第16章二次根式【3大考點11種題型】【滬科版】TOC\o"1-3"\h\u【考點1二次根式】 1【題型1利用二次根式的性質(zhì)確定未知數(shù)的取值范圍】 2【題型2利用a2=|a|化簡】 2【考點2二次根式的乘除】 2【題型3二次根式乘除法法則適用的條件】 3【題型4二次根式的乘除運算】 4【題型5二次根式大小的比較】 4【題型6分母有理化】 5【題型7二次根式化為最簡二次根式】 5【考點3二次根式的加減】 6【題型8二次根式的混合運算】 6【題型9與二次根式有關(guān)的化簡求值】 7【題型10二次根式的應(yīng)用】 8【題型11二次根式的規(guī)律探究】 9【考點1二次根式】1.二次根式的定義形如（a≥0）的式子叫做二次根式.其中“”叫做二次根號,叫做被開方數(shù).（1）二次根式有意義的條件是被開方數(shù)為非負數(shù).據(jù)此可以確定字母的取值范圍;（2）判斷一個式子是否為二次根式,應(yīng)根據(jù)以下兩個標準判斷:=1\*GB3①是否含有二次根號“”;=2\*GB3②被開方數(shù)是否為非負數(shù).若兩個標準都符合,則是二次根式;若只符合其中一個標準,則不是二次根式.（3）形如（≥0）的式子也是二次根式,其中叫做二次根式的系數(shù),它表示的是:（≥0）;（4）根據(jù)二次根式有意義的條件,若二次根式與都有意義,則有.2.二次根式的性質(zhì)（1）雙重非負性:≥0,≥0;（主要用于字母的求值）（2）回歸性:（≥0）;（主要用于二次根式的計算）（3）轉(zhuǎn)化性:.（主要用于二次根式的化簡）【題型1利用二次根式的性質(zhì)確定未知數(shù)的取值范圍】【例1】（23-24八年級·安徽池州·期末）代數(shù)式1?a2+3?a2的值為常數(shù)2，則aA．a(chǎn)≥3 B．a(chǎn)≤1 C．1≤a≤3 D．a(chǎn)=1或a=3【變式1-1】（23-24八年級·山東聊城·期末）如果(3a?9)2=9?3a，則a的取值范圍是（A．a(chǎn)>3 B．a(chǎn)<3 C．a(chǎn)≥3 D．a(chǎn)≤3【變式1-2】（23-24八年級·黑龍江綏化·期末）如果兩個最簡二次根式3a?4與16?a是同類二次根式，那么使5a?2x有意義的x的取值范圍是．【變式1-3】（23-24八年級·上海寶山·階段練習）若x3+2x2=?x【題型2利用a2=|a|化簡】【例2】（23-24八年級下·山東威海·期末）已知xy<0，則化簡二次根式x?yxA．2 B．??y C．?y D．【變式2-1】（23-24八年級上·上海徐匯·階段練習）將(a?3)a23?a【變式2-2】（23-24七年級上·青海黃南·期末）實數(shù)a，b在數(shù)軸上的位置如圖所示，則(a?b)2?【變式2-3】（23-24八年級下·全國·單元測試）已知0<a<1，化簡(a+1a)【考點2二次根式的乘除】1.二次根式的乘法法則：.2.二次根式的除法法則：（1）；（2）；（3）分母有理化：化去分母中的根號叫做分母有理化；具體方法是：分式的分子與分母同乘分母的有理化因式，使分母變?yōu)檎?3.常用分母有理化因式：，，，它們也叫互為有理化因式.4．最簡二次根式：（1）滿足下列兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式，①被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式，②被開方數(shù)中不含能開的盡的因數(shù)或因式；（2）最簡二次根式中，被開方數(shù)不能含有小數(shù)、分數(shù)，字母因式次數(shù)低于2，且不含分母；（3）化簡二次根式時，往往需要把被開方數(shù)先分解因數(shù)或分解因式；（4）二次根式計算的最后結(jié)果必須化為最簡二次根式.5．二次根式比較大小的方法：（1）利用近似值比大小；（2）把二次根式的系數(shù)移入二次根號內(nèi)，然后比大小；（3）分別平方，然后比大小.【題型3二次根式乘除法法則適用的條件】【例3】（23-24八年級上·上海浦東新·階段練習）使等式x2-1x?1=【變式3-1】（23-24八年級下·浙江·課后作業(yè)）若(x?2)(3?x)=x?2?A．x≥2 B．x≤3 C．2≤x≤3 D．2<x<3【變式3-2】（23-24九年級下·江蘇南京·階段練習）已知1?aa2＝1?aa，則aA．a(chǎn)≤0 B．a(chǎn)＜0 C．0＜a≤1 D．a(chǎn)＞0【變式3-3】（23-24九年級上·河南新鄉(xiāng)·階段練習）若等式2m?1m?3=2m?1m?3成立，則A．m>3 B．m≥12 C．