第27頁（共27頁）2024-2025學年下學期初中數學人教版八年級期中必刷常考題之平行四邊形一．選擇題（共5小題）1．（2014?河南）如圖，?ABCD的對角線AC與BD相交于點O，AB⊥AC，若AB＝4，AC＝6，則BD的長是（）A．8 B．9 C．10 D．112．（2021?灌陽縣二模）如圖，在?ABCD中，AD＝8，點E，F分別是BD，CD的中點，則EF等于（）A．2 B．3 C．4 D．53．（2016?河北模擬）如圖，在?ABCD中，AD＝6，AB＝4，DE平分∠ADC交BC于點E，則BE的長是（）A．2 B．3 C．4 D．54．（2017?莆田模擬）平行四邊形的一條邊長是12cm，那么它的兩條對角線的長可能是（）A．8cm和16cm B．10cm和16cm C．8cm和14cm D．8cm和12cm5．（2015?綿陽）如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC，BD相交于點E，∠CBD＝90°，BC＝4，BE＝ED＝3，AC＝10，則四邊形ABCD的面積為（）A．6 B．12 C．20 D．24二．填空題（共5小題）6．（2024春?梁平區期末）如圖，在等邊三角形ABC中，BC＝6cm，射線AG∥BC，點E從點A出發沿射線AG以1cm/s的速度運動，點F從點B出發沿射線BC以2cm/s的速度運動．如果點E、F同時出發，設運動時間為t（s）當t＝s時，以A、C、E、F為頂點四邊形是平行四邊形．7．（2015?無錫）已知：如圖，AD、BE分別是△ABC的中線和角平分線，AD⊥BE，AD＝BE＝6，則AC的長等于．8．（2014?襄陽）在?ABCD中，BC邊上的高為4，AB＝5，AC＝25，則?ABCD的周長等于．9．（2015?汕尾）如圖，在?ABCD中，BE平分∠ABC，BC＝6，DE＝2，則?ABCD的周長等于．10．（2015?湖北）在?ABCD中，AD＝BD，BE是AD邊上的高，∠EBD＝20°，則∠A的度數為．三．解答題（共5小題）11．（2013?江北區校級模擬）如圖，已知?ABCD中，AE平分∠BAD交DC于E，DF⊥BC于F，交AE于G，且AD＝DF．過點D作AB的垂線，分別交AE、AB于點M、N．（1）若M為AG中點，且DM＝2，求DE的長；（2）求證：AB＝CF+DM．12．（2015?宿遷）如圖，四邊形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，AD＝1，BC＝3，E是邊CD的中點，連接BE并延長與AD的延長線相交于點F．（1）求證：四邊形BDFC是平行四邊形；（2）若△BCD是等腰三角形，求四邊形BDFC的面積．13．（2012?重慶模擬）如圖，在平行四邊形ABCD中，∠BAD、∠ABC的平分線AF、BG分別與線段CD交于點F、G，AF與BG交于點E．（1）求證：AF⊥BG，DF＝CG；（2）若AB＝10，AD＝6，AF＝8，求FG和BG的長度．14．（2020?安徽模擬）已知：如圖，在平行四邊形ABCD中，點M在邊AD上，且AM＝DM．CM、BA的延長線相交于點E．求證：（1）AE＝AB；（2）如果BM平分∠ABC，求證：BM⊥CE．15．（2022春?白堿灘區期末）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝12cm，BC＝15cm，點P自點A向D以1cm/s的速度運動，到D點即停止．點Q自點C向B以2cm/s的速度運動，到B點即停止，點P，Q同時出發，設運動時間為t（s）．（1）用含t的代數式表示：AP＝；DP＝；BQ＝；CQ＝．（2）當t為何值時，四邊形APQB是平行四邊形？（3）當t為何值時，四邊形PDCQ是平行四邊形？

