第一章Maple基礎

1初識計算機代數系統Maple

1.1Maple簡介

1980年9月，加拿大Waterloo大學的符號計算機研究小組成立，開始了符號計算在計算機上實現

的研究項目，數學軟件Maple是這個項目的產品。目前，這仍是一個正在研究的項目。

Maple的第一個商業版本是1985年出版的。隨后幾經更新，到1992年，Windows系統下的Maple2面

世后,Maple被廣泛地使用,得到越來越多的用戶。特別是1994年，Maple3出版后，興起了Maple熱。

1996年初，M叩le4問世，1998年初，Maple5正式發行。目前廣泛流行的是Maple7以及2002年5月

面市的Maple8o

M叩le是一個具有強大符號運算能力、數值計算能力、圖形處理能力的交互式計算機代數系統

(ComputerAlgebraSystem)o它可以借助鍵盤和顯示器代替原來的筆和紙進行各種科學計算、數學推理、

猜想的證明以及智能化文字處理。

Maple這個超強數學工具不僅適合數學家、物理學家、工程師，還適合化學家、生物學家和社會學

家，總之，它適合于所有需要科學計算的人。

1.2Maple結構

Maple軟件主要由三個部分組成：用戶界面(Iris)、代數運算器(Kernel)、外部函數庫(External

library),用戶界面和代數運算器是用C語言寫成的，只占整個軟件的一小部分，當系統啟動時;即被

裝入，主要負責輸入命令和算式的初步處理、顯示結果、函數圖象的顯示等。代數運算器負責輸入的編

譯、基本的代數運算(如有理數運算、初等代數運算等)以及內存的管理。Maple的大部分數學函數和過

程是用Maple自身的語言寫成的，存于外部函數庫中。當一個函數被調用時，在多數情況下，Maple會

自動將該函數的過程調入內存，?些不常用的函數才需要用戶自己調入，如線性代數包、統計包等，這

使得Maple在資源的利用上具有很大的優勢，只有最有用的東西才留駐內存，這保證了M叩le可以在較

小內存的計算機上正常運行。用戶可以查看Maple的非內存函數的源程序，也可以將自己編的函數、過

程加到Maple的程序庫中，或建立自己的函數庫。

1.3Maple輸入輸出方式

為了滿足不同用戶的需要，M叩le可以更換輸入輸出格式：從菜單“QptionsIInputDisplay和Qut

Display下可以選擇所需的輸入輸出格式。

Maple7有2種輸入方式：Maple語言(MapleNotation)和標準數學記法(StandardMathNotation)?Maple

語言是利結構良好、方便實用的內建高級語言，它的語法和Pascal或C有一定程度的相似，但有很大

差別。它支持多種數據操作命令，如函數、序列、集合、列表、數組、表，還包含許多數據操作命令，

如類型檢驗、選擇、組合等。標準數學記法就是我們常用的數學語言。

啟動Maple,會出現新建文檔中的“[>”提示符，這是Maple中可執行塊的標志，在“>”后即可

輸入命令，結束用“；”(顯示輸出結果)或者“：”(不顯示輸出結果)。但是，值得注意的是，并不是說

Maple的每行只能執行一句命令，而是在一個完整的可執行塊中健入回車之后，Maple會執行當前執

行塊中所有命令(可以是若干條命令或者是一段程序)。如果要輸入的命令很長，不能在一行輸完，可以

換行輸入，此時換行命令用"shift+Enter”組合鍵，而在最后一行加入結束標志或“：”，也可在

非末行尾加符號完成。

M叩le7有4種輸出方式：Maple語言、格式化文本(CharacterNotation)＞固定格式記法(Typeset

Notation)標準數學記法(StandardMathNotation)。通常采用標準數學記法。

M叩le會認識一些輸入的變量名稱，如希臘字母等。為了使用方便，現將希臘字母表羅列如"輸

入時只需錄入相應的英文，要輸入大寫希臘字母，只需把英文首字母大寫：

a0y8￡7eIK2A

alphabetagammadeltaepsilonzetaetathetaiotakappalambdamu

VO71parV。ZwCD

nuxiomicronPirhosigmatauupsilonphichipsiomega

有時候為了美觀或特殊需要，可以采用Maple中的函數或程序設計方式控制其輸出方式，如下例：

>forito10do

printf(ni=%+2dandiA(l/2)=%+6.3fn,i,eval(sqrt(i)))；

od；

i=+landiA(l/2)=+1.000i=+2andiA(l/2)=+1.414i=+3andi八(1⑵=+1.732i=+4andiA(l/2)=+2.000i=+5and

