3.1.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程課時(shí)教學(xué)設(shè)計(jì)題目3.1.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程一、內(nèi)容和內(nèi)容解析內(nèi)容

章引言、橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程內(nèi)容解析內(nèi)容的本質(zhì)：在阿波羅尼奧斯的《圓錐曲線論》中，三種圓錐曲線是基于平面截圓錐給出的.用一個(gè)不垂直于圓錐的軸的平面截圓錐，當(dāng)圓錐的軸與截面所成的角不同時(shí)，可以得到不同的截口曲線，它們分別是橢圓、拋物線和雙曲線，它們統(tǒng)稱為圓錐曲線.圓錐曲線在天文學(xué)、物理和光學(xué)中有廣泛的應(yīng)用.橢圓的定義本質(zhì)上也是平面內(nèi)具有一定性質(zhì)的點(diǎn)的集合；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是從代數(shù)角度認(rèn)識(shí)橢圓，建立標(biāo)準(zhǔn)方程的過(guò)程是將幾何問(wèn)題代數(shù)化的過(guò)程。蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和方法：從具體的探究活動(dòng)中，用數(shù)學(xué)的眼光觀察動(dòng)點(diǎn)軌跡，歸納出橢圓的幾何特征,進(jìn)而抽象概括出橢圓的定義，蘊(yùn)含著“數(shù)學(xué)抽象思想”；類(lèi)比圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的建立，運(yùn)用坐標(biāo)法，結(jié)合橢圓的對(duì)稱性，通過(guò)“建設(shè)限代化驗(yàn)”六步，得到橢圓的方程，體現(xiàn)用代數(shù)方法研究幾何問(wèn)題的一般思路，蘊(yùn)含著“數(shù)形結(jié)合思想”、“化歸與轉(zhuǎn)化思想”。知識(shí)的上下位關(guān)系：幾何與代數(shù)主題學(xué)習(xí)平面解析幾何，通過(guò)建立坐標(biāo)系，借助直線、圓與圓錐曲線的幾何特征，導(dǎo)出相應(yīng)方程；用代數(shù)方法研究它們的幾何性質(zhì)，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想.在第二章“直線和圓的方程”中，學(xué)生學(xué)習(xí)了確定直線與圓的幾何特征：定點(diǎn)、定方向，以及定點(diǎn)、定長(zhǎng)，并且在平面直角坐標(biāo)系中用坐標(biāo)法給出了直線與圓的方程.本節(jié)課中，我們將直線與圓的這種研究方法拓展到橢圓，確定橢圓的基本幾何量，并在平面直角坐標(biāo)系中推導(dǎo)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.本課時(shí)內(nèi)容是學(xué)生繼續(xù)學(xué)習(xí)橢圓幾何性質(zhì)的基礎(chǔ).橢圓是圓錐曲線中的代表性圖形，它與雙曲線、拋物線在概念與性質(zhì)上具有基本同構(gòu)特點(diǎn).橢圓相關(guān)內(nèi)容的學(xué)習(xí)為后續(xù)研究雙曲線、拋物線提供了基本模式和理論基礎(chǔ).因此，本節(jié)課具有承前啟后的作用。育人價(jià)值：學(xué)生通過(guò)觀察圓錐曲線在實(shí)際生活中應(yīng)用的圖片以及阿波羅尼奧斯獲得圓錐曲線的動(dòng)畫(huà)，可以感受數(shù)學(xué)文化的魅力,體會(huì)數(shù)學(xué)與生活的緊密聯(lián)系；通過(guò)開(kāi)展充分的畫(huà)橢圓的探究活動(dòng)，抽象概括橢圓定義的過(guò)程，有助于培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、抽象、概括的數(shù)學(xué)思維能力和數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)；引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程感受橢圓的定義（幾何）與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（代數(shù)）之間的聯(lián)系，同時(shí)感悟數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)以及應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想解決問(wèn)題的能力。