12≤m<3 【題型4二次根式的乘除運算】【例4】（23-24八年級上·上海虹口·階段練習）化簡：?93m【變式4-1】（24-25八年級上·全國·課后作業(yè)）計算3÷2×2【變式4-2】（23-24八年級上·上海奉賢·期中）計算：2b【變式4-3】（23-24八年級下·浙江寧波·階段練習）已知7=a，70=b，則4.9用a、A．a(chǎn)+b10 B．a(chǎn)?b10 C．ba【題型5二次根式大小的比較】【例5】（23-24九年級上·河南周口·階段練習）綜合實踐活動課上，老師給出定理：對于任意兩個正數(shù)a，b，若a>b，則a>參考下面例題的解法，解答下列問題：試比較23和3解：232=12∵12<18，∴2(1)比較?35和?5(2)比較6+2和【變式5-1】（23-24八年級上·全國·單元測試）比較下列各組數(shù)的大小：(1)5×3與(2)?2×2與(3)5與2(4)5?12與【變式5-2】（23-24八年級·全國·課后作業(yè)）你能比較1k+2?k【變式5-3】（23-24八年級下·湖北恩施·階段練習）在進行二次根式化簡時，我們有時會碰上形如53，23，23+1的式子，這樣的式子我們可以將其進一步化簡，53(1)化簡：25(2)若a是2的小數(shù)部分，求3a(3)比較2023?2022與【題型6分母有理化】【例6】（23-24八年級下·云南昆明·階段練習）材料：將13?2分母有理化，解：原式=(1)將a,b分母有理化；(2)求a2【變式6-1】（2024·上海浦東新·二模）m+n的一個有理化因式是（

）A．m+n B．m+n C．m?【變式6-2】（23-24八年級上·上海黃浦·期中）分母有理化：6+22【變式6-3】（23-24八年級下·安徽滁州·階段練習）我們已經(jīng)知道，根據(jù)平方差公式可得a+ba?b=a?b，因為無理數(shù)a+b與無理數(shù)a?b的乘積為有理數(shù)，所以我們稱無理數(shù)(1)無理數(shù)3?(2)計算25【題型7二次根式化為最簡二次根式】【方法總結(jié)】應(yīng)用二次根式的性質(zhì)可以把二次根式化為最簡二次根式,為二次根式的運算奠定基礎(chǔ).【例7】（23-24八年級·河南新鄉(xiāng)·階段練習）若y>0，則二次根式?81x3y【變式7-1】（23-24八年級·河北張家口·期末）將式子35?a（a為正整數(shù)）化為最簡二次根式后，可以與8合并．寫出一個符合條件a的值．【變式7-2】（23-24八年級·安徽·階段練習）已知A=22x+1，B=3x+3，C=10x+3y，其中A，B為最簡二次根式，且A+B=C，則2y?x【變式7-3】（23-24八年級·山東煙臺·期末）我們把形如ax+b（a，b為有理數(shù)，x為最簡二次根式）的數(shù)叫做x型無理數(shù)，如35+1是5型無理數(shù)，則【考點3二次根式的加減】1．二次根式化簡題的幾種類型：（1）明顯條件題；（2）隱含條件題；（3）討論條件題.2．同類二次根式：幾個二次根式化成最簡二次根式后，如果被開方數(shù)相同，這幾個二次根式叫做同類二次根式.3．二次根式的混合運算：（1）二次根式的混合運算包括加、減、乘、除、乘方、開方六種代數(shù)運算，以前學(xué)過的，在有理數(shù)范圍內(nèi)的一切公式和運算律在二次根式的混合運算中都適用；（2）二次根式的運算一般要先把二次根式進行適當化簡，例如：化為同類二次根式才能合并；除法運算有時轉(zhuǎn)化為分母有理化或約分更為簡便；使用乘法公式等.【題型8二次根式的混合運算】【方法總結(jié)】二次根式的混合運算可以運用整式的乘法法則和乘法公式計算.【例8】（23-24八年級·浙江杭州·自主招生）對于任意正數(shù)m，n，定義運算※如下：m※n=m?n【變式8-1】（23-24八年級·內(nèi)蒙古呼和浩特·期中）計算：(1)3(2)?22【變式8-2】（23-24八年級·貴州遵義·期中）在計算6×2解：原式=26×3=218=2?1=10(1)老師認為小明的解法有錯，請你指出小明從第_______步開始出錯的；(2)請你給出正確的解題過程．【變式8-3】（23-24八年級·河南洛陽·階段練習）小明在解決問題“已知a=12+3∵a=1∴(a?2)2=3∴a請你根據(jù)小明的分析過程，解決如下問題：(1)填空：16+5=_______________，(2)計算：12(3)若a=110?3【題型9與二次根式有關(guān)的化簡求值】【方法總結(jié)】與二次根式有關(guān)的化簡求值也是中考經(jīng)常考的題型,方法靈活多樣,例如直接代入法、整體代入法等.