)與對數(shù)的轉(zhuǎn)化關(guān)系，可寫成。轉(zhuǎn)化的規(guī)則1.指數(shù)式與對數(shù)式是等價的，它們之間的轉(zhuǎn)化規(guī)則如下： 指數(shù)式中的底數(shù)，在對數(shù)式中仍然是底數(shù)。 指數(shù)式中的指數(shù)，在對數(shù)式中成為對數(shù)的值。 指數(shù)式中的冪，在對數(shù)式中是真數(shù)。特殊情況1.當(dāng)時，對數(shù)通常記為，稱為常用對數(shù)。例如，，可寫成。2.當(dāng)（，是自然常數(shù)）時，對數(shù)記為，稱為自然對數(shù)。例如，，可寫成。轉(zhuǎn)化的應(yīng)用1.求解指數(shù)方程：通過將指數(shù)方程轉(zhuǎn)化為對數(shù)方程來求解未知數(shù)。例如，對于方程，轉(zhuǎn)化為對數(shù)形式，因為，所以。2.求解對數(shù)方程：有時也需要將對數(shù)方程轉(zhuǎn)化為指數(shù)方程來求解。例如，方程，轉(zhuǎn)化為指數(shù)形式，即。3.簡化計算：在一些復(fù)雜的計算中，利用指數(shù)與對數(shù)的轉(zhuǎn)化可以將乘法、除法運算轉(zhuǎn)化為加法、減法運算，從而簡化計算過程。例如，計算，可先將其轉(zhuǎn)化為指數(shù)形式，再利用指數(shù)運算法則，因為，，所以，即。例題精選例題精選【例題1】（2223高三上·海南省直轄縣級單位·階段練習(xí)）若，則（

）A． B． C． D．【例題2】（2425高三上·江蘇南京·開學(xué)考試）已知，，則（

）A．5 B．6 C．7 D．12【例題3】（2324高二下·福建南平·期末）若，，則（

）A．10 B．20 C．50 D．100相似練習(xí)相似練習(xí)【相似題1】（2425高一上·全國·課后作業(yè)）若，，則的值為．【相似題2】（2526高一上·全國·課后作業(yè)）已知，則的值為．【相似題3】（2023高一上·全國·專題練習(xí)）將下列指數(shù)式、對數(shù)式互化.(1)；(2)；(3)；(4).【題型3：對數(shù)的加減運算以及對數(shù)恒等式】知識講解知識講解基本性質(zhì)1.零和負(fù)數(shù)沒有對數(shù)：因為對數(shù)函數(shù)的定義域是正實數(shù)，所以在中，。例如，是無意義的。2.：因為（且），所以。例如，。3.：由于（且），所以。例如，。對數(shù)運算公式1.積的對數(shù)：（，，，）。例如，。2.商的對數(shù)：（，，，）。例如，。3.冪的對數(shù)：（，，）。例如，。4.換底公式：（，，，，）。例如，計算，可以利用換底公式轉(zhuǎn)化為以$10$為底的對數(shù)，即。由換底公式還可以得到以下兩個推論： 推論1：（，，，）。例如，。 推論2：（，，，）。例如，。對數(shù)恒等式1.（，，）。例如，。這個恒等式表明，對數(shù)運算和指數(shù)運算互為逆運算，將以為底取對數(shù)后再進(jìn)行以為底的指數(shù)運算，結(jié)果還是。2.（，）。例如，。它體現(xiàn)了對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系，的次冪的以為底的對數(shù)就是指數(shù)。例題精選例題精選【例題1】（2425高二下·云南昆明·階段練習(xí)）已知，則（

