間相備撤建

例駁1.(2020?新課標卷II文數?12)若2、一2,<3-x-3-，，貝U()

A.ln(y-x+l)>0B.ln(y-x+l)<0C.In|x-y|>0D.In|x-y|<Q

【分析】將已知2'-2><3-x-3—按照“左右形式形式相當，一邊一個變量”的目的變形,

然后逆用函數的單調性.

【解析】由2*—2y<3f-3->移項變形為萬—3f<2>—,設/(x)=2,3r

易知/(x)是定義在R上的增函數，故由2*—3T<2'—，可得x<y,

所以y-x>0=>y-x+l>l,從而ln(y-x+1)>0,故選A.

例毀2.(2020?新課標I理數?12)若2"+1。員a=4〃+210g4瓦貝|()

A.a>2bB.a<2bC.a>b2D,a<b2

b2b2b2i

【分析】?/4+2logZ?=2+log#=2+logZ?2=2+log2b2-l

2a+log,t?==22h+log2b—1,設/(x)=2*+logy

利用作差法結合/(x)的單調性即可得到答案.

h2h2h

【解析】?；4+2logZ?=2+log,'2+log2=2%+log2b2-l

：.2"+log。=22fc+log獨-1,故2"+log%<2勃+log2。

設/(x)=2*+lo&尤，則/(x)為增函數，所以/(。)</(2b),所以。<28.

2az,222bb22

/(?)-/(Z?)=2+log2tz-(2+log2b)=2+log2b-(2+\og2b)=

2bb2

2-2-\og2b,

當6=1時，/（。）一/（加）=2〉0,此時/（0〉/（加），有。>序

當6=2時，/（a）-/（^2）=-l<0,此時/（0</（加），有°<序，所以C、D錯誤.

故選B.

【點評】本題需構造函數，其基本策略是：“左右形式相當，一邊一個變量，取左或取

右，構造函數妥當“，我們稱之為“同構函數”，然后再利用函數的單調性求值.

雙圓1.(2012?全國聯賽)如果cos50-sin50<7(cos30-sin30),&[0,20，貝廂取

值范圍是.

71571

【答案】）

44

o1n

成02.（2012?遼寧競賽）不等式------+——-三一5%〉0的解集是.

a+iyx+i--------------------

（2Y2

【解析】原不等式可化為：I——L+5-------〉V+5x

V+1）x+1

構造函數/（x）=爐+5x,貝/'（x）=3x2+5〉0,/（x）在R上單增

2

所以---->%,解之得％<-2或T<x<1

x+1

所以原不等式解集是{Rx<-2或T<x<1}.

姓?3.（2020?南通五月模擬」4）已知柒［0,2砂，若關于人的不等式

Jsin0-Jcos4左（sirP0-cos3④在（-co,-2］上恒成立，則佛I勺取值范圍

為.

【分析】本題的實質是含參數6(這里當然是sin。、cos。)的不等式恒成立問題，應

抓住已知條件Jsin0-Jcos比左(sin3acos3。)的對稱結構，構造函數，利用函數的

單調性布列不等式.

【解析】看至ij廝及^os0<k(sin3^-cos36)想“對稱結構”，將它變形為：

ksin30-Jsin。>kcos30--Jcos3,

1

設/(x)=kx3-\［x,f\x)=3kx2—

2^r

,2

易知當^€(-00,-2］時,/(x)=3fcv-^=<0故f(X)在［0,+8)單減,

[sin/cos。

所挑Lin必0,解之得：OS然7L

Jcos會04

所以e的取值范圍「o,捫.

Jzi

現圓4.(2019?南師附中期中」4)已知函數/(%)=3*—3T,

/(l-21ogr)+/(31og1-1)>log]t,則t的取值范圍是

333

【分析】這里可以發現log；=—log'#(21oggl)-(31oggl)，將

3

/(I-2log30+/(31og3r-1)>loglt移項變形為

3

/(31og3Z-l)+(31og；-1)>(21og；+1)-/(I-21og/),易知。(x)=3x-3T是奇

函數，—/(I—21og3/)=/(21og；+l),故進一步變形為

y(31og3t-l)+(31og3r-l)>/(2log3r-l)+(2log3r-l),此時，得到一個“左右形

式相當，一邊一個變量”的不等式，令/㈤=/(x)+x,問題轉化為

F(31og,-1)>F(2logz-l),只需研究/(x)=/(x)+x的單調性，逆用該函數的

單調性即可.

