第14章統計章末題型歸納總結（能力篇）章末題型歸納目錄模塊一：本章知識思維導圖模塊二：知識點總結模塊三：典型例題題型一：抽樣方法的選取及應用題型二：頻率分布直方圖題型三：用樣本的取值規律估計總體的取值規律題型四：百分位數題型五：統計圖表題型六：用樣本的集中趨勢、離散程度估計總體

模塊一：本章知識思維導圖

模塊二：知識點總結知識點1：抽樣1、抽樣調查（1）總體：統計中所考察對象的某一數值指標的全體構成的集合稱為總體．（2）個體：構成總體的每一個元素叫做個體．（3）樣本：從總體中抽取若干個個體進行考察，這若干個個體所構成的集合叫做總體的一個樣本，樣本中個體的數目叫做樣本容量．2、簡單隨機抽樣（1）定義一般地，設一個總體含有個個體，從中逐個不放回地抽取個個體作為樣本（），如果每次抽取時總體內的各個個體被抽到的機會都相等，就把這種抽樣方法叫做簡單隨機抽樣．這樣抽取的樣本，叫做簡單隨機樣本．（2）兩種常用的簡單隨機抽樣方法①抽簽法：一般地，抽簽法就是把總體中的個個體編號，把號碼寫在號簽上，將號簽放在一個容器中，攪拌均勻后，每次從中抽取一個號簽，連續抽取次，就得到一個容量為的樣本．②隨機數法：即利用隨機數表、隨機數骰子或計算機產生的隨機數進行抽樣．這里僅介紹隨機數表法．隨機數表由數字，，，…，組成，并且每個數字在表中各個位置出現的機會都是一樣的．注意：為了保證所選數字的隨機性，需在查看隨機數表前就指出開始數字的橫、縱位置．（3）抽簽法與隨機數法的適用情況抽簽法適用于總體中個體數較少的情況，隨機數法適用于總體中個體數較多的情況，但是當總體容量很大時，需要的樣本容量也很大時，利用隨機數法抽取樣本仍不方便．（4）簡單隨機抽樣的特征①有限性：簡單隨機抽樣要求被抽取的樣本的總體個數是有限的，便于通過樣本對總體進行分析．②逐一性：簡單隨機抽樣是從總體中逐個地進行抽取，便于實踐中操作．③不放回性：簡單隨機抽樣是一種不放回抽樣，便于進行有關的分析和計算．④等可能性：簡單單隨機抽樣中各個個體被抽到的機會都相等，從而保證了抽樣方法的公平．只有四個特點都滿足的抽樣才是簡單隨機抽樣．3、分層抽樣（1）定義一般地，在抽樣時，將總體分成互不交叉的層，然后按照一定的比例，從各層獨立地抽取一定數量的個體，將各層取出的個體合在一起作為樣本，這種抽樣方法叫做分層抽樣．分層抽樣適用于已知總體是由差異明顯的幾部分組成的．（2）分層抽樣問題類型及解題思路①求某層應抽個體數量：按該層所占總體的比例計算．②已知某層個體數量，求總體容量或反之求解：根據分層抽樣就是按比例抽樣，列比例式進行計算．③分層抽樣的計算應根據抽樣比構造方程求解，其中“抽樣比＝eq\f(樣本容量,總體容量)＝eq\f(各層樣本數量,各層個體數量)”注意：分層抽樣時，每層抽取的個體可以不一樣多，但必須滿足抽?。ǎ﹤€個體（其中是層數，是抽取的樣本容量，是第層中個體的個數，是總體容量）．知識點2：用樣本估計總體1、頻率分布直方圖（1）頻率、頻數、樣本容量的計算方法①eq\f(頻率,組距)×組距＝頻率．②eq\f(頻數,樣本容量)＝頻率，eq\f(頻數,頻率)＝樣本容量，樣本容量×頻率＝頻數．③頻率分布直方圖中各個小方形的面積總和等于．2、頻率分布直方圖中數字特征的計算（1）最高的小長方形底邊中點的橫坐標即是眾數．（2）中位數左邊和右邊的小長方形的面積和是相等的．設中位數為，利用左（右）側矩形面積之和等于，即可求出．（3）平均數是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個小長方形的面積乘以小長方形底邊中點的橫坐標之和，即有，其中為每個小長方形底邊的中點，為每個小長方形的面積．3、百分位數（1）定義一組數據的第百分位數是這樣一個值，它使得這組數據中至少有的數據小于或等于這個值，且至少有的數據大于或等于這個值．（2）計算一組個數據的的第百分位數的步驟①按從小到大排列原始數據．②計算．③若不是整數而大于的比鄰整數，則第百分位數為第項數據；若是整數，則第百分位數為第項與第項數據的平均數．（3）四分位數我們之前學過的中位數，相當于是第百分位數．在實際應用中，除了中位數外，常用的分位數還有第百分位數，第百分位數．這三個分位數把一組由小到大排列后的數據分成四等份，因此稱為四分位數．4、樣本的數字特征（1）眾數、中位數、平均數①眾數：一組數據中出現次數最多的數叫眾數，眾數反應一組數據的多數水平．②中位數：將一組數據按大小順序依次排列，把處在最中間位置的一個數據（或最中間兩個數據的平均數）叫做這組數據的中位數，中位數反應一組數據的中間水平．③平均數：個樣本數據的平均數為，反應一組數據的平均水平，公式變形：．5、標準差和方差（1）定義①標準差：標準差是樣本數據到平均數的一種平均距離，一般用表示．假設樣本數據是，表示這組數據的平均數，則標準差．②方差：方差就是標準差的平方，即．顯然，在刻畫樣本數據的分散程度上，方差與標準差是一樣的．在解決實際問題時，多采用標準差．（2）數據特征標準差、方差描述了一組數據圍繞平均數波動程度的大?。畼藴什睢⒎讲钤酱?，則數據的離散程度越大；標準差、方差越小，數據的離散程度越?。粗嗫捎呻x散程度的大小推算標準差、方差的大小．（3）平均數、方差的性質如果數據的平均數為，方差為，那么①一組新數據的平均數為，方差是．②一組新數據的平均數為，方差是．③一組新數據的平均數為，方差是．