2024-2025學年下學期初中數學人教版八年級期中必刷常考題之平行四邊形參考答案與試題解析題號12345答案CCABD一．選擇題（共5小題）1．（2014?河南）如圖，?ABCD的對角線AC與BD相交于點O，AB⊥AC，若AB＝4，AC＝6，則BD的長是（）A．8 B．9 C．10 D．11【考點】平行四邊形的性質；勾股定理．【答案】C【分析】利用平行四邊形的性質和勾股定理易求BO的長，進而可求出BD的長．【解答】解：∵?ABCD的對角線AC與BD相交于點O，∴BO＝DO，AO＝CO，∵AB⊥AC，AB＝4，AC＝6，∴∠BAO＝90°，OA＝3∴BO=32∴BD＝2BO＝10，故選：C．【點評】本題考查了平行四邊形的性質以及勾股定理的運用，是中考常見題型，比較簡單．2．（2021?灌陽縣二模）如圖，在?ABCD中，AD＝8，點E，F分別是BD，CD的中點，則EF等于（）A．2 B．3 C．4 D．5【考點】三角形中位線定理；平行四邊形的性質．【答案】C【分析】由四邊形ABCD是平行四邊形，根據平行四邊形的對邊相等，可得BC＝AD＝8，又由點E、F分別是BD、CD的中點，利用三角形中位線的性質，即可求得答案．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴BC＝AD＝8，∵點E、F分別是BD、CD的中點，∴EF=12BC=12故選：C．【點評】此題考查了平行四邊形的性質與三角形中位線的性質．此題比較簡單，注意掌握數形結合思想的應用．3．（2016?河北模擬）如圖，在?ABCD中，AD＝6，AB＝4，DE平分∠ADC交BC于點E，則BE的長是（）A．2 B．3 C．4 D．5【考點】平行四邊形的性質．【答案】A【分析】由四邊形ABCD是平行四邊形，可得BC＝AD＝6，CD＝AB＝4，AD∥BC，得∠ADE＝∠DEC，又由DE平分∠ADC，可得∠CDE＝∠DEC，根據等角對等邊，可得EC＝CD＝4，所以求得BE＝BC﹣EC＝2．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴BC＝AD＝6，CD＝AB＝4，AD∥BC，∴∠ADE＝∠DEC，∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠CDE，∴∠CDE＝∠DEC，∴EC＝CD＝4，∴BE＝BC﹣EC＝2．故選：A．【點評】此題考查了平行四邊形的性質、角平分線的定義與等腰三角形的判定定理．注意當有平行線和角平分線出現時，會出現等腰三角形．4．（2017?莆田模擬）平行四邊形的一條邊長是12cm，那么它的兩條對角線的長可能是（）A．8cm和16cm B．10cm和16cm C．8cm和14cm D．8cm和12cm【考點】平行四邊形的性質；三角形三邊關系．【答案】B【分析】根據平行四邊形的性質中，兩條對角線的一半和一邊構成三角形，利用三角形三邊關系判斷可知．【解答】解：A、4+8＝12，不能構成三角形，不滿足條件，故A選項錯誤；B、5+8＞12，能構成三角形，滿足條件，故B選項正確．C、4+7＜12，不能構成三角形，不滿足條件，故C選項錯誤；D、4+6＜12，不能構成三角形，不滿足條件，故D選項錯誤．故選：B．【點評】主要考查了平行四邊形中兩條對角線的一半和一邊構成三角形的性質．并結合三角形的性質解題．5．（2015?綿陽）如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC，BD相交于點E，∠CBD＝90°，BC＝4，BE＝ED＝3，AC＝10，則四邊形ABCD的面積為（）A．6 B．12 C．20 D．24【考點】平行四邊形的判定與性質；全等三角形的判定與性質；勾股定理．【答案】D【分析】根據勾股定理，可得EC的長，根據平行四邊形的判定，可得四邊形ABCD的形狀，根據平行四邊形的面積公式，可得答案．【解答】解：在Rt△BCE中，由勾股定理，得CE=BC∵BE＝DE＝3，AE＝CE＝5，∴四邊形ABCD是平行四邊形．