【解析】???log'=一log；=-(1-2log；)-(31og；-l)

3

.../(I-2log30+/(31og3?-l)>log,/可變形為：

3

/(31og3Z-l)+(31o或-1)>(21ogT)-/(I-210gt)

,//(x)=3'—3-￡是奇函數

.?.-/(l-21og3Z)=/(21og^-l)

/(31og3?-l)+(31og3?-l)>/(2logs-1)+(2log31-1)

令F(x)=/(x)+x=3，-3-+x,貝UF'(x)=ln3-3，+In3-S^+l>0

二歹(x)單增

31og?-l>21ogr-l,即log'之0,解之得121

所以r的取值范圍是［1,+oo).

鞏圖5.(2020?南通如皋創新班四月模擬2)已知實數a,如(0,2),且滿足

)’4

a—-4=__2?-4&,則。+匕的值為.

【分析】1號〃—從—4='—2"—46化為：〃+2"=(2—>)2+2”",設/(》)=爐+2"

則“X)在(0,2)上遞增，由/(a)=/(2一人)，得a+b的值.

4

【解析】由4=%一2。一46,化簡為：a2+2a=22-b+(b-2)2

即儲+2。=(2—份2+22;設/(%)=七+2工

則“X)在(0,2)上遞增，因為a,be(0,2)

所以22e(0,2),且/(a)=/(2—b),所以a=2—6,即a+5=2.

雙06.(2020?淮陰中學、姜堰中學12月考/4))已知實數x,x滿足xe，'=e3,

121

x(inx-2)=/,則xx=衛.

2212

【分析】由已知條件考慮將兩個等式轉化為統一結構形式，令In毛-2=%9=/+2,得

到te!=e3,研究函數/(%)=xe'的單調性，求出再，。關系，即可求解.

解法一：實數x,x滿足xe'i=/,x(inx-2)=e5,

12122

2t+2

x>0,x>efInx-2=t>0,x=e,則

1222

f(x)=xex(x>0)J'(x)=(x+1)/〉0(x>0),

所以/(X)在。+8)單調遞增，而/(%)=/?)=/,

二.%=%=In%—2,％%=x(In%-2)=e5.

121222

解析二：對xe&=e3兩邊取自然對數得：Inx+x=3,

111

對x(inx-2)=e5兩邊取自然對數得：In尤+ln(lnx-2)=5(※)

2222

為使兩式結構相同，將(:※)進一步變形為：(in%2-2)+In(inX2-2)=3

設/(x)=Inx+x,貝I/'(%)」+1〉0

x

所以/(x)在(0,+00)單調遞增，/(%)=3的解只有一個.

5

x=Inx-2,xx=(inx-2)x=e

121222

【點評】兩種解法實質相同，其關鍵是對已知等式進行變形，使其“結構相同”，然后構

造函數，利用函數的單調性，利用是同一方程求解.

鞏固7.設方程x+2*=4的根為,設方程x+log*=4的根為〃，貝I

m+n=.

【答案】4

雙圓8.已知43-34+54=1,b3~3b2+5b^5,那么a+6的值是.

【解析】由題意知a3-3a2+5a-3=~2,分一3/+56—3=2,

設/(Xin%3—3x2-\-5x~3,則f(a)=-2,/(/>)=2.

因為/(x)圖象的對稱中心為(1,0),所以a+b=2.

點評：本題的難點在于發現函數的對稱性，對于三次函數/■(x)y=or3+Zzx2+cx+d其對

稱中心為(xo,/(xo)),其中f"(xo)=O.

鞏固9.(宿遷?2018?期中)不等式x6—(x+2)3+￡<x4—(x+2)'+x+2的解集

是.

【分析】直接解顯然是不對路的.觀察不等式的特征，發現其含有(x+2)、x兩個因式，

將不等式轉化為“一邊一個變量”的形式為：

%6-%4+犬((x+2)3-(x+2)2+(x+2),構造函數/(x)=丁-f+x,題

目轉化為求解/(J)<f(x+2)的問題.因為―(無)=3公-2x+1,易知

f(x)=3x°-2x+1>0恒成立，故于(x)為R上的單調增函數，所以由

/(f)V/(x+2)立得：x2<x+2,解之得-14x<2.