模塊三：典型例題題型一：抽樣方法的選取及應用【典例11】（2025·高三·全國·專題練習）2021年元月份，河北、黑龍江等地相繼出現疫情，學生春節放寒假期間，某大學鼓勵大學生積極參加到各個社區作為志愿者抗擊疫情，下面是新學期開學后學校隨機抽取100人，對其參加志愿者的天數統計，得到如下統計表：參加志愿者的天數人數107020若以這100人參加志愿者天數位于各區間的頻率代替該大學所有學生參加志愿者天數位于該區間的概率．根據上表，用分層抽樣的方法從這100人中隨機抽取20人，則抽取的20人中“參加社會志愿者天數不多于5天和不少于10天”的人數為（

）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】A【解析】由題意得選中“參加社會志愿者天數不多于5天和不少于10天”的人概率為，由分層抽樣性質得，抽取的20人中“參加社會志愿者天數不多于5天和不少于10天”的人數為，顯然A正確.故選：A【典例12】（2025·高一·江西景德鎮·期中）在新冠肺炎疫情期間，大多數學生都在家進行網上上課，某校高一，高二，高三共有學生6000名，為了了解同學們對某授課軟件的意見，計劃采用分層抽樣的方法從這6000名學生中抽取一個容量60的樣本，若從高一，高二，高三抽取的人數恰好是從小到大排列的連續偶數，則該校高二年級的人數為（

）A．1000 B．1500 C．2000 D．3000【答案】C【解析】因為從高一、高二、高三抽取的人數恰好是從小到大排列的連續偶數，所以設高三抽取的人數為，則高二抽取的人數為，高一抽取的人數為，因為樣本容量為60，所以，設我校高二年級的人數為，根據分層抽樣得：，故選：C【變式11】（2025·高一·江西景德鎮·期中）現要用隨機數表法從總體容量為240(編號為001到240)的研究對象中挑選出50個樣本，則在下列數表中按從左至右的方式抽取到的第四個對象的編號為（