四邊形ABCD的面積為BC?BD＝4×（3+3）＝24，故選：D．【點評】本題考查了平行四邊形的判定與性質，利用了勾股定理得出CE的長，又利用對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，最后利用了平行四邊形的面積公式．二．填空題（共5小題）6．（2024春?梁平區期末）如圖，在等邊三角形ABC中，BC＝6cm，射線AG∥BC，點E從點A出發沿射線AG以1cm/s的速度運動，點F從點B出發沿射線BC以2cm/s的速度運動．如果點E、F同時出發，設運動時間為t（s）當t＝2或6s時，以A、C、E、F為頂點四邊形是平行四邊形．【考點】平行四邊形的判定；一元一次方程的應用．【專題】動點型．【答案】見試題解答內容【分析】分別從當點F在C的左側時與當點F在C的右側時去分析，由當AE＝CF時，以A、C、E、F為頂點四邊形是平行四邊形，可得方程，解方程即可求得答案．【解答】解：①當點F在C的左側時，根據題意得：AE＝tcm，BF＝2tcm，則CF＝BC﹣BF＝6﹣2t（cm），∵AG∥BC，∴當AE＝CF時，四邊形AECF是平行四邊形，即t＝6﹣2t，解得：t＝2；②當點F在C的右側時，根據題意得：AE＝tcm，BF＝2tcm，則CF＝BF﹣BC＝2t﹣6（cm），∵AG∥BC，∴當AE＝CF時，四邊形AEFC是平行四邊形，即t＝2t﹣6，解得：t＝6；綜上可得：當t＝2或6s時，以A、C、E、F為頂點四邊形是平行四邊形．故答案為：2或6．【點評】此題考查了平行四邊形的判定．此題難度適中，注意掌握分類討論思想、數形結合思想與方程思想的應用．7．（2015?無錫）已知：如圖，AD、BE分別是△ABC的中線和角平分線，AD⊥BE，AD＝BE＝6，則AC的長等于952【考點】三角形中位線定理；勾股定理．【專題】計算題；壓軸題．【答案】見試題解答內容【分析】過D點作DF∥BE，則DF=12BE，F為EC中點，在Rt△ADF中求出AF的長度，根據已知條件易知G為AD中點，因此E為AF中點，則AC=【解答】解：過D點作DF∥BE，∵AD是△ABC的中線，AD⊥BE，∴F為EC中點，AD⊥DF，∵AD＝BE＝6，則DF＝3，AF=AD2∵BE是△ABC的角平分線，AD⊥BE，∴△ABG≌△DBG，∴G為AD中點，∴E為AF中點，∴AC=32AF=3故答案為：95【點評】本題考查了三角形中線和角平分線的性質以及勾股定理的應用，作出輔助線構建直角三角形是解題的關鍵．8．（2014?襄陽）在?ABCD中，BC邊上的高為4，AB＝5，AC＝25，則?ABCD的周長等于12或20．【考點】平行四邊形的性質．【專題】分類討論；矩形菱形正方形．【答案】見試題解答內容【分析】根據題意分別畫出圖形，BC邊上的高在平行四邊形的內部和外部，進而利用勾股定理求出即可．【解答】解：如圖1所示：∵在?ABCD中，BC邊上的高為4，AB＝5，AC＝25，∴EC=AC2-AE2=BE=AB∴BC＝BE+CE＝3+2＝5，∴AD＝BC＝5，∴?ABCD的周長等于：5+5+5+5＝20，如圖2所示：∵在?ABCD中，BC邊上的高為4，AB＝5，AC＝25，∴EC=AC2-AE2=BE=AB∴BC＝3﹣2＝1，∴?ABCD的周長等于：1+1+5+5＝12，則?ABCD的周長等于12或20．故答案為：12或20．【點評】此題主要考查了平行四邊形的性質以及勾股定理等知識，利用分類討論得出BC的值是解題關鍵．9．（2015?汕尾）如圖，在?ABCD中，BE平分∠ABC，BC＝6，DE＝2，則?ABCD的周長等于20．【考點】平行四邊形的性質．【答案】見試題解答內容【分析】根據四邊形ABCD為平行四邊形可得AE∥BC，根據平行線的性質和角平分線的性質可得出∠ABE＝∠AEB，繼而可得AB＝AE，然后根據已知可求得結果．