2025北京高三一模分類匯編數學目錄集合2復數4二項式定理6向量8等式/不等式1112函數基礎15函數綜合17指對函數實際應用1921等差數列/等比數列24直線與圓方程27雙曲線29拋物線31選填壓軸33立體幾何解答題39三角函數與解三角形解答題54概率統計解答題72解析幾何解答題89導數解答題102創新新定義解答題120·集合1.（2025北京東城區高三一模已知集合A=x∣x2-x-6>0,則?RA=A.{x∣-2<x<3}B.{x∣-3<x<2}C.{x∣-2≤x≤3}D.{x∣-3≤x≤2}C2.（2025北京西城區高三一模已知集合A=xx2<4B=xlgx>0，那么集合A∪B=A.-2,+∞B.-∞,-2∪1,+∞C.-∞,2D.1,+∞A3.（2025北京海淀區高三一模已知集合U=x∣x>1,A={x∣x≥2},則?UA=A.-∞,2B.-∞,-1∪(1,2]C.(-∞,2]D.-∞,-1∪1,2D4.(2025北京朝陽區高三一模01)已知集合A={x||x|<2}B={x|0≤x≤2}，則A∩B=A.{x|0≤x<2}B.{x|0≤x≤2}C.{x|-2<x<2}D.{x|0<x≤2}A5.（2025北京豐臺區高三一模已知集合U={-3,-2,-1,0,1,2}A={x∈Z||x|<2}，則UA=A.{-1,0,1}B.{-2,-1,0,1,2}C.{-3}D.{-3,-2,2}D6.(2025北京石景山區高三一模01)已知全集U={-2,-1,0,1,2,3}A={x∈Z|x2≤2}，則?UA=A.{-1,0,1}B.{-2,2,3}C.{-2,1,2}D.{-2,0,3}B·7.（2025北京房山區高三一模已知集合A={-2,-1,0,1,3},集合B=x∣x2<2,則A∩B=A.{-1,0,1}B.{-2,-1,0,1}C.{-1,0,1,3}D.{-2,-1,0,1,3}A8.(2025北京門頭溝區高三一模01)已知集合A=x|x2<4B=x|0≤x≤3，則A∪B=A.0,2B.0,2C.0,3D.-2,3D9.(2025北京順義區高三一模01)已知集合U={x|x+3≥0}A={x|-2<x<2}，則?UA=A.-3,-2∪2,+∞B.-3,2)C.-3,-2∪2,+∞)D.-2,3)C10.（2025北京延慶區高三一模已知集合A={x|0≤x≤3}B={x|logx<1}，則A∪B=A.[0,3]B.[0,3)C.(0,3)D.(0,3]A11.（2025平谷區高三一模已知集合A={x∣-1<x<1},B=x∣0≤x≤2，則A∪B=A.{x∣-1<x<2}B.x∣0≤x≤2C.{x∣0≤x<1}D.{x∣-1<x≤2}D·復數1.（2025北京東城區高三一模若復數z滿足1+i?z=i,則z=.222.（2025北京西城區高三一模設i1-i2-i=．35-15i3.（2025北京海淀區高三一模在復平面內,復數z=i2+i3對應的點的坐標為A.(1,1)B.(1,-1)C.(-1,1)D.(-1,-1)D4.(2025北京朝陽區高三一模02)設復數z=1+i的共軛復數為z?=A.1B.2C.2D.4C5.（2025北京豐臺區高三一模z對應的點的坐標為(2,-1)|iz|=A.5B.5C.3D.3B6.(2025北京石景山區高三一模02)z=i-ai對應的點坐標為(1,-2)a=A.1B.-1C.2D.-2D7.（2025北京房山區高三一模在復平面內,復數i?3+4i對應的點位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限B8.(2025北京門頭溝區高三一模02)z對應的點的坐標是3,4zi=A.4+3iB.4-3iC.-4+3iD.-4-3iB·9.(2025北京順義區高三一模04)復數z的共軛復數為2z+=3+iz?=A.2B.2C.1D.22A10.（2025北京延慶區高三一模已知a∈Ria-2i2+ia=A.-1B.1C.-4D.4C11.（2025平谷區高三一模z滿足z?1-i=2iz對應的點位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限B·二項式定理1.（2025北京東城區高三一模在ax-x的展開式中,x3的系數為10,則a的值為A.-1B.1C.-2D.2D2.（2025北京西城區高三一模在x2+24的展開式中，x2的系數等于xA.6B.12C.18D.24D3.（2025北京海淀區高三一模已知x-2=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a,則a4+a3=.-74.(2025北京朝陽區高三一模03)在x+24xA.6B.8C.12D.24D5.（2025北京豐臺區高三一模在x-26xA.60B.-60C.160D.-160A6.(2025北京石景山區高三一模03)在2x2-15的展開式中，x的系數為xA.10B.-10C.40D.-40D7.（2025北京房山區高三一模若x-2=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a,則a3+a1=A.-41B.41C.-40D.40C8.(2025北京門頭溝區高三一模11)x-2的展開式中x的系數為.(用數字作答)-80·9.(2025北京順義區高三一模12)若(1-2x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，則a0=a1+a3+a5=1-12210.（2025北京延慶區高三一模x2-26的展開式中，x6的系數為.x6011.（2025平谷區高三一模在(x-2)5的展開式中，x2的系數為A.-5B.5C.-10D.10D·向量北京東城區高三一模a,b,c在正方形網格中的位置如圖所示.ac若網格紙上小正方形的邊長為1,則cos?b,c?=a-b?c=.22,0b2.（2025北京西城區高三一模設平面向量=-1,1=-2,1=x,y=5，則使得向量b-與共線的一組值x=y=．-4,3(答案不唯一)3.（2025北京西城區高三一模蜂巢的精密結構是通過優勝劣汰的進化自然形成的．若不計蜂巢P為圖中7個正六邊形(邊長為4的某一個頂點，A,B?PB的最大值為A.44B.48C.72D.76B4.（2025北京海淀區高三一模已知向量a=2,0,b=1,則a+b的最大值為；a+b與a的夾角的取值范圍是.3,0,π65.(2025北京朝陽區高三一模09)在△ABC中，CA=CB=5AB=4M為△ABC所在平面內一點且AM?CM的最小值為A.0B.-1625C.-45D.-165C·6.（2025北京豐臺區高三一模在平行四邊形中，E為邊BC上的動點，O為△ABD外接圓的圓心，2DO=+|DO|=||=2DO?的最大值為A.3B.4C.6D.8C7.(2025北京石景山區高三一模13)設AB=(1,1),|AC|=5,AB?BC=0|BC|=．38.（2025北京房山區高三一模已知向量a=x,1,b=1,-2,若a⊥b,則a-b=A.2B.5C.352D.10D9.(2025北京門頭溝區高三一模05)已知向量滿足=5=3,4的夾角為πb3-=A.52B.53C.5D.10C10.(2025北京順義區高三一模02)已知平面向量a,b滿足|a|=2b=(1,0)|2a-b|=5a?b=A.6B.3C.-4D.-2D11.