二、學(xué)情分析1.學(xué)生已有基礎(chǔ)從知識(shí)上講，學(xué)生初中就對(duì)圓的幾何特征有了充分的了解.從方法上，通過(guò)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的學(xué)習(xí)，學(xué)生對(duì)用坐標(biāo)法研究曲線的基本思路與方法已有了解。2.學(xué)生可能遇到的難點(diǎn)學(xué)生可能遇到的難點(diǎn)有兩個(gè),一是如何提煉橢圓的幾何特征，進(jìn)而用精確的數(shù)學(xué)語(yǔ)言抽象出橢圓的定義.二是如何推導(dǎo)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，化簡(jiǎn)含有兩個(gè)根式的方程，學(xué)生可能束手無(wú)策，不能和已有的運(yùn)算經(jīng)驗(yàn)建立聯(lián)系。3.突破難點(diǎn)的策略（1）通過(guò)開(kāi)展充分的畫(huà)橢圓活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生做中學(xué)，聯(lián)系畫(huà)圓的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，建構(gòu)相應(yīng)的幾何圖形，能夠借助圖形發(fā)現(xiàn)圖形與數(shù)量的關(guān)系，提煉出橢圓的幾何特征，抽象出橢圓的定義。（2）一方面，引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合橢圓的幾何特征—對(duì)稱性建立坐標(biāo)系.另一方面，回顧已有運(yùn)算經(jīng)驗(yàn)—“平方法去除一個(gè)根號(hào)”，強(qiáng)化思維的“預(yù)測(cè)功能”.如果兩邊直接平方，后續(xù)的運(yùn)算會(huì)怎樣；如果先移項(xiàng)后兩邊平方，后續(xù)的運(yùn)算又會(huì)怎樣.具體分析后實(shí)施操作,采取小組合作的方式，設(shè)計(jì)方程化簡(jiǎn)的方案，在小組活動(dòng)中教師對(duì)運(yùn)算策略加以指導(dǎo).最后，橢圓方程中b的引入，結(jié)合圖形分析a、c與的線段，引導(dǎo)學(xué)生思考a、c與的幾何意義，理解引入b的合理性。三、目標(biāo)和目標(biāo)解析目標(biāo)（1）通過(guò)開(kāi)展繪制橢圓小組探究活動(dòng)，能夠說(shuō)出橢圓的幾何特征并抽象概括出橢圓的定義,發(fā)展數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。（2）類(lèi)比圓的標(biāo)準(zhǔn)方程研究路徑，能夠恰當(dāng)建立直角坐標(biāo)系，設(shè)計(jì)合適運(yùn)算方案，推導(dǎo)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，進(jìn)一步感悟數(shù)形結(jié)合思想和體會(huì)坐標(biāo)法的魅力與威力，發(fā)展邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)。目標(biāo)解析（1）通過(guò)小組合作在紙板上繪制橢圓的探究活動(dòng)認(rèn)識(shí)橢圓的幾何特征,能抽象概括出橢圓的定義.通過(guò)觀察動(dòng)畫(huà)能夠說(shuō)出“動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離之和必須大于兩定點(diǎn)之間的距離”的限制條件，全面準(zhǔn)確把握橢圓概念的內(nèi)涵與外延。（2）能夠結(jié)合圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)說(shuō)出橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程學(xué)習(xí)的研究方法和研究路徑并逐步開(kāi)展研究.能夠從已有運(yùn)算經(jīng)驗(yàn)—“平方法去除一個(gè)根號(hào)”出發(fā)，觀察方程結(jié)構(gòu)特征，小組合作探究設(shè)計(jì)出化簡(jiǎn)橢圓方程的方案，關(guān)注化簡(jiǎn)過(guò)程的等價(jià)性，比較不同方案的優(yōu)劣。教學(xué)重點(diǎn)橢圓的概念、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。教學(xué)難點(diǎn)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)，計(jì)算量很大。四、教學(xué)方法分析