【解答】解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AE∥BC，AD＝BC，AB＝CD，∴∠AEB＝∠EBC，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBC，∴∠ABE＝∠AEB，∴AB＝AE，∴AE+DE＝AD＝BC＝6，∴AE+2＝6，∴AE＝4，∴AB＝CD＝4，∴?ABCD的周長＝4+4+6+6＝20，故答案為：20．【點評】本題考查了平行四邊形的性質，解答本題的關鍵是根據平行線的性質和角平分線的性質得出∠ABE＝∠AEB．10．（2015?湖北）在?ABCD中，AD＝BD，BE是AD邊上的高，∠EBD＝20°，則∠A的度數為55°或35°．【考點】平行四邊形的性質．【專題】壓軸題．【答案】見試題解答內容【分析】首先求出∠ADB的度數，再利用三角形內角和定理以及等腰三角形的性質，得出∠A的度數．【解答】解：情形一：當E點在線段AD上時，如圖所示，∵BE是AD邊上的高，∠EBD＝20°，∴∠ADB＝90°﹣20°＝70°，∵AD＝BD，∴∠A＝∠ABD=180°-70°2情形二：當E點在AD的延長線上時，如圖所示，∵BE是AD邊上的高，∠EBD＝20°，∴∠BDE＝70°，∵AD＝BD，∴∠A＝∠ABD=12∠BDE=12故答案為：55°或35°．【點評】此題主要考查了平行四邊形的性質以及等腰三角形的性質等知識，得出∠ADB的度數是解題關鍵．三．解答題（共5小題）11．（2013?江北區校級模擬）如圖，已知?ABCD中，AE平分∠BAD交DC于E，DF⊥BC于F，交AE于G，且AD＝DF．過點D作AB的垂線，分別交AE、AB于點M、N．（1）若M為AG中點，且DM＝2，求DE的長；（2）求證：AB＝CF+DM．【考點】平行四邊形的性質；全等三角形的判定與性質．【專題】壓軸題．【答案】見試題解答內容【分析】（1）由?ABCD中，AE平分∠BAD交DC于E，DF⊥BC，易證得∠DMG＝∠DGM，求得DG＝DM＝2，由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊上的一半，求得AG的長，繼而求得DE的長；（2）此題有多種解法，通過構造不同的直角三角形，找到相應的全等三角形，在根據對應邊和對應角相等，即可推出結論．【解答】解：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠BAE＝∠DEA，∵AE平分∠BAD，∴∠DAE＝∠DEA，∴DE＝AD，∵DF⊥BC，∴DF⊥AD，∵M為AG中點，∴AG＝2DM＝4，∵DN⊥CD，∴∠ADM+∠MDG＝∠MDG+∠EDG，∴∠ADM＝∠EDG，∴∠DAE+∠ADM＝∠DEA+∠EDG，即∠DMG＝∠DGM，∴DG＝DM＝2，在Rt△ADG中，DE＝AD=A（2）證法一：過點A作AD的垂線交DN的延長線于點H，在△ADH和△FDC中，∠ADH∴△DAH≌△DFC（ASA），∴AH＝FC，DH＝DC，∵DF⊥AD，∴AH∥DF，∴∠HAM＝∠DGM，∵∠AMH＝∠DMG，∠DMG＝∠DGM，∴∠HAM＝∠HMA，∴AH＝MH，∴MH＝CF，∴AB＝CD＝DH＝MH+DM＝CF+DM．證法二：延長MD到點P，使DP＝CF，連接PE由（1）知AD＝DE，又AD＝DF，∴DF＝DE，∠DFC＝∠EDP＝90°∴Rt△DCF≌Rt△EPD，∴DC＝EP，∠CDF＝∠PED∴PE∥DF，∴∠PEA＝∠DGA，由（1）得∠DGA＝∠DME，∴∠PEA＝∠DME∴PM＝PE，而PM＝DM+DP＝DM+CF，PE＝CD＝AB，∴AB＝DM+FC．證法三：過點A作AH⊥CB于點H，易證△ABH≌△DCF，從而證得四邊形AHFD為正方形．