【方法點撥】

1.一個式子中出現兩個變量，適當變形后，兩邊結構相同(如例1);

2.兩個式子也可適當變形，使其結構相同,然后構造函數，利用函數的單調性解題，或

運用同一方程代入.

專題2”令葭備救名普看的解系等W型

例要1.(2020?新課標卷I?理數J2)已知函數，(x)=|3x+l|-2|x-l|.

(1)畫出y=/(x)的圖像;

(2)求不等式/(x)>/(x+l)的解集.

【分析】(1)略；(2)在同一直角坐標系內作出函數/(x)、/(X+1)的圖象，根據圖象即

可解出.

【解析】(1)略；

(2)將函數/(x)的圖象向左平移1個單位，可得函數/(%+1)的圖象，如圖所示：

7

由一元—3=5（%+1）-1,解得x=—.

所以不等式的解集為(美-/6

-2x,x<2

九公—I

則關于x的不等式

成⑥1.（2020?揚州三檢?12）已知函數八|-1-X_iX,x>2

［2

/(1-x)</(2-％)的解集為.

【分析】作出函數/(X)圖象，考察動區間［1—X,2—%］間圖象的單調性，易得，當1—%=!

2

即xj時，/(1-%)=/(2-%),此即為“臨界值”，而動區間右移時滿足題意，故

2

111

22

所以不等式/(l-x)</(2—x)的解集為(一00,

2~x%<0

雙@2.(2018?全國卷I)設函數義工)=，'—'則滿足/(x+1)勺(2x)的x的取值范圍是

,1,x>0,

A.(—oo,—1](0,十◎

C.(-1,0)(—8,0)

【解析】法—：分類討論法

p:+l<0,

①當《即爛一1時，

u%<0,

?x+l)勺(2%),即為2一。+1)<2一巴

即一(x+l)<—2x,解得x<l.

因此不等式的解集為(一oo,-1].

停+130,

②當|時，不等式組無解.

l2x>0

|x+l>0,

③當(即一1<爛0時，

(2爛0,

?x+l)勺(2%),即為1<2一巴解得x<0.

因此不等式的解集為(一1,0).

『+1>0,

④當即x>0時，火x+1)=1,犬2x)=1,不合題意.

l2x>0,

綜上，不等式於+1)勺(2%)的解集為(一8,\川

0).法二：數形結合法\

函數月冗)的圖象如圖所示.

結合圖象知，要使於+1)勺(2%),

x+1<0,或「⑷

則需2x<0,

(2x<0,

2x4+1

：.x<0,故選D.

品⑥3.已知/(x)=(x+l)M—3x.若對于任意xeR,總有了(x)g(x+a)恒成立，貝I常數a的

最小值是

兀2—2xx>0

【提示】/(》)=口了2_以,]:0,，作出函數“X)的圖象得:

作平行于X軸的直線/與兀0圖象有三個交點，設最左邊與最右邊的交點分別為M,N,

如圖所示，則。的最小值即為線段MN長的最大值.設直線/的方程為y—t,

可得MN=3^rn~t^l7^t=3引~+t+心。2=3+32(電(4一￡)

<3+5+1+/+4—/=3+jo

所以，〃的最小值是3+10

【說明】

1.本題的難點是要能結合函數的圖象發現常數〃的最小值即為線段MN長的最大值.

2.本題也可使用導數知識解決.

鞏固4.已知函數/(x)=x(l-a\x\)+l(a>0),若/(x+a)(/(%)對任意的xeR恒成立,

則實數。的取值范圍是.

【解析】設g(x)=x(l-a\x|)((2>0),則/(x+tz)</(x)u>g(x+a)<g(x)對任意的

XEH恒成立，意即將g(x)圖象上的每一點向左平移。個單位后，所得到的圖象不可能

在g(X)的上方.

fx(l-ax),x>0

因為g(x)=x(l—a|x|)=,八\

[x(l+ax),x<n(J

2

如圖，由圖象得，a>_,又因為a〉0,故〃2后.

a

雙圓5.（2020?鎮江?高三上學期期末?12）已知函數/（%）是定義在R上的奇函數，當x>0時，

/（x）=x2-4x,則不等式/（光）>x的解集為.

【答案】（一%-5）u（5,+00）

成同6.已知函數/（%）=x\x-2\,則不等式/（后一%）?/（I）的解集為.

