8.3動(dòng)能及動(dòng)能定理第八章機(jī)械能守恒定律探找物體動(dòng)能表達(dá)式

設(shè)質(zhì)量為m的某物體，在與運(yùn)動(dòng)方向總相同的恒力F的作用下發(fā)生一段位移s，速度由v1增加到v2，如圖所示。試尋求這個(gè)過(guò)程中力F做的功與v1、v2的關(guān)系？sFFv1v21.定義：物體由于運(yùn)動(dòng)而具有的能量，稱為物體的動(dòng)能。4.理解動(dòng)能2.表達(dá)式：3.單位：（1）動(dòng)能是標(biāo)量，只與物體的速度大小有關(guān)，與速度方向無(wú)關(guān)。（2）動(dòng)能是狀態(tài)量，v是瞬時(shí)速度。物體的動(dòng)能變化時(shí)，速度

一定變化；速度變化時(shí)，動(dòng)能不一定變化。（3）動(dòng)能具有相對(duì)性，一般都以地面為參考系研究物體的運(yùn)動(dòng)。練習(xí)：思考判斷（1）凡是運(yùn)動(dòng)的物體都具有動(dòng)能。（

）（2）動(dòng)能總是非負(fù)值。（）（3）兩個(gè)物體中，速度大的動(dòng)能也大。（

）（4）某物體的速度加倍，它的動(dòng)能也加倍。（）（5）做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體動(dòng)能保持不變。（）（6）質(zhì)量為1千克的A物體與質(zhì)量為2千克的B物體速度都為2m/s,則A相對(duì)B的動(dòng)能為2J。（）如果考慮摩擦力f，則外力做功與動(dòng)能的關(guān)系又如何呢？aSv2v1Ff功是能量轉(zhuǎn)化的量度，重力做功對(duì)應(yīng)于重力勢(shì)能的變化，彈簧彈力做功對(duì)應(yīng)于彈性勢(shì)能的變化，那么動(dòng)能和力做功有關(guān)嗎？動(dòng)能定理1.動(dòng)能定理：合外力在一個(gè)過(guò)程中對(duì)物體所做的總功，等于物體在這個(gè)過(guò)程中動(dòng)能的變化。2.表達(dá)式：合力做的功末態(tài)的動(dòng)能初態(tài)的動(dòng)能(1)因果關(guān)系：功引起物體動(dòng)能的變化。(2)數(shù)量關(guān)系：功能互求；(3)同一性：位移s與速度v相對(duì)同一參考系，通常選地面。①W＞0，Ek2__Ek1，△

Ek——0②W＜0，Ek2__Ek1，△

Ek——0＞＞＜＜3.

理解：動(dòng)能變化量合外力做正功，則物體動(dòng)能增加合外力做負(fù)功，則物體動(dòng)能減少(4)標(biāo)量性：動(dòng)能、功都是標(biāo)量，所以動(dòng)能定理表達(dá)式是標(biāo)量式。4.動(dòng)能定理的適用范圍(1)直線運(yùn)動(dòng)、曲線運(yùn)動(dòng)、恒力做功、變力做功均適用；(2)力可以是各種性質(zhì)的力,這些力既可以同時(shí)作用,又可以分階段作用，且不用考慮加速度和時(shí)間，只需考慮初末狀態(tài)，這是利用動(dòng)能定理解題的優(yōu)越性。動(dòng)能定理5.牛頓第二定律與動(dòng)能定理的對(duì)比牛頓定律動(dòng)能定理相同點(diǎn)都要確定研究對(duì)象，對(duì)物體進(jìn)行受力分析和運(yùn)動(dòng)過(guò)程分析適用條件只能研究恒力作用下物體做直線運(yùn)動(dòng)的情況對(duì)于物體在恒力或變力作用下，物體做直線運(yùn)動(dòng)或曲線運(yùn)動(dòng)均適用應(yīng)用方法要考慮運(yùn)動(dòng)過(guò)程的每一個(gè)細(xì)節(jié)，結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)公式解題只考慮各力的做功情況及初、末狀態(tài)的動(dòng)能運(yùn)算方法矢量運(yùn)算代數(shù)運(yùn)算關(guān)鍵：1.正確計(jì)算物體所受外力做的總功；2.明確物體在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中初、末狀態(tài)的動(dòng)能值。【解題步驟】