把△ADG繞點A順時針旋轉90°，得△AHP，∠AHP＝∠AHB＝90°∴P、H、B三點共線∵AE平分∠BAD，∴∠1＝∠2，而∠2＝∠HAP，∴∠HAB+∠1＝∠HAB+∠HAP，即∠HAG＝∠PAB∵AH∥DF，∴∠HAG＝∠DGA而∠DGA＝∠APB∴∠PAB＝∠APB∴AB＝PB∵PB＝PH+HB＝DG+FC∴AB＝DM+FC．證法四：在DC上截取DP＝DM，連接PF，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD∴∠BAE＝∠DEA，而∠BAE＝∠DAE，∴∠DAE＝∠DEA?DA＝DE，又∠ADF＝∠MDE＝90°，∴∠ADM＝∠EDG，∴△ADM≌△EDG，∴DM＝DG，∴DG＝DP，又AD＝DF，∴DF＝DE，而∠PDF＝∠FDP，∴△PDF≌△GDE，∴∠DPF＝∠DGE，∠DFP＝∠DEG，∴∠CPF＝∠DGM，∵∠DFP+∠CFP＝∠DEG+∠DMG＝90°，∴∠CFP＝∠DMG，而∠DMG＝∠DGM，∴∠CFP＝∠CPF?CF＝CP，而CD＝DP+CP＝DM+CF，AB＝CD，∴AB＝DM+CF．【點評】此題考查了平行四邊形的性質、全等三角形的判定、等腰三角形的判定與性質與性質以及勾股定理．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數形結合思想的應用．12．（2015?宿遷）如圖，四邊形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，AD＝1，BC＝3，E是邊CD的中點，連接BE并延長與AD的延長線相交于點F．（1）求證：四邊形BDFC是平行四邊形；（2）若△BCD是等腰三角形，求四邊形BDFC的面積．【考點】平行四邊形的判定與性質；等腰三角形的性質．【專題】證明題．【答案】見試題解答內容【分析】（1）根據同旁內角互補兩直線平行求出BC∥AD，再根據兩直線平行，內錯角相等可得∠CBE＝∠DFE，然后利用“角角邊”證明△BEC和△FCD全等，根據全等三角形對應邊相等可得BE＝EF，然后利用對角線互相平分的四邊形是平行四邊形證明即可；（2）分①BC＝BD時，利用勾股定理列式求出AB，然后利用平行四邊形的面積公式列式計算即可得解；②BC＝CD時，過點C作CG⊥AF于G，判斷出四邊形AGCB是矩形，再根據矩形的對邊相等可得AG＝BC＝3，然后求出DG＝2，利用勾股定理列式求出CG，然后利用平行四邊形的面積列式計算即可得解；③BD＝CD時，BC邊上的中線應該與BC垂直，從而得到BC＝2AD＝2，矛盾．【解答】（1）證明：∵∠A＝∠ABC＝90°，∴BC∥AD，∴∠CBE＝∠DFE，在△BEC與△FED中，∠CBE∴△BEC≌△FED，∴BE＝FE，又∵E是邊CD的中點，∴CE＝DE，∴四邊形BDFC是平行四邊形；（2）①BC＝BD＝3時，由勾股定理得，AB=BD2所以，四邊形BDFC的面積＝3×22=62②BC＝CD＝3時，過點C作CG⊥AF于G，則四邊形AGCB是矩形，所以，AG＝BC＝3，所以，DG＝AG﹣AD＝3﹣1＝2，由勾股定理得，CG=C所以，四邊形BDFC的面積＝3×5=3③BD＝CD時，BC邊上的中線應該與BC垂直，從而得到BC＝2AD＝2，矛盾，此時不成立；綜上所述，四邊形BDFC的面積是62或35．【點評】本題考查了平行四邊形的判定與性質，等腰三角形的性質，全等三角形的判定與性質，（1）確定出全等三角形是解題的關鍵，（2）難點在于分情況討論．13．（2012?重慶模擬）如圖，在平行四邊形ABCD中，∠BAD、∠ABC的平分線AF、BG分別與線段CD交于點F、G，AF與BG交于點E．（1）求證：AF⊥BG，DF＝CG；（2）若AB＝10，AD＝6，AF＝8，求FG和BG的長度．【考點】平行四邊形的判定與性質；勾股定理．【專題】壓軸題．