(2025北京順義區高三一模06)已知A(1,0)B(0,1)C(0,3)M滿足MB?MC=0AM的可能取值是A.4B.2C.1D.12B12.（2025北京延慶區高三一模已知向量=(1,2)=(λ,-1)=(μ,-1)(+λ+μ=A.-2B.-1C.0D.1B·13.（2025平谷區高三一模已知是平面內兩個非零向量，λ≠0=λb+λb=+λA.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件D等式/不等式1.（2025北京東城區高三一模已知x>1,y>1,4x>2log2x>log4y-1A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件A2.（2025北京海淀區高三一模已知四個數a=lg2+lg52,b=lg2?lg5,c=lg2,d=lg5,其中最小的是A.aB.bC.cD.dC3.（2025北京豐臺區高三一模已知a<bc<dA.a-c<b-dB.ac<bdC.2a+2c<2b+2dD.a2+c2<b2+d2C4.(2025北京石景山區高三一模05)已知x,y∈Rx>y>0A.1x-1y>0B.2x-2y>0C.cosx-cosy<0D.lnx+lny<0B5.（2025北京房山區高三一模已知a,b∈R,且a<b,則A.1a>1bB.a2<b2C.a3<b3D.lnb-a>0C6.（2025北京延慶區高三一模設xy∈R0<x<y<1A.x2>y2B.sinx>sinyC.4x>2yD.x+1x>y(2-y)D1.（2025北京東城區高三一模在平面直角坐標系xOy中,角α以Ox為始邊,其終邊落在第一象限,則下列三角函數值中一定大于零的是A.sinπ+αB.cosπ-αC.sin2αD.cos2αC2.（2025北京東城區高三一模已知函數fx=sinωxω>0,若fx的最小正周期為π,則ω=x,x2∈π,2π,使得fx1-fx2=2,則ω的最小值為.2,543.（2025北京西城區高三一模在長方形ABCD中，E為BC的中點，cos∠AEB=23，則cos∠AED=A.459B.19C.-459D.-19B4.（2025北京西城區高三一模已知函數fx=sinx+3cosx．若fx1=fx2A.x1-x2=2kπk∈ZB.x1-x2=2kπ或x1+x2=2kπ+π3k∈ZC.x1+x2=kπ+π3D.x1-x2=2kπ或x1+x2=kπ+πk∈Z3k∈ZB北京海淀區高三一模y=3sinωx+φω>0y的部分圖象如圖所示.若A,B,C,D四點在同一個圓上,則ω=B3A.1B.1

2C.πD.π2OAxD-3DC6.(2025北京朝陽區高三一模04)為得到函數y=sin2x+cos2xy=2sin2x的圖象A.向右平移π4個單位長度B.向左平移π4個單位長度C.向右平移π8個單位長度D.向左平移π8個單位長度D7.(2025北京朝陽區高三一模07)已知sinα+sinβ=0,cosα+cosβ=3cos(α-β)=A.-12B.12C.32D.1B北京豐臺區高三一模f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)MN是直線y=12與曲線y=f(x)的兩個相鄰交點．若|MN|=π3ω=fπ=．22，329.(2025北京石景山區高三一模04)在△ABCasinB-3sinA=0b=A.3B.23C.1D.2A10.(2025北京石景山區高三一模12)如圖2α以Ox單位圓O相交于點PP的橫坐標為35sin(π2+α)=．3511.（2025北京房山區高三一模已知函數fx=sin2x,x1+x2=fx1+fx2=A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件A12.（2025北京房山區高三一模若對任意實數x,cosx+π=Asinx+φA>0恒成立,6則滿足條件的一組A,φ的值為A=,φ=.1,2π3(答案不唯一)13.(2025北京門頭溝區高三一模07)已知函數fx=sinx-π足fx+fx2=0，31且fx在區間x,x2x1+x2的值可以是A.π3B.2π3C.4π3D.5π3B14.(2025北京門頭溝區高三一模13)在平面直角坐標系xOyα以Ox與單位圓交點的橫坐標為-12α=.2π3(答案不唯一)15.(2025北京順義區高三一模14)在△ABC中，2b=3c∠A=2∠CcosC=.10416.（2025北京延慶區高三一模已知α是第四象限角且sinα=-352sinβ-cosβ=0，則tan(α-β)的值為.-217.（2025平谷區高三一模已知函數fx=2sinωx-π,ππω>0fx在區間-上沒342ω的最大值為A.23B.43C.53D.2A函數基礎1.（2025北京東城區高三一模下列函數中,定義域為0,+∞的是A.fx=xB.fx=lnxC.fx=2xD.fx=tanxB2.（2025北京西城區高三一模y軸對稱的是A.y=x-1B.y=2xC.y=x4+x2D.y=lnxC3.（2025北京海淀區高三一模函數fx=a21+1a>0的圖象一定經過點A.1,2B.21C.(0,2)D.(0,1),12A4.(2025北京朝陽區高三一模11)函數f(x)=11-x+log3x的定義域為．3x的定義域為．(0,1)5.(2025北京石景山區高三一模11)若f(x)=lg(x+1)x>0，f(9)+f(-1)=．2x+2x≤026.（2025北京房山區高三一模已知函數fx=2,x<1,則f0+f1=.log2x+7,x≥1.47.(2025北京門頭溝區高三一模03)0,+∞上單調遞增的是A.y=x-1x1B.y=x3-xC.y=x2D.y=tanxA8.(2025北京順義區高三一模03)0,+∞的是A.y=x2B.y=x+1C.y=31D.y=log2xB北京延慶區高三一模.數學中把這種兩端固定的一條均.已知函數f(x)=12(ex+e)A.f(x)為奇函數B.f(x)的最大值為1C.f(x)在(-∞,+∞)上單調遞增D.方程f(x)=2有2個實數解D10.（2025平谷區高三一模1,+∞上單調遞增的是A.y=x-2B.y=2xC.y=11-xD.y=-lnxC函數綜合1.（2025北京東城區高三一模中國茶文化博大精深,茶水的口感與T水的溫度有關.一杯80°C的熱紅茶置于20°C的房間里,茶水的溫度T單位:°C與時間t(單位:min)的函數T=ft的圖象如圖所示.下80列說法正確的是A.若t1+t3=2t,則ft1+ft3>2ft220B.若t1+t3>2t,則ft1+ft3>2ft2OtC.若ft1+ft3=2ft2,則t1+t3<2t2D.若ft1+ft3>2ft2,則t1+t3>2t2A2.（2025北京海淀區高三一模已知函數fx=2-x,x≤1,.若fx的a>0且a≠11ax+3,x>1loga2值域為(-∞,2],則a的一個取值為fx的值域為R,則a的取值范圍是.12(答案不唯一,只需滿足0<a<1),[2,+∞)3.(2025北京朝陽區高三一模08)兩岸所在直線l,l2DE與河岸所在直線垂直.的三個入口分別設在直角三角形的頂點A,B,CA(定點)在橋DEA到直線l,l2的距離分別為h,h(h,h2為定值)口B,C分別在直線l,l1AB與直線l2所成的銳角∠ABD為αAC與AB垂直．設該休閑公園的面積為S(α)α是A.函數S(α)的最大值為hh2B.函數S(α)的最小值為hh22C.若α,α2∈0,π1<α2S(α)<S(α)且α2D.若α,α2∈0,π1+α2=π且α22S(α)=S(α)D4.