§8.2兩條直線的位置關系章節副標題011.能根據斜率判定兩條直線平行或垂直.2.能用解方程組的方法求兩條直線的交點坐標.3.掌握平面上兩點間的距離公式、點到直線的距離公式，會求兩條平行直線間的距離.課標要求第一部分落實主干知識第二部分探究核心題型課時精練內容索引落實主干知識章節副標題021.兩條直線的位置關系直線l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l3：A1x＋B1y＋C1＝0，l4：A2x＋B2y＋C2＝0(其中l1與l3是同一條直線，l2與l4是同一條直線)的位置關系如下表：位置關系l1，l2滿足的條件l3，l4滿足的條件平行__________________________________________________________________垂直________________________相交______________________k1＝k2且b1≠b2A1B2－A2B1＝0，且A1C2－A2C1≠0(或B1C2－B2C1≠0)k1·k2＝－1A1A2＋B1B2＝0k1≠k2A1B2－A2B1≠02.三種距離公式(1)兩點間的距離公式①條件：點P1(x1，y1)，P2(x2，y2).②結論：|P1P2|＝

.③特例：點P(x，y)到原點O(0,0)的距離|OP|＝

.(2)點到直線的距離點P(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝

.(3)兩條平行直線間的距離兩條平行直線l1：Ax＋By＋C1＝0與l2：Ax＋By＋C2＝0間的距離d＝

.六種常用對稱關系(1)點(x，y)關于原點(0,0)的對稱點為(－x，－y).(2)點(x，y)關于x軸的對稱點為(x，－y)，關于y軸的對稱點為(－x，y).(3)點(x，y)關于直線y＝x的對稱點為(y，x)，關于直線y＝－x的對稱點為(－y，－x).(4)點(x，y)關于直線x＝a的對稱點為(2a－x，y)，關于直線y＝b的對稱點為(x,2b－y).(5)點(x，y)關于點(a，b)的對稱點為(2a－x,2b－y).(6)點(x，y)關于直線x＋y＝k的對稱點為(k－y，k－x)，關于直線x－y＝k的對稱點為(k＋y，x－k).1.判斷下列結論是否正確.(請在括號中打“√”或“×”)(1)當直線l1和l2斜率都存在時，一定有k1＝k2?l1∥l2.(

)(2)若兩條直線l1與l2垂直，則它們的斜率之積一定等于－1.(

)(3)直線外一點與直線上點的距離的最小值就是點到直線的距離.(

)(4)若點A，B關于直線l：y＝kx＋b(k≠0)對稱，則直線AB的斜率等于

，且線段AB的中點在直線l上.(

)××√√2.(選擇性必修第一冊P102T2改編)若直線2x＋my＋1＝0與直線3x＋6y－1＝0平行，則m等于A.4

B.－4

C.1

D.－1√因為直線2x＋my＋1＝0與直線3x＋6y－1＝0平行，3.(選擇性必修第一冊P79練習T1改編)兩平行直線x－2y＋1＝0與直線2x－4y－3＝0的距離為√4.直線x－2y－3＝0關于定點M(－2,1)對稱的直線方程是______________.返回x－2y＋11＝0在直線上取點P(3,0)，點P關于M(－2,1)的對稱點為P′(－7,2)，過點P′與原直線平行的直線方程為x－2y＋11＝0，即為對稱后的直線方程.探究核心題型章節副標題03例1

(1)(2023·桂林模擬)已知直線l1：ax＋(a－1)y＋3＝0，l2：2x＋ay－1＝0，若l1⊥l2，則實數a的值是A.0或－1 B.－1或1C.－1 D.1√由題意可知l1⊥l2，故2a＋a(a－1)＝0，解得a＝0或a＝－1，經驗證，符合題意.題型一兩條直線的平行與垂直(2)(2024·青島模擬)瑞士數學家歐拉在《三角形的幾何學》一書中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一條直線上.這條直線被稱為歐拉線.已知△ABC的頂點A(－3,0)，B(3,0)，C(3,3)，若直線l：ax＋(a2－3)y－9＝0與△ABC的歐拉線平行，則實數a的值為A.－2 B.－1C.－1或3 D.3√由△ABC的頂點A(－3,0)，B(3,0)，C(3,3)知，又三角形為直角三角形，因為ax＋(a2－3)y－9＝0與x＋2y－3＝0平行，判斷兩條直線位置關系的注意點(1)斜率不存在的特殊情況.(2)可直接利用直線方程系數間的關系得出結論.跟蹤訓練1