五、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)教師活動(dòng)與數(shù)學(xué)問(wèn)題問(wèn)題或任務(wù)與學(xué)生學(xué)習(xí)活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖或評(píng)價(jià)目標(biāo)環(huán)節(jié)一內(nèi)容1：創(chuàng)設(shè)情境，引入新知引導(dǎo)語(yǔ)：前面我們用坐標(biāo)法研究了直線、圓及它們的位置關(guān)系.生產(chǎn)、生活中還有許多非常有用、有趣、我們還不太熟悉的曲線需要研究。教學(xué)情境1.解決問(wèn)題1：我們知道，用一個(gè)垂直于圓錐的軸的平面截圓錐，截口曲線（截面與圓錐側(cè)面的交線）是一個(gè)圓，如果改變截面與圓錐的軸所成的角，會(huì)得到怎樣的截口曲線呢？學(xué)習(xí)任務(wù)1．教師通過(guò)信息技術(shù)演示，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)截面與圓錐的軸所成的角不同時(shí)得到不同的截口曲線，并指出它們分別是橢圓、雙曲線、拋物線學(xué)習(xí)任務(wù)2．

環(huán)節(jié)二內(nèi)容2：實(shí)驗(yàn)探究，形成定義教學(xué)情境2.取一條定長(zhǎng)的繩子，把它的兩端都固定在圖板的同一點(diǎn)，套上鉛筆，拉緊繩子，移動(dòng)筆尖，觀察筆尖（動(dòng)點(diǎn)）畫(huà)出的軌跡是什么？再將細(xì)繩兩端拉開(kāi)一段距離，分別固定在圖板的兩點(diǎn)（如圖2），套上鉛筆，拉緊繩子，移動(dòng)筆尖（動(dòng)點(diǎn)）畫(huà)出的軌跡又是什么曲線？解決問(wèn)題2：在筆尖移動(dòng)的過(guò)程中，變化的量是什么？不變的量又是什么？你能歸納出動(dòng)點(diǎn)具有的不變性嗎？并用符號(hào)表示？學(xué)習(xí)任務(wù)1．是變量，動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和為常數(shù)，即是常數(shù)。小結(jié)：

環(huán)節(jié)三內(nèi)容3：代數(shù)運(yùn)算，建立方程【問(wèn)題3】請(qǐng)你回顧圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)方法與步驟，嘗試建立橢圓的方程.教學(xué)情境3.（1）建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系.（2）設(shè)曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)以及給出相應(yīng)各點(diǎn)的坐標(biāo).（3）尋找點(diǎn)的限制條件.（4）將坐標(biāo)代入條件，列出方程.（5）化方程為最簡(jiǎn)形式.（6）檢驗(yàn)完備性.解決問(wèn)題3：學(xué)生自主建系，教師巡視.如果學(xué)生建系使得方程比較復(fù)雜，則提出下列追問(wèn).追問(wèn)：觀察橢圓的形狀，你認(rèn)為怎樣建立坐標(biāo)系可能使所得的橢圓方程形式簡(jiǎn)單？教師活動(dòng)：（1）引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注方程的結(jié)構(gòu)特征，方程的結(jié)構(gòu)特征往往蘊(yùn)含著化簡(jiǎn)的方向.（2）引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注上述化簡(jiǎn)都是等價(jià)的，簡(jiǎn)要說(shuō)說(shuō)理由.（3）引導(dǎo)學(xué)生回顧去除一個(gè)根式的方法—平方法，面對(duì)兩個(gè)根式，在逐步化簡(jiǎn)中，通過(guò)移項(xiàng)再次平方，把陌生問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)二次平方去根式的方法，多次打開(kāi)括號(hào)，積累運(yùn)算策略.（4）④到⑤這一步目的是使方程結(jié)構(gòu)更加優(yōu)美教師活動(dòng)：（1）引導(dǎo)學(xué)生分析方程的結(jié)構(gòu)特征，先后利用兩次“移項(xiàng)再平方”的方法化簡(jiǎn)方程.（2）引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注上述化簡(jiǎn)都是等價(jià)的，簡(jiǎn)要說(shuō)說(shuō)理由.（3）教師巡視過(guò)程中給予學(xué)生適當(dāng)運(yùn)算策略的指導(dǎo).（4）引導(dǎo)學(xué)生比較不同方案的優(yōu)劣.