【答案】［-1,+00）

專題3三次備微型

例題1.(2020?浙江-9)已知a,beR且ag若(x-a)(尤-6)(x-2a-6巨0在它0上恒成立，則

()

A.a<0B.a>0C.b<0D.b>0

【分析】本題的實質是考察三次函數的圖象，設/（x）=（無一-2〃-Z?）,欲滿足

題意，從形上看則必須在后0時有兩個重合的零點才可以，對。分a〉0與。<0兩種情況

討論，結合三■次函數的性質分析即可得到答案.

【解析】因為abwO,所以awO且6W0,/(x)=(x-a)(x-b)(x-2a-b),則/(x)

的零點為Xj=a,x2=b,x3=2a+b

當a〉0時，則“<龍3，xi>0,要使/(x)?0,必有2a+6=。，且。<0,即6=-a,

JL/?<0,所以b<0；

當。<0時，則x2>x3,Xj<0,要使/(x)之0,必有。<0.

綜上一定有6<0.

故選：C

點評：①本題使用了作三次函數示意圖的方法——序軸標根法，它是高次不等式的常用解法.

“序軸標根法”又稱“數軸穿根法”或“穿針引線法“，所謂序軸就是省去原點和單位，只表示

數的大小的數軸.序軸上標出的兩點中，左邊的點表示的數比右邊的點表示的數小.為了形象

地體現正負值的變化規律，可以畫一條浪線從右上方依次穿過每一根所對應的點，穿過最后一個

點后就不再變方向(自右往左，蛇形穿根，奇(次霹)過偶(次霹)不過)，這種畫法俗稱

“穿針引線法”.用數軸標根法解不等式的步驟：移項、求根、標根、畫線、選解.

②本題要求學生功底扎實，思維層次要高，尤其對于處理函數、不等式等題型數形結合思想數

軸標根法的優勢就體現出來,所謂胸有藍“圖”，一路坦途.

鞏固1.若函數/。)=2如-加+1(。eR)在(0,+ao)內有且只有一個零點，則/(x)在[-1,1]

上的最大值與最小值的和為.

11

【解析】因為/(0)-1，且由/'(%)=6x2-2ax=6x(x-_a)=0得：x=0或％=_a

33

所以函數/(x)的圖象是增-減-增型，且在X=0或x三1a處取得極值

r3

Iaa3a2

|/(-)=2-(j)-a-^+1=0

欲使函數在(0,+00)內有且只有一個零點，當且僅當《'’

a

1—>0

13

解之得。=3.

當工￡[-1,0]時，/(X)增；X￡[0,1]時，/(%)減,

故/?ax=/(0)=l,min{/(1),/(-1)>-4,

所以/(x)在上的最大值與最小值的和為-3.

蛻⑥2.已知函數/(X)的導函數為尸(x)=ax{x+2)(x-〃)(〃w0),若函數/(%)在％=-2處取

到極小值，則實數。的取值范圍是.

【答案】(-oo,-2)O(0,+co)

蛻@3.若函數/(x)=x2\x-d\在區間［0,2］上單調遞增，則實數〃的取值范圍是

x2(x-a),x>a

【解析】/(x)=x2\x-a\=<

-x2(x-tz),x<a

函數/(x)的一個極值點是x=0,所以以0為界與a比較，進行分類討論.

①當〃〉。時，如圖一，由/(%)=—3f+2以=0得，%=。或％三"，

3

欲使函數/⑴二,W一4在區間［0,2］上單調遞增，只需％=%之2,即/3.

3

②當時，如圖二，/(%)4在區間［0,2］上單調遞增，滿足題意.

綜上知，實數a的取值范圍是(一oo,0］U［3,+8).

(圖(圖二)

4.若函數/(x)=(九一2)2,一《在區間［2,4］上單調遞增，則實數〃的取值范圍

是.

【答案】(-o),2］U［5,+a))

雙⑥5..設函數/(%)一3%+1(冗eR),若對于任意的都有/(%)20成立，則

實數a的值為.