）3245174491145621651002456896405681655464416308562105214845131254102145A．5 B．44 C．165 D．210【答案】D【解析】由隨機數表抽樣方法可知，以3個數字為單位抽取數字，且數字不能大于240，且要去掉重復數字，據此第一個數字為114，第二個為165，第三個為100，第4個為210.故選：D【變式12】（2025·高一·河北邯鄲·期末）為了研究某種病毒與血型之間的關系，決定從被感染的人群中抽取樣本進行調查，這些感染人群中O型血、A型血、B型血、AB型血的人數比為4:3:3:2，現用比例分配的分層隨機抽樣方法抽取一個樣本量為的樣本，已知樣本中O型血的人數比AB型血的人數多20，則（

）A．100 B．120 C．200 D．240【答案】B【解析】因為感染人群中O型血、A型血、B型血、AB型血的人數比為4:3:3:2，所以，抽取樣本量為的樣本中，O型血的人數為，AB型血的人數為，所以，，解得故選：B【變式13】（2025·高三·河南·階段練習）港珠澳大橋是中國境內一座連接中國香港、廣東珠海和中國澳門的橋隧工程，因其超大的建筑規模、空前的施工難度以及頂尖的建造技術聞名世界，為內地前往香港的游客提供了便捷的交通途徑，某旅行社分年齡統計了大橋落地以后，由香港大橋實現內地前往香港的老中青旅客的比例分別為，現使用分層抽樣的方法從這些旅客中隨機抽取名，若青年旅客抽到60人，則（

）

A．老年旅客抽到150人 B．中年旅客抽到20人C． D．被抽到的老年旅客以及中年旅客人數之和超過200【答案】C【解析】根據分層抽樣的概念及計算方法，列出方程，即可求解，得到答案.由題意，香港大橋實現內地前往香港的老中青旅客的比例分別為，現使用分層抽樣的方法從這些旅客中隨機抽取名，若青年旅客抽到60人，所以，解得人.故選:C.題型二：頻率分布直方圖【典例21】（2025·高一·全國·單元測試）節約用水是中華民族的傳統美德，某市政府希望在本市試行居民生活用水定額管理，即確定一個合理的居民月用水量標準（噸），用水量不超過的部分按平價收費，超過的部分按議價收費．為此希望已經學習過統計的小明，來給出建議．為了了解全市居民用水量的分布情況，小明通過隨機走訪，獲得了100位居民某年的月均用水量（單位：噸），將數據按照分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖．若該市政府希望使的居民每月的用水量不超過標準（噸），如果你是小明，你覺得的估計值為（精確到小數點后1位）【答案】2.9【解析】由頻率分布直方圖知，，解得；計算月均用水量小于2.5噸的居民人數所占的百分比為，即71%的居民月均用水量小于2.5噸；計算月均用水量小于3噸的居民人數所占的百分比為，即88%的居民月均用水量小于3噸；故，假設月均用水量平均分布，則（噸），即的居民每月用水量不超過標準為噸．故答案為:2.9．【典例22】（2025·高一·全國·專題練習）一個社區調查機構就某地居民的月收入（百元）調查了10000人，將所得數據分成如下六組：，，，，，，然后得到如圖所示的頻率分布直方圖．若將這10000人按其月收入也分成相應六組，并進行分層抽樣抽出200人作進一步調查，則在這一組中應抽出人．【答案】50【解析】由頻率分布直方圖可知這一組所對應頻率為，又分層抽樣人數為200人，則應抽取（人）.故答案為：.【變式21】（2025·高三·云南·階段練習）某市某次高中數學統測學生測試成績頻率分布直方圖如圖所示.現按測試成績由高到低分成A，B，C，D四個等級，其中等占等占等占等占的比例，規定達到等級及以上才能通過考試，則要通過本次考試的學生分數至少為.【答案】24【解析】由圖可知，分數在20分以下的比例為，在40分以下的比例為，因此分位數位于內，由，所以通過本次考試分數至少為24.故答案為：24.【變式22】（2025·高一·湖南·階段練習）2022年春天我國東部片區降水量出現近年新低，旱情嚴重，城市缺水問題顯得較為突出，某市政府為了節約生活用水，科學決策，在全市隨機抽取了100位居民某年的月均用水量（單位：）得到如圖所示的頻率分布直方圖，在統計中我們定義一個分布的分位數為滿足的，則估計本例中.（結果保留小數點后兩位有效數字）【答案】2.45【解析】由題意可知：就是滿足的橫坐標的值，因為對應的頻率為，對應的頻率為，對應的頻率為，對應的頻率為，對應的頻率為，所以落在內，設距離2.5的距離為，所以，所以，所以.故答案為：2.45【變式23】（2025·高三·河北衡水·階段練習）某學校組織“一帶一路”知識競賽，100名學生成績的頻率分布直方圖如圖所示，其中成績分組區間：．按分層抽樣的方法，從分數在與，的學生中選出5人參加經驗交流會，并從這5人中任選2人進行總結發言，則這2人的分數之差的絕對值超過10分的概率為．

