第7章三維變換及三維觀察

提出問題

?如何對三維圖形進行方向、尺寸和形狀方面的變換

?如何進行投影變換

?如何方便地實現在顯示設備上對三維圖形進行觀察

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7.1三維變換的基本概念

7.1.1三維齊次坐標變換矩陣

abcP

deq

ghr

mns

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7.1.2幾何變換

■圖形的幾何變換是指對圖形的幾何信息經過平

移、比例、旋轉等變換后產生新的圖形。

..點的矩陣變換

?線框圖的變換

?用參數方程描述的圖形的變換

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7.1.3平面幾何投影

■投影變換就是把三維立體（或物體）投射到投影面

上得到二維平面圖形。

'?平面幾何投影主要指平行投影、透視投影以及

通過這些投影變換而得到的三維立體的常用平

面圖形：三視圖、軸測圖。

?觀察投影是指在觀察空間下進行的圖形投影變

換。

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■投影中心、投影面、投影線:

圖7-1線段AB的平面幾何投影

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圖7-2平面幾何投影分為透視投影和平行投影

平面幾何投影可分為兩大類：

■透視投影的投影中心到投影面之間的距離是有限的

-平行投影的投影中心到投影面之間的距離是無限的

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主視圖

側視圖

一二視圖-

俯視圖

「正投影-正等測

L正軸測-

正二測

「平行投影—

r-斜等測正三測

平面幾何投影-」斜投影-

L斜二測

——1點透視

-透視投影——二點透視I

—三點透視

圖7-3平面幾何投影的分類

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7.1.4觀察投影

7.2三維幾何變換

=Xy'z'1］二2.小=卜yz

2011-7-11華中理工大學計算機學院陸楓

7.2.1三維基本幾何變換

■三維基本幾何變換都是相對于坐標原點和坐標軸

進行的幾何變換

■假設三維形體變換前一點為p(x,y,z),變換后為

p'(x',y',z')o

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1.平移變換

100

0

001

TxTyTz

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2.比例變換

(1)局部比例變換

q000

0e00

T=

s00J0

0001

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例子：對如圖7-6所示的長方形體進行比例變換，其中

a=l/2,e=l/3,j=l/2,求變換后的長方形體各點坐標。

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(2)整體比例變換

-1000

0100

T-

50010

0005

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3.旋轉變換

Z

圖7-7旋轉變換的角度方向

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(1)繞2軸旋轉

COS。sin9

-sin。cos。

00

00

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(2)繞x軸旋轉

100

0cos。sin。

0-sin。cos。

000

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(3)繞y軸旋轉

cos。0一sin9

010

1T-

RY~sin。0cos。

000

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4.對稱變換

(1)關于坐標平面對稱

關于xoy平面進行對稱變換的矩陣計算形式為:

-1000-

0100

%―00—10.

0001

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關于yoz平面的對稱變換為:

-1000

0100

1T

Fyz0010

0001

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關于ZOX平面的對稱變換為:

1000

0-100

0010

0001

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(2)關于坐標軸對稱變換

關于x軸進行對稱變換的矩陣計算形式為:

1000

0-100

00-10

0001

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關于y軸的對稱變換為:

-1000

0100

T-

Fy00-10

0001

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關于Z軸的對稱變換為:

—1000

0-100

T=

Fz0010

0001

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5.錯切變換

bc0

1f0

h10

001

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(1)沿X方向錯切

1000

d100

g010

0001

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(2)沿y方向錯切

1b00

0100

0h10

0001

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(3)沿z方向錯切

10c0

01f0

TSHZ=0

010

0001

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6.逆變換

所謂逆變換即是與上述變換過程的相反的變換

⑴平移的逆變換

100o-

10100

'=0010

~TX-Ty-Tz1_

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(2)比例的逆變換

局部比例變換的逆變換矩陣為：

-000

a

ji-i_0-00

00-*0

I

0001

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整體比例變換的逆變換矩陣為:

1000

0100

0010

000-

S

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(3)旋轉的逆變換

cosG。)sin(—9)00cos。—sin。00

7sin(-9)cos(-00sin。cos。00

7T-一。)

1RZ~

00100010

00010001

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7.2.2三維復合變換

-三維復合變換是指圖形作一次以上的變換，變換

結果是每次變換矩陣相乘。

=…(〃>1)

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1.相對任一參考點的三維變換

相對于參考點F(x°yf,Zf)作比例、旋轉、錯切等變換的

過程分為以下三步：

⑴將參考點F移至坐標原點

(2)針對原點進行二維幾何變換_

(3)進行反平移；

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例：相對于F（Xf，yf，Zf）點進行比例變換

(

N

S

-

X

)

X

⑹移至坐標原點（C）基本比例變換（d）移回F點原來位置

圖7-8相對參考點F的比例變換

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分析:

圖7-10O'A經兩次旋轉與Z'軸重合

B

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(2)將OBB繞x釉逆時針旋轉a角，貝1JOB旋轉到MoN平面上