(1)(2023·襄陽模擬)設a，b，c分別為△ABC中角A，B，C所對邊的邊長，則直線xsinA＋ay＋c＝0與bx－ysinB＋sinC＝0的位置關系是A.相交但不垂直

B.垂直C.平行

D.重合√所以兩條直線垂直.(2)已知兩直線l1：(m－1)x－6y－2＝0，l2：mx＋y＋1＝0，若l1⊥l2，則m＝________；若l1∥l2，則m＝____.3或－2因為l1：(m－1)x－6y－2＝0，l2：mx＋y＋1＝0，所以，若l1⊥l2，則m(m－1)－6＝0，解得m＝3或m＝－2，例2

(1)經過兩直線l1：2x－y＋3＝0與l2：x＋2y－1＝0的交點，且平行于直線3x＋2y＋7＝0的直線方程是A.2x－3y＋5＝0 B.2x＋3y－1＝0C.3x＋2y－2＝0 D.3x＋2y＋1＝0√題型二兩直線的交點與距離問題所以直線l1與l2的交點為(－1,1)，設與直線3x＋2y＋7＝0平行的直線為3x＋2y＋m＝0(m≠7)，所以3×(－1)＋2×1＋m＝0，解得m＝1，所以所求直線方程為3x＋2y＋1＝0.方法二設所求直線方程為2x－y＋3＋λ(x＋2y－1)＝0，即(λ＋2)x＋(2λ－1)y＋3－λ＝0，又該直線與3x＋2y＋7＝0平行，故(λ＋2)·2－3·(2λ－1)＝0，直線系方程過直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0與l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交點的直線系方程為A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，λ∈R，但不包括直線l2.典例過兩直線l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交點和原點的直線方程為A.3x－19y＝0 B.19x－3y＝0C.19x＋3y＝0 D.3x＋19y＝0√設過兩直線交點的直線系方程為x－3y＋4＋λ(2x＋y＋5)＝0，(2)(2023·上饒統考)正方形ABCD的兩個頂點A，B在直線x＋y－4＝0上，另兩個頂點C，D分別在直線2x－y－1＝0，4x＋y－23＝0上，那么正方形ABCD的邊長為____________.設直線CD的方程為x＋y＋m＝0，解得m＝－8或m＝－32，利用距離公式應注意的點(1)點P(x0，y0)到直線x＝a的距離d＝|x0－a|，到直線y＝b的距離d＝|y0－b|.(2)兩條平行線間的距離公式要把兩條直線方程中x，y的系數化為相等.跟蹤訓練2

(1)若點(m，n)在直線l：3x＋4y－13＝0上，則(m－1)2＋n2的最小值為A.3

B.4

C.2

D.6√由(m－1)2＋n2的幾何意義為點(m，n)到點(1,0)距離的平方，得其最小值為點(1,0)到直線l：3x＋4y－13＝0的距離的平方，(2)已知兩條平行直線分別過點A(6,2)和B(－3，－1)，并且各自繞點A，B旋轉，平行線之間的距離的最大值為________，此時兩平行直線方程分別為_____________________________.3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0兩條平行直線分別過點A(6,2)，B(－3，－1)，并且各自繞點A，B旋轉，當AB與兩平行直線垂直時，兩平行線之間的距離最大，故這兩條平行直線的斜率為－3，則兩平行直線方程分別為y－2＝－3(x－6)，y＋1＝－3(x＋3)，即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0.命題點1點(或直線)關于點對稱例3直線3x－2y＝0關于點