iA(l/2)=+2.236i=+6andiA(l/2)=+2.449i=+7andiA(l/2)=+2.646i=+8andiA(l/2)=+2.828i=+9and

iA(l/2)=+3.000i=+10andiA(l/2)=+3.162

+2d的含義是帶符號的十進位整數，域寬為2。顯然，這種輸出方式不是我們想要的，為了得到更

美觀的輸出效果，在語句中加入換行控制符“\n”即可：

>forito10do

printf(ni=%+2dandiA(l/2)=%+6.3f\nn,i,eval(sqrt(i)))；

od；

i=+landiA(1/2)=+1.000

i=+2andi八(1/2)=+1.414

i=+3andiA(1/2)=+1.732

i=+4andiA(1/2)=4-2,000

i=+5andiA(l/2)=+2.236

i=+6andiA(1/2)=4-2,449

i=+7andiA(l/2)=+2.646

i=+8andiA(1/2)=4-2.828

i=+9andiA(1/2)=4-3.000

i=+10andiA(l/2)=+3.162

再看下例：將輸入的兩個數字用特殊形式打印：

>niceP：=proc(x,y)

printf(Hvalueofx=%6.4f,valueofy=%6.4fM,x,y)；

endproc；

niceP:=proc(x,y)printf(nvalueofx=%6.4f,valueofy=%6.4F',x,y)endproc

>niceP(2.4,2002,204)；

valueofx=2.4000?valueofy=2002.2040

1.4Maple聯機幫助

學會尋求聯機幫助是掌握一個軟件的鑰匙。Maple有一個非常好的聯機幫助系統，它包含了90%以

上命令的使用說明。要了解M叩le的功能可用菜單幫助“Help”，它給出Maple內容的瀏覽表，這是一

種樹結構的目錄表，跟有…的詞條說明其后還有子目錄，點擊這樣的詞條后子目錄就會出現（也可以用

Tab鍵和up,down選定）。可以從底欄中看到函數命令全稱，例如，我們選graphics—,出現該條的子

目錄，從中選2D…，再選plot就可得到作函數圖象的命令plot的完整幫助信息。一般幫助信息都有實

例，我們可以將實例中的命令部分拷貝到作業面進行計算、演示，由此可了解該命令的作用。

在使用過程中，如果對一個命令把握不準，可用鍵盤命令對某個命令進行查詢。例如，在命令區輸

入命令”?plot"（或help（plot）；）,然后回車將給出plot命令的幫助信息，或者將鼠標放在選定的要查詢

的命令的任何位置再點擊菜單中的“旦elp”即可。

2M叩le的基本運算

2.1數值計算問題

算術是數學中最古老、最基礎和最初等的一個分支，它研究數的性質及其運算，主要包括自然數、

分數、小數的性質以及他們的加、減、乘、除四則運算。在應用Maple做算術運算時，只需將Maple當

作一個“計算器”使用，所不同的是命令結束時需加“；”或

在Maple中,主要的算術運算符有"+”（加）、“-"（減卜“*”（乘）、"/”（除）以及""（乘方或騫,

或記為**），算術運算符與數字或字母一起組成任意表達式，但其中“+是最基本的運算，其余

運算均可歸諸于求和或乘積形式。算述表達式運算的次序為：從左到右，圓括號最先，暴運算優先，其

次是乘除，最后是加減。值得注意的是，“人”的表達式只能有兩個操作數，換言之，。人力八。是錯誤的，

而“+”或“*”的任意表達式可以有兩個或者兩個以上的操作數。

Maple有能力精確計算任意位的整數、有理數或者實數、復數的四則運算，以及模算術、硬件浮點

數和任意精度的浮點數甚至于矩陣的計算等等。總之，Maple可以進行任意數值計算。

但是，任何軟件或程序畢竟只是人們進行科學研究的一種必要的輔助，即便它有很多優點，但也有

它的局限性，為了客觀地認識數學軟件、認識Maple,下面通過兩個簡單例子予以說明。

第一個簡單的數值計算實例想說明Maple數值計算的答案的正確性：

>3!!!；

26012189435657951002049032270810436111915218750169457857275418378508356311569473822406785

77958130457082619920575892247259536641565162052015873791984587740832529105244690388811884