動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡—曲線（橢圓）是客觀存在的，在求曲線的方程時(shí)，可以建立不同的坐標(biāo)系，為了使方程簡(jiǎn)潔，不失一般性，我們要注意選擇建系的方法，比如利用橢圓的對(duì)稱性建系.

【橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)—限制條件】由橢圓定義可知，橢圓可看作點(diǎn)集：追問(wèn)：怎樣化簡(jiǎn)動(dòng)點(diǎn)滿足的三角不等式？方案一：（直接平方法）若將方程①兩邊同時(shí)平方：②將方程②進(jìn)行化簡(jiǎn)：追問(wèn)：接下來(lái)怎么進(jìn)行？預(yù)設(shè)：兩邊平方展開(kāi).即為：③將方程③兩邊同時(shí)平方：追問(wèn)：接下來(lái)怎么進(jìn)行？有沒(méi)有簡(jiǎn)化運(yùn)算的策略？方案二：（移項(xiàng)平方法）為了化簡(jiǎn)①式，我們將其左邊的一個(gè)根式移到右邊，得到：②對(duì)方程②左右平方，得：追問(wèn)：接下來(lái)怎么進(jìn)行？預(yù)設(shè)：平方展開(kāi)，移項(xiàng)，化簡(jiǎn).③對(duì)方程③兩邊平方，得：追問(wèn)：如何整理？預(yù)設(shè)：移項(xiàng)，合并同類(lèi)項(xiàng)，因式分解.整理得：④將方程④兩邊同除以得：⑤（關(guān)注）追問(wèn):將方程③變形為，你能用精確的數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻畫(huà)它的幾何意義嗎？預(yù)設(shè)：動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與點(diǎn)到定直線的距離之比為常數(shù).課堂小結(jié)

結(jié)合本節(jié)課內(nèi)容，回答下述問(wèn)題：（1）結(jié)合橢圓所學(xué)，完成下表.（2）推導(dǎo)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的方法和步驟？預(yù)設(shè)：坐標(biāo)法，“建系—設(shè)點(diǎn)—限制條件—代入坐標(biāo)—化簡(jiǎn)—檢驗(yàn)”（3）求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的方法？

六、目標(biāo)檢測(cè)與作業(yè)設(shè)計(jì)

目標(biāo)檢測(cè)作業(yè)設(shè)計(jì)1.已知橢圓方程為，為橢圓上任意一點(diǎn)，為橢圓的焦點(diǎn)，則（）A.B.C.D.2.已知的頂點(diǎn)在橢圓上，頂點(diǎn)是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，且橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)在上，則的周長(zhǎng)是（）A.B.C.D.123.橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）B.C.D.4.已知橢圓的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在橢圓上，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A.B.C.D.5.以兩條坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的橢圓過(guò)點(diǎn)和，則此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A.B.C.或D.以上都不對(duì)6.是橢圓的左焦點(diǎn)，是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)為定點(diǎn),則的最小值是()A.B.C.D.作業(yè)設(shè)計(jì)1.如果橢圓上一點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離等于6，那么點(diǎn)與另一個(gè)的距離是（）A.4B.6C.8D.142.設(shè)橢圓的焦點(diǎn)分別為和，過(guò)焦點(diǎn)作直線與橢圓交于兩點(diǎn).則的周長(zhǎng)為（）A．B.C.D.3.橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（）A.B.C.D.