對稱的直線方程為A.2x－3y＝0 B.3x－2y－2＝0C.x－y＝0 D.2x－3y－2＝0√題型三對稱問題所以所求直線方程為3x－2y－2＝0.方法二在直線3x－2y＝0上任取兩點O(0,0)，M(2,3)，√命題點2點關于直線對稱設點A(1,1)關于直線x＋y＋1＝0的對稱點為A′(x0，y0)，所以對稱點為A′(－2，－2)，命題點3直線關于直線的對稱問題例5兩直線方程為l1：3x－2y－6＝0，l2：x－y－2＝0，則l1關于l2對稱的直線方程為A.3x－2y－4＝0 B.2x＋3y－6＝0C.2x－3y－4＝0 D.3x－2y－6＝0√設所求直線上任意一點M(x，y)，M關于直線x－y－2＝0的對稱點為M′(x1，y1)，①∵點M′在直線3x－2y－6＝0上，∴將①式代入，得3(y＋2)－2(x－2)－6＝0，化簡得2x－3y－4＝0，即為l1關于l2對稱的直線方程.對稱問題的求解策略(1)解決對稱問題的思路是利用待定系數法將幾何關系轉化為代數關系求解.(2)中心對稱問題可以利用中點坐標公式解題，兩點軸對稱問題可以利用垂直和中點兩個條件列方程組解題.跟蹤訓練3已知直線l：2x－3y＋1＝0，點A(－1，－2).求：(1)點A關于直線l的對稱點A′的坐標；(2)直線m：3x－2y－6＝0關于直線l對稱的直線m′的方程；在直線m上取一點，如M(2,0)，則M(2,0)關于直線l的對稱點M′必在直線m′上.設對稱點為M′(a，b)，設直線m與直線l的交點為N，又m′經過點N(4,3)，所以直線m′的方程為9x－46y＋102＝0.(3)直線l關于點A的對稱直線l′的方程.章節副標題04方法一在l：2x－3y＋1＝0上任取兩點，如P(1,1)，Q(4,3)，則P，Q關于點A(－1，－2)的對稱點P′，Q′均在直線l′上，易得P′(－3，－5)，Q′(－6，－7)，所以l′的方程為2x－3y－9＝0.方法二因為l∥l′，所以設l′的方程為2x－3y＋C＝0(C≠1).因為點A(－1，－2)到兩直線l，l′的距離相等，所以由點到直線的距離公式，所以l′的方程為2x－3y－9＝0.返回課時精練章節副標題05一、單項選擇題1.已知直線l1經過點A(2，a－1)，B(a,4)，且與直線l2：2x＋y－3＝0平行，則a等于A.－2

B.2

C.－1

D.1√12345678910111213141516123456789101112131415162.若直線ax－4y＋2＝0與直線2x＋5y＋c＝0垂直，垂足為(1，b)，則a＋b＋c等于A.－6

B.4

C.－10

D.－4√因為ax－4y＋2＝0與直線2x＋5y＋c＝0垂直，故2a－20＝0，解得a＝10，因為垂足為(1，b)，故a＋b＋c＝－4.123456789101112131415163.四邊形ABCD的四個頂點是A(3,0)，B(0,4)，C(4,7)，D(11,6)，則四邊形ABCD為A.矩形

B.菱形C.等腰梯形

D.直角梯形12345678910111213141516√∵kBC＝kAD，kAB≠kCD，∴BC∥AD，AB與CD不平行，∴四邊形ABCD為梯形，又∵kAD·kAB＝－1，∴AD⊥AB，∴四邊形ABCD為直角梯形.12345678910111213141516123456789101112131415164.在平面直角坐標系中，某菱形的一組對邊所在的直線方程分別為x－2y＋1＝0和x－2y＋3＝0，另一組對邊所在的直線方程分別為3x＋4y＋c1＝0和3x＋4y＋c2＝0，則|c1－c2|等于√因為菱形四條邊都相等，所以每條邊上的高也相等，且菱形對邊平行，1234567891011121314151612345678910111213141516√12345678910111213141516123456789101112131415166.使三條直線4x＋y－4＝0，mx＋y＝0,2x－3my－4＝0不能圍成三角形的實數m的值最多有A.3個