12376434119195104550534665861624327194019711390984553672727853709934562985558671936977407

00037004307837589974206767840169672078462806292290321071616698672605489884455142571939854

99448939594496064045132362140265986193073249369770477606067680670176491669403034819961881

45562519559256691883082551494294759653727484562462882423452659778973774089646655399243592

87862125159674832209760295056966999272846705637471375330192483135870761254126834158601294

47566011455420749589952563543068288634631084965650682771552996256790845235702552186222358

13001670083452344323682193579318470195651072978180435417389056072742804858399591972902172

66122912984205160675790362323376994539641914751755675576953922338030568253085999774416757

843528I591346134039460490I269542028838347101363733824484506660093348484440711931292537694

65735433737572477223018153403264717753198453734147867432704845798378661870325740593892421

570969599463055752106320326349320922073832092335630992326750440I7017605720260108292880423

35606643089888710297380797578013056049576342838683057190662205291174822510536697756603029

57404338798347151855260280533386635713910104633641976909739743228599421983704697910995630

33896046758898657957111765666700391567481531159439800436253993997312030664906013253113047

19028898491856203766669164468791125249193754425845895000311561682974304641142538074897281

72337595538066171980140467793561479363526626568333950976000000000000000000000000000000000

00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

00000000000000000000000000000000000000000000000000000000

上述運算結果在IBMPC機(1G,128M)上計算只需要0.01秒，得到如此復雜的結果(1747位)，?個

自然的問題是：答案正確嗎？

為了回答這個問題，我們借助于數值分析方法，由Stiring公式

?!?J2加?n"-exp(-n)

可得：720!。2.60091x101746,前三位數字與Maple輸出結果相同，且兩者結果均為1747位。另

外，在720!的計算中，5的因子的個數為：

這些5與足夠多的2相乘將得到178個0,而Maple的輸出結果中最后178位數為零。由此，可以

相信M叩le結果的正確性。

另一個例子則想說明Maple計算的局限性：

(一8產=?(-8)2/6=?

Maple在處理問題時，為了避免失根，從不求算術式的近似值，分數則化簡為既約分數。因此，在

Maple中很容易得到：

(_8片=(一8產6

顯然這是錯誤的。這一點可以從代數的角度予以分析。

不妨設(一8產=4貝I"+8=0,即(x+2)(尤2—2x+4)=0,顯然(—8產有3個結果，-2是其

實數結果。

另一方面，設(一8尸6=x,則f+(_8>=0,g|J：

(x3+8)(--8)=(x+2)(%-2)(x2-2x+4)(x2+2x+4)=0

顯然(-8產6有6個結果，-2、2是其實數結果。

這個簡單的例子說明了Maple在數值計算方面絕對不是萬能的，其計算結果也不是完全正確的，但

是，通過更多的實驗可以發現：Maple只可能丟失部分結果，而不會增加或很少給出完全錯誤的結果(如

上例中Maple的浮點數結果皆為1.000000000+1.732050807/)o這一點提醒我們，在利用Maple或其

他任何數學軟件或應用程序進行科學計算時，必須運用相關數學基礎知識校驗結果的正確性。

盡管M叩le存在缺陷(實際上，任何一個數學軟件或程序都存在缺陷)，但無數的事實說明Maple仍

然不失為一個具有強大科學計算功能的計算機代數系統。事實上，Maple同其他數學軟件或程序一樣只

是科學計算的一個輔助工具，數學基礎才是數學科學中最重要的。

2.1.1有理數運算

作為一個符號代數系統，Maple可以絕對避免算術運算的舍入誤差。與計算器不同，Maple從來不

自作主張把算術式近似成浮點數，而只是把兩個有公因數的整數的商作化簡處理。如果要求出兩個整數

運算的近似值時;只需在任意一個整數后加(或“.0”)，或者利用“evalf”命令把表達式轉換成浮

點形式，默認浮點數位是10(即：Digits：=10,據此可任意改變浮點數位,如Digits：=20)。

>12!+(7*8A2)-12345/125；

11975048731

25

>123456789/987654321；

13717421

109739369

>evalf(%)；

.1249999989

>10!；100*100+1000+10+1；(100+100)*100-9；

3628800

11011

19991

>big_number：=3A(3A3)；

big_number:=7625597484987

>length(%)；

13

上述實驗中使用了一個變量“big_number”并用“：=”對其賦值，與Pascal語言一樣為一個變量

賦值用的是“：=”。而另一個函數“length”作用在整數上時是整數的十進制位數即數字的長度。“％”