總結(jié)：動(dòng)能定理不涉及物理運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的加速度和時(shí)間，而只與物體的初末狀態(tài)有關(guān)。在處理物理問(wèn)題時(shí)，應(yīng)優(yōu)先考慮應(yīng)用動(dòng)能定理。（1）確定研究對(duì)象，通常是單個(gè)物體；（3）分析物體的受力情況（幾個(gè)力，恒力或變力），明確各力做功的情況（做功的大小和正負(fù)），并確定外力所做的總功；（4）明確初、末狀態(tài)的動(dòng)能，確定動(dòng)能的變化ΔEk；（5）根據(jù)動(dòng)能定理W總=Ek2-Ek1列方程求解；（2）明確運(yùn)動(dòng)過(guò)程，可以是某段過(guò)程，也可以是整個(gè)過(guò)程；隨堂練習(xí)

把質(zhì)量為0.5kg的石塊從10m高處以與水平方向拋出，初速度大小v0=5m/s。（不計(jì)空氣阻力）求石塊落地時(shí)的速度大小。解題思路：動(dòng)能定理解題思路：平拋運(yùn)動(dòng)變式：把質(zhì)量為0.5kg的石塊從10m高處以與水平方向成θ角斜向上拋出，初速度大小是v0=5m/s。（不計(jì)空氣阻力）求石塊落地時(shí)的速度大小。隨堂練習(xí)解：只有重力做功隨堂練習(xí)石塊落地時(shí)速度的大小與下列物理量有關(guān)（

）A．石塊的質(zhì)量

B．石塊初速度的大小C．石塊初速度的仰角D．石塊拋出時(shí)的高度答案：BD物塊沿光滑曲面下滑v

物塊沿光滑斜面下滑

解：在物塊下滑的過(guò)程中，受力如圖，根據(jù)動(dòng)能定理：mgNmgNv想一想：滑塊到達(dá)水平面時(shí)的速度大小為多少？這兩個(gè)過(guò)程中滑塊到達(dá)水平面的速度相等嗎？隨堂練習(xí)一架噴氣式飛機(jī)，質(zhì)量m為7.0×104kg，起飛過(guò)程中從靜止開(kāi)始滑跑。當(dāng)位移l達(dá)到2.5×103m時(shí)，速度達(dá)到起飛速度80m/s。在此過(guò)程中，飛機(jī)受到的平均阻力是飛機(jī)所受重力的1/50。g取10m/s2，求飛機(jī)平均牽引力的大小。F牽f阻lxov解：以飛機(jī)為研究對(duì)象，設(shè)飛機(jī)滑跑的方向?yàn)閤軸正方向。飛機(jī)的初動(dòng)能Ek1＝0，末動(dòng)能：，合力F做的功：根據(jù)動(dòng)能定理：,有：由于，把數(shù)值代入后得到：隨堂練習(xí)

動(dòng)能定理果因恒力做功直線曲線變力做功瞬時(shí)、單一過(guò)程累積、多個(gè)過(guò)程動(dòng)能定理的應(yīng)用例1.