(2025北京朝陽區高三一模13)已知函數f(x)是Rx>0時，f(x)=x+exf(-2)=a,b,c∈R(a≠b)f(a)=f(b)=cc的一個取值為．-34(答案不唯一)5.（2025北京豐臺區高三一模已知函數f(x)=x+1,x>0,當a=0時，f(0)=x+a,x≤0．f(x)在Ra的取值范圍是．0(-∞,1]6.(2025北京門頭溝區高三一模09)已知函數fx=ea-a,x<-a,a>0,b>0fx既不存bsinx,x≥-a.ab關系中一定成立的是A.a+b>12B.a+b<1C.ab≤18D.ab≥14B7.（2025平谷區高三一模已知函數fx=-x2+ax,x≤1a=-1時，ax-1,x>1fx的值域是fxa的取值范圍是.-∞,14,0<a<2指對函數實際應用1.(2025北京石景山區高三一模08)S=aekt(a,k為常數)S()代表t分鐘末未溶解糖塊的質量．現將一塊質量為7克的糖塊放5分鐘末測得未溶解糖塊的質量為3.5克k=A.ln25B.ln35C.ln2D.ln3A2.（2025北京房山區高三一模自然界中,大多數生物存在著世代重疊現象,它們在生活史中會持續不斷地繁殖后代,且有時不同的世代能在同一時間進行繁殖.假定某類生物的生長發育不受密度制約時,其增長符合模型:Nt=Nert,其中N0為種群起始個體數量,r為增長系數,Nt為t時刻的種群個體數量.當t=3時,種群個體數量是起始個體數量的2倍.若N4=150,則N10=A.300B.450C.600D.750C3.(2025北京門頭溝區高三一模14)1年在市區公共區域建設了220%3年在市區公共區域新建設了1域的充電樁總量達到30萬個(結果保留到個位).(參考數據：lg2≈0.301lg3≈0.477)2.8884.(2025北京順義區高三一模05).視星等m.絕對星等M是假設把恒星放在距離地球10秒差距(10秒差距≈32.6光年).視星等m和絕對星等M滿足m-M=5lgd,其中d.若恒星A距離10地球約32.6B距離地球約326A,B的視星等滿足mB-mA=4A.MB=MA+4B.MB=MA+6C.MA=MB+1D.MA=MB+6C5.（2025平谷區高三一模P(單位：mg/L)與時間t(單位：h)間的關系為P=ekt,k10h消除了50%60%的污染物到消除80%的污染物大約需要經歷A.10hB.4hC.40hD.8hA1.（2025北京東城區高三一模祈年殿(圖1)是北京市的1標志性建筑之一,距今已有600多年歷史.殿內部有垂直于1地面的28根木柱,分三圈環形均勻排列.內圈有4根約為119米的龍井柱,寓意一年四季;中圈有12根約為13米的金AB

C柱,代表十二個月;外圈有12根約為6米的檐柱,象征十二圖2圖1個時辰.已知由一根龍井柱AA1和兩根金柱BB,CC1形成的幾何體ABC-A1BC(圖2)中,AB=AC≈8米,∠BAC≈144°,則平面A1BC1與平面ABC所成角的正切值約為A.43sin18°B.34sin18°C.43cos18°D.34cos18°B2.（2025北京西城區高三一模設直線m?平面αα∩平面β=直線l，m⊥m⊥A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件A3.（2025北京西城區高三一模近似看成一個四面體ABCDAD的長為6cm26cm角粽的表面積為cm2cm．(粽葉的厚度忽略不計)123+615,664.（2025北京海淀區高三一模已知A4紙的長寬比約為2:1.現將一張A4紙卷成一個圓柱的側面(無重疊部分).當該圓的高等于A4紙的長時,設其體積為,軸截面的面積為S;當該圓柱的高等于A4紙的寬時,設其體積為,軸截面的面積為S,則A.1=,S1=S2B.1≠,S1=S2C.1=,S1≠S2D.1≠,S1≠S2B5.（2025北京豐臺區高三一模已知m,n是兩條不同的直線，α,β正確的是A.若m?α,n?β,α‖βm‖nB.若m‖n,n?αm‖αC.若α⊥β,m⊥β,n⊥mn⊥αD.若m⊥α,n⊥β,m⊥nα⊥βD北京房山區高三一模2E--FP為棱BCA.AE∥平面BCFB.八面體E--F的體積為43C.EP+FP的最小值為6D.點A到平面BCF的距離為62D7.(2025北京門頭溝區高三一模08)某紀念塔的一部分建筑結構可抽象為三棱錐P-ABC=PB=PC=23面△ABC是等腰直角三角形，AB=BC點P到底面ABC的距離為3B到平面的距離為A.2B.6C.3D.23C8.(2025北京順義區高三一模07)穩定氣體.化學式為SF6一個八面體的結構.P--Q則平面與平面QAB夾角的余弦值是A.22B.23C.12D.13D9.（2025北京延慶區高三一模某圓錐高為3π3A.3πB.4πC.5πD.6πA平谷區高三一模以看作是由半徑為10cm2π3部分的奶油和包裹在蛋筒內部的奶油體積相等(忽略蛋筒厚度)奶油的總體積約為A.2000281πcm3B.4000327πcm3C.2000327πcm3D.4000281πcm3D等差數列/等比數列1.（2025北京東城區高三一模已知an是各項均為正整數的無窮等差數列,其中的三項為41,25,13,則a的公差可以為nA.-4B.-3C.4D.3C2.（2025北京海淀區高三一模已知an是公差為d的等差數列,bn是公比為q的等比數列.若0<q<1,an-bnd≥A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件D3.(2025北京朝陽區高三一模05)已知{a}是等比數列，a2=2a3=1aa2?a6=A.18B.14C.12D.1A4.(2025北京朝陽區高三一模14)()和十二地支()的組合來表示年份，20252025年之后的首個己巳年是年．(用數字作答)20495.（2025北京豐臺區高三一模已知{a}是公差不為0n項和為Sn?n∈N?Sn≤Sa8≥A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件A6.（2025北京豐臺區高三一模已知a,a,a3是公比不為1a,a,a3調整順序后可a,a,a3的值依次為．1,-2,4(答案不唯一)7.(2025北京石景山區高三一模07)等比數列{a}中，a2=2：a4=4：a6=8A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件C8.（2025北京房山區高三一模已知an是等差數列,且a2=1,a1+a5=8,則an的通項公式an=.3n-59.(2025北京順義區高三一模08)設ani>j>kai<aj<aanA.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件B10.（2025北京延慶區高三一模已知等比數列an的公比為qn項和為S.若S1=-1，且?n∈N*a2>a則下列結論錯誤的是A.a2<0B.0<q<1C.Sn<1q-1D.a1>anC11.（2025北京延慶區高三一模數列{a}akak≥a1且ak≥a，(k≥2，k∈N)則稱ak為{a}的一個峰值.若an=-3n2+11n{a}的峰值為；若an=tlnn-n{a}t的最大值為.10,-∞,1ln212.（2025平谷區高三一模在等比數列an中，a1+a2=-16,a2+a3=163，記n=aa2?ann=1,2,?nA.B.C.D.C13.（2025平谷區高三一模55(按30天計)共織了44010天該女子織了尺布”11直線與圓方程1.