對(duì)坐標(biāo)的曲線積分上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁一、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的概念與性質(zhì)變力沿曲線所作的功

質(zhì)點(diǎn)在變力F(x

y)

P(x

y)i

Q(x

y)j的作用下從點(diǎn)A沿光滑曲線弧L移動(dòng)到點(diǎn)B

求變力F(x

y)所作的功

下頁P(yáng)(

i

i)

xi

Q(

i

i)

yi

,[]提示

把L分成n個(gè)小弧段

L1

L2

Ln

求功的過程

變力在Li上所作的功的近似值為

變力在L上所作的功的近似值為

變力在L上所作的功的精確值為

其中

是各小弧段長(zhǎng)度的最大值

F在Li上所作的功Wi

F(

i

i)

si

>>>光滑曲線對(duì)坐標(biāo)的曲線積分下頁設(shè)函數(shù)P(x

y)、Q(x

y)在有向光滑曲線弧L上有界

把L分成n個(gè)有向小弧段L1

L2

Ln

其中Li是從(xi

1

yi

1)到(xi

yi)的小弧段

記

xi

xi

xi

1

yi

yi

yi

1

在小弧段Li上任取一點(diǎn)(

i

)

令

為各小弧段長(zhǎng)度的最大值

如果極限總存在

則稱此極限為函數(shù)P(x

y)在有向曲線弧L上對(duì)坐標(biāo)x的曲線積分

記作

如果極限總存在

則稱此極限為函數(shù)Q(x

y)在有向曲線弧L上對(duì)坐標(biāo)y的曲線積分

記作

下頁對(duì)坐標(biāo)的曲線積分在積分中P(x

y)、Q(x

y)叫做被積函數(shù)

L叫做積分弧段

說明

對(duì)坐標(biāo)的曲線積分也叫第二類曲線積分

對(duì)坐標(biāo)的曲線積分說明

設(shè)

為空間內(nèi)一條光滑有向曲線弧

函數(shù)P(x

y

z)、Q(x

y

z)、R(x

y

z)在

上有定義

我們定義下頁對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的簡(jiǎn)寫形式

在應(yīng)用上經(jīng)常出現(xiàn)的是上式可記為其中F(x

y)

P(x

y)i

Q(x

y)j

dr

dxi

dyj

類似地

有其中A

P(x

y

z)i

Q(x

y

z)j

R(x

y

z)k

dr

dxi

dyj

dzk

下頁對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的性質(zhì)性質(zhì)1

設(shè)

、

為常數(shù)

則性質(zhì)2

若有向曲線弧L可分成兩段光滑的有向曲線弧L1和L2

性質(zhì)3

設(shè)L是有向光滑曲線弧

L

是L的反向曲線弧

則則首頁提示

二、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算下頁

質(zhì)點(diǎn)在變力F(x

y)

P(x

y)i

Q(x

y)j的作用下沿光滑有向曲線弧L所作的功為

另一方面

在L上任取一小段有向弧

其起點(diǎn)和終點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t和t

dt

得功元素

F[

(t)

(t)]

dr

dr(dx

dy)(

(t)dt

(t)dt)

dW

設(shè)光滑有向曲線弧L的參數(shù)方程為x

(t)

y

(t)

且L的起點(diǎn)和終點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為

和

>>>圖形

F[

(t)

(t)](P[

(t)

(t)]

Q[

(t)

(t)])

二、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算下頁

質(zhì)點(diǎn)在變力F(x

y)

P(x

y)i

Q(x

y)j的作用下沿光滑有向曲線弧L所作的功為

另一方面

在L上任取一小段有向弧

其起點(diǎn)和終點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t和t

dt

得功元素

F[

(t)

(t)]

dr

P[

(t)

(t)]

(t)dt

Q[

(t)

(t)]

(t)dt

dW

于是

設(shè)光滑有向曲線弧L的參數(shù)方程為x

(t)

y

(t)

且L的起點(diǎn)和終點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為

和

二、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算下頁

質(zhì)點(diǎn)在變力F(x

y)