質(zhì)量為m的小球用長(zhǎng)為L(zhǎng)的輕繩懸掛于O點(diǎn)，小球在水平拉力F的作用下，從平衡位置P很緩慢地移到Q點(diǎn)，則力F所做的功為（）A.mgLcos

B.mgL（1–cos

）C.FLsin

D.FLcos

簡(jiǎn)析：球在F方向的位移s=Lsin

力F的功WF=Fs=FLsin

?很緩慢的含義：可認(rèn)為時(shí)刻靜止所受合力時(shí)刻為0任意過(guò)程ΔEk=0由平衡條件得：F=mgtan

，故F為變力，WF=FLsin

錯(cuò)誤正確解答：本題中的變力功可由動(dòng)能定理求解.小球由P到Q，由動(dòng)能定理得：WF+WG=0即WF

–mgL（1–cos

）=0∴WF=mgL（1–cos

）B

FPQsT

T′mg變力做功問(wèn)題例2.

質(zhì)量為m的物體以初速度v0沿水平面向左開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，起始點(diǎn)A與一輕彈簧O端相距s，已知物體與水平面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，物體與彈簧相碰后，彈簧的最大壓縮量為x，重力加速度為g，則從開(kāi)始碰撞到彈簧被壓縮至最短，物體克服彈簧彈力所做的功為√變力做功問(wèn)題例3.有一半徑為r＝0.5m的粗糙半圓軌道，A與圓心O等高，有一質(zhì)量為m＝0.2kg的物塊(可視為質(zhì)點(diǎn))，從A點(diǎn)靜止滑下，滑至最低點(diǎn)B時(shí)的速度為v＝1m/s,取g＝10m/s2，下列說(shuō)法正確的是A.物塊過(guò)B點(diǎn)時(shí)，對(duì)軌道的壓力大小是0.4NB.物塊過(guò)B點(diǎn)時(shí)，對(duì)軌道的壓力大小是2.0NC.A到B的過(guò)程中，克服摩擦力做的功為0.9JD.A到B的過(guò)程中，克服摩擦力做的功為0.1J√解：在B點(diǎn)，由牛頓第二定律，F(xiàn)N－mg＝

FN＝2.4N，

由牛頓第三定律，物塊對(duì)軌道的壓力大小為2.4N.對(duì)于A到B的過(guò)程，mgr＋Wf＝

Wf＝-0.9J，克服摩擦力做功為0.9J.變力做功問(wèn)題例4.一列貨車的質(zhì)量為5.0×105kg,在平直軌道以額定功率3000kw加速行駛,當(dāng)速度由10m/s加速到所能達(dá)到的最大速度30m/s時(shí),共用了2min,則這段時(shí)間內(nèi)列車前進(jìn)的距離是多少?F0ff恒定s=1600mS變力做功問(wèn)題(與機(jī)車啟動(dòng)相結(jié)合）例5.質(zhì)量為m的汽車發(fā)動(dòng)機(jī)的功率恒為P，摩擦阻力恒為f，牽引力為F．汽車由靜止開(kāi)始，經(jīng)過(guò)時(shí)間t行駛了位移s時(shí)，速度達(dá)到最大值vm，則發(fā)動(dòng)機(jī)所做的功為（）D．E．FsABCD

A.Pt

C．B.fvmt變力做功問(wèn)題(與機(jī)車啟動(dòng)相結(jié)合）例6.運(yùn)動(dòng)員踢球的平均作用力為200N,把一個(gè)靜止的質(zhì)量為1kg的球以10m/s的速度踢出,水平面上運(yùn)動(dòng)60m后停下,則運(yùn)動(dòng)員對(duì)球做的功?如果運(yùn)動(dòng)員踢球時(shí)球以10m/s迎面飛來(lái),踢出速度仍為10m/s,則運(yùn)動(dòng)員對(duì)球做的功為多少?FS=60mvov=0變力做功問(wèn)題(瞬間力做功）例7.某人從距地面25m高處斜上拋出一小球，小球質(zhì)量100g，出手時(shí)速度大小為10m/s,落地時(shí)速度大小為16m/s，取g=10m/s2，試求：(1)人拋球時(shí)對(duì)小球做多少功？(2)小球在空中運(yùn)動(dòng)時(shí)克服阻力做功多少？v0Hv變力做功問(wèn)題(瞬間力做功）利用動(dòng)能定理分析多過(guò)程問(wèn)題例8.一鉛球從高出地面H米處由靜止自由落下，不考慮空氣阻力，落至地面后陷入地面h米深處停止，若球的質(zhì)量為m，求球在落入地面以下的過(guò)程中受到的平均阻力？fG