【答案】/0.4【解析】由題意得，解得，所以分數在與，的學生人數之比為，即分別從分數在，60）與的學生中選出1人和4人，要使2人的分數之差的絕對值超過10分，需這2人的分數屬于不同的區間，所以所求概率為．故答案為：題型三：用樣本的取值規律估計總體的取值規律【典例31】（2025·高一·江西贛州·開學考試）為弘揚中華傳統文化，某校組織若干名學生參加漢字聽寫大賽，為了解學生整體聽寫能力，從中抽取部分學生的成績（得分取正整數，滿分為100分）進行統計分析，請根據尚未完成的下列圖表，解答問題：

分組49.5～59.559.5～69.569.5～79.579.5～89.589.5～100.5頻數2a20168頻率0.040.080.400.32b(1)本次抽樣調查的樣本容量為_______，此樣本中成績的中位數落在_______范圍內．表中_______，_______；(2)補全頻數分布直方圖；(3)若該校共有初中生3000名，若成績超過80分為優秀，請估計該校漢字聽寫能力為優秀的約有多少人．【解析】（1）學生總數是：（人），（人），；∴本次抽樣調查的樣本容量為50，成績的中位數落在范圍內，（人），；（2）根據（1）得出的a的值，補圖如下：（3）（人）．該校漢字聽寫能力為優秀的約有人．【典例32】（2025·高一·云南昭通·期末）為了解某校高一年級學生數學學習的階段性表現，年級組織了一次階段測試.已知此次考試共有450名學生參加，考試成績的頻率分布直方圖如圖所示（同一組中的數據以該區間的中點值為代表）.(1)求a的值；(2)估計這次數學考試成績的眾數、中位數和平均數（結果保留兩位小數）；(3)估計該校學生的數學成績的第70百分位數（結果保留兩位小數）.【解析】（1）由，解得.（2）由頻率分布直方圖知：眾數為65，設中位數為x，因為，，故中位數位于內，則有，解得.所以中位數為67.69.這次數學考試的平均成績為.（3）成績小于70分所占的比例為，成績小于80分所占的比例為，所以第70的分位數在內，所以第70的分位數為.【變式31】（2025·高一·重慶·開學考試）隨著新能源電動汽車的推廣，人們對電動汽車的電池續航能力非常關注.某店為了解車主對甲?乙兩款電動汽車電池續航能力的滿意程度，從該店銷售的甲?乙兩款車中各隨機抽取10名車主對其所使用車輛的電池續航能力進行評分（單位：分），并對數據進行整理?描述和分析（評分用表示，共分為三組：），下面給出了部分信息：甲款電動汽車10名車主的評分是：.乙款電動汽車10名車主的評分在組的數據是：.抽取的甲?乙兩款電動汽車車主的評分統計表車型平均數中位數眾數甲8380乙8385抽取的乙款電動汽車車主的評分扇形統計圖