（2025北京東城區高三一模長度為2的線段AB的兩個端點分別在x軸及y軸上運動,則線段AB的中點到直線3x+4y+10=0距離的最小值為A.1B.2C.2D.3A2.（2025北京西城區高三一模在平面直角坐標系xOyA0,t發出的光線經過點B1,0x軸反射后將圓C:x-4+y-3=1t=A.1B.2C.3D.4A3.（2025北京海淀區高三一模已知直線y=ax+b經過圓x2+y2+2x=0的圓心,則a2+b的最小值為A.-1B.-14C.0D.1B4.（2025北京豐臺區高三一模已知直線x-y+2=0與圓x2+y2=r(r>0)有且僅有一個公共點r=．25.(2025北京石景山區高三一模09)已知點M,N為圓x2+y2-2y-3=0|MN|=23，點P在直線3x-y-5=0上Q為線段MN|PQ|的最小值為A.1B.2C.3D.4B6.（2025北京房山區高三一模直線y=x+1與圓x-1+y2=3交于A,B兩點,則AB=A.1B.2C.2D.22B7.(2025北京門頭溝區高三一模06)已知圓C:x2+y2=1l:y=kx+2kl上任意一點總能作圓Ck的最大值為A.0B.33C.1D.3D8.(2025北京順義區高三一模13)已知直線l:y=kx-1與圓O:(x-1)2+(y-1)2=1有兩個交點，則k可以是.(寫出滿足條件的一個值即可)k>34(答案不唯一)9.（2025北京延慶區高三一模已知圓C:(x-4)2+(y-3)2=1和兩點A(-m,0)B(m,0)(m>0).若圓C上存點P∠APB=90°m的最大值為A.4B.5C.6D.7C雙曲線1.（2025北京西城區高三一模設雙曲線Ex2a2-y2b2=1(a>0,b>0)12，若E上存在一點P得PF1=3PF2E的離心率的取值范圍是A.[3,+∞)B.[2,+∞)C.(1,3]D.(1,2]D2.（2025北京海淀區高三一模已知雙曲線y2a2-x2b2=1的一條漸近線的方程為y=2x,則該雙曲線的離心率為.523.(2025北京朝陽區高三一模06)已知曲線C:mx2-ny2=1n>m>C為焦點在x軸上A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件A4.（2025北京豐臺區高三一模圖12是某校陶藝社團的同學仿照金筐寶(忽略杯底部分)外輪廓可近似看作雙曲線C(即杯口直徑)約6.92cm4.00cm部最細處直徑約3.46cm6.92cmC的離心率最接近的是(參考數據：2≈1.41,3≈1.73)A.2B.2C.3D.3B5.(2025北京石景山區高三一模14)已知雙曲線x2-my2=1，若m=1；若雙曲線上存在四個點A,B,C,D使得四邊形m的一個取值為．y=±x(答案不唯一)6.(2025北京門頭溝區高三一模04)k=±12線y=kx-3與雙曲線x24-y2=1只有一個A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件C7.(2025北京順義區高三一模11)已知雙曲線C:x2a2-y2=1,2M(2,3)C的漸近線方程為.y=±x8.（2025北京延慶區高三一模已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一條漸近線過點(-2,1)，則其離心率為.529.（2025平谷區高三一模記雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的離心率為e線y=3x與Ce的一個值為.32(答案不唯一)拋物線1.（2025北京東城區高三一模已知拋物線C:y2=2pxp>0的焦點為F,點M為C上任意一點,且總有MF≥1,則p的一個值可以為.2(答案不唯一,滿足p≥2)2.（2025北京西城區高三一模設拋物線C:x2=2py的焦點為F0,1lC上一點At,2到l的距離為．33.（2025北京海淀區高三一模已知拋物線C:y2=2pxp>0的焦點為F,點M3,y在C上,02=2,則y=MF0A.1B.2C.3D.2C4.(2025北京朝陽區高三一模12)已知點M(2,1)在拋物線C:x2=2py(p>0)C的焦點F的坐標為F為圓心，|FM|為半徑的圓與拋物線C的準線的位置關系是．()(0,1)5.（2025北京豐臺區高三一模已知拋物線Cy2=2px(p>0)的焦點為FM在C上．若M的橫坐標為1|MF|=2p的值為A.12B.1C.2D.4C6.(2025北京石景山區高三一模06)已知拋物線C:y2=8x的焦點為FM(x0y)在C上，若|MF|>4A.x0∈(0,2)B.y0∈(0,2)C.x0∈(2,+∞)D.y0∈(2,+∞)C7.（2025北京房山區高三一模已知F是拋物線C:x2=12y的焦點,則F的坐標為，設A是直線y=-3上一點,直線AF與拋物線C的一個交點為B,若AB=2BF,則點B到x軸的距離為0,3;18.(2025北京門頭溝區高三一模12)已知拋物線C:y2=2pxp>0的焦點為F點F且垂直于其對稱軸的直線交C于點MNMN=4.29.(2025北京順義區高三一模09)已知拋物線C:y2=4x的焦點為Fl點F的直線與C交于不同的兩點A,BOBO與l交于點M|AF|=2|FB|△ABM的面積為A.922B.32C.322D.2A10.（2025北京延慶區高三一模k=12線y=kx+2與拋物線y2=4xA.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件A11.（2025平谷區高三一模拋物線y2=2x上一點Px,y0到準線的距離與到對稱軸的距離相等，則x0=.12選填壓軸1.（2025北京東城區高三一模已知集合A=x,y∣y=x2-1,B=x,yy=ax+a∣.如果A∩B有且只有兩個元素,則實數a的取值范圍為A.-∞,1B.1,+∞C.0,1D.[0,1)∪1,+∞D2.（2025北京東城區高三一模已知數列an滿足a2=a1+2ann=1,2,3,?,且a1=1.給出下列四個結論:①若a2∈0,+∞,當n≥3時,a1>an；②若a2∈-2,0,當n≥3時,a1<an；③若a2∈-1,0,對任意正數M,存在正整數N,當n>N0時,an>M；④若a2∈-∞,-1,對任意負數M,存在正整數N,當n>N0時,an<M.其中正確結論的序號是.①③④3.（2025北京西城區高三一模設等比數列an的前n項和為Snn項的乘積為．若aa2<aa3<0A.Sn無最小值，n無最大值B.Sn有最小值，n無最大值C.Sn無最小值，n有最大值D.Sn有最小值，n有最大值D4.（2025北京西城區高三一模記x表示不超過實數x的最大整數．設函數fx=x+x，有以下四個結論：①函數fxxfx+f-x=0或fx+f-x=-1；③集合x∣fx=a(a為常數)中有且僅有一個元素；④滿足fx+fy≤7的點x,yx≥0,y≥0構成的區域的面積為8．．①②④5.（2025北京海淀區高三一模對于無窮數列an和正整數kk≥2,若存在n,n,?,nk滿足n1<n2<?<nk且ann1=ann2=?=annk,則稱數列a具有性質k.下列選項中錯誤的是nA.若an=n,則數列an不具有性質2B.若an=n-1+cosnπ,則數列an具有性質C.存在數列an和bn,使得an和bn均不具有性質,且an+bn具有性質D.若數列an和bn均具有性質,則an+bn具有性質D6.