HhG解法一：分段列式自由下落：沙坑減速：解法二：全程列式利用動(dòng)能定理分析多過(guò)程問(wèn)題BACLαGfFN解：以木塊為對(duì)象，下滑全過(guò)程用動(dòng)能定理：初、末動(dòng)能均為零；支持力不做功；由動(dòng)能定理例9.

斜面傾角為α,長(zhǎng)為L(zhǎng),AB段光滑，BC段粗糙，AB=,質(zhì)量為m的木塊從斜面頂端無(wú)初速下滑，到達(dá)C端時(shí)速度剛好為零。求物體和BC段間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ。例10.如圖所示，質(zhì)量為1kg的木塊（可視為質(zhì)點(diǎn)）靜止在高1.2m的平臺(tái)上，木塊與平臺(tái)間的動(dòng)摩擦因數(shù)為0.2，用水平推力20N使木塊產(chǎn)生位移3m時(shí)撤去，木塊又滑行1m時(shí)飛出平臺(tái)，求木塊落地時(shí)速度的大小？s1s2利用動(dòng)能定理分析多過(guò)程問(wèn)題對(duì)全程應(yīng)用動(dòng)能定理：對(duì)每一過(guò)程，分別列動(dòng)能定理得：例11.ABCD是一條長(zhǎng)軌道，其中AB段是傾角為θ的斜面，CD段是水平的，BC段是與AB段和CD段都相切的一小段圓弧，其長(zhǎng)度可以略去不計(jì).一質(zhì)量為m的小滑塊在A點(diǎn)從靜止釋放，沿軌道滑下，最后停在D點(diǎn)，A點(diǎn)和D點(diǎn)的位置如圖1所示，現(xiàn)用一沿軌道方向的力推滑塊，使它緩緩地由D點(diǎn)回到A點(diǎn)，設(shè)滑塊與軌道間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，重力加速度為g，則推力對(duì)滑塊做的功等于√利用動(dòng)能定理分析多過(guò)程問(wèn)題（往復(fù)運(yùn)動(dòng)問(wèn)題）解：A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至D點(diǎn)，設(shè)克服摩擦力做功為WAD，由動(dòng)能定理得mgh－WAD＝0，D點(diǎn)回到A點(diǎn)，設(shè)克服摩擦力做功為WDA，滑塊從D點(diǎn)被推回A點(diǎn)由動(dòng)能定理，WF－mgh－WDA＝0WF＝2mgh由A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至D點(diǎn)，克服摩擦力做的功為從D點(diǎn)到A點(diǎn)的過(guò)程克服摩擦力做的功為＝μmgx＝μmgx★物體在A點(diǎn)由靜止沿不同的斜面下滑到平面，必靜止于B點(diǎn)，（與θ角無(wú)關(guān)）WF＝2mgh例12：質(zhì)量為m的物體以速度v豎直向上拋出，物體落回地面時(shí)，速度大小為0.75v，設(shè)物體在運(yùn)動(dòng)中所受空氣阻力大小不變，求：⑴物體運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所受阻力大小；⑵物體以初速度2v豎直拋出時(shí)最大高度；⑶若物體與地面碰撞中無(wú)機(jī)械能損失，求物體以速度v拋出到靜止的過(guò)程中通過(guò)的總路程。(1)上升：下降：(2)(3)利用動(dòng)能定理分析多過(guò)程問(wèn)題（往復(fù)運(yùn)動(dòng)問(wèn)題）動(dòng)能定理在平拋和圓周運(yùn)動(dòng)中的應(yīng)用例13.質(zhì)量為m的小球被系在輕繩的一端，在豎直平面內(nèi)做半徑為R的圓周運(yùn)動(dòng)，如圖所示，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中小球受到空氣阻力的作用，設(shè)某一時(shí)刻小球通過(guò)軌道的最低點(diǎn)，此時(shí)繩子的張力為7mg，此后小球繼續(xù)做圓周運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)半個(gè)圓周恰能通過(guò)最高點(diǎn)，則在此過(guò)程中小球克服空氣阻力所做的功為(