B.4個

C.5個

D.6個√要使三條直線不能圍成三角形，存在兩條直線平行或三條直線交于一點，若4x＋y－4＝0，mx＋y＝0平行，若mx＋y＝0，2x－3my－4＝0平行，若4x＋y－4＝0，2x－3my－4＝0平行，1234567891011121314151612345678910111213141516二、多項選擇題7.已知直線l過點P(1,2)，且點A(2,3)，B(4，－5)到直線l的距離相等，則l的方程可能是A.4x＋y－6＝0 B.x＋4y－6＝0C.3x＋2y－7＝0 D.2x＋3y－7＝0√12345678910111213141516√所以直線l的方程是y－2＝－4(x－1)，即4x＋y－6＝0；當直線l經過線段AB的中點(3，－1)時，12345678910111213141516由條件可知直線l平行于直線AB或過線段AB的中點，8.已知在以C(2,3)為直角頂點的等腰直角三角形ABC中，頂點A，B都在直線x－y＝1上，下列判斷中正確的是A.斜邊AB的中點坐標是(3,2)B.|AB|＝C.△ABC的面積等于4D.點C關于直線AB的對稱點的坐標是(4,1)√√12345678910111213141516√12345678910111213141516如圖，取AB的中點為P(x，y)，因為△ABC為以C為直角頂點的等腰直角三角形，所以CP⊥AB，即CP垂直于直線x－y＝1，則AB的中點P的坐標為(3,2)，故A正確；設點C關于直線AB的對稱點為點C1，則CC1的中點為點P，即xP＝＝3，所以

＝4，所以

＝－1，解得

＝1，即點C關于直線AB的對稱點的坐標是(4,1)，故D正確.12345678910111213141516三、填空題9.已知直線l1：2x＋y＋1＝0和直線l2：x＋ay＋3＝0，若l1⊥l2，則實數a的值為______；若l1∥l2，則l1與l2之間的距離為_____.12345678910111213141516－212345678910111213141516已知直線l1：2x＋y＋1＝0和直線l2：x＋ay＋3＝0，若l1⊥l2，則2＋a＝0，解得a＝－2；此時直線l2：2x＋y＋6＝0，顯然兩直線不重合，10.△ABC的頂點A(0，－2)，B(3,1)，C(－2,2).若AD⊥BC，垂足為點D，則點D的坐標為__________.12345678910111213141516又AD⊥BC，∴kAD＝5，∴直線AD方程為y＝5x－2，即5x－y－2＝0，123456789101112131415161234567891011121314151611.(2023·菏澤模擬)點A(5,2)到直線(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5的距離的取值范圍是__________.直線(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5可化為(x＋2y－1)m－x－y＋5＝0，所以直線過定點P(9，－4)，當點A在直線上時，點A(5,2)到直線(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5的距離的最小值為0，1234567891011121314151612.(2023·臨沂模擬)已知光線從點A(6,1)射出，到x軸上的點B后，被x軸反射到y軸上的點C，再被y軸反射，這時反射光線恰好經過點D(4,4)，則CD所在直線的方程為_____________.12345678910111213141516x－2y＋4＝0如圖，由題意知點B在原點O的右側，直線BC一定過點A(6,1)關于x軸的對稱點A′(6，－1)，且一定過點D(4,4)關于y軸的對稱點D′(－4,4)，令x＝0，則y＝2，所以C點坐標為(0,2)，12345678910111213141516四、解答題13.(1)已知點A(a,6)到直線3x－4y＝2的距離d＝4，求a的值；1234567891011121314151612345678910111213141516(2)在直線x＋3y＝0上求一點P，使它到原點O的距離與到直線x＋3y－2＝0的距離相等.設點P(－3b，b)，1234567891011121314151614.已知△ABC的頂點A(5,1)，AB邊上的中線CM所在直線方程為2x－y－5＝0，∠B的平分線BN所在直線方程為x－2y－5＝0.求：(1)頂點B的坐標；12345678910111213141516設點B(x0，y0)，由AB中點在2x－y－5＝0上，即2x0－y0－1＝0，又x0－2y0－5＝0，1234567891011