【例9】（23-24八年級·湖北宜昌·期末）已知a+b=6，ab=7，則代數(shù)式aab+b【變式9-1】（23-24八年級·江西九江·期中）斐波那契數(shù)列中的第n個數(shù)可以用151+52n【變式9-2】（23-24八年級·四川成都·期中）若m=20212022?1，則【變式9-3】（2024·遼寧朝陽·模擬預(yù)測）m=20232024?1，m【題型10二次根式的應(yīng)用】【例10】（23-24八年級下·湖北荊州·階段練習）閱讀下面內(nèi)容：我們已經(jīng)學(xué)習了《二次根式》和《乘法公式》，聰明的你可以發(fā)現(xiàn)：當a>0，b>0時，∵a?b2=a?2ab例如：當a>0時，求a+16解：∵a>0，∴a+16a≥2a?16a，又∵∴a+16請利用上述結(jié)論解決以下問題：(1)當x>0時，當且僅當x=______時，x+9(2)當m>0時，求m2(3)請解答以下問題：如圖所示，某園藝公司準備圍建一個矩形花圃，其中一邊靠墻（墻足夠長），另外三邊用籬笆圍成，設(shè)平行于墻的一邊長為x米，若要圍成面積為450平方米的花圃，需要用的籬笆最少是多少米？【變式10-1】（23-24八年級下·安徽滁州·階段練習）（1）在邊長為(5+3)cm（2）小明是一位愛動腦筋的學(xué)生，他發(fā)現(xiàn)沿圖1中的虛線將陰影部分前開，可拼成如圖2的圖形，請你根據(jù)小明的思路求圖1中陰影部分的面積【變式10-2】（23-24八年級下·北京海淀·期末）團扇是中國傳統(tǒng)工藝品，代表著團圓友善、吉祥如意．某社團組織學(xué)生制作團扇，扇面有圓形和正方形兩種，每種扇面面積均300平方厘米．為了提升團扇的耐用性和美觀度，需對扇面邊緣用緞帶進行包邊處理，如圖所示．(1)圓形團扇的半徑為_____________厘米，正方形團扇的邊長為__________厘米；(2)請你通過計算說明哪種形狀的扇面所用的包邊長度更短．【變式10-3】（23-24八年級下·安徽合肥·期末）小明同學(xué)每次回家進入電梯間時，總能看見如圖所示的提示“高空拋物害人害己”．為進一步研究高空拋物的危害，小明請教了物理老師，得知高空拋物下落的時間t（單位：s）和高度h（單位：m）近似滿足公式t=2?g（不考慮風速的影響，g≈10m/s

(1)已知小明家住20層，每層的高度近似為3m，假如從小明家墜落一個物品，求該物品落地的時間；（結(jié)果保留根號）(2)小明查閱資料得知，傷害無防護人體只需要64焦的動能，高空拋物動能（焦）=10×物體質(zhì)量（千克）×高度（米），某質(zhì)量為0.1千克的玩具在高空被拋出后，最少經(jīng)過幾秒落地就可能會傷害到樓下的行人？【題型11二次根式的規(guī)律探究】【例11】（23-24八年級下·山東威海·期中）觀察下列式子：①2?25=225；②3?請你按照規(guī)律寫出第n（n≥1）個式子是(

)A．n?1?B．n?C．n+1?D．n?【變式11-1】（2024九年級·湖北隨州·學(xué)業(yè)考試）請先在草稿紙上計算下列四個式子的值：①13；②13+23；③13+A．350 B．351 C．352 D．353【變式11-2】（23-24八年級下·山東東營·階段練習）觀察下列各式：1+11+11+1請利用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，計算：1+112【變式11-3】（23-24八年級下·甘肅平?jīng)觥て谥校┯^察以下各式：12+1=2?1利用以上規(guī)律計算：12+1

第16章二次根式【3大考點11種題型】【滬科版】TOC\o"1-3"\h\u【考點1二次根式】 1【題型1利用二次根式的性質(zhì)確定未知數(shù)的取值范圍】 2【題型2利用a2=|a|化簡】 3【考點2二次根式的乘除】 5【題型3二次根式乘除法法則適用的條件】 6【題型4二次根式的乘除運算】 8【題型5二次根式大小的比較】 9【題型6分母有理化】 13【題型7二次根式化為最簡二次根式】 15【考點3二次根式的加減】 17【題型8二次根式的混合運算】 17【題型9與二次根式有關(guān)的化簡求值】 20【題型10二次根式的應(yīng)用】 22【題型11二次根式的規(guī)律探究】 27【考點1二次根式】1.二次根式的定義形如（≥0）的式子叫做二次根式.其中“”叫做二次根號,叫做被開方數(shù).（1）二次根式有意義的條件是被開方數(shù)為非負數(shù).據(jù)此可以確定字母的取值范圍;（2）判斷一個式子是否為二次根式,應(yīng)根據(jù)以下兩個標準判斷:=1\*GB3①是否含有二次根號“”;=2\*GB3②被開方數(shù)是否為非負數(shù).若兩個標準都符合,則是二次根式;若只符合其中一個標準,則不是二次根式.（3）形如（≥0）的式子也是二次根式,其中叫做二次根式的系數(shù),它表示的是:（≥0）;（4）根據(jù)二次根式有意義的條件,若二次根式與都有意義,則有.2.二次根式的性質(zhì)（1）雙重非負性:≥0,≥0;（主要用于字母的求值）（2）回歸性:（≥0）;（主要用于二次根式的計算）（3）轉(zhuǎn)化性:.