根據以上信息，解答下列問題：(1)上述圖表中__________，__________，__________；(2)根據以上數據，你認為哪款電動汽車的電池續航能力的滿意度更好？請說明理由（寫出一條理由即可）；(3)該店甲款電動汽車的車主有600人，乙款電動汽車的車主有400人.若評分不低于90分為“非常滿意”，估計這些車主中對其所使用車輛的電池續航能力“非常滿意”的總共有多少人？【解析】（1）從甲款電動汽車10名車主的評分數據中，80出現的次數最多，故眾數為80，即，乙款電動汽車車主的評分扇形統計圖中A組占，B組占，C組占，所以，所以A組有兩個最大的數據，同時B組的數據有5個是：85，85，85，80，80，所以最中間的數為85，80，所以中位數為，即，故答案為：80，，30;（2）乙款電動汽車的電池續航能力的滿意度更好，理由如下：甲款和乙款的平均數相等，但乙款的眾數和中位數都比甲款的大，所以乙款的滿意度更好；（3）甲款電動汽車的車主“非常滿意”的有兩人，占比為，乙款電動汽車的車主“非常滿意”的占比為，所以滿足題意的總人數為：（人）．【變式32】（2025·高一·福建三明·階段練習）某中學新建了學校食堂，每天有近2000名學生在學校食堂用午餐，午餐開放時間約40分鐘，食堂制作了三類餐食，第一類是選餐，學生憑喜好在做好的大約6種菜和主食米飯中任意選購；第二類是套餐，已按配套好菜色盛裝好，可直接取餐：第三類是面食，如煮面?炒粉等，為了更合理地設置口布局，增加學生的用餐滿意度，學校學生會在用餐的學生中對就餐選擇?各類餐食的平均每份取餐時長以及可接受等待時間進行問卷調查，并得到以下的統計圖表：類別選餐套餐面食選擇人數503020平均每份取餐時長（單位?分鐘）20.51已知飯堂的售飯窗口一共有20個，就餐高峰期時有240名學生在等待就餐．(1)根據以上調查統計，如果設置12個選餐窗口，4個套餐窗口，4個面食窗口，就餐高峰期時，假設大家在排隊時自動選擇較短的隊伍等待（即各類餐食的窗口前隊伍長度各自相同），求選擇選餐的同學取到午餐的最長等待時間；(2)取餐時至多等待多長時間能讓的同學感到滿意？（即在接受等待時長內取到餐，保留整數）；(3)根據以上的調查統計，從等待時長和公平的角度上考慮，如何設置各類售飯窗口數更優化，并給出你的求解過程．【解析】（1）由題意得就餐高峰期時選擇選餐的總人數為人；這120人平均分布在12個選餐窗口，平均每個窗口等待就餐的人數為人，所以選擇選餐的同學取到午餐的最長等待時間為分鐘，（2）由可接受等待時長的頻率分布直方圖可知，分組為的頻率分別為，所以可接受等待時長在分鐘以內的同學占0.05，即有的同學不滿意可接受等待時長在分鐘以內的同學占，即有的同學對等待時間少于15分鐘感到滿意，所以至多等待的時間，能讓的同學感到滿意，所以分鐘，至多等待18分鐘，能讓的同學感到滿意.（3）假設設置個選餐窗口，個套餐窗口，個面食窗口，則各隊伍的同學最長等待時間如下：類別選餐套餐面食高峰期就餐總人數1207248各隊伍長度（人）最長等待時間（分鐘）依題意，從等待時長和公平的角度上考慮，則要求每個隊伍的最長等待時間大致相同，即得，即有，而，故，因此建議設置選餐?套餐?面食三個類別的窗口數分別為15，2，3個.【變式33】（2025·高一·全國·專題練習）某市質監局要檢查某公司某個時間段生產的500克袋裝牛奶的質量是否達標，現從500袋牛奶中抽取10袋進行檢驗．(1)利用隨機數法抽取樣本時，應如何操作？(2)如果用隨機數法生成部分隨機數如下所示，據此寫出應抽取的袋裝牛奶的編號；162，277，943，949，545，354，821，737，932，354，873，520，964，384，263，491，648，642，175，331，572，455，068，877，047，447，672，172，065，025，834，216，337，663，013，785，916，955，567，199，810，507，175，128，673，580，667.(3)質監局對該公司生產的袋裝牛奶檢驗的質量指標有兩種：一是每袋牛奶的質量滿足500±5g，二是10袋質量的平均數≥500g，同時滿足這兩個指標，才認為公司生產的牛奶為合格，否則為不合格．經過檢測得到10袋袋裝牛奶的質量(單位：g)如下：502，500，499，497，503，499，501，500，498，499.計算這個樣本的平均數，并按照以上標準判斷該公司的牛奶質量是否合格；(4)該公司對質監局的這種檢驗方法并不認可，公司質監部門抽取了100袋牛奶按照(3)檢驗標準，統計得到這100袋袋裝牛奶的質量都滿足500±5g，平均數為500.4g，你認為質監局和公司質監部門的檢驗結果哪一個更可靠？為什么？(5)為進一步加強公司袋裝牛奶的質量，規定袋裝牛奶的質量變量值為Yi＝公司質監部門又抽取了一個容量為50的樣本，其質量變量值如下：11101111001010101010111101011100010101001001010101據此估計該公司生產的袋裝牛奶質量不低于500g的比例．【解析】（1）第一步，將500袋牛奶編號為1，2，…，500；第二步，用隨機數工具產生1～500范圍內的隨機數；第三步，把產生的隨機數作為抽中的編號，使編號對應的袋裝牛奶進入樣本；第四步，重復上述過程，直到產生的不同編號等于樣本所需要的數量．（2）應抽取的袋裝牛奶的編號為162，277，354，384，263，491，175，331，455，068.（3），所以該公司的牛奶質量不合格.（4）該公司的質監部門的檢驗結果更可靠．因為質監局抽取的樣本量較小，不能很好地反映總體，該公司的質監部門抽取的樣本量較大，一般來說，樣本量大的估計效果會好于樣本量小的．尤其是樣本量不大時，增加樣本量可以較好地提高估計的效果．（5）由樣本觀測數據，計算可得樣本平均數為，據此估計該公司生產的袋裝牛奶質量不低于500g的比例約為0.56.題型四：百分位數【典例41】（2025·高三·上?！て谥校┠承Ｆ谥锌荚嚭?，為分析100名高三學生的數學學習情況，整理他們的數學成績得到如圖所示的頻率分布直方圖．則下列結論錯誤的是（