）A． B． C． D．【例題2】（2025·海南海口·模擬預(yù)測）若，，則（

）A．1 B． C．2 D．【例題3】（2025·湖南·二模）已知實數(shù)滿足，且，則.相似練習(xí)相似練習(xí)【相似題1】（2425高二下·天津·階段練習(xí)）（1）已知，，求的值；（2）計算.【相似題2】（2425高一下·廣西崇左·階段練習(xí)）（1）計算：；（2）已知，，求ab的值.【相似題3】（2223高一上·云南昭通·階段練習(xí)）計算求值：(1)；(2).【題型4：對數(shù)的換底公式】知識講解知識講解1.換底公式：（，，，，）。 例如，計算，可以利用換底公式轉(zhuǎn)化為以$10$為底的對數(shù)，即。也可以轉(zhuǎn)化為以為底的自然對數(shù)來計算，。2.換底公式的推論1：（，，，）。 例如，，因為，所以。3.換底公式的推論2：（，，，）。 例如，。例題精選例題精選【例題1】（2025·寧夏吳忠·一模）若，且，則（

）A． B．C． D．【例題2】（2025高三下·全國·專題練習(xí)）若，，則（

）A． B．1 C．3 D．4【例題3】（2425高三下·河南·開學(xué)考試）已知且，則a=（

）A．64 B．32 C．16 D．8相似練習(xí)相似練習(xí)【相似題1】（2425高一下·上海·階段練習(xí)）已知，，用，表示．【相似題2】（2425高一下·湖南常德·階段練習(xí)）已知，則．【相似題3】（2425高三上·河南信陽·期末）已知，則.【相似題4】（2425高一上·山西晉中·期末）已知（），則.【相似題5】（2425高一下·江蘇揚州·階段練習(xí)）計算：(1)；(2)已知，試用表示.【題型5：指數(shù)運算的實際應(yīng)用】知識講解知識講解1.理解題意： 仔細(xì)閱讀題目，明確題目所描述的實際情境，確定是人口增長、金融復(fù)利、放射性衰變等哪一類指數(shù)應(yīng)用問題。 找出題目中給出的關(guān)鍵信息，如初始值、增長率或衰減率、時間等相關(guān)數(shù)據(jù)。2.選擇合適的公式： 根據(jù)問題類型，選擇對應(yīng)的指數(shù)運算公式。例如，人口增長用，復(fù)利計算用或，放射性衰變用等。3.代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計算： 將題目中給出的具體數(shù)值代入所選公式中。 注意單位的統(tǒng)一和數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性，按照指數(shù)運算規(guī)則進(jìn)行計算。例題精選例題精選【例題1】（2025·北京房山·一模）自然界中，大多數(shù)生物存在著世代重疊現(xiàn)象，它們在生活史中會持續(xù)不斷地繁殖后代，且有時不同的世代能在同一時間進(jìn)行繁殖.假定某類生物的生長發(fā)育不受密度制約時，其增長符合模型：，其中為種群起始個體數(shù)量，為增長系數(shù)，為時刻的種群個體數(shù)量.當(dāng)時，種群個體數(shù)量是起始個體數(shù)量的2倍.若，則（

）A．300 B．450 C．600 D．750【例題2】（2025·廣東汕頭·模擬預(yù)測）某食品保鮮時間（單位：小時）與儲藏溫度（單位：℃）滿足函數(shù)關(guān)系（，為常數(shù)）若該食品在的保鮮時間是168小時，在的保鮮時間是42小時，則該食品在的保鮮時間是（

）A．21小時 B．22小時 C．23小時 D．24小時【例題3】（2425高二上·云南曲靖·期中）2023年8月29日，華為發(fā)布了備受矚目的Mate60系列智能，在國際市場上引起了廣泛關(guān)注.盡管面臨外國技術(shù)封鎖和制裁，華為仍然憑借自主研發(fā)的創(chuàng)新技術(shù)，成功推出了這款被網(wǎng)友稱為“爭氣機”的新一代旗艦產(chǎn)品.Mate60系列搭載了華為自主研發(fā)的最新芯片，其性能和穩(wěn)定性得到了極大提升.在電池續(xù)航、圖像處理和用戶體驗等方面均有顯著突破，展現(xiàn)了華為在高科技領(lǐng)域的實力和韌性.華為Mate60智能的核心部件之一是其自主研發(fā)的芯片，研究發(fā)現(xiàn)，該芯片的性能隨著時間的推移會經(jīng)歷指數(shù)型衰減.假設(shè)芯片的性能衰減可以用函數(shù)大致描述，其中表示時間（單位：年），是經(jīng)過年后的性能指標(biāo)，是測試開始時的初始性能指標(biāo)量.則根據(jù)上述函數(shù)模型，若該芯片使用5年，性能大約降至最初的（

