湖南省衡陽市四校2024-2025學年九年級下學期開學考試數學試題學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．下列二次根式中，是最簡二次根式的是（

）A． B． C． D．2．下列計算結果為的是（

）A． B． C． D．3．拋物線的頂點在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．近年來，由于新能源汽車的崛起，燃油汽車的銷量出現了不同程度的下滑，經銷商開展降價促銷活動．某款燃油汽車今年2月份售價為萬元，4月份售價為萬元，設該款汽車這兩月售價的月平均降價率是x，則所列方程正確的是（

）A． B．C． D．5．已知一元二次方程的兩個實數解分別為，則的值為（

）A． B． C． D．6．如圖，，，，，的周長為，則的周長為（

）A．20 B．25 C．35 D．307．在平面直角坐標系中，點關于原點的對稱點的坐標為（

）A． B． C． D．8．如圖，在中，，，，則的長為（

）A． B． C． D．9．生活在數字時代的我們，很多場合都要用到二維碼，二維碼采用黑白相間的圖形來記錄數據符號信息．丹丹幫媽媽打印了一個收款二維碼如圖所示，該二維碼的面積為，她在該二維碼紙內隨機擲點，經過大量重復試驗，發現點落在黑色區域的頻率穩定在左右，則據此估計此二維碼中白色區域的面積為（

）A． B． C． D．10．如圖，拋物線（）與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，且對稱軸為直線，點A的坐標為，則下面的結論中：①；②；③；④當時，或，其中正確的結論個數是（

）A．4 B．3 C．2 D．1二、填空題11．若分式在實數范圍內有意義，則的取值范圍是．12．如圖，在中，，且分別交，于點D、E，若，，則．13．若將拋物線先向右平移2個單位長度，再向下平移1個單位長度后得到的拋物線的解析式為，則．14．如圖，的頂點在正方形網格的交點處，則的值為15．已知的值是10，則代數式的值是．16．如圖，點A在反比例函數的圖象上，點在軸的負半軸上，交軸于點，且滿足，軸于點，點在軸正半軸上，交于點，若，，則．三、解答題17．計算：．18．解方程：．19．已知關于x的一元二次方程有兩個實數根和．(1)求實數的取值范圍；(2)若兩個實數根和滿足，求k的整數值．20．“雙減”政策實施后，某校為豐富學生的課余生活，開設了A籃球，B足球，C繪畫，D舞蹈四類興趣班．為了解學生對這四類興趣班的喜愛情況，隨機抽取該校部分學生進行了問卷調查，并將調查結果整理后繪制成兩幅不完整的統計圖．請根據統計圖信息回答下列問題．(1)本次抽取調查學生共有_____人，估計該校3000名學生喜愛“舞蹈”興趣班的人數約為_________人．(2)請將以上兩個統計圖補充完整．(3)甲、乙兩名學生要選擇參加興趣班，若他們每人從A，B，C，D四類興趣班中隨機選取一類，請用畫樹狀圖或列表法，求兩人恰好選擇同一類的概率．21．如圖，在由邊長為個單位長度的小正方形組成的網格中，已知格點（頂點是網格線的交點）和格點．(1)以點為位似中心在網格內畫出的位似圖形，使得與的位似比為；(2)將向上平移個單位長度得到，請畫出．22．如圖，在中，，D為邊上的一點，，．(1)求的長．(2)若，求的值．23．某商場購進單價40元的毛絨玩具．銷售一段時間后發現：當銷售單價為60元時，平均每個月可銷售100個，而當銷售單價每降低10元時，平均每個月就多銷售20個．其中按物價部門的有關規定，該商品的銷售單價不能高于70元，也不能低于40元．(1)當銷售單價定為多少元時，該款毛絨玩具每個月的銷售利潤能達到2000元？(2)當單價定價為多少時，銷售這款毛絨玩具每月獲得的利潤最大？最大利潤是多少？24．如圖，在梯形中，是梯形對角線，．