）A．估計數學成績的眾數為75 B．C．估計數學成績的75百分位數約為85 D．估計成績在80分及以上的學生的平均分為87.50【答案】B【解析】估計數學成績的眾數為（分），A選項正確.根據題意可得，∴，B選項錯誤.∵前四組的頻率依次為0.1，0.15，0.35，0.3，∴估計數學成績的75百分位數約為（分），C選項正確.∵成績在80分及以上的學生的兩組的頻率之比為，∴估計成績在80分及以上的學生的平均分為，D選項正確．故選：B．【典例42】（2025·高三·山東濱州·期末）某大學共有15000名學生，為了了解學生書籍閱讀量情況，該校從全校學生中隨機抽取1000名，統計他們2022年閱讀的書籍數量，由此來估計該校學生當年閱讀書籍數量的情況，下列估計中正確的是（

）(注：同一組數據用該組區間的中點值作為代表)A．眾數約為10 B．中位數約為6.5C．平均數約為6.76 D．該校學生2022年閱讀的書籍數量的第60百分位數約為7.6【答案】D【解析】對于A，由圖可知眾數在內，所以眾數是6，故A錯誤；對于B，由圖，中位數在內，所以，解得，故B錯誤；對于C，平均數為，故C錯誤；對于D，由圖，該校學生2022年閱讀的書籍數量的第60百分位數約為，故D正確.故選：D.【變式41】（2025·高三·江蘇南京·學業考試）某考生參加某高校的綜合評價招生并成功通過了初試，在面試階段中，8位老師根據考生表現給出得分，分數由低到高依次為：76，a，b，80，80，81，84，85，若這組數據的下四分位數為77，則該名考生的面試平均得分為（