（主要用于二次根式的化簡）【題型1利用二次根式的性質(zhì)確定未知數(shù)的取值范圍】【例1】（23-24八年級·安徽池州·期末）代數(shù)式1?a2+3?a2的值為常數(shù)2，則A．a(chǎn)≥3 B．a(chǎn)≤1 C．1≤a≤3 D．a(chǎn)=1或a=3【答案】C【分析】分a<1，1≤a≤3，a>3三種情況討論即可．【詳解】解：1?a當a<1時，原式=1?a+3?a=4?2a，由題意得4?2a=2，解得a=1，不符合題意，舍去；當1≤a≤3時，原式=a?1+3?a=2，當a>3時，原式=a?1+a?1=2a?4，由題意得2a?4=2，解得a=3，不符合題意，舍去；綜上，a的取值范圍是1≤a≤3．故選：C．【點睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)，掌握a2【變式1-1】（23-24八年級·山東聊城·期末）如果(3a?9)2=9?3a，則a的取值范圍是（A．a(chǎn)>3 B．a(chǎn)<3 C．a(chǎn)≥3 D．a(chǎn)≤3【答案】D【分析】本題主要考查二次根式的意義，熟練掌握二次根式是解題的關(guān)鍵．根據(jù)(3a?9)2=9?3a得到【詳解】解：∵(3a?9)∴3a?9≤0，解得a≤3，故選D．【變式1-2】（23-24八年級·黑龍江綏化·期末）如果兩個最簡二次根式3a?4與16?a是同類二次根式，那么使5a?2x有意義的x的取值范圍是．【答案】x≤【分析】本題主要考查了同類二次根式的概念、二次根式的性質(zhì)等知識點，掌握二次根式的性質(zhì)成為解題的關(guān)鍵．先根據(jù)同類二次根式的定義列方程求出a的值，代入5a?2x，再根據(jù)二次根式的定義列出不等式求解即可．【詳解】解：∵最簡根式3a?4與16?a是同類二次根式，∴3a?4=16?a，解得：a=5，∵5a?2x有意義，∴5a?2x≥0，即5×5?2x≥0，解得：x≤25故答案為：x≤25【變式1-3】（23-24八年級·上海寶山·階段練習）若x3+2x2=?x【答案】-2≤x≤0【分析】根據(jù)二次根式的被開方數(shù)是非負數(shù)，二次根式的值是非負數(shù)，可得答案．【詳解】解：x3x≤0，x+2≥0，解得-2≤x≤0，故答案為：-2≤x≤0．【點睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡，利用了二次根式的性質(zhì)．【題型2利用a2=|a|化簡【例2】（23-24八年級下·山東威海·期末）已知xy<0，則化簡二次根式x?yxA．2 B．??y C．?y D．【答案】C【分析】本題考查二次根式的性質(zhì)、二次根式有意義的條件，根據(jù)二次根式有意義的條件可得y<0，結(jié)合題意可得x>0，y<0，再利用二次根式的性質(zhì)化簡即可．【詳解】解：∵xy<0，∴x與y異號，又∵?y∴y<0，∴x>0，y<0，∴x?故選：C．【變式2-1】（23-24八年級上·上海徐匯·階段練習）將(a?3)a23?a【答案】a3?a【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡即可．【詳解】∵a＜0．∴a－3＜0，∴(a?3)a23?a=?(3?a)故答案為a3?a【點睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡，正確判斷根號內(nèi)的符號是解題的關(guān)鍵．【變式2-2】（23-24七年級上·青海黃南·期末）實數(shù)a，b在數(shù)軸上的位置如圖所示，則(a?b)2?【答案】b【分析】本題主要考查二次根式的性質(zhì)與化簡，解題的關(guān)鍵是利用二次根式的性質(zhì)進行化簡．【詳解】解：由數(shù)軸可知a<0<b，且a>∴a?ba2∴a?b故答案為：b．【變式2-3】（23-24八年級下·全國·單元測試）已知0<a<1，化簡(a+1a)【答案】2【分析】根據(jù)完全平方公式結(jié)合二次根式的性質(zhì)進行化簡即可求得答案．【詳解】∵0<a<1∴1a∴(a+=1a=1a=2故答案為2【點睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡，熟練掌握完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征是解本題的關(guān)鍵．【考點2二次根式的乘除】1.二次根式的乘法法則：.2.二次根式的除法法則：（1）；（2）；（3）分母有理化：化去分母中的根號叫做分母有理化；具體方法是：分式的分子與分母同乘分母的有理化因式，使分母變?yōu)檎?3.常用分母有理化因式：，，，它們也叫互為有理化因式.4．