高級中學名校試題PAGEPAGE1吉林省BEST合作體”2023-2024學年高二下學期期中數學試題注意事項：1.答題前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷主要考試內容：人教A版選擇性必修第二冊至選擇性必修第三冊第六章6.1.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.某商場東面和西面均有4個門，北面和南面均有3個門，若某人從其中的任意一個門進入商場，則進入商場的不同方式共有（）A.12種 B.24種 C.7種 D.14種【答案】D【解析】由題意進入商場的不同方式共有種.故選：D.2.已知函數在處可導，若，則（）A.22 B.11 C.-22 D.-11【答案】A【解析】因為,又，所以.故選：A.3.在公差為的等差數列中，，則（）A.44 B.36 C.30 D.28【答案】B【解析】設等差數列的首項為，因為，所以，解得，故，故B正確.故選：B4.已知函數在上單調遞增，則的最大值為（）A.3 B. C. D.【答案】C【解析】，因為函數在上單調遞增，所以恒成立，則，解得，所以的最大值為.故選：C.5.已知數列的前n項和為，若，，則（）A.-3 B.3 C.-2 D.2【答案】B【解析】若，，變形得到，，當時，，解得；當時，，解得；當時，，解得；故選：B.6.定義新運算.已知函數，，，則下列區間中，單調遞增為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因為，所以，所以，令，則即，所以，所以，所以，所以，所以單調遞增區間為.故選：B.7.等比數列的前n項和為，已知，，成等差數列，，則（）A.28 B.14 C.20 D.10【答案】A【解析】設公比為，因為，，成等差數列，所以，所以，由，得，所以，所以，因為，所以，所以，得，所以，故選：A8.已知函數，若，且，則的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因為，，所以且，則，故，令，則在上恒成立，所以在上單調遞增，則，即的取值范圍是.故選：C二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.一個質量為4kg的物體做直線運動，該物體的位移y（單位：m）與時間t（單位：s）之間的關系為，且（表示物體的動能，單位：J；m表示物體的質量，單位：kg；v表示物體的瞬時速度，單位：m/s），則（）A.該物體瞬時速度的最小值為1m/s B.該物體瞬時速度的最小值為2m/sC.該物體在第1s時的動能為16J D.該物體在第1s時的動能為8J【答案】AD【解析】由題意得，則該物體瞬時速度的最小值為，A正確，B錯誤.由，得，所以該物體在第時的動能為，C錯誤，D正確.故選：AD.10.已知等差數列的前項和為，等比數列的前項積為，則（）A.可能為等差數列 B.不可能為等比數列C.是等差數列 D.是等比數列【答案】AC【解析】對于A，當為常數列時，因為為等差數列，所以為等差數列，所以A正確．對于B，當為常數列，且時，因為是等比數列，所以為等比數列，所以B錯誤．對于C，設的公差為，則，得，因為，所以數列是等差數列，所以C正確．對于D，設的公比為，則，當時，不是常數，所以不是等比數列，所以D錯誤．故選：AC11.已知函數，存在n個零點，，則（）A.為偶數 B.C. D.【答案】AD【解析】若，則函數沒零點，當時，令可得所以令當時，單調遞增，當時，單調遞減，故時，取極大值也為最大值，當時，恒成立，故故當有解時，所以故選項B錯誤，且當時，函數有兩個零點，當時，則圖象關于對稱，故當函數有4個零點，故選項A正確，所以，選項C錯誤，選項D：設函數零點從左至右依次為，則則，選項D正確.故選：AD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.從6件不同的禮物中選出3件送給3位同學，每人1件，不同的選法種數是________.【答案】120【解析】由題意得，先從6件禮物中任選3件，共有不同的方法，然后選出3件送給3位同學，每人1件，共有不同的方法，所以由分步乘法原理可知共有不同的方法，故答案為：12013.若函數在區間上有極值，則a取值范圍為________.【答案】【解析】由求導可得，，因函數在區間上有極值，則方程在區間上有實根，故須使，（若，得，此時，函數在上無極值）解得或且方程在區間上有實根，也即函數與在區間上有交點.因在上遞減，在上遞增，且，，故，即，解得，又或，故a的取值范圍為.故答案為：.14.在數列中，，.設數列的前項和為，若存在，使得不等式，則實數的取值范圍為________.【答案】【解析】由已知有，故，又，所以是等差數列，所以，所以，則，所以，因為存在，使得不等式，所以，所以實數的取值范圍是.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.設數列的前n項和為，，.（1）證明：為等比數列.（2）若，，求數列的前n項和.解：（1）由，，可得，所以，解得，當時，，又，兩式相減得，即，因為，所以數列是首項為，公比為等比數列；（2）因為，，，所以是首項為，公差為的等差數列，所以，由（1）知，，所以①，②，①-②得，故.16.已知函數．（1）當時，求在上的值域；（2）討論的單調性．解：（1）當時，則，當時恒成立，所以在上單調遞增，又，，所以在上的值域為.（2）函數的定義域為，又，當，即時恒成立，所以在上單調遞減；當，即時，當時，當時，所以在上單調遞減，在上單調遞增；綜上可得：當時在上單調遞減；當時在上單調遞減，在上單調遞增.17.已知函數.（1）若曲線在點處的切線方程為，求a，b；（2）若，，求a的取值范圍.解：（1）因為，所以，又，所以，由題意，又即，兩式聯立解得.（2）由，得，即，當時，R，當時，，當時，，記，則，令，得，令，得，所以在上單調遞減，在上單調遞增，當時，，所以，當時，，所以，綜上，a的取值范圍為.18.已知函數.（1）求的極值.（2）已知，且.①求的取值范圍；②證明:.解：（1）由題意，則當時，，當時，，所以在和上單調遞增，在上單調遞減，所以當時，取得極小值，當時，取得極大值.（2）①因為當時，，且在和上單調遞增，在上單調遞減，且，又，，所以的取值范圍為.②因為，，由（1）的單調性可知，令，則，因為，所以，即，解得，所以，要證，即證.令，則，所以在上單調遞增，所以，故成立.19.函數稱為取整函數，也稱為高斯函數，其中表示不超過實數最大整數，例如：．對于任意的實數，定義數列滿足．（1）求的值；（2）設，從全體正整數中除去所有，剩下的正整數按從小到大的順序排列得