⑶將OB繞y釉順時針旋轉P角,則0rB旋轉到z，軸上。

(4)經以上三步變換后，AB軸與z釉重合，此時繞AB軸的旋轉轉換

為繞z軸的旋轉。

(5)最后，求I；A，TRX,丁口丫的逆變換，回到AB原來的位置。

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類似地，針對任意方向軸的變換可用五個步驟來完成:

(1)使任意方向軸的起點與坐標原點重合，此時進行平

移變換。

(2)使方向軸與某一坐標軸重合，此時需進行旋轉變換,

且旋轉變換可能不止一次。

(3)針對該坐標軸完成變換。-

(4)用逆旋轉變換使方向軸回到其原始方向。

(5)用逆平移變換使方向軸回到其原始位置。

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7.3平行投影

■平行投影可分成兩類：正投影和斜投影。

投影方向

，投影平

I面法向

投影平面

⑸正投影（b）斜投影

7-11平行投影

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z呢藤楚號分為：三視圖和正軸測。

■當投影面與某一坐標軸垂直時，得到的投影為三視

圖；否則，得到的投影為正軸測圖。

(a)三視圖(b)正軸測

7-12正投影

二視圖：

■三視圖包括主視圖、側視圖和俯視圖三種，投影面

分別與X軸、Y軸和Z軸垂直。

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正軸測圖

-正軸測有等軸測、正二測和正三測三種。

-當投影面與三個坐標軸之間的夾角都相等時為等軸

測；

'當投影面與兩個坐標軸之間的夾角相等時為正二測;

■當投影面與三個坐標軸之間的夾角都不相等時為正

三測。

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圖774正軸測投影面及一個立方體的正軸測投影圖

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1.三視圖

計算步驟：

(1)確定三維形體上各點的位置坐標

(2)引入齊次坐標，求出所作變換相應的變換矩陣

(3)將所作變換用矩陣表示，通過運算求得三維形體

上各點(x,y,z)經變換后的相應點(X，,y，)或(y'z，)

(4)由變換后的所有二維點繪出三維形體投影后的三

視圖。

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2.主視圖

■將三維形體向xoz面（又稱V面）作垂直投影（即

正平行投影），得到主視圖。

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3.俯視圖

三維形體向xoy面(又稱H面)作垂直投影得到俯視圖,

(1)投影變換

(2)使H面繞x軸負轉90°

99-7

4.側視圖

獲得側視圖是將三維形體往yoz面(側面W)作垂直投影,

(1)側視圖的投影變換

(2)使W面繞z軸正轉90°

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5.正軸測圖的投影變換矩陣

分析:

圖7T5正軸測圖的形成

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公式推導：

(1)先繞y軸順時針旋轉a角7

⑵再繞x軸逆時針旋轉P角

(3)將三維形體向xoy平面作正投影

最后得到正軸測圖的投影變換矩陣

cosa-sinor-cos/?00

0cos/00

-sin。-coscif-sin1300

0001

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6.正等測圖

分析:

圖7T5正軸測圖的形成

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99-7

公式推導:

將a和B的值代入(7-1)式得到正等測圖的投影變換

矩陣：

V6

00

60.7071-0.408200

V6

0000.816500

T

-0.7071-0.408200

V6

000001

6

001

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7.正二測圖

分析：

圖7-15正軸測圖的形成

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99-7

將a值代入(7-1)式得到正二測圖的投影變換矩陣:

00

00

00

01

特點分析:

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7.3.2斜投影

-斜投影圖，即斜軸測圖，是將三維形體向一個單

一的投影面作平行投影，但投影方向不垂直于投

影面所得到的平面圖形。

?常用的斜軸測圖有斜等測圖和斜二測圖。

2011-7-11華中理工大學計算機學院陸楓55

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\投影方向忸

\投影方奇\P

\\?

\\投影平\\投影平

''、或I面法向0a&面法向

投影平面0p,投影平面0P,

(a)斜等測(b)斜二測

7-16斜平行投影

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斜軸測圖的形成

y

投影方向

，yq',O)

q(xq,Vq,Zq)

，yp',o)

P(0,o,Zp)0B投影平面

Yqi

qB

x

(b)

7-17斜平行投

影的形成X

°或45。

2011-7-11

華中理工大學基?機學院

陸楓

57

斜平行投影的投影變換矩陣為:

1000

0100

T=

ctgacosJ3ctgasin000

0001

對于斜等測圖有：a=45°?ctga=l

斜二測圖貝ll有：a=arctg(2)9ctga=1/2

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\投影方向R

■?

工、投影方向'、P

投影平\\投影平

面法向0面法向

投影平面0P,投影平面0P,

⑸斜等測(b)斜二測

7-16斜平行投影

對于斜等測圖有：a=45\ctga=l

斜二測圖貝II有：a=arctg(2)9ctga=1/2

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(b)斜二測

7-18單位立方體的斜平行投影

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7.4透視投影

分析:

X

圖7-19點的一點透視

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1Ooo

o1OO

-

ff!11

X.y.-XyZ1

z1,±*oo1-

-

OOO1

1

1000

］「10100

x'y1z，1==xyz1?