最簡二次根式：（1）滿足下列兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式，①被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式，②被開方數(shù)中不含能開的盡的因數(shù)或因式；（2）最簡二次根式中，被開方數(shù)不能含有小數(shù)、分數(shù)，字母因式次數(shù)低于2，且不含分母；（3）化簡二次根式時，往往需要把被開方數(shù)先分解因數(shù)或分解因式；（4）二次根式計算的最后結(jié)果必須化為最簡二次根式.5．二次根式比較大小的方法：（1）利用近似值比大小；（2）把二次根式的系數(shù)移入二次根號內(nèi)，然后比大小；（3）分別平方，然后比大小.【題型3二次根式乘除法法則適用的條件】【例3】（23-24八年級上·上海浦東新·階段練習）使等式x2-1x?1【答案】x>1x??1【分析】根據(jù)負數(shù)沒有平方根及分母不為0，即可求出x的范圍．【詳解】根據(jù)題意,得x?1＞0x+1≥0解得：x＞1x≥則使得等式x2?1x?1故答案為x>1.【點睛】此題考查二次根式的乘除法，解題關(guān)鍵在于掌握運算法則.【變式3-1】（23-24八年級下·浙江·課后作業(yè)）若(x?2)(3?x)=x?2?A．x≥2 B．x≤3 C．2≤x≤3 D．2<x<3【答案】C【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件可得到關(guān)于x的一元一次不等式組x?2≥03?x≥0【詳解】根據(jù)題意，得x?2≥03?x≥0解得2≤x≤3．故選：C．【點睛】本題主要考查解一元一次不等式組和二次根式有意義的條件，能根據(jù)二次根式有意義的條件得到一元一次不等式組是解題的關(guān)鍵．【變式3-2】（23-24九年級下·江蘇南京·階段練習）已知1?aa2＝1?aa，則aA．a(chǎn)≤0 B．a(chǎn)＜0 C．0＜a≤1 D．a(chǎn)＞0【答案】C【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)a2【詳解】∵1?aa2=∴1?a≥0a2≠0∴0<a≤1，故選：C．【點睛】本題考查二次根式的性質(zhì)、二次根式有意義的條件、分式有意義的條件，二次根式的性質(zhì)a2【變式3-3】（23-24九年級上·河南新鄉(xiāng)·階段練習）若等式2m?1m?3=2m?1m?3成立，則A．m>3 B．m≥12 C．12≤m<3 【答案】A【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)，即被開方數(shù)是非負數(shù)，分數(shù)的性質(zhì)，即分母不能為零，即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意得，2m?1≥0①∴由①得，m≥12；由②得，∴m>3，故選：A．【點睛】本題主要考查二次根式中被開方數(shù)的非負性，掌握二次根式有意義的條件時解題的關(guān)鍵．【題型4二次根式的乘除運算】【例4】（23-24八年級上·上海虹口·階段練習）化簡：?93m【答案】?3【分析】根據(jù)二次根式的混合運算法則化簡求解即可．【詳解】解：?9=?9=?6=?6=?36故答案：?3【點睛】此題考查了二次根式的乘除運算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次根式的乘除運算法則．【變式4-1】（24-25八年級上·全國·課后作業(yè)）計算3÷2×2【答案】10【分析】本題考查了二次根式的乘除混合運算，根據(jù)運算法則計算即可．【詳解】解：原式=====103故答案為：103【變式4-2】（23-24八年級上·上海奉賢·期中）計算：2b【答案】?9【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)和二次根式的乘除運算法則求解即可．【詳解】解：2==2=?9a【點睛】本題考查二次根式的性質(zhì)和二次根式的乘除，熟練掌握二次根式的性質(zhì)和二次根式的乘除，正確化簡和求解是解答的關(guān)鍵．【變式4-3】（23-24八年級下·浙江寧波·階段練習）已知7=a，70=b，則4.9用a、A．a(chǎn)+b10 B．a(chǎn)?b10 C．ba【答案】D【分析】根據(jù)題意將4.9變形為490100【詳解】解：由題意得：4.9=故選：D．【點睛】本題考查了二次根式的乘除法運算，將4.9變形為490100【題型5二次根式大小的比較】【例5】（23-24九年級上·河南周口·階段練習）綜合實踐活動課上，老師給出定理：對于任意兩個正數(shù)a，b，若a>b，則a>參考下面例題的解法，解答下列問題：試比較23和3解：232=12∵12<18，∴2(1)比較?35和?5(2)比較6+2和【答案】(1)?3(2)6【分析】本題考查無理數(shù)比較大小，讀懂題意，掌握平方運算及例題解法是解決問題的關(guān)鍵．