)

A.mgR/4

B.mgR/3

C.mgR/2

D.mgROm解：小球從最低點(diǎn)到最高點(diǎn)中，由動(dòng)能定理可得：

小球恰能通過(guò)最高點(diǎn)，由牛頓第二定律可得：

小球在最低點(diǎn)，由牛頓第二定律可得：√動(dòng)能定理在平拋和圓周運(yùn)動(dòng)中的應(yīng)用例14.質(zhì)量為m的小球(可視為質(zhì)點(diǎn))由靜止自由下落d后，沿豎直面內(nèi)的固定軌道ABC運(yùn)動(dòng)，AB是半徑為d的

光滑圓弧，BC是直徑為d的粗糙半圓弧(B是軌道的最低點(diǎn)).小球恰能通過(guò)圓弧軌道的最高點(diǎn)C.重力加速度為g，求：(1)小球運(yùn)動(dòng)到B處時(shí)對(duì)軌道的壓力大小(可認(rèn)為此時(shí)小球處在軌道AB上)；(2)小球在BC運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，摩擦力對(duì)小球做的功.根據(jù)牛頓第三定律：小球在B處對(duì)軌道的壓力FN′＝FN＝5mg.例15.一可以看成質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量m＝2kg的小球以初速度v0沿光滑的水平桌面飛出后，恰好從A點(diǎn)沿切線方向進(jìn)入圓弧軌道，BC為圓弧豎直直徑，其中B為軌道的最低點(diǎn)，C為最高點(diǎn)且與水平桌面等高，圓弧AB對(duì)應(yīng)的圓心角θ＝53°，軌道半徑R＝0.5m.已知sin53°＝0.8，cos53°＝0.6，不計(jì)空氣阻力，g取10m/s2.(1)求小球的初速度v0的大小；(2)若小球恰好能通過(guò)最高點(diǎn)C，

求在圓弧軌道上摩擦力對(duì)小球做的功。動(dòng)能定理在平拋和圓周運(yùn)動(dòng)中的應(yīng)用動(dòng)能定理與圖像結(jié)合問(wèn)題解決物理圖像問(wèn)題的基本思路:(1)觀察圖像,弄清縱坐標(biāo)、橫坐標(biāo)所對(duì)應(yīng)的物理量及圖線所表示的物理意義。(2)根據(jù)物理規(guī)律推導(dǎo)出縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)所對(duì)應(yīng)的物理量間的函數(shù)關(guān)系式。(3)將推導(dǎo)出的物理規(guī)律與數(shù)學(xué)對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)關(guān)系式相對(duì)比,找出圖線的斜率、截距、圖線的交點(diǎn)、圖線下的面積所對(duì)應(yīng)的物理意義。（4）分析解答問(wèn)題,或者利用函數(shù)圖線上的特定值代入函數(shù)關(guān)系式求物理量。圖像所圍“面積”的意義(1)v-t圖:由公式s=vt可知,v-t圖線與坐標(biāo)軸圍成的面積表示物體的位移。(2)a-t圖:由公式Δv=at可知,a-t圖線與坐標(biāo)軸圍成的面積表示物體速度的變化量。(3)F-s圖:由公式W=Fs可知,F-s圖線與坐標(biāo)軸圍成的面積表示力所做的功。(4)P-t圖:由公式W=Pt可知,P-t圖線與坐標(biāo)軸圍成的面積表示力所做的功。動(dòng)能定理與圖像結(jié)合問(wèn)題例16.物體沿直線運(yùn)動(dòng)的v