JLJ001r

0001

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滅點：

■不平行于投影面的平行線的投影會匯聚到一個點，這個

點稱為滅點(VanishingPoint)。

■坐標軸方向的平行線在投影面上形成的滅點稱作主滅點,

■一點透視有一個主滅點，即投影面與一個坐標軸正交，

與另外兩個坐標軸平行。

■兩點透視有兩個主滅點，即投影面與兩個坐標軸相交，

與另一個坐標軸平行。

■三點透視有三個主滅點，即投影面與三個坐標軸都相交C

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7-20透視投影

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7.4.1一點透視

分析：

要考慮下列幾點：

(1)三維形體與畫面(投影面)的相對位置；

(2)視距，即視點(投影中心)與畫面的距離;

(3)視點的高度。

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假定視點(投影中心)在原點，畫面(投影面)與Z軸

垂直(z=d)o

一點透視的步驟：

(1)將三維形體平移到適當位置1、m、n；

(2)令視點在z軸，利用公式(7-2)進行透視變換；:

(3)最后，為了繪制的方便，向xoy平面作正投影變換,

將結果變換到xoy平面上。

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例：試繪制如圖7-21⑶所示的單位立方體的一點透視圖。

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7.4.2二點透視

可以這樣來構造二點透視的一般步驟：

(1)先將三維形體平移到適當位置，使視點有一定

高度，且使形體的主要表面不會積聚成線；

(2)將形體繞y軸旋轉一個中角((pV90。)，方向滿足

右手定則；

(3)進行透視變換

(4)最后向xoy面作正投影，即得二點透視圖。

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例：試繪制上例(圖7-21(a))中的單位立方體的二

點透視圖。

2011-7-11華中理工大學計算機學院陸楓69

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7.4.3三點透視

同樣可以簡單的構造三點透視圖：

(1)首先將三維形體平移到適當位置；

(2)將形體進行透視變換

(3)然后使形體先繞y軸旋轉cp角；

(4)再繞x軸旋轉。角；

(5)將變形且旋轉后的形體向xoy面作正投影。

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7.5觀察坐標系及觀察空間

7.5.1觀察坐標系

X

Z

圖7-23用戶坐標系與觀察坐標系

?觀察參考坐標系(ViewReferenceCoordinate)

?觀察參考點(ViewReferencePoint)

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■觀察平面(ViewPlane),即投影平面。

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■觀察坐標系（uvn坐標系）的建立

■法矢量N、法矢量V、法矢量U

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7.5.2觀察空間

■觀察窗口:

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■觀察空間：無限觀察空間、有限觀察空間

??????—.十［、丁廣

/刖截面

(a)無限觀察空間(b)有限觀察空間

圖7-28正投影的觀察空間

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圖7-29斜投影的觀察空間

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(a)無限觀察空間(b)有限觀察空間

圖7-30透視投影的觀察空間

需注意,對于透視投影，前

截面之間。

2011-7-11華中理工大學計算機學院陸楓77

99-7

■觀察平面和前后截面的有關位置取決于要生成的

窗口類型及特殊圖形包的限制

后截面觀察平面后截面二

觀察平面

觀察平面后截面

前截面前截面前截面

ZvZvzvy

(a)⑹(c)

圖7-31觀察平面及前后截面的位置安排

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圖7-32觀察平面的移動改變圖7-33投影中心的移動改變

斜投影觀察空間形狀透視影觀察空間形狀

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規范化觀察空間

■平行投影的規范化觀察空間

定義為：

xv=_—]

xvoyv-]前截面]

平面「

yv=1,兒=T

Zy=O,Z=1--------------觀察平面

V1后截面

zvy

(a)平行投影的規范化觀察空間

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■透視投影的規范化觀察空間為:(1,1,1)

戶兀

%=Zyv

乂""—Zy

xvoyv[11

Zy二Zmin《二1平面：

—7［察平面

1后截面

zvy

(b)透視投影的規范化觀察空間

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7.6三維觀察流程

應

用

程

序

?在圖形

到

圖

爭設備上

形

的

用

戶標輸出

坐

標

圖7-35三維觀察流程

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7.6.1用戶坐標系到觀察坐標系的變換

具體變換步驟：

(1)平移觀察參考點到用戶坐標系原點

(2)進行旋轉變換分別讓A、和4軸對應到用戶

坐標系中的x、y和z軸。

2011-7-11華中理工大學計算機學院陸楓83

99-7

2011-7-11（°）旋轉觀察組機貓大學計算機學院陸楓84

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平行投影的規范化投影變換可由以下三步組成。

(1)將投影中心平移到觀察坐標系原點。

2011-7-11華中理工大學計算機學院陸楓86

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(2)對坐標系進行錯切變換，使投影中心和窗口中

心的連線錯切到入軸

xvoyv________________________________

平由

?,前截面

(

*

*■

??

■

■*

■?

觀察平面

窗口中心

??

后截面

Zv▼

(b)錯切變換

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