（1）參考例題解法，先求原數(shù)的平方，再由負數(shù)比較大小的法則即可得到答案；（2）參考例題解法，由完全平方公式對原數(shù)進行處理，進而即可得到答案．【詳解】（1）解：352=45∵45<75，∴35∴?35（2）解：∵6+22又∵432=48，∴43∴8+43∴6+【變式5-1】（23-24八年級上·全國·單元測試）比較下列各組數(shù)的大小：(1)5×3與(2)?2×2與(3)5與2(4)5?12與【答案】(1)5×(2)?2×(3)5(4)5【分析】本題考查了無理數(shù)的大小比較，二次根式的性質(zhì)和乘法，解題的關(guān)鍵是將各數(shù)據(jù)平方后再比較．（1）比較兩數(shù)被開發(fā)數(shù)的值，即可得出結(jié)論；（2）比較兩數(shù)被開發(fā)數(shù)的值，即可得出結(jié)論；（3）比較兩數(shù)平方后的值，即可得出結(jié)論；（4）比較兩數(shù)被開發(fā)數(shù)的值，然后利用不等式的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）解：5×3=25∵75>45∴75∴5×3（2）∵2×2∵8>7∴8∴?∴?2×2（3）∵52=5∵5<5+3∴5<（4）∵5>4∴5∴5∴5∴52?1【變式5-2】（23-24八年級·全國·課后作業(yè)）你能比較1k+2?k【答案】1【詳解】試題分析：先分母有理化，再進行比較即可.試題解析：11故1【變式5-3】（23-24八年級下·湖北恩施·階段練習）在進行二次根式化簡時，我們有時會碰上形如53，23，23+1的式子，這樣的式子我們可以將其進一步化簡，53(1)化簡：25(2)若a是2的小數(shù)部分，求3a(3)比較2023?2022與【答案】(1)5(2)3(3)2023【分析】本題考查了二次根式的乘法與加法、分母有理化等知識點，熟練掌握二次根式的運算法則是解題關(guān)鍵．（1）分子分母同乘以5?（2）先根據(jù)無理數(shù)的估算求出a的值，再代入進行分母有理化即可得；（3）根據(jù)題意得到2023?2022=12023【詳解】（1）25=2=5（2）∵1<2<4，∴1<2∴2的小數(shù)部分是2?1，即則3=3=32（3）根據(jù)題意得，2023?2022∵1∴2023?【題型6分母有理化】【例6】（23-24八年級下·云南昆明·階段練習）材料：將13?2分母有理化，解：原式=(1)將a,b分母有理化；(2)求a2【答案】(1)a=(2)8【分析】（1）仿照示范例子，進行計算化簡即可；（2）根據(jù)完全平方公式變形計算即可．本題考查了分母有理化，完全平方公式的應(yīng)用，熟練掌握進行分母有理化計算是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）a=1b=1（2）∵a=11∴a+b=11∴a2【變式6-1】（2024·上海浦東新·二模）m+n的一個有理化因式是（

）A．m+n B．m+n C．m?【答案】A【分析】根據(jù)有理化的定義以及二次根式的乘除法則解決此題．【詳解】解：A．∵m+n·∴m+n就是m+n的一個有理化因式，故A符合題意；B．∵m+nm∴m+n不是C．∵m+nm∴m?n不是D．∵m+n·∴m?n不是m+n的一個有理化因式，故D不符合題意；故選：A．【點睛】本題主要考查分母有理化，熟練掌握有理化的定義以及二次根式的乘除法則是解決本題的關(guān)鍵．【變式6-2】（23-24八年級上·上海黃浦·期中）分母有理化：6+22【答案】6【分析】根據(jù)6+22+22+4+6=6+2【詳解】解：6+2∴原式的倒數(shù)=====6∴原式=2故答案為：6+【點睛】本題考查了分母有理化，熟練掌握分數(shù)的性質(zhì)以及平方差公式是解本題的關(guān)鍵．【變式6-3】（23-24八年級下·安徽滁州·階段練習）我們已經(jīng)知道，根據(jù)平方差公式可得a+ba?b=a?b，因為無理數(shù)a+b與無理數(shù)a?b的乘積為有理數(shù)，所以我們稱無理數(shù)(1)無理數(shù)3?(2)計算25【答案】(1)3(2)7【分析】本題主要考查了分母有理化，二次根式的乘法計算：（1）根據(jù)題意計算求解即可；（2）分別對兩個式子分母有理化，然后合并同類二次根式即可得到答案．【詳解】（1）解：∵3?∴無理數(shù)3?2的有理化因式是故答案為：3+（2）解：原式===7【題型7二次根式化為最簡二次根式】【方法總結(jié)】應(yīng)用二次根式的性質(zhì)可以把二次根式化為最簡二次根式,為二次根式的運算奠定基礎(chǔ).