）（參考數(shù)據(jù)：，）A． B． C． D．相似練習(xí)相似練習(xí)【相似題1】（2425高一上·北京順義·期末）通過科學(xué)研究發(fā)現(xiàn)：地震時釋放的能里（單位：焦耳）與地震里氏震級之間的關(guān)系為.已知2011年甲地發(fā)生里氏9.2級地震，2019年乙地發(fā)生里氏7.4級地震，若甲，乙兩地地震釋放能量分別為，則（

）A． B． C． D．【相似題2】（2425高三上·黑龍江·期末）已知一種物質(zhì)的某種能量N與時間t的關(guān)系為，其中m是正常數(shù)，若經(jīng)過時間，該物質(zhì)的能量由減少到，則再經(jīng)過時間，該物質(zhì)的能量為（

）A． B． C． D．【題型6：對數(shù)運算的實際應(yīng)用】知識講解知識講解精準(zhǔn)審題：全面剖析題目所描繪的實際場景，確定其所屬的應(yīng)用領(lǐng)域，比如是在化學(xué)中計算酸堿度（pH值）、在天文學(xué)里衡量天體亮度，還是在工程領(lǐng)域處理信號強度等問題。仔細(xì)篩選出題目中給出的各項關(guān)鍵信息，包括已知的對數(shù)值、真數(shù)、底數(shù)以及其他與之相關(guān)的數(shù)據(jù)。匹配公式與模型：依據(jù)所確定的問題類型，快速從對數(shù)運算的知識體系中調(diào)取適配的公式或模型。例如，若涉及酸堿度計算，會用到pH=lg[H?]（其中[H?]表示氫離子濃度）；在天文學(xué)中，星等與亮度關(guān)系常涉及對數(shù)運算模型等。倘若題目中所給的對數(shù)底數(shù)并非常用的10（常用對數(shù)）或e（自然對數(shù)），可能需要考慮運用換底公式，將其轉(zhuǎn)換為便于計算的底數(shù)形式。數(shù)據(jù)代入運算：把從題目中提取出的準(zhǔn)確數(shù)據(jù)，逐一對應(yīng)代入已選定的公式或模型之中。在進(jìn)行對數(shù)運算時，嚴(yán)格遵循對數(shù)的運算法則，像積的對數(shù)、商的對數(shù)、冪的對數(shù)等，確保計算過程的準(zhǔn)確性。例題精選例題精選【例題1】（2425高一上·湖北恩施·階段練習(xí)）“利川紅”產(chǎn)于湖北省利川市毛壩鎮(zhèn)、忠路鎮(zhèn)、柏楊壩鎮(zhèn)、文斗鄉(xiāng)、沙溪鄉(xiāng)一帶，2018年在武漢東湖中印領(lǐng)導(dǎo)人非正式會晤中，“利川紅”成為國事活動茶敘用茶.茶水的口感與茶葉類型和水的溫度有關(guān)，經(jīng)驗表明，“利川紅”用的水泡制，再等到茶水溫度降至?xí)r飲用，可以產(chǎn)生極佳口感；在室溫下，茶水溫度從開始，經(jīng)過tmin后的溫度為，可選擇函數(shù)來近似地刻畫茶水溫度隨時間變化的規(guī)律，則在上述條件下，“利川紅”茶水達(dá)到最佳飲用口感時，需要放置的時間最接近的是（

）（參考數(shù)據(jù)：）A． B． C．6min D．【例題2】（2023·北京海淀·三模）深度學(xué)習(xí)是人工智能的一種具有代表性的實現(xiàn)方法，它是以神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)為出發(fā)點的.在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化中，指數(shù)衰減的學(xué)習(xí)率模型為，其中表示每一輪優(yōu)化時使用的學(xué)習(xí)率，表示初始學(xué)習(xí)率，表示衰減系數(shù)，表示訓(xùn)練迭代輪數(shù)，表示衰減速度.已知某個指數(shù)衰減的學(xué)習(xí)率模型的初始學(xué)習(xí)率為0.5，衰減速度為18，且當(dāng)訓(xùn)練迭代輪數(shù)為18時，學(xué)習(xí)率為0.4，則學(xué)習(xí)率衰減到0.2以下（不含0.2）所需的訓(xùn)練迭代輪數(shù)至少為（