（2025北京海淀區高三一模如圖所示,某游樂場有一款游樂設施,該設施由轉輪A和轉輪B組成,B的圓心固定在轉輪A上的點Q處,某個座椅固定在轉輪B上的點M處.A的半徑為10米,B的半徑為5米,A的圓心P距離地面豎直高度為20米.游樂設施運行過程中,A與B分別繞各自的圓心逆時針方向勻速旋轉,A旋轉一周用時π分鐘,B旋轉一周用時π2分鐘.當Q在P正下方且M在Q正下方時,開始計時,設在第t分鐘M距離地面的豎直高度為ht米.給出下列四個結論:①hπ=25;②ht最大值是35；4轉輪AP③M在豎直方向上的速度大小低于40米/分鐘；M④存在t0π使得tt時M到P的距離等于15米.∈,,=00其中所有正確結論的序號為.Q轉輪Bh(t)①③7.(2025北京朝陽區高三一模10)n301分．所n位同學的得分總和為150局總場數為A.12B.15C.16D.18B8.(2025北京朝陽區高三一模15)在棱長為1的正方體-ABCD1中P是底面ABCD1①|+PC|的最小值為2||+|PC|的最小值為6；③||+|PC|的最大值為1+3||2+|PC|2的最小值為3．其中所有正確結論的序號是．①②④9.（2025北京豐臺區高三一模-C的棱長為2E為的中點，F為線段C①存在唯一的點F得AEF四點共面；②+F的最小值為23；③存在點FAF⊥E；④有且僅有一個點F截正方體-C所得截面的面積為25．其中所有正確結論的個數為A.1B.2C.3D.4B10.（2025北京豐臺區高三一模已知函數f(x)=ex-acosx．給出下列四個結論：①當a=1時，在區間a，都沒有最小值；③當a≠0時f(x)的零點從大到小依次為x,x,x,?，則對任意正整數i有xi-x1<π；④對任意實數a,mx0t>x0f(-t)+f(t)>m．其中所有正確結論的序號為．②④11.(2025北京石景山區高三一模10)如圖12的正方體-ABCD1中，M,N,P分別是AA,CC,CD1的中點，Q是線段DA1上的動點(不包含端點)，給出下列三個命題：①對任意點Q有BQ⊥AB1；②存在點QBQ//平面MNP；③過點Q且與BN垂直的平面截正方體-ABCD1所得截面面積的最大值為25．其中正確的命題個數是A.0B.1C.2D.3C12.(2025北京石景山區高三一模15)高斯取整函數f(x)=[x]的函數值表示不超過x的最大整數，例如，[-3.5]=-4[2.1]=2．有如下四個結論：①若x∈(0,1)f(-x)+12=-(f(x)+12)f(x)=[x]與函數h(x)=x-1無公共點；-kkf+f(77③11)=-23；④所有滿足f(m)=f(n)(m,n∈[0,103])的點(mn)組成區域的面積為289．其中所有正確結論的序號是．①②④13.（2025北京房山區高三一模已知數列an的各項均為正數,且滿足a12-an=λλ是常數，n=1,2,3,?,則下列四個結論中正確的是A.若λ=0,則數列lnan是等比數列B.若λ>0,則數列an是遞增數列C.若數列an是常數列,則λ≥-14D.若數列an是周期數列,則最小正周期可能為2C14.（2025北京房山區高三一模,曲線E:x2+y-x=1就是其中之一.設曲線E與x軸交于A,B兩點,與y軸交于C,D兩點,點P是E上一個動點.給出下列四個結論:①曲線E關于yE恰好經過2個整點();③△面積的最大值為1;④OP≤5+12(O為坐標原點).其中正確結論的序號是.①③④15.(2025北京門頭溝區高三一模10)已知函數fx=ax2-x+xa∈R中x表示不超過x2.1=2-1.1=-2A.不存在afx有無數個零點B.fx有3個零點的充要條件是a∈1,+∞C.存在a得fx有4個零點D.存在afx有5個零點C16.(2025北京門頭溝區高三一模15)已知數列an滿足a1>0a1=an+kank≠0個結論：①存在k得ank>0an為遞增數列；③對任意的k>0an既不是等差數列也不是等比數列；④對于任意的k有a2≥a2+2kn-1.其中所有正確結論的序號是.②③④17.(2025北京順義區高三一模10)已知直線y=-x+4分別與函數y=2x和y=logx的圖象交于A(x,y)B(x,y)2>x22+2>8xlogx2-xlogx1>0.其中正確結論的個數是A.0B.1C.2D.3C18.(2025北京順義區高三一模15)已知函數f(x)=1x,0<x≤1,，x-1,x>1.數列an滿足a1=m(m>0)a1=f(a).給出下列四個結論：①若a3=3m有3m=2-1a3=a(n∈N)；②對于任意m>2T得aT=a(n∈N)；③對于任意大于2的正整數T在m>1aT=a(n∈N)；其中所有正確結論的序號是.①②④19.（2025北京延慶區高三一模已知正方體-ABCD1的棱長為1有點MMB+MC1=3點M的個數為A.2B.4C.6D.8C20.（2025北京延慶區高三一模已知函數f(x)=lnx-1-kx+2①?k<1f(x)關于直線x=1?k>1得f(x)存在最小值；③?k>1f(x)在(1,+∞)?k>1得f(x)有三個零點；其中所有正確的結論的序號是.①③④21.（2025平谷區高三一模已知函數fx=sinπ2xt∈RAt={y∣y=fxPt,ftQx,fx滿足PQ≤2}.設M,mt分別表示集合Atht=Mt-m.則函數ht的最小值是A.22B.1C.2D.2B22.（2025平谷區高三一模已知各項均不為零的數列an前n項和是S,a1=aSn=aa1n=1,2,?.給出如下結論：①a2=1ana的取值范圍是0,1aan為等比數列；④?m∈N*k>maka1<2.其中所有正確結論的序號是.①②④立體幾何解答題1.（2025北京東城區高三一模(本小題14分)如圖,在幾何體ABCDEF中,四邊形ABCD為平行四邊形,平面ADE⊥平面CDE,AD⊥DE,AD=DE=DC=1,BF?DE.(Ⅰ)證明:FC?平面ADE;(Ⅱ)已知點E到平面AFC的距離為62,再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知,求BF的長.條件①:AE⊥CD;條件②:AC=CE.注:如果選擇條件①和條件②分別解答,按第一個解答計分.(17)(共14分)解：(Ⅰ)因為四邊形ABCDBC∥AD.因為AD?平面ADEBC?平面ADEBC∥平面ADE.因為BF∥DEDE?平面ADEBF?平面ADEBF∥平面ADE.因為BC∩BF=BBCF∥平面ADE.因為FC?平面BCF以FC∥平面ADE.??????5分(Ⅱ)選條件①：AE⊥CD.因為平面ADE⊥平面CDE,平面ADE∩平面CDE=DE，AD⊥DEAD?平面ADEAD⊥平面CDE.因為CD?平面CDE以AD⊥CD.因為AE⊥CDAD∩AE=A，所以CD⊥平面ADE.所以CD⊥DE.如圖建立空間直角坐標系D-xyzBF=t，則A(1,0,0)C(0,1,0)E(0,0,1)F(1,1,t).所以AC=(-1,1,0)AF=(0,1,t).設平面AFC的法向量為m=(x,y,z)m?AC=0,即m?AF=0,-x+y=0,y+tz=0.令z=-1y=tx=t.于是m=(t,t,-1).由于AE=(-1,0,1)E到平面AFC的距離d為62|AE?m||(-1)×t+0×t+1×(-1)|所以d===6|m|2t2+t2+(-1)2，得t=12.所以BF的長為12.??????14分選條件②：AC=CE．因為平面ADE⊥平面CDE面ADE∩平面CDE=DEAD⊥DE，AD?平面ADEAD⊥平面CDE.所以AD⊥CD.所以∠ADC=90.因為AD=EDAC=ECDC=DCΔADC?ΔEDC.