【例7】（23-24八年級·河南新鄉(xiāng)·階段練習）若y>0，則二次根式?81x3y【答案】?9xy【分析】本題考查二次根式有意義的條件、利用二次根式性質(zhì)化簡等知識，先由二次根式有意義的條件判斷x≤0，再由二次根式性質(zhì)化簡即可得到答案，熟練掌握二次根式有意義的條件、二次根式性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵二次根式?81x3y3中∴x≤0，∴?81x故答案為：?9xy?xy【變式7-1】（23-24八年級·河北張家口·期末）將式子35?a（a為正整數(shù)）化為最簡二次根式后，可以與8合并．寫出一個符合條件a的值．【答案】3（答案不唯一）【分析】本題考查了同類二次根式，最簡二次根式，熟練掌握同類二次根式的定義是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵8=2∴35?a可以為2，22，32，∴35?a=2或35?a=8或35?a=18或35?a=32，解得：a=33或a=27或a=17或a=3，故答案為：3．【變式7-2】（23-24八年級·安徽·階段練習）已知A=22x+1，B=3x+3，C=10x+3y，其中A，B為最簡二次根式，且A+B=C，則2y?x【答案】68【分析】根據(jù)題意得出2x+1=x+3，求出x=2，進而得出10x+3y=552【詳解】∵A，B為最簡二次根式，且A+B=C，∴2x+1=x+3，解得x=2，∴A=25，B=35，∴10x+3y=5解得y=35，∴2y?x=2×35?2=68．故答案為：68．【點睛】本題考查最簡二次根式，根據(jù)最簡二次根式的定義得出x=2是解題的關(guān)鍵．【變式7-3】（23-24八年級·山東煙臺·期末）我們把形如ax+b（a，b為有理數(shù)，x為最簡二次根式）的數(shù)叫做x型無理數(shù)，如35+1是5型無理數(shù)，則【答案】6【分析】根據(jù)完全平方公式展開，化簡二次根式即可得出答案．【詳解】解：(2=2+22=26所以，(2+3故答案為：6．【點睛】本題考查了最簡二次根式，掌握a±b2【考點3二次根式的加減】1．二次根式化簡題的幾種類型：（1）明顯條件題；（2）隱含條件題；（3）討論條件題.2．同類二次根式：幾個二次根式化成最簡二次根式后，如果被開方數(shù)相同，這幾個二次根式叫做同類二次根式.3．二次根式的混合運算：（1）二次根式的混合運算包括加、減、乘、除、乘方、開方六種代數(shù)運算，以前學(xué)過的，在有理數(shù)范圍內(nèi)的一切公式和運算律在二次根式的混合運算中都適用；（2）二次根式的運算一般要先把二次根式進行適當化簡，例如：化為同類二次根式才能合并；除法運算有時轉(zhuǎn)化為分母有理化或約分更為簡便；使用乘法公式等.【題型8二次根式的混合運算】【方法總結(jié)】二次根式的混合運算可以運用整式的乘法法則和乘法公式計算.【例8】（23-24八年級·浙江杭州·自主招生）對于任意正數(shù)m，n，定義運算※如下：m※n=m?n【答案】2【分析】本題考查了二次根式的混合運算，根據(jù)定義新運算可得：(3【詳解】解：由題意得：3=(=(=2×(=2×(3?2)=2×1=2，故答案為：2．【變式8-1】（23-24八年級·內(nèi)蒙古呼和浩特·期中）計算：(1)3(2)?22【答案】(1)2(2)10?【分析】本題考查的是二次根式的混合運算，掌握相應(yīng)的運算法則是解本題的關(guān)鍵；（1）先計算括號內(nèi)的加減運算，再計算除法運算；（2）先計算乘方，絕對值，再計算乘法運算，最后計算加減運算即可．【詳解】（1）3==8=2；（2）?2=8+2=10?3【變式8-2】（23-24八年級·貴州遵義·期中）在計算6×2解：原式=26×3=218=2?1=10(1)老師認為小明的解法有錯，請你指出小明從第_______步開始出錯的；(2)請你給出正確的解題過程．【答案】(1)③(2)4【分析】本題考查二次根式的運算法則，解題的關(guān)鍵是熟練運用二次根式的運算法則．（1）指出二次根式運算錯誤的步驟即可；（2）寫出正確的解答過程即可．【詳解】（1）小明從第③步開始出錯的；故答案為③；（2）原式=2=2=6=42【變式8-3】（23-24八年級·河南洛陽·階段練習）小明在解決問題“已知a=12+3∵a=1∴(a?2)2=3∴a請你根據(jù)小明的分析過程，解決如下問題：(1)填空：16+5=_______________，(2)計算：12(3)若a=110?3【答案】(1)6(2)2021(3)?3【分析】本題考查二次根式的化簡求值，理解二次根式的性質(zhì)，掌握平方差公式(a+b)(a?b)=a（1）利用平方差公式進行二次根式的分母有理化計算；（2）根據(jù)二次根式的分母有理化計算發(fā)現(xiàn)數(shù)字的變化規(guī)律，從而進行計算；（3）先對字母a的值進行二次根式的分母有理化計算，然后代入求值．