）A．79 B．80 C．81 D．82【答案】B【解析】由題意知，下四分位數為第二個數與第三個數的平均數，即，解之得，所以該名考生面試的平均得分為.故選：B.【變式42】（2025·高一·新疆·期末）已知小王4次月考的數學成績分別為125，116，120，131，則這些成績的第75百分位數是（

）A．122.5 B．125 C．128 D．131【答案】C【解析】將這些成績從小到大排列為.因為，所以這些成績的第75百分位數是.故選：C.【變式43】（2025·高一·天津南開·期末）一組數據：53，57，45，61，79，49，x，若這組數據的第80百分位數與第60百分位數的差為3，則（

）．A．58或64 B．58 C．59或64 D．59【答案】A【解析】將已知的6個數從小到大排序為45，49，53，57，61，79．若，則這組數據的第80百分位數與第60百分位數分別為61和57，他們的差為4，不符合條件；若，則這組數據的第80百分位數與第60百分位數分別為79和61，它們的差為18，不符合條件；若，則這組數據的第80百分位數與第60百分位數分別為x和61（或61和x），則，解得或故選：A題型五：統計圖表【典例51】（多選題）（2025·高一·廣西南寧·期末）某市2023年經過招商引資后，經濟收入較前一年增加了一倍，實現翻番，為更好地了解該市的經濟收入的變化情況，統計了該市招商引資前后的年經濟收入構成比例，得到如下扇形圖．則下列結論中正確的是（

）A．招商引資后，工資凈收入較前一年減少B．招商引資后，轉移凈收入是前一年的2.5倍C．招商引資后，轉移凈收入與財產凈收入的總和超過了該年經濟收入的D．招商引資后，經營凈收入較前一年增加了一倍【答案】BD【解析】根據題意，可設招商引資前的經濟收入為，則招商引資后的經濟收入為；對于A，由招商引資前后的年經濟收入構成比例可知招商引資前的工資收入為，招商引資后的工資收入為，可知招商引資后，工資凈收入較前一年增多，即A錯誤；對于B，招商引資前的轉移凈收入為，招商引資后的工資收入為，即招商引資后，轉移凈收入是前一年的2.5倍，可得B正確；對于C，由招商引資后的年經濟收入構成比例可知轉移凈收入與財產凈收入的總和占比為，小于，即C錯誤；對于D，招商引資后的經營凈收入為，招商引資前的經營凈收入為，可得招商引資后，經營凈收入較前一年增加了一倍，即D正確.故選：BD【典例52】（多選題）（2025·高一·廣東佛山·期末）某保險公司為客戶定制了5個險種：甲，一年期短期；乙，兩全保險；丙，理財類保險；丁，定期壽險；戊，重大疾病保險．各種保險按相關約定進行參保與理賠．該保險公司對5個險種參?？蛻暨M行抽樣調查，得到如圖所示的統計圖表．則（

）

A．丁險種參保人數超過五成 B．41歲以上參保人數超過總參保人數的五成C．18－29周歲人群參保的總費用最少 D．人均參保費用不超過5000元【答案】ACD【解析】由參保險種比例圖可知，丁險種參保人數比例，故A正確由參保人數比例圖可知，41歲以上參保人數超過總參保人數的不到五成，B錯誤由不同年齡段人均參保費用圖可知，周歲人群人均參保費用最少，但是這類人所占比例為，周歲以上參保人數最少比例為，周歲以上人群人均參保費用,所以18－29周歲人群參保的總費用最少，故C正確．由不同年齡段人均參保費用圖可知，人均參保費用不超過5000元,故D正確故選：ACD．【變式51】（多選題）（2025·高一·全國·課后作業）（多選）如圖是2018年第一季度五省GDP情況圖，則下列描述正確的是（）A．與去年同期相比2018年第一季度五個省的GDP總量均實現了增長B．2018年第一季度GDP增速由高到低排位第5的是浙江省C．2018年第一季度GDP總量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1個D．去年同期河南省的GDP總量不超過4000億元【答案】ABD【解析】由2018年第一季度五省情況圖，知：與去年同期相比，2018年第一季度五個省的總量均實現了增長，A正確；2018年第一季度GDP增速由高到低排位第5的是浙江省，故B正確;2018年第一季度總量和增速由高到低排位均居同一位的省有江蘇和河南，共2個,故C不正確；由2017年同期河南省的GDP總量增長6.6%后達到2018年的4067.4億元，可得去年同期河南省的GDP總量約為3815.6億元，不超過4000億元，故D正確.故選：ABD.【變式52】（多選題）（2025·高三·廣東揭陽·期末）2022年前三個季度全國居民人均可支配收入27650元，比2021年同期增長了約5.3%，圖①為2021年與2022年前三季度全國及分城鄉居民人均可支配收入的對比圖；圖②為2022年前三季度全國居民人均消費支出及構成（其中全國居民人均可支配收入=城鎮居民人均可支配收入×城鎮人口比重+農村居民人均可支配收入×農村人口比重），則下列說法正確的是（