所以∠ADC=∠EDC=90.所以CD⊥DE.以下同選條件①.??????14分2.（2025北京西城區高三一模(本小題13分)中，AB⊥平面PDC∩平面=PQAB?CDPO⊥AD于點O．(1)求證：?PQ；(2)設AB=DO=4OA=4=PQ=PO=2與平面QBC所成角的正弦值．(16)(共13分)解:(I)如圖,因為AB?,?平面ABQP,AB?平面ABQP,所以?平面ABQP.3分又因為?平面,平面∩平面ABQP=PQ,所以?PQ.5分(II)在平面內過點O作Oy?AB.因為AB⊥平面,所以Oy⊥平面.所以Oy⊥OP,Oy⊥.又因為PO⊥AD,所以OD,Oy,OP兩兩互相垂直.如圖建立空間直角坐標系O-xyz,則O0,0,0,A-1,0,0,D4,0,0,C4,2,0,B-1,4,0,P0,0,2,BC=5,-2,0,AP=1,0,2.7分由題意,得CQ=DP=-4,0,2.設平面QBC的法向量為m=x,y,z,m?CQ=0,-4x+2z=0,則即5x-2y=0.m?BC=0,令x=2,則y=5,z=4.于是m=2,5,4.10分所以cos?m,AP?=m?AP=2.3mAP故直線與平面QBC所成角的正弦值為23.13分3.（2025北京海淀區高三一模(本小題13分)如圖,五面體ABCDEF中,四邊形ABCD是正方形.(Ⅰ)求證:EF?CB；(Ⅱ)若平面ABCD⊥平面ABF,AB=AF=12EF=1,BF=2,求直線DE與平面BCEF所成角的大小.B(16)(本小題13分)C解:(I)由四邊形ABCD是正方形,可得BC?AD.又因為BC?平面ADEF,AD?平面ADEF,AF所以BC?平面ADEF.DE又因為BC?平面BCEF,平面BCEF∩平面ADEF=EF,所以BC?EF.(II)由四邊形ABCD是正方形,可得AD⊥AB.又因為平面ABCD⊥平面ABF,所以AD⊥平面ABF.所以AD⊥AF.在△ABF中,因為AB=AF=1,BF=2,所以AB2+AF2=BF,由勾股定理逆定理得AB⊥AF如圖,建立空間直角坐標系A-xyz,由已知可得A0,0,0,D1,0,0,F0,1,0,E2,1,0,B0,0,1,C1,0,1.所以,DE=1,1,0,BC=1,0,0,BF=0,1,-1,BC?n=0,設平面BCEF的一個法向量為n=x,y,z,則BF?n=0,x=0,取y=1,得x=0,z=1.所以n=0,1,1,所以y-z=0.設直線DF與平面BCEF所成角為θ,則sinθ=cos<DE,n>=DE?n=?nDE12?ncos?DE,n?=DE?nDE=12.又因為θ為銳角,所以θ=π6.4.(2025北京朝陽區高三一模16)(本小題13分)-A1B1C1D1中，A1A⊥平面ABCD中，ABAB=2AD==1E為線段AB的中點．(Ⅰ)求證：A1E?平面C1；(Ⅱ)若平面AABB1⊥平面A1AA=2AABB1與平面AC1E夾角的余弦值．解：(Ⅰ)連接DC,EC．因為AB=2,=1,E為ABAE=．又ABCD為平行四邊形．所以EC//AD,EC=AD．又因為AD//AD,AD1=AD，所以ADEC,AD1=EC．所以四邊形A11為平行四邊形．所以A1EDC．又因為A1E?平面C1DC?平面C1，所以A1E?平面C．6分(Ⅱ)因為AA1⊥平面ABCDAA1⊥AB,AA1⊥AD．又因為平面A1ABB1⊥平面A11面A1ABB1∩平面A1=AA,AD?平面A1，所以AD⊥平面AABB．所以AD⊥AB．所以AB,AD,AA1兩兩垂直．如圖建立空間直角坐標系A-xyz，則D(0,1,0)B(2,0,0)A(0,0,2)C(1,1,2)．所以E(1,0,0)EA1=(-1,0,2)AC1=(1,1,0)．因為AD⊥平面AABB1，所以AD=(0,1,0)是平面AABB1的法向量．n?EA1=0,設平面AC1E的法向量為n=(x,y,z)即n?AC1=0,-x+2z=0,x+y=0.令x=2y=-2,z=1．于是n=(2,-2,1)．設平面AABB1與平面AC1E夾角為θ|AD?n|=2cosθ=|cos<AD,n>|=3|AD|?|n|．13分5.（2025北京豐臺區高三一模(本小題14分)P-⊥平面ABCD△為等邊三角形，AD‖BC，AB=AD=12BC=2∠ABC=60°．(Ⅰ)求證：AC⊥平面；(Ⅱ)求直線PD與平面PBC所成角的正弦值．解：(Ⅰ)在△ABCAB=2BC=4∠ABC=60°，所以AC2=AB2+BC2-2AB×BC×cosB=4+16-2×2×4所以AC=23.又AC2+AB2=BC2，所以AC⊥AB.又因為平面⊥平面ABCD，平面∩平面=AB，AC?平面ABCD，所以AC⊥平面...........5分(Ⅱ)分別取ABBC中點OEOPOE.所以OE‖AC.因為AC⊥AB，所以OE⊥AB.又因為△為等邊三角形，所以OP⊥AB.因為AC⊥平面OP?平面，所以AC⊥OP.又因為OE‖AC，所以OE⊥OP.所以OBOEOP兩兩垂直.如圖建立空間直角坐標系O-xyz，則A(-100)B(100)P(00，3)E(0，30).所以BP=(-10，3)AD=BE=(-1，30)PD=+AD=(-2，3-3).設平面PBC的法向量為n=(x,y,z)，則n?BP=0，即n?BE=0，-x+3z=0，-x+3y=0.令y=1x=3z=1.于是n=(311).設直線PD與平面PBC所成角為θsinθ=|cos<n,PD>|=|n?PD||n||PD|=65.所以直線PD與平面PBC所成角的正弦值為65...........14分6.(2025北京石景山區高三一模18)(本小題14分)P-中，⊥平面ABCDAB=2AB=1BC=1=2AB⊥BCN為PD的中點．(Ⅰ)求證：AN//平面PBC；(Ⅱ)求二面角C-PD-A的余弦值；(Ⅲ)點M在線段APCM與平面所成角的正弦值為63，求點M到平面的距離．解：(Ⅰ)取PC的中點為F結NF,BF，因為N,F分別為PDPC中點，所以NF且NF=12CD，因為ABCDAB=12=1，所以AB//NF且AB=NF，即四邊形ABMN是平行四邊形．所以ANBF，又AN?平面PBCBF?平面PBC，所以AN//平面PBC．????4分(Ⅱ)取的中點為E結AE．因為ABCDCE=12=1=AB，所以四邊形ABCE是平行四邊形．則AE=1，因為AB⊥BCABCE是正方形．則AE⊥AB．因為⊥平面ABCDAE,AB?平面ABCD，所以⊥AE⊥AB．則,AE,AB兩兩垂直．如圖建立空間直角坐標系A-xyzA(0,0,0)B(0,1,0)，C(1,1,0)D(1,-1,0)P(0,0,2)．因此AP=(0,0,2)AD=(1,-1,0)，=(0,-2,0)PC=(1,1,-2)．設平面的一個法向量為m=(x,y,z)m?AP=0,m?AD=0,即2z=0，x-y=0令y=1x=1以m=(1,1,0)，設平面的一個法向量為n=(a,b,c)n?PC=0，得n?=02b=0，a+b-2c=0令c=1a=2以n=(2,0,1)設二面角的平面角為α0<α<π2，所以cosα=|cos<mn>|=|m?n||m|?|n|=22×5=105，所以二面角C-PD-A的余弦值為105．????10分(Ⅲ)AM=k(0≤k≤2)M=(0,0,k)MC=(1,1,-k)．又由(Ⅱ)得平面的一個法向量為m=(1,1,0)，設直線CM與平面所成角為β，所以sinβ=|cos<m,MC>|=|m?MC||m|=|1+1|2?2+k2=63，解得k=1(負值舍去)，所以點M到平面的距離為|MC?n||n|=15=55．????14分7.