(1)求證：；(2)以為一邊作交邊于點，求證：．25．如圖，拋物線交軸于，兩點在左邊，交軸于點，點是第二象限內拋物線上任意一點，其橫坐標為．(1)直接寫出點，，的坐標；(2)如圖1，連接，過點作直線軸，交于點D．當線段的長度最大時，求點的坐標；(3)如圖，連接，，過點作直線，交軸于點．若平分線段，求直線的解析式．《湖南省衡陽市四校2024-2025學年九年級下學期開學考試數學試題》參考答案1．D解：選項A：，故不符合題意，選項B：，故不符合題意，選項C：，故不符合題意，選項D：是最簡二次根式，符合題意，故選：D2．CA、原式，不符合題意；B、原式，不符合題意；C、原式，符合題意；D、原式，不符合題意．故選：C．3．B解：拋物線的解析式為，拋物線的頂點坐標為，所以拋物線的頂點坐標在第二象限，故答案為：B．4．A解：根據題意得：，故選：A．5．A解：∵一元二次方程，∴，故選：A．6．B解：∵，∴，即，又∵，∴，∴，∵的周長為，即，設的周長為，∴，∴，故選：B．7．A解：在平面直角坐標系中，點關于原點的對稱點的坐標是．故選：A．8．B解：，，．，．故選：B．9．B解：經過大量重復試驗，發現點落在黑色區域的頻率穩定在左右，點落在白色區域的頻率穩定在左右，估計此二維碼中白色區域的面積為．故選：B．10．B解：∵拋物線開口向下，∴，∵拋物線的對稱軸是直線，∴，∵拋物線與y軸的交點在x軸上方，∴，∴，故①正確，符合題意；∵，∴，∴，故②不正確，不符合題意；∵當時，，即，故③正確，符合題意；∵點與點B關于對稱軸直線對稱，∴，∴當時，或，故④正確，符合題意．所以正確的有①③④共3個．故選：B．11．且解：代數式在實數范圍內有意義，且，解得：且，故答案為：且．12．解：，，，，，解得：，故答案為：．13．解：∵將拋物線先向右平移2個單位長度，再向下平移1個單位長度后得到的拋物線的解析式為，∴，即，，∴．故答案為：14．解：設每個網格正方形的邊長為1，且，交的延長線于點D，根據題意，得，故，故，故答案為：．15．/2.5解：根據題意得：，∴，∴,故答案為：.16．16解：如圖：連接，設，則，∵，∴，∴，即，則，∵和等高，∴，即，解得：，∵點A在反比例函數的圖象上，∴，∵函數圖象在第一象限，∴．故答案為：16．17．解：．18．，解：，或，，．19．(1)(2)整數k的值為或0（1）解：，，由已知得，所以；（2）由根與系數得關系可知，，因為，所以，解得，由（1）知，所以，，所以，整數k的值為或0．20．(1)50，300(2)見解析(3)（1）解：本次抽取調查學生的總人數為（人），估計該校3000名學生喜愛“舞蹈”興趣班的人數約為（人），故答案為：50，300．（2）解：喜歡籃球的學生人數人（人），喜歡繪畫的學生所占百分比為，喜歡舞蹈的學生所占百分比為．則補全兩個統計圖如下：（3）解：由題意，畫樹狀圖如下：由圖可知，甲、乙兩名學生選擇參加興趣班的所有等可能的結果共有16種，其中，兩人恰好選擇同一類的結果有4種，則兩人恰好選擇同一類的概率為，答：兩人恰好選擇同一類的概率為．21．(1)見解析；(2)見解析．（1）解：如圖所示，連接，延長，使得，，，順次連接，∴即為所求；（2）解：如圖所示，∴即為所求．22．(1)(2)（1）解：在中，，，．（2）解：，，．．23．(1)當銷售單價定為60元時，該款毛絨玩具每個月的銷售利潤能達到2000元(2)當銷售單價為70元時，銷售銷售這款毛絨玩具每月獲得的利潤最大（1）解：設銷售單價為元，由題意得，解得，，∵該商品的銷售單價不能高于元，∴，答：當銷售單價定為元時，該款毛絨玩具每個月的銷售利潤能達到元；（2）設每月獲得的利潤為元，由題意得：∵，∴當時，隨的增大而增大∵，∴當時，，答：當銷售單價為元時，銷售銷售這款毛絨玩具每月獲得的利潤最大．24．(1)見解析(2)見解析（1），，，，，，；（2）作交邊于點，

由（1）得，，又，，，，又，．25．(1)，，(2)(3)（1）解：在中，令得，令