是一個非常有用的簡寫形式，表示最后一次執行結果，在本例中是上一行輸出結果。再看下面數值計算

例子：

1)整數的余(irem)/商(iquo)

命令格式：

irem(m,n)；#求01除以n的余數

irem(m,n,'q')；#求111除以n的余數，并將商賦給q

iquo(m,n)；#求01除以n的商數

iquo(m,n,'r');#求01除以n的商數，并將余數賦給r

其中，m,n是整數或整數函數，也可以是代數值，此時，irem保留為未求值.

>irem(2002,101,'q')；#求2002除以101的余數，將商賦給q

83

>q；#顯示q

19

>iquo(2002,101,'r')；#求2002除以101的商，將余數賦給r

19

>r：并顯示r

83

>irem(x,3)；

irem(x,3)

2)素數判別(isprime)

素數判別一直是初等數論的一個難點，也是整數分解問題的基礎。Maple提供的isprime命令可以

判定?個整數n是否為素數。命令格式：isprime(n)；

如果判定n可分解,則返回false,如果返回true,則n“很可能”是素數。

>isprime(2A(2-4)+1)；

true

>isprime(2A(2A5)+1)；

false

上述兩個例子是一個有趣的數論難題。形如尸"=22”+1的數稱為Fermat數，其中的素數稱為Fermat

素數，顯然，&=3、F|=5、F2=17.F3=257、F4=65537都是素數。Fermat曾經猜想所有的F”都是素數，

但是Euler在1732年證明了F5=641?6700417不是素數。目前，這仍是一個未解決的問題，人們不知道

還有沒有Fermat素數，更不知道這樣的素數是否有無窮多。

3)確定第i個素數(ithprime)

若記第1個素數為2,判斷第i個素數的命令格式：ithprime⑴：

>ithprime(2002)；

17401

>ithprime(10000)；

104729

4)確定下一個較大(nextprime)/較小(prevprime)素數

當n為整數時，判斷比n稍大或稍小的素數的命令格式為：

nextprime(n)；

prevprime(n)；

>nextprime(2002)；

2003

>prevprime(2002)；

1999

5)一組數的最大值(max)/最小值(min)

命令格式：max(xl,x2,…，xn)；#求x1,x2,…,Xn中的最大值

min(xl,x2,…，xn)；#求x”x2,…，Xn中的最小值

>max(1/5,In(3),9/17,-infinity)；

ln(3)

>min(x+1,x+2,y)；

min(y,x+1)

6)模運算(mod/modp/mods)

命令格式：emodm；#表達式e對m的整數的模運算

modp(e,m)；#e對正數m的模運算

mods(e,m)；#e對m負對稱數(即-m)的模運算

、mod'(e,m)；#表達式e對m的整數的模運算，與emodm等價

值得注意的是，要計算i=modm(其中i是一整數)，使用這種“明顯的”語法是不必要的，因為在

計算模m之前，指數要先在整數(可能導致一個非常大的整數)上計算。更適合的是使用惰性運算符“&八”

即：i&八nmodm,此時，指數運算將由mod運算符智能地處理。另一方面，mod運算符的左面優先比

其他運算符低，而右面優先高于+和■，但低于*和

>2002mod101；

83

>modp(2002,101)；

83

>mods(49,100)；

49

>mods(51,100)；

-49

>2A101mod2002；#同2&A101mod2002；

1124

7)隨機數生成器(rand)

命令格式：

rand()；#隨機返回一個12位數字的非負整數

rand(a..b)；#調用rand(a..b)返回一個程序，它在調用時生成一個在范圍［a,b］內的隨機數

>rand()；

427419669081

>myproc：=rand(1..2002)：

>myproc()；

1916

>myproc()；

1204

注意，rand(n)是rand(0..n-l)的簡寫形式.