（2025北京房山區高三一模(本小題13分)-ABCD1中，AB=AD=1E為BB1的中點，1與平面A1EC交于點F.(Ⅰ)求證：F為1的中點；(Ⅱ)若二面角C-AF-D的余弦值為33AA1的長度.解：(Ⅰ)在長方體-ABCD1中，因為平面BCCB1∥平面A1，平面A1EC∩平面BCCB1=EC,平面A1EC∩平面A1=AF，所以EC∥AF.同理EA1∥CF.所以1是平行四邊形.所以EC=AF.又DF=AF2-AD1=AF2-1,BE=EC2-BC2=EC2-1.所以DF=BE=12BB1=12.所以F為1的中點.(Ⅱ)在長方體-ABCD1中，建立空間直角坐標系A-xyzAA1=t(t>0)，則A(0,0,t)C(1,1,0)E1,0,t.2因此CE=0-1t=(-1,-1,t).CA21設平面A1EC的法向量為=(x,y,z)，則?=0,?CA=0.1即-y+t-x-y+t?z=0.令z=2y=tx=t此=(t,t,2).易知平面A1的法向量為=(1,0,0)?|cos<,>|=m=||?|||t|t2+t2+4=33.解得t=2.所以AA1=2.8.(2025北京門頭溝區高三一模16)-ABCD1中，E為BB1中點，BC1與平面AD1E交于點F.(1)求證：F為BC1的中點；(2)求平面AD1E與平面夾角的余弦值.解:(I)如圖所示,因為-ABCD1為正方體,所以平面A1?平面BCCB.1分又因為1A1∩平面AD1E=AD1,BCC1B1∩平面AD1E=,所以AD1?.2分連接BC,因為AB?CD,AB=CD,所以四邊形ABCD13分因此AD1?BC.4分所以BC1?.5分又因為E為BB1中點,所以F為BC16分(II)以點D為坐標原點,如圖建立空間直角坐標系D-xyz,不妨設正方體的棱長為2,7分則A2,0,0,D10,0,2,E2,2,1.從而AD1=-2,0,2,AE=0,2,1.8分n?AD1=0,-2x+2z=0,設平面AD1E的法向量為n=x,y,z,則即2y+z=0.n?AE=0,9分令y=-1,則x=z=2,于是n=2,-1,2.10分易知平面的一個法向量為m=0,0,211分方法一:所以cos?n,m?=n?mnm=23.12分所以平面AD1E與平面夾角的余弦值為23.13分方法二:設平面AD1E與平面夾角為θ,cosθ=cos?n,m?=n?m=nm23.13分9.(2025北京順義區高三一模16)(本小題13分)P-是菱形，∠=120°=AB=2PB=22.(Ⅰ)若平面ACE與棱PD交于點EPB∥平面ACE：E是PD中點；(Ⅱ)若F是棱PDPFPD=23BD⊥PC時，求PC與平面ACF所成角的正弦值.(Ⅰ)設AC與BD交點為O結OE.因為PB∥平面ACE面PBD∩平面ACE=OEPB?平面PBD.所以PB∥OEO為ACE是PD中點.???5分(II)BD⊥PCBD⊥ACAC∩PC=C.所以BD⊥平面?平面以BD⊥.因為PB=22AB==2.所以PB2=AB2+2⊥ABBD∩AB=B.所以⊥平面以O為坐標原點，OB所在直線為x軸，OC所在直線為yO且平行于的直線為zo-xyz.則O(0,0,0)A(0,-1,0)C(0,1,0)P(0,-1,2)D(-3,0,0)．因此AC=(0,2,0)PD=(-3,1,-2)．因為PFPD=23=2以PF3PD=-23,2,-4.333所以F-23,-1,2此AF333=-23,2,2.333設平面ACF的法向量為n=(x,y,z)n?AF=0,n?AC=0,即-232y=0.23y+23z=0,令x=1z=3．于是n=(1,0,3)．所以cos?n,PC?=n?PC|n||PC|=-232×22=-64．?|=6設PC與平面ACF所成角為θsinθ=|cos?n,PC4．所以，PC與平面ACF所成角的正弦值為64．???13分(II)方法二：取BC中點Q,連結因為四邊形為菱形，∠=120°.所以△ABC為等邊三角形.所以⊥BC.又因為AD?BC.所以⊥AD.因為BD⊥PCBD⊥ACAC∩PC=C.所以BD⊥平面?平面以BD⊥.因為PB=22AB==2.所以PB2=AB2+2⊥ABBD∩AB=B.所以⊥平面以A為坐標原點，所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，AP所在直線為z間直角坐標系o-xyz.則A(0,0,0)C(3,1,0)P(0,0,2)D(0,2,0)．因此PC=(3,1,-2)AC=(3,1,0)PD=(0,2,-2)．因為PFPD=23=2以PF3PD=0,4,-4.33所以F0,4,2=0,4,2此AF.3333設平面ACF的法向量為n=(x,y,z)n?AF=0,n?AC=0,即3x+y=0,423y+3z=0.令x=1y=-3．z=23于是n=(1,-3,23)．所以cos?n,PC?=n?PC|n||PC|=3-3-434×22=-64．?|=6設PC與平面ACF所成角為θsinθ=|cos?n,PC4．所以，PC與平面ACF所成角的正弦值為64．???13分10.（2025北京延慶區高三一模(本小題14分)P-是矩形，PD⊥底面ABCDPD=AD=2E是PCABE與線段PD交于點F.(Ⅰ)求證：AB?FE；(Ⅱ)若CF=5BE與平面BCF所成角的正弦值.解:(I)在矩形中,AB?DC,又AB?平面DCP,DC?平面DCP,所以AB?平面DCP.2分又因為AB?平面ABE,且平面ABE∩平面DCP=FE,所以AB?FE.4分(II)由(I)可知FE?DC.又因為E是PC的中點,所以F是PD的中點.5分因為CF=5,即2+DF2=5.故=2.6分因為PD⊥平面,所以PD⊥AD,PD⊥DC.又在正方形中,AD⊥DC,所以,DC,DP兩兩垂直.如圖建立空間直角坐標系D-xyz,7分則B2,2,0,C0,2,0,P0,0,2,E0,1,1,F0,0,1.所以BE=-2,-1,1,BF=-2,-2,1,BC=-2,0,0.10分設平面BCF的一個法向量為n=x,y,z.由BF?n=0,BF?n=0得-2x-2y+z=0,所以-2x=0.x=0,z=2y.令y=1,得z=2,所以平面BCF的一個法向量為n=0,1,2.12分設直線BE與平面BCF所成角為θ,BE?n=1則sinθ=cos<BE,n>=6?5BEn=3030.故直線BE與平面BCF所成角的正弦值為3030.14分11.（2025平谷區高三一模(本小題14分)P-⊥平面,△ADP等腰直角三角形，∠APD=90°,AD∥BC,AB⊥AD,AD=2,AB=BC=1.(1)點E在棱PD上CE∥平面：E為PD的中點；(2)求DC與平面所成的角.解：(Ⅰ)在△E作//AD交于點F接BF，因為ADBC以BC以BCEF四點共面．??因為CE//平面CE?平面，平面∩平面=BFCE?BF．所以四邊形是平行四邊形．??????4分所以BC==12ADE為PD的中點．??????(Ⅱ)過P作PO⊥AD于O接OC．因為=PD以O為AD中點，AD=2AO=BC=1ADBCABCOAB⊥ADCO⊥AD因為平面⊥平面AB⊥AD面∩平面=?平面以AB⊥平面．所以AB⊥PO以CO⊥PO．??????8分如圖建立空間直角坐標系O-xyz．因為AD=2AB=BC=1A(0,1,0)B(1,1,0)C(1,0,0)D(0,-1,0)P(0,0,1)．??????9分所以AB=(1,0,0)=(0,1,-1)DC=(1,1,0)．