）（參考數(shù)據(jù)：）A．72 B．73 C．74 D．75【例題3】（2425高三上·重慶·開學(xué)考試）牛頓曾提出：物體在空氣中冷卻，如果物體的初始溫度為，空氣溫度為，則分鐘后物體的溫度（單位：）滿足：（k為常數(shù)）.若，空氣溫度為，某物體的溫度從下降到以下，至少大約需要的時間為（

）（參考數(shù)據(jù)：）A．25分鐘 B．32分鐘 C．35分鐘 D．42分鐘相似練習(xí)相似練習(xí)【相似題1】（2324高二下·江西九江·期末）牛頓冷卻定律（Newton'slawofcooling）是牛頓在1701年用實驗確定的：物體在空氣中冷卻，如果物體的初始溫度為，環(huán)境溫度為，則分鐘后物體的溫度（單位：）滿足：.已知環(huán)境溫度為，一塊面包從溫度為的烤箱里拿出，經(jīng)過10分鐘溫度降為，那么大約再經(jīng)過多長時間，溫度降為？（參考數(shù)據(jù)：）（

）A．33分鐘 B．28分鐘 C．23分鐘 D．18分鐘【相似題2】（2324高二下·浙江·期末）近年，“人工智能”相關(guān)軟件以其極高的智能化水平引起國內(nèi)關(guān)注，深度學(xué)習(xí)是人工智能的一種具有代表性的實現(xiàn)方法，它是以神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)為出發(fā)點的．在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化中，指數(shù)衰減的學(xué)習(xí)率模型為，其中表示每一輪優(yōu)化時使用的學(xué)習(xí)率，表示訓(xùn)練迭代輪數(shù)，則學(xué)習(xí)率衰減到0.2及以下所需的訓(xùn)練迭代輪數(shù)至少為（參考數(shù)據(jù)：）（

）A．16 B．72 C．74 D．90【相似題3】（2425高三上·黑龍江佳木斯·開學(xué)考試）塑料袋給我們生活帶來了方便，但塑料在自然界可停留長達(dá)年之久，給環(huán)境帶來了很大的危害，國家發(fā)改委、生態(tài)環(huán)境部等部門聯(lián)合印度《關(guān)于禮實推進(jìn)型科技染物理工作的通知》明確指出，年月日起，禁用不可降解的塑料袋、塑料餐具及一次性塑料吸管等，某品牌塑料袋經(jīng)自然降解后殘留量與時間年之間的關(guān)系為，其中為初始量，為光解系數(shù).已知該品牌塑料袋年后殘留量為初始量的.該品牌塑料袋大約需要經(jīng)過．年，其殘留量為初始量的（參考數(shù)據(jù)：，）課后針對訓(xùn)練課后針對訓(xùn)練一、單選題1．（2425高一下·陜西咸陽·階段練習(xí)）已知，則（

）A． B．C． D．2．（2122高三上·廣西柳州·階段練習(xí)）著名數(shù)學(xué)家?物理學(xué)家牛頓曾提出：物體在空氣中冷卻，如果物體的初始溫度為，空氣溫度為，則分鐘后物體的溫度（單位：）滿足：.若常數(shù)，空氣溫度為，某物體的溫度從下降到，大約需要的時間為（

）（參考數(shù)據(jù)：）A．16分鐘 B．18分鐘 C．20分鐘 D．22分鐘3．（2122高三上·江蘇鹽城·開學(xué)考試）已知，則等于（

）A．1 B．2 C．5 D．104．（2425高一下·廣東茂名·階段練習(xí)）已知，且，則（

）A． B． C． D．12二、填空題5．（2