2.1.2復數運算

復數是Maple中的基本數據類型。虛數單位i在Maple中用I表示。在運算中，數值類型轉化成復

數類型是自動的，所有的算術運算符對復數類型均適用。另外還可以用Re()、Im()、conjugate)和

argument。等函數分別計算實數的實部、虛部、共輒復數和幅角主值等運算。試作如下實驗：

>complex_number：=(1+2*1)*(3+4*1)；

complex_numher:=-5+101

>Re(%)；Im(%%)；conjugate(%%%)；argument(complex_number)；

-5

10

-5-10Z

-arctan(2)+兀

值得注意的是上行命令中均以”結束，因此不能將命令中的2個％或3個％(最多只能用3個％)改

為1個％,因為％表示上一次輸出結果，若上行命令改為結束，則均可用1個％。

為了在符號表達式中進行復數運算，可以用函數evalc(),函數evalc把表達式中所有的符號變量都

當成實數，也就是認為所有的復變量都寫成a+4的形式，其中a、b都是實變量。另外還有一些實用

命令，分述如下：

1)絕對值函數

命令格式：abs(expr)；

當expr為實數時，返回其絕對值，當expr為復數時，返回復數的模.

>abs(-2002)；#常數的絕對值

2002

>abs(l+2*I)；#復數的模

A

>abs(sqrt(3)*I*uA2*v)；#復數表達式的絕對值

V3u2vI

>abs(2*x-5)；#函數表達式的絕對值

|2X-5|

2)復數的幅角函數

命令格式：argument(x)；#返回復數x的幅角的主值

>argument(64-ll*I)；

>argument(exp(4*Pi/3*I))；

2

-371

3)共麗復數

命令格式：conjugate(x)；#返回X的共甄復數

>conjugate(6+8*I)；

6-8/

>conjugate(exp(4!5：Pi/3*I))；

_；+)萬

2.1.3數的進制轉換

數的進制是數值運算中的一個重要問題。而在Maple中數的進制轉換非常容易，使用convert命令

即可。

命令格式：convert(expr,form,arg3,...)；

其中，expr為任意表達式，form為一名稱，arg3,可選項。

下面對其中常用數的轉換予以概述。而convert的其它功能將在后敘章節詳述。

1)基數之間的轉換

命令格式：

convert(n,base,beta)；#將基數為10的數n轉換為基數為beta的數

convert(n,base,alpha,beta)；#將基數為alpha的數字n轉換為基數為beta的數

>convert(2003,base,7)；#將10進制數2002轉換為7進制數，結果為：(5566

[1,6,5,5]

>convert([1,6,5,5],base,7,10)；#將7進制數5561轉換為10進制數

[3,0,0,2]

>convert(2002,base,60)；#將十進制數2002轉換為60進制數，得33(分鐘)22(秒)

[22,33]

2)轉換為二進制形式

命令格式：convert(n,binary)；

其功能是將十進制數n轉換為2進制數。值得注意的是，數可以是正的，也可以是負的，或者是整

數，或者是浮點數，是浮點數時情況較為復雜。

>convert(2002,binary)：

11111010010

>convert(-1999,binary)；

-11111001111

>convert(1999.7,binary)；

.11111001111011

3)轉換為十進制形式

其它數值轉換為十進制的命令格式為：

convert(n,decimal,binary)；#將一個2進制數n轉換為10進制數

convert(n,decimal,octal)；#將一個8進制數n轉換為1()進制數

convert(string,decimal,hex)；#將一個16進制字符串string轉換為10進制數

>convert(l1111010010,decimal,binary)；

2002

>convert(-1234,decimal,octal)；

-668

>convert(M2A.CH,decimaLhex)；

42.75000000

4)轉換為16進制數

將自然數n轉換為16進制數的命令格式為：convert(n,hex)；

>convert(2002.hex)；converl(1999?hex)；

7D2

7CF

5)轉換為浮點數

命令格式：convert(expr,float)；

注意，convert/float命令將任意表達式轉換為精度為全局變量Digits的浮點數，且僅是對evalf的調

用。

>convert(1999/2002,float)；

.9985014985

>convert(Pi,float)；

3.141592654

2.2初等數學

初等數學是數學的基礎之一，也是數學中最有魅力的一部分內容。通過下面的內容我們可以領略

Maple對初等數學的駕馭能力，也可以通過這些實驗對Maple產生一些感性認識。

2.2.1常用函數

作為一個數學工具，基本的數學函數是必不可少的，Maple中的數學函數很多，現例舉一二如下：

指數函數：exp

一般對數：k)g[a]