【解析】若％=0,則不論〃取何值，/(￡)20顯然成立；

31

當％〉0即%￡(0,1］時，/(冗)=一3%+1>0可化為，區一不

,、31,“、3(1—2%)~,、(11

設g(x)二一一一,則g(x)=^-------，所以g(x)在區間0,一I上單調遞增，在區

X2x3%4(2

間「1,/上單調遞減，因此g(x)=g/l'=4,從而a?4；

\［21⑴

31

當％<0即xe［-l,0)時，/(x)=ax?一3%+1>0可化為―

3(1-2%)

g(%)==>0

g(x)在區間［一1,0)上單調遞增，因此g(%)ma〃=g(-1)=4,從而綜上4=4.

成@6.已知〃￡R,函數/(%)二甲%-,，求函數y=/(x)在區間［1,2］上的最小值.

【分析】對3進行討論，結合函數的一階導數值判斷函數在區間上的單調性,進而求出函數

的最小值.

【解析】設此最小值為m.

①當〃41時，在區間［⑵上,/(x)=x3-ax2.

/2

因為：f(x)=3x2-lax=3x(x一_Q)>0,XG(1,2),

3

則f(x)是區間［1,2］上的增函數，所以m=f(1)=1-a..

②當1<aV2時，在區間工］上,/(%)=X1x-\a>?由/(〃)=0知：m=f(a)=0.

③當a>2時，在區間［1,2］上，/(x)-ax1-x3.

、2

于1(x)=2ax-3x2=3x(—<7_］).

若〃23,在區間(1,2)內F(x)>0,從而千(x)為區間［1,2］上的增函數，

由此得：m=f(1)=a-1.

2

若2<a<3,?］1<_a<2

3

?2

當1<%<_Q時,//(%)>0,從而/*(%)為區間［1,止的增函數

33

22

當_<%<2時,從何/(%)為區間［q2］上的減函數.

33

因此，當2<a<3時，m=f(1)=a-1或m二千(2)二4(a-2).

7

當2<aV—時4(〃-2)V〃一1,故加=4(〃-2)；

3

7

當—<〃<3時，a-1<4(。-2),故m=a-1.

3

當a<1時;

0,當1<〃《2時；

綜上所述，所求函數的最小值加=14(。_2),當2<a<J時；

7

〃一1,當〃〉一時；

I3

現⑥7.已知函數/(%)=_12］的定義域是［0,m］,值域是［0,QW］,則實數。的取值范

圍是

【解析一】易知：當0Vx＜2,/(x)增；當2Vx＜2JJ,/(x)減；當xN2出,/(%)

增，且/⑵=/(4)=16.

①當0＜機V2時，/(%)[0,m]增

2212、

A—m(jn-12)=am,a=—m+—G[4,+ooj；

m

②當2(根44時，。/=16,a=」^e[l,4)；

m

12

③當機24時，m(m2—12)=am,a=m--w(l,+oo)；

m

綜上，〃21.

【解析二】僅考慮函數f(x)在尤＞0時的情況，

fl2x-x3,x＜2ft,

可知/(%)=＜7函數/(x)在x=2時，取得極大值16.

[x3-12x,x.2j~

3.令13_12冗=16,解得，x=

4.作出函數的圖象(如圖所

示)，

函數/(?的定義域為。m，值域為[0,am2],分為以下情況考慮：(1)當0V根＜2時，函

數的值域為[0,m(12-m2)],有m(12-m2)=am2,所以。=運一根，因為0＜機＜2,所以。＞4；

m

(2)當2m機＜4時，函數的值域為[0,16],有助12=16,所以。=及，因為2〈機＜4,

m2

所以1W〃W4;(3)當機〉4時，函數的值域為[0,m(m2-12)],有皿加2-12)=〃?，所以

a=m~—,因為m>4,所以a>\\綜上所述，實數〃的取值范圍是a.

m

專題4熬列專儒項型

例要1.(新課標I-文科-16)數列｛。“｝滿足。“+2+(—1)"。“=3〃—1,前16項和為540,貝

?i=,□.

【分析】對〃為奇偶數分類討論，分別得出奇數項、偶數項的遞推關系，由奇數項遞推

公式將奇數項用0表示，由偶數項遞推公式得出偶數項的和，建立?方程，求解即可得

出結論.

【解析】。“+2+(-1)"為=3〃一1,

當〃為奇數時，an+2=an+3n—1；當〃為偶數時，an+2+an=3n—1.