設平面的法向量為n=(x,y,z)，則n?AB=0,n?=0,即x=0,??????11分y-z=0.令z=1y=1．所以n=(0,1,1)．設DC與平面所成角為θ，|n?DC|=1則sinθ==|n||DC|1+1?2=12??????13分解得θ=π6．所以DC與平面所成的角為π6．??????14分三角函數與解三角形解答題1.（2025北京東城區高三一模(本小題13分)在△ABC中,a=6,b-c=1,sinC=74.(Ⅰ)求b的值及△ABC的面積；(Ⅱ)求證:A=2C.(16)(共13分)解：(Ⅰ)在△ABCb-c=1以b>c.所以C為銳角．因為sinC=74以cosC=34．由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC(b-1)2=36+b2-9b.解得b=5.△ABC的面積S=12absinC=1574.?????????7分(Ⅱ)由a=6,b=5b-c=1c=4.2+c2-a22bccosA=b2+42-622×5×4=5=18.因為C2C∈(0,π).又cos2C=1-2sinC=18=cosA由A∈(0,π)以A=2C.?????????13分2.（2025北京西城區高三一模(本小題14分)在△ABC中，acosB+bcosA=4ccosA．(1)求cosA的值；(2)若a=210△ABC存在，求BC邊上的高．條件①：B=3π4；條件②：b=6；條件③：cosC=104．(2)問得0個解答計分．(17)(本小題14分)解:(I)由正弦定理asinA=bsinB=csinC,得sinAcosB+sinBcosA=4sinCcosA,3分即sinA+B=4sinCcosA.5分由A+B+C=π,得sinA+B=sinC.7分所以sinC=4sinCcosA.由0<C<π,得sinC≠0.所以cosA=14.8分(II)選擇條件②:由A∈0,π,且cosA=14,得sinA=1-cosA=154.9分由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,得210=62+c2-2×6×c×14,解得c=4或c=-1(舍).12分設邊BC上的高為h,則三角形面積S=12bcsinA=12ah,所以h=bcsinAa=4×6×4210=362.14分選擇條件③:由A∈0,π,且cosA=14,得sinA=1-cosA=154.9分由C∈0,π,且cosC=104,得sinC=64.所以sinB=sinA+C=154×104+14×64=368.11分由正弦定理,得b=asinBsinA=6,所以邊BC上的高h=bsinC=6×64=362.14分3.（2025北京海淀區高三一模(本小題13分)在△ABC中,已知2asinA=331-cos2A,b=26.(Ⅰ)求sinB的值;(Ⅱ)若∠B為銳角,,使△ABC存在且唯一,求△ABC的面積.條件①:c=5;條件②:cosA=63;條件③:asinA=3.注:如果選擇的條件不符合要求,第(II)問得0分;如果選擇多個符合要求的條件分別解答,按第一個解答計分.(17)(本小題14分)解:(I)因為cos2?A=1-2sin2?A,故由2asinA=331-cos2?A可得2asinA=63sin2?A,因為A∈0,π,sinA>0,所以asinA=33,在△ABC中,由正弦定理asinA=bsinB,所以bsinB=33,因為b=26,所以sinB=2633=223.(II)選條件②解答如下:因為cosA=63,?A∈0,π,所以sinA=1-cos2?A=33,因為sinB=223,∠B為銳角,所以cosB=1-sin2B=13,又因為A+B+C=π,所以sinC=sinA+B=sinAcosB+cosAsinB=33×13+63×223=539,在△ABC中,由正弦定理asinA=bsinB=csinC=33,所以c=33sinC=5(或者a=3)又因為sinA=33,?b=26所以△ABC的面積S=12bcsinA=12×26×5×33=52.選條件③解答如下:由(I),asinA=33,且asinA=3,解得a=3,sinA=33,因為a=3<26=b,所以A<B<π2,所以cosA>0,cosA=1-sin2A=63,因為sinB=223,∠B為銳角,所以cosB>0,cosB=1-sin2B=13,又因為A+B+C=π,所以sinC=sinA+B=sinAcosB+cosAsinB=33×13+63×223=539所以△ABC的面積S=12absinC=12×3×26×539=52.4.(2025北京朝陽區高三一模17)(本小題13分)在△ABC中，bcosA+acosB=c．(Ⅰ)求c的值；(Ⅱ)已知sinC=35△ABC△ABC的周長．條件①：∠B=π4；條件②：AB邊上的高為32；條件③：a=43.(Ⅱ)問得0一個解答計分．解：(Ⅰ)由正弦定理asinA=bsinB=csinC及bcosA+acosB=c2得sinBcosA+sinAcosB=csinC．所以sin(A+B)=csinC．所以sin(π-C)=csinC．又因為C∈(0,π)sin(π-C)=sinC≠0．所以c=1．5分(Ⅱ)B=π4sinC=35c=1bsinB=csinC，所以b=csinBsinC=526．因為b>c以B>C．所以C∈0,π．2又因為sinC=35以cosC=1-sinC=45．所以sinA=sinπ+C=422×45+22×35=7210．又asinA=csinCa=csinAsinC=726．所以△ABC的周長為a+b+c=1+726+526=1+22．13分c=1AB邊上的高為32以S=34．又因為sinC=35以S=12ab×35=310ab．所以ab=52．因為sinC=35cosC=±1-sinC=±45．①當cosC=45時c2=a2+b2-2abcosC1=a2+b2-2ab×45．又ab=52以a2+b2=5．所以a=b=102．所以△ABC的周長為a+b+c=1+10．②當cosC=-45時c2=a2+b2-2abcosC1=a2+b2-2ab×-4．5又ab=52以a2+b2=-3綜上，△ABC的周長為a+b+c=1+10．13分5.（2025北京豐臺區高三一模(本小題13分)在△ABC中，b2-a2-c2=-117ac．(Ⅰ)求sinB；(Ⅱ)若△ABC的面積為1534得△ABCa．條件①：C=2π3；條件②：b=5；條件③：sinA-sinC=1．(Ⅱ)問得0一個解答計分．解：(Ⅰ)在△ABCb2-a2-c2=-117ac，由余弦定理cosB=a2+c2-b22accosB=1114.因為B∈(0,π)，所以sinB=1-cosB=5314...........5分(Ⅱ)選擇條件①：因為C=2π3,所以sinC=32cosC=-12.由題意得S=12absinC=1534，所以ab=15(1).因為cosB=1114sinB=5314sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=5314×-1+21114×32=3314.由正弦定理asinA=bsinBab=35(2)，由(1)(2)解得a2=9以a=3...........13分S=12acsinB=1534ac=21(1).因為b=5b2-a2-c2=-117ac以a2+c2=58.又(a+c)2=a2+c2+2ac=100，所以a+c=10(2