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平行四邊形的性質華師大版數學八年級下冊第十八章

平行四邊形

復習舊知問題：上節課我們學習了平行四邊形的哪些性質？平行四邊形的對邊相等.平行四邊形的對角相等.思考：平行四邊形除了以上邊和角的特征，其對角線有什么特征呢？這節課我們一起探討一下吧.平行四邊形的鄰角互補.問題：如圖,在□ABCD中,當連結對角線AC、BD相交于點O時,除平行四邊形中對邊平行且相等、對角相等外,圖中還有相等的線段嗎？并說明理由。ABCDOO發現AO=CO，BO=DO思考（1）請你用演繹推理證明這個結論？（2）你能歸納你得到的平行四邊形的性質嗎？探究新知說明已知：如圖，□ABCD的對角線AC、BD相交于點O.求證：OA=OC，OB=OD.證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥DC，AB=DC，∴∠ABD=∠CDB，∠BAO=∠DCO.∴△ABO≌△CDO.∴OA=OC，OB=OD.ABCDO平行四邊形的性質3：平行四邊形的對角線互相平分.ABCDO幾何語言∴AO=CO，BO=DO∵四邊形ABCD是□歸納總結例題解析例1如圖，?ABCD的對角線AC和BD相交于點O，△AOB的周長為15，AB＝6，那么對角線AC與BD的和是多少？解：在?ABCD中，∵AB=6,AO+BO+AB=15,∴AO+BO=15-6=9.又∵AO=OC,BO=OD(平行四邊形的對角線互相平分），∴AC+BD=2AO+2BO=2(AO+BO)=2×9=18練一練1、如圖，在□ABCD中，BC=10cm,AC=8cm,BD=14cm,（1）△BOC的周長是多少？說明理由？（2）△ABC與△DBC的周長哪個長，長多少？

ABCDO例題解析例2

如圖，□ABCD的對角線AC和BD相交于點O,EF過點O且與邊AB，CD分別相交于點E和點F.求證：OE=OF.ABCDFEO證明:∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴∠ODF=∠OBE,∠DFO=∠BEO,∴△DOF≌△BOE（AAS）,∴AB∥CD,OD=OB,∴OE=OF.思考改變直線EF的位置，OE=OF還成立嗎?練一練如圖，在□ABCD中，O是對角線AC、BD的交點，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分別為點E、F.求證：OE=OF.ABCDEFO證明：∵平行四邊形ABCD的對角線AC、BD交于一點O，∴OD=OB∵BE⊥AC，DF⊥AC∴∠AFD=∠CEB=90°又∵∠DOF=∠BOE∴△ODF≌△OBE∴OF=OE例題解析例3如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC與BD相交于點O,其周長為16，且三角形AOB的周長比三角形BOC的周長小2.求邊AB和BC的長.解：∴AB=3，BC=5.又∵△AOB的周長+2=△BOC的周長，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA=OC又∵平行四邊形ABCD的周長為16，∴AB+OA+OB+2=BC+OB+OC，即AB+2=BC.∴2(AB+BC)=16，

即4AB+4=16.練一練如圖，在□ABCD中，EF過對角線的交點O，且與邊AB、CD分別相交于點E、F，AB=4，AD=3,OF=1.3.求四邊形BCFE的周長.ABCDEFO解：∵平行四邊形ABCD的對角線交于點O，

∴BO=OD，AB//DC

∴∠EBO=∠FDO

又∠EOB=∠FOD

∴△BOE≌△DOF

∴BE=DF

∴四邊形BCFE的周長=CD+BC+2OF=9.6例4如圖,在平行四邊形ABCD中，對角線AC=21cm,BE⊥AC,垂足為點E,且BE=5cm，AD=7cm.求AD和BC之間的距離.解：設AD和BC之間的距離為x,則平行四邊形ABCD的面積等于AD?x.∵平行四邊形ABCD的面積=三角形ABC面積的2倍=AC?BE∴AD?x=AC?BE,即7x=21×5∴x=15即AD和BC之間的距離為15cm.例題解析課堂練習1.如圖，□ABCD的對角線AC、BD相交于點O，且AC+BD=16，AD=6，則△BOC的周長是（）A.10B.14C.20D.22DABCO2.若平行四邊形的對角線長分別為x和y，一邊長為12，則x和y的值可能是（）A.8和14B.10和14C.18和20D.10和36BC3.□ABCD的對角線AC、BD相交于點O，AC=8，BD=6，AD=a,則a的取值范圍是

；1＜a＜74.如圖,在ABCD中,對角線AC﹑BD相交于點O,AC+BD=20,△AOB的周長等于15,則CD=______.55.如圖，□ABCD的對角線AC與BD相交于點O，其周長為16，且△AOB的周長比△BOC的周長小2.求邊AB和BC的長.BCDAO解：∵四邊形ABCD是平行四邊形∴AO=OC∵△AOB比△BOC周長小2∴AB+2=BC∵四邊形ABCD周長為16，∴AB=3,BC=56.如圖，已知?ABCD與?EBFD的頂點A，E，F，C在一條直線上，求證：AE＝CF.證明：如圖，連結BD交AC于點O.∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA＝OC(平行四邊形的對角線互相平分)．∵四邊形EBFD是