設數列｛。〃｝的前幾項和為Sn,

S[6=+。2+。3+14+，,,+〃16

—%+的+〃5…+〃15+(%+%)+…(〃14+〃16)

=+(a1+2)+(a1+10)+(6+24)+(a1+44)+(〃]+70)

+(。1+102)+(%+140)+(5+17+29+41)

=8%+392+92=8/+484=540,

.,.ax=7.

點評：本題綜合考查數列的遞推公式的應用、數列的并項求和、分類討論思想和數學計算

能力.

雙囪1.數列｛緣｝滿足％]+(-1)"an=2n-l,貝|其前60項和為.

【解析】由〃+(—1)%=2n-l,可得aa+a=3,a-a=5,a-\-a=7,

n+ln21324354

。6一%=7,%—。6=U，…，〃99=199

所以。3+。1=2,a4+a2=8,a1-\-a5=2,6z8+24,a9-\-an=2,

〃]2+〃IO=4O,…,

所以從第一項起，每四項的和構成以10為首項，16為公差的等差數列

所以｛。｝前60項和為15x10+^^x16=1830.

n。

/1

雙圖2.已知數列｛〃｝的前〃項和為S,S=(一一_,nsN",則

nnnn

S]+S2+S3+…+S100=口

【答案】--1)

雙固3.設S為數列｛a｝的前n項和，S=(—1)"。—1辿eN*,則

(1)=□；(2)S1+S2+----卜Sioo=□.

【解法一】＜=(-DZjJ.??當心2時，S〃T=(-1尸%-擊

兩式相減得SfT=(-1)凡一，(—1尸%+白，即

a=(-l)"a-(-1尸a+1

nnn—1r2n

當〃是偶數時，a=a+a+J_,所以a=-,即〃是奇數時，a=-

nnn-1n-1n^n+1

當“是奇數時，2%=-%_]+/-,。.i=-2a“+=即當〃是偶數時，

乙乙乙

1

?111

?----------?S+SH---1-S=(—a—_)+(〃—_)+…+(。—_)_

10

121001~22了-1002°

二(Q+〃+?,,+a)—(a+〃+,,,+〃1+…+b

2410013222100

=(1.+

22242100232529,

【解法二】VS=(—D"a-J_s=(—l)"(S—S)-￡

nn

nn2"n—1

當〃是偶數時，s=s-ss即當〃是奇數時，s=-1；

nnn-10nn-\n^n+1

當〃是奇數時，S=-S+SS=2S+1=0,即當”是偶數時，S=o；

nnn-1。八n-1〃n

鞏圓4.已知數列｛。｝的前”項和為S,對任意“eN,S=(-1)"a+\w-3JL

nn+nn

(r-a”+i)Q-%)<°恒成立，則實數f的取值范圍是

3

【解析】當"=1時，a==4

211

當〃〉時，S=(一1)〃-％+_±n-4,所以。=(-l)-a+(-1)%-_F1

n-1n-10"1-nnn-\r\n

當"為偶數時，

12

當“為奇數時，羽=一。“「'+1，即1r-2=口「4+1，%=3-^

3-1，〃為偶數

所以〃2"

蟲-1,〃為奇數

2角

當”為偶數時，4，=3-上1；，31,

當n為奇數時,a=

。一〃)?-。)<0卜_4、“、，311

又因為〃+1n恒成工，an+l<t<an,所以——<才<一.

44

n

品囪5.各項均為正數的數列｛a“｝的前n項和為S",且3S“=anan+l,則￡a2k=衛?

k=l

【解析】3S“=anan+l：.3s“一1=anAan(n>2)

兩式相減得3(S“—S"|)=a”(a”+「a”一J,即3a“=a”(a"+「a”」)

又因為｛4｝的各項均為正數，所以a“+i—a,*i=3(n>2)

當〃=1時，由3Sn=cinan+x得3sl=3色=axa2,所以電二3

故。2，。4，。6，。8,…是以。2=3為首項，公差為3的等差數列

nx(n-l)3〃(〃+l)

??￡a2k=〃x3+-------x3=-------

k=l22

雙圖6.(2020?濱海中學?14)設數列｛〃｝滿足〃=1,〃=1,〃=4,〃=1，數列｛〃｝前

n1234An

〃項和是S，對任意的〃￡N*,/(x)=""+2%+(〃+。-2a)cosx-ex,

nann+2n+1a,

nn+92

若/'（O）=0，當n是偶數時，S?的表達式是

解析：r(x)=7+2_(a

nn+2

因為/'（0）=0,所以%+2_q+4=0,即f"=3上所以數列｛a｝中所有的奇

4a“+2a“an+2

數項成等比數列，所有的偶數項成等比數列，所以當n是偶數時,

1人—演）1.1—c

s”的表達式是△-----+L」2"4

-r-3x2?+1.