自然函數：In

常用對數：log10

平方根：sqrt

絕對值：abs

三角函數：sin、cos,tan、sec、esc、cot

反三角函數：arcsin、arccos、arctan、arcsec、arccsc>arccot

雙曲函數：sinh>cosh>tanh、sech、csch、coth

反雙曲函數：arcsinh、arccosh、arclanh>arcsech、arccsch>arccoth

貝賽爾函數:BesselRBesselJ>BesselK>BesselY

Gamma函數：GAMMA

誤差函數：erf

函數是數學研究與應用的基礎之一，現通過一些實驗說明Maple中的函數的用法及功能。

1)確定乘積和不確定乘積

命令格式：product(f,k)；

product(f,k=m..n)；

product(f,k=alpha)；

product(f,k=expr)；

其中，f—任意表達式，k—乘積指數名稱，m,n—整數或任意表達式，alpha—代數數RootOf,

包含k的任意表達式。

>product(kA2,k=1..10)；#計算上?關于]]()的連乘

13168189440000

>product*八2,k)；#計算々2的不確定乘積

「(一)2

>product(a[k|,k=0..5)；#計算a,(i=0..5)的連乘

aoaia24%%

>product(a[k],k=0..n)；#計算a,(i=0..n)的連乘

a

kn=0

>Product(n+k,k=0..m)=product(n+k,k=0..m)；#計算(計1<)的連乘，并寫出其惰性表達式

>product(k,k=RootOf(xA3-2))；#計算x3—2的三個根的乘積

product命令計算符號乘積，常常用來計算一個公式的確實或不確實的乘積。如果這個公式不能求值

計算，Maple返回「函數。典型的例子是：

>product(x+k,k=0..n-1)；

r(x+〃)

TuT

如果求一個有限序列值的乘積而不是計算一個公式，則用mul命令。如:

>mul(x+k,k=0..3)；

x(x+1)(x+2)(x+3)

2)指數函數

計算指數函數exp關于x的表達式的命令格式為：exp(x)；

>exp(1)；

>evalf(%)；

2.718281828

>exp(1.29+2*1)；

-1.511772633+3.303283467I

>evalc(exp(x+I*y))；

e'cos(y)+/e"sin(y)

3)確定求和與不確定求和sum

命令格式:sum(f,k)；

sum(f,k=m..n)；

sum(f,k=alpha)；

sum(f,k=expr)；

其中，f—任意表達式，k一乘積指數名稱，m,n一整數或任意表達式，alpha—代數數RootOf,expr—

不含k的表達式。

>Sum(kA2,k=l..n)=sum(kA2,k=l..n)；

a1711

E4~=5("+1)—5(〃+1)+工〃+大

A=l3266

>Sum(kA3,k=l..n)=sum(kA3,k=l..n)；

n

E_/=:i(〃+1)T(i〃+1)3+：i5+1)2

>Sum(kA4,k=l..n)=sum(kA4,k=l..n)；

niii1?

￡=s("+1尸_,+1)4+R(〃+])3_n_

k?UrJVZ

>Sum(l/k!,k=0..infinity)=sum(1/k!,k=0..infinity)；

>sum(a[k]*x[k],k=0..n)；

n

ax

Skk

k=0

>Sum(k/(k+1),k)=sum(k/(k+1),k)；

1/T=ik+i)

>sum(k/(k+1),k=RootOf(xA2-3))；

3

sum函數可計算一個公式的確定和與不確定和，如果M叩le無法計算封閉形式，則返回未求值的結

果。值得注意的是，在sum命令中將f和k用單引號括起來，可避免過早求值。這一點在某些情況下是

必需的。

>Sum('k','k'=0..n)=sum('k','k'=0..n)；

G1911

A)222

如果計算一個有限序列的值，而不是計算一個公式，可用add命令。如：

>add(k,k=l..100)；

5050

盡管sum命令常常用于計算顯式求和，但在程序設計中計算一個顯式和應該使用add命令。

另外，sum知道各種求和方法，并會對各類發散的求和給出正確的結果，如果要將求和限制為收斂

求和，就必須檢查顯式的收斂性。

3)三角函數/雙曲函數

命令格式：sin(x)；cos(x)；tan(x)；cot(x)；sec(x)；csc(x)；

sinh(x)；cosh(x)；tanh(x)；coth(x)；sech(x)；csch(x)；

其中，x為任意表達式。

值得注意的是三角函數/雙曲函數的參數以弧度為單位。Maple提供了利用常見三角函數/雙曲函數

恒等式進行化簡和展開的程序，也有將其轉化為其它函數的命令convert.