【詳解】（1）16n?故答案為：6?5，（2）原式===2022?1=2021．（3）∵a===10∴a?3=10∴(a?3)2=10∴a∴2【題型9與二次根式有關(guān)的化簡求值】【方法總結(jié)】與二次根式有關(guān)的化簡求值也是中考經(jīng)常考的題型,方法靈活多樣,例如直接代入法、整體代入法等.【例9】（23-24八年級·湖北宜昌·期末）已知a+b=6，ab=7，則代數(shù)式aab+b【答案】2277【分析】本題考查含字母的二次根式的化簡，掌握二次根式的定義及性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．【詳解】∵a+b=6，ab=7，∴a>0，b>0，∴aa故答案為：227【變式9-1】（23-24八年級·江西九江·期中）斐波那契數(shù)列中的第n個數(shù)可以用151+52n【答案】2【分析】本題主要考查二次根式的混合運算，當n=1,n=2時計算出第1個數(shù)和第2個數(shù)，相加即可得到答案．【詳解】解：當n=1時，15當n=2時，15所以，斐波那契數(shù)列中的第1個數(shù)與第2個數(shù)的和為1+1=2，故答案為：2．【變式9-2】（23-24八年級·四川成都·期中）若m=20212022?1，則【答案】2020【分析】此題考查了二次根式的化簡和二次根式的混合運算，先利用分母有理化得到m=2022【詳解】解:∵m==2021(∴m故答案為：2020．【變式9-3】（2024·遼寧朝陽·模擬預(yù)測）m=20232024?1，m【答案】9【分析】本題考查了二次根式的混合運算．先分母有理化求出m，再根據(jù)完全平方公式變形，最后代入求出答案即可．【詳解】解：∵m===2024∴m===2024?2015=9．故答案為：9．【題型10二次根式的應(yīng)用】【例10】（23-24八年級下·湖北荊州·階段練習）閱讀下面內(nèi)容：我們已經(jīng)學(xué)習了《二次根式》和《乘法公式》，聰明的你可以發(fā)現(xiàn)：當a>0，b>0時，∵a?b2=a?2ab例如：當a>0時，求a+16解：∵a>0，∴a+16a≥2a?16a，又∵∴a+16請利用上述結(jié)論解決以下問題：(1)當x>0時，當且僅當x=______時，x+9(2)當m>0時，求m2(3)請解答以下問題：如圖所示，某園藝公司準備圍建一個矩形花圃，其中一邊靠墻（墻足夠長），另外三邊用籬笆圍成，設(shè)平行于墻的一邊長為x米，若要圍成面積為450平方米的花圃，需要用的籬笆最少是多少米？【答案】(1)3，6(2)4(3)60米【分析】（1）根據(jù)例題中的公式計算即可；（2）先化簡，再運用公式計算即可；（3）由題意得籬笆的長為x+450【詳解】（1）解：∵x>0，∴x+9又∵2x?∴x+9x≥3∴x+9故答案為：3，6．（2）m2∵m>0，∴m+24又∵2m?∴m+24m≥4∴m+24m的最小值為∴m?5+24m的最小值為即m2?5m+24m（3）根據(jù)題意可得，垂直于墻的一邊長為450x米，則籬笆的長為x+∵x>0∴x+900又∵2x?∴x+900x≥60∴x+900即需要用的籬笆最少是60米.【點睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)，理解題中例題解法，熟練掌握二次根式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式10-1】（23-24八年級下·安徽滁州·階段練習）（1）在邊長為(5+3)cm（2）小明是一位愛動腦筋的學(xué)生，他發(fā)現(xiàn)沿圖1中的虛線將陰影部分前開，可拼成如圖2的圖形，請你根據(jù)小明的思路求圖1中陰影部分的面積【答案】（1）415cm【分析】（1）根據(jù)陰影部分面積=邊長為5+3cm（2）分別求出圖2中長方形的長和寬，然后利用長方形面積公式求解即可．【詳解】解：（1）由題意得S=5+2=415（2）由題意得，圖2中長方形的長為：5+3+∴S陰影【點睛】本題主要考查了二次根式的應(yīng)用，完全平方公式和平方差公式，正確得到陰影部分的面積與圖1與圖2中圖形的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式10-2】（23-24八年級下·北京海淀·期末）團扇是中國傳統(tǒng)工藝品，代表著團圓友善、吉祥如意．某社團組織學(xué)生制作團扇，扇面有圓形和正方形兩種，每種扇面面積均300平方厘米．為了提升團扇的耐用性和美觀度，需對扇面邊緣用緞帶進行包邊處理，如圖所示．(1)圓形團扇的半