1-4

4

雙圓7.若數列｛aj滿足aa+a“+[+an+2=3n~6,且數列｛a?｝的前〃項的和S總滿足

S=An2+Bn+C（其中A、B、C為常數），則數列｛aj的通項公式是

【答案】a“二n-3

應圓8.若數列｛a｝滿足a+a+a=3n_6,且a=j?,若數列｛a｝單調遞增,

nnn+1n+22r\1n

貝的取值范圍為.

【答案】al（-__）

,52

5於戶+且㈤型

例耍I.(2020?新課標I?理科21)已知函數f(x)=ex+ax2-X,當它0時，f(x)>—,.

2x3+1,

求。的取值范圍.

【分析】遇到4x)e*+g(x)的形式變形為e</i(x),其求導后的結果是[e，%(x)y=e”/7(x)+

h'(x)y,其導數方程是多項式形式，所以它的根與指數函數無關，有利于更快捷地解決問題.

3x

【解析】/(x)乏1X+1等價比1尤3一依2+尤+l)e-<1

22

設函數g(x)=(1%3_依2+X+l)e-x(X20),貝4

131

g'a)=-CX3-tzx2+x+1x2+lax-l)e-x=^x[x-(2a+3)x+4〃+2]e-x

222

=一,x(x-2a-l)(x-2)e-x.

2

(i)若2〃+10，即"(二,則當正(0,2)時，，。)>0.所以gG)在(0,2)單調

2

遞增，而g(0)=1,故當(0,2)時，g(%)>1,不合題意.

(ii)若0<2〃+1<2,即一;<〃<；,則當了￡(0,2^+1)U(2,+8)時，g'(x)<0;當]￡(2。+1,

2)時，gq)>0.所以g(x)在(0,加+1),(2,收)單調遞減，在Qq+l,2)單調遞增.由于g(0)=l,

7-e2

所以g(x)Wl當且僅當g(2)=(7-4<7)e-2<l,即生------

4

所以當1時,g(x)<i.

42

(iii)若2a+l>2,即aN—，則g(x)S(―丁+%+.

-22

7-e2113-%

由于。￡[4，/，故由(ii)可得(％+x+l)e<1.

故當時，g(x)<l.

2

7-e2

綜上,4的取值范圍是[-----,+00).

4

點評：

解決形如危)爐+且。)常見結論匕*%+1(有時甚至以2+工+1),從形的角度看，它揭

2

示了曲線與其切線的位置關系，從數的角度看，它提供了一種將指數型結構轉化為多項式

型結構的方法，從而順利突破難點.

相⑥1.已知FNI+QX對任意工￡[0,+8)成立，則實數4的取值范圍是.

【解析】根據常用不等式e0+l,且y=x+l與y=e”相切于(0,1),又y=ax+l也過點(0,1),

觀察圖象可知，要使匕噎1+〃式對任意x￡[0,+8)成立，則〃口,即實數Q的取值范圍為(-8,1].

2.已知'+二「對一切正實數元恒成立，則實數，的最大值為?

2x+l

1—1—I—1—I—1

【解析】因為⑶+1,所以:---->-------=1.則/1,所以f的最大值為1.

2x+12x+1

成@3.已知函數兀￥)=〃一1一%一以2,當眾0時次x)K)恒成立，則實數Q的取值范圍為

【解析一】由/(x)=ex—1—2ax，又e0+l,所以f(x)=ex—l-2ax>x—lax=(1-2a)x,

所以當1一2。三0,即aS：時/(x巨0(x20),而10)=0,于是當xNO時川x巨0,滿足題意；又存0

時,e'>x+l,所以可得er>l—%從而當時/任)=F一1—2辦立，一2a(er—1)

=(1-e^).(e'-2a),故當xG(0,ln2a)時/(x)V0,而｛0)=0,于是當xe(0,ln2a)時｛x)<0,不

合題意.

1-co,-

綜上所述，實數a的取值范圍為〔2J

【解析二】因為e》+l,所以當〃式)時,此依2+冗