）A．2022年前三個季度全國居民可支配收入的中位數一定高于2021年同期全國居民可支配收入的中位數B．2022年城鎮居民人數多于農村居民人數C．2022年前三個季度全國居民在食品煙酒以及居住方面的人均消費超過了總消費的50%D．2022年前三個季度全國居民在教育文化娛樂方面的人均消費支出超過了3700元【答案】BC【解析】對于選項A，圖中信息體現的是平均數的差別，沒有提供中位數的信息，不能作出判斷，故選項A錯誤；對于選項B，設2022年城鎮居民占全國居民的比重為x，則有，解得，故選項B正確；2022年前三個季度全國居民在食品煙酒以及居住方面的人均消費支出占總消費的比例分別為30%，24%，故選項C正確；2022年前三個季度全國居民在教育文化娛樂方面的人均消費支出為（元），且，故選項D錯誤.故選：BC.【變式53】（多選題）（2025·高一·全國·專題練習）2019年以來，世界經濟和貿易增長放緩，中美經貿摩擦影響持續顯現，我國對外貿易仍然表現出很強的韌性．今年以來，商務部會同各省市全面貫徹落實穩外貿決策部署，出臺了一系列政策舉措，全力營造法治化、國際化、便利化的營商環境，不斷提高貿易便利化水平，外貿穩規模、提質量、轉動力取得階段性成效，進出口保持穩中提質的發展勢頭，下圖是某省近五年進出口情況統計圖，下列描述正確的是（

）A．2015年出口額最少 B．出口總額比進口總額多C．出口增速前四年逐年下降 D．2019年進口增速最快【答案】ABD【解析】觀察5個白色矩形可知，這五年中2015年出口額最少，故A正確；觀察題圖可得，2015年出口額比進口額稍低，但2016年至2019年出口額都高于進口額，并且2017年和2018年出口額都明顯高于進口額，故這5年，出口總額比進口總額多，故B正確；觀察虛線折線圖可知，2015年到2016年出口增速是上升的，故C錯誤；觀察實線折線圖可知2019年是最高的，即2019年進口增速最快，故D正確．故選：ABD．題型六：用樣本的集中趨勢、離散程度估計總體

56．（2025·高一·貴州·期末）王老師從所教兩個班的100名學生中隨機抽取40名學生，記錄他們期中考試的數學成績（滿分100分），根據所得數據，按分成五組，得到如圖所示的頻率分布直方圖.(1)估計這40名學生期中考試數學成績的平均分和方差（各組數據用該組區間的中點值作代表）；(2)已知剩余60名學生期中考試數學成績的平均分為82，方差為101，結合（1）中求得的結果，估計王老師所教兩個班的學生期中考試數學成績的平均分和方差.【解析】（1）這40名學生期中考試數學成績的平均分為：，這40名學生期中考試數學成績的方差為：（2）兩個班的學生期中考試數學成績的平均分為，兩個班的學生期中考試數學成績的方差為：.【典例61】（2025·高二·湖北·期中）某校藝術團共有人，男生與女生的比例是.為了解藝術團全體學生的身高，按性別比例進行分層隨機抽樣，抽取樣本量為的樣本，并觀測樣本身高數據（單位：）.已