>Sin(Pi)=sin(Pi)：

Sin(兀)=0

>coth(1.9+2.1*I)；

.9775673582+.03813995737I

>expand(sin(x+y))；#展開表達式

sin(x)cos(y)+cos(x)sin(y)

>combine(%)；#合并表達式

sin(x+y)

>convert(sin(7*Pi/60),*radical*)；

(g/y+0)/5一萬一乜般(在+1)/+正后(后+1)

>evalf(%)；

.3583679496

但有趣的是，combine只對sin,cos有效,對tan,cot竟無能為力.

4)反三角函數/反雙曲函數

命令格式：arcsin(x)；arccos(x)；arctan(x)：arccot(x)；arcsec(x)；arccsc(x)；

arcsinh(x)；arccosh(x)；arctanh(x)；arccoth(x)；arcsech(x)；arccsch(x)；

arctan(y,x)；

其中，x,y為表達式。反三角函數/反雙曲函數的參數必須按弧度計算。

算子記法可用于對于反三角函數和反雙曲函數。例如，sin@@(-l)求值為arcsin.

>arcsinh(l)；

ln(l+VT)

>cos(arcsin(x))；

>arcsin(1.9+2.1*I)；

.7048051446+1.7386173511

5)對數函數

命令格式：]n(x)；#自然對數

log[a](x)；#一般對數

loglO(x)；#常用對數

一般地，在ln(x)中要求x>0。但對于復數型表達式x,有：

ln(x)=ln(abs(x))+/*argument(x)(其中，一萬<argument(^)<兀)

>ln(2002.0)；

7.601901960

>111(3+4*1)；

ln(3+4Z)

>evalc(%)；#求出上式的實部、虛部

ln(5)+/arctan

>loglO(lOOOOOO)；

ln(1000000)

ln(10)

>simplify(%)；#化簡上式

6

2.2.2函數的定義

Maple是一個計算機代數系統，帶未知或者已知字母變量的表達式是它的基本數據形式。一個筒單

的問題是，既然表達式中可以包含未知變量，那么它是不是函數呢？試看下面一個例子：

>f(x)：=a*xA2+b*x+c；

f(x):=ax2+bx+c

可以看出，Maple接受了這樣的賦值語句，但f(x)是不是一個函數呢？要回答這個問題，一個簡單

的方法是求函數值：

>f(x),f(0),f(1/a)；

ax2+bx+c,f(0),

由上述結果可以看出，用賦值方法定義的f(x)是一個表達式而不是一個函數，因為f(x)不能把所定

義的“自變量”或者“參數”轉換成別的變量或表達式。但從賦值“過程”可以看出，Ax)雖然也算是

一個“函數”，但卻是一個沒有具體定義的函數：

>print(f)；

proc()optionremember;'procname(args)'endproc

事實上，我們所做的賦值運算，只不過是在函數/■的記憶表(remembertable)中加入了f(x)在x上的

值，當我們把自變量換作0或1/。時，式x)的記憶表中沒有對應的表項，所以輸出結果就是抽象的表達式。

在Maple中，要真正完成一個函數的定義，需要用算子(也稱箭頭操作符)：

>f：=x->a*xA2+b*x+c；

f:=xax2+bx+c

>f(x),f(0),f(1/a)；

2八lb

ClX+。X+C,C,---1-----FC

aa

多變量的函數也可以用同樣的方法予以定義，只不過要把所有的自變量定成一個序列，并用一個括

號“()”將它們括起來(這個括號是必須的，因為括號運算優先于分隔符“，”)。

>f：=(x,y)->xA2+yA2；

/：=(x,y)x-+y2

>f(1,2)；

5

>f：=(x,y)->a*x*y*exp(xA2+yA2)；

22

r/\、(X+y)

j:=(x.y)axye

綜上所述，箭頭操作符定義函數的方式一般為：

一元函數：參數->函數表達式

多多函數：(參數序列)，函數表達式

無參數函數也許不好理解，但可以用來定義常函數：

>E：=()->exp(1)；

E:=()->e

>E()；

e

>E(x)；

e

另一個定義函數的命令是unapply,其作用是從一個表達式建立一個算子或函數。

定義一個表達式為expr的關于x加函數f的命令格式為：f：=un叩ply(expr,x)；

定義一個表達式為expr的關于x,y,…的多元函數f的命令格式由：f：=unapply(expr,x,y,...)；

>f：=unapply(xA4+xA3+xA2+x+l,x)；

/:=x->x4+x3+x2+X+1

>f(4)；