P(x

y)i

Q(x

y)j的作用下沿光滑有向曲線弧L所作的功為

設(shè)光滑有向曲線弧L的參數(shù)方程為x

(t)

y

(t)

且L的起點(diǎn)和終點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為

和

這說明對(duì)坐標(biāo)的曲線積分可以化為定積分來計(jì)算

下頁定理(對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算公式)

存在

并且則曲線積分

設(shè)P(x

y)、Q(x

y)在有向光滑曲線弧L上有定義且連續(xù)

L的參數(shù)方程為x

(t)

y

(t)

L的起點(diǎn)和終點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為

和

應(yīng)注意的問題

下限a對(duì)應(yīng)于L的起點(diǎn)

上限

對(duì)應(yīng)于L的終點(diǎn)

不一定小于

下頁設(shè)L由x

(t)

y

(t)給出

L以t

為起點(diǎn)以t

為終點(diǎn)

則

設(shè)空間曲線

由x

(t)

y

(t)

z

(t)給出

以t

為起點(diǎn)以t

為終點(diǎn)

問討論

提示

下頁設(shè)L由x

(t)

y

(t)給出

L以t

為起點(diǎn)以t

為終點(diǎn)

則上從點(diǎn)A(1

1)到點(diǎn)B(1

1)的一段弧

解

L分為AO和OB兩部分

第一種方法

以x為積分變量

設(shè)L由x

(t)

y

(t)給出

L以t

為起點(diǎn)以t

為終點(diǎn)

則上從點(diǎn)A(1

1)到點(diǎn)B(1

1)的一段弧

解第二種方法

以y為積分變量

在L上

x

y2

y從

1變到1

因此下頁下頁

解

(1)L的參數(shù)方程為x

acos

y

asin

從0變到

因此

(1)按逆時(shí)針方向繞行的上半圓周x2

y2

a2

(2)從點(diǎn)A(a

0)沿x軸到點(diǎn)B(

a

0)的直線段

(2)L的方程為y

0

x從a變到

a

因此下頁

(1)拋物線y

x2上從O(0

0)到B(1

1)的一段弧

(2)拋物線x

y2上從O(0

0)到B(1

1)的一段弧

(3)從O(0

0)到A(1

0)

再到B(1

1)的有向折線OAB

(1)L

y

x2

x從0變到1

所以

解

(2)L

x

y2

y從0變到1

所以(3)OA

y

0

x從0變到1

AB

x

1

y從0變到1

下頁

(1)拋物線y

x2上從O(0

0)到B(1

1)的一段弧

(2)拋物線x

y2上從O(0

0)到B(1

1)的一段弧

(3)從O(0

0)到A(1

0)

再到B(1

1)的有向折線OAB

解

0

1

1

下頁

解

到點(diǎn)B(0

0

0)的直線段

直線段AB的方程是化為參數(shù)方程得x

3t

y

2t

z

t

t從1變到0

所以提示

下頁按逆時(shí)針方向移動(dòng)到點(diǎn)B(0

b)

F的大小與質(zhì)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離成正比

方向恒指向原點(diǎn)

求力F所作的功W

解

橢圓的參數(shù)方程為x

acost

y

bsint

t從0變到

質(zhì)點(diǎn)在點(diǎn)M(x

y)處所受到的力為按逆時(shí)針方向移動(dòng)到點(diǎn)B(0

b)

F的大小與質(zhì)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離成正比

方向恒指向原點(diǎn)

求力F所作的功W

解

質(zhì)點(diǎn)在點(diǎn)M(x

y)處所受到的力為首頁三、兩類曲線積分之間的聯(lián)系

說明

指向與有向曲線弧的走向一至的切向量稱為有向曲線的切向量

設(shè)

(cos

cos

)為光滑有向曲線弧L上點(diǎn)(x

y)處的單位切向量

L的參數(shù)方程為x

(t)

y

(t)

L的起點(diǎn)和終點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為a和b

則下頁三、兩類曲線積分之間的聯(lián)系

設(shè)

(cos

cos

)為光滑有向曲線弧L上點(diǎn)(x

y)處的單位切向量

L的參數(shù)方程為x

(t)

y

(t)

L的起點(diǎn)和終點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為a和b