【答案】見試題解答內容【分析】（1）由在平行四邊形ABCD中，∠BAD、∠ABC的平分線AF、BG分別與線段CD交于點F、G，易求得2∠BAF+2∠ABG＝180°，即可得∠AEB＝90°，證得AF⊥BG，易證得△ADF與△BCG是等腰三角形，即可得AD＝DF，BC＝CG，又由AD＝BC，即可證得DF＝CG；（2）由（1）易求得DF＝CG＝6，CD＝AB＝10，即可求得FG的長；過點B作BH∥AF交DC的延長線于點H，易證得四邊形ABHF為平行四邊形，即可得△HBG是直角三角形，然后利用勾股定理，即可求得BG的長．【解答】（1）證明：∵AF平分∠BAD，∴∠DAF＝∠BAF=12∠∵BG平分∠ABC，∴∠ABG＝∠CBG=12∠∵四邊形ABCD平行四邊形，∴AD∥BC，AB∥CD，AD＝BC，∴∠BAD+∠ABC＝180°，即2∠BAF+2∠ABG＝180°，∴∠BAF+∠ABG＝90°．∴∠AEB＝180°﹣（∠BAF+∠ABG）＝180°﹣90°＝90°．∴AF⊥BG；∵AB∥CD，∴∠BAF＝∠AFD，∴∠AFD＝∠DAF，∴DF＝AD，∵AB∥CD，∴∠ABG＝∠CGB，∴∠CBG＝∠CGB，∴CG＝BC，∵AD＝BC．∴DF＝CG；（2）解：∵DF＝AD＝6，∴CG＝DF＝6．∴CG+DF＝12，∵四邊形ABCD平行四邊形，∴CD＝AB＝10．∴10+FG＝12，∴FG＝2，過點B作BH∥AF交DC的延長線于點H．∴∠GBH＝∠AEB＝90°．∵AF∥BH，AB∥FH，∴四邊形ABHF為平行四邊形．∴BH＝AF＝8，FH＝AB＝10．∴GH＝FG+FH＝2+10＝12，∴在Rt△BHG中：BG=G∴FG的長度為2，BG的長度為45．【點評】此題考查了平行四邊形的判定與性質、等腰三角形的判定與性質、垂直的定義以及勾股定理等知識．此題綜合性較強，難度較大，注意掌握數形結合思想的應用，注意掌握輔助線的作法．14．（2020?安徽模擬）已知：如圖，在平行四邊形ABCD中，點M在邊AD上，且AM＝DM．CM、BA的延長線相交于點E．求證：（1）AE＝AB；（2）如果BM平分∠ABC，求證：BM⊥CE．【考點】平行四邊形的性質；全等三角形的判定與性質；等腰三角形的判定與性質．【專題】幾何圖形問題；證明題；數形結合．【答案】見試題解答內容【分析】（1）由在平行四邊形ABCD中，AM＝DM，易證得△AEM≌△DCM（AAS），即可得AE＝CD＝AB；（2）由BM平分∠ABC，易證得△BCE是等腰三角形，根據等腰三角形三線合一的性質可得出結論．【解答】證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠E＝∠DCM，在△AEM和△DCM中，∠E∴△AEM≌△DCM（AAS），∴AE＝CD，∴AE＝AB；（2）∵BM平分∠ABC，∴∠ABM＝∠CBM，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠CBM＝∠AMB，∴∠ABM＝∠AMB，∴AB＝AM，∵AB＝AE，AM＝DM，∴點M是AD的中點，∴BC＝2AM，∴BC＝BE，∴△BCE是等腰三角形．∵BM平分∠ABC，∴BM⊥CE．【點評】此題考查了平行四邊形的性質、全等三角形的判定與性質以及直角三角形的判定．此題難度適中，注意掌握數形結合思想的應用．15．（2022春?白堿灘區期末）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝12cm，BC＝15cm，點P自點A向D以1cm/s的速度運動，到D點即停止．點Q自點C向B以2cm/s的速度運動，到B點即停止，點P，Q同時出發，設運動時間為t（s）．（1）用含t的代數式表示：AP＝t；DP＝12﹣t；BQ＝15﹣2t；CQ＝2t．（2）當t為何值時，四邊形APQB是平行四邊形？（3）當t為何值時，四邊形PDCQ是平行四邊形？【考點】平行四邊形的判定．【專題】動點型．【答案】見試題解答內容【分析】（1）根據速度、路程以及時間的關系和線段之間的數量關系，即可求出AP，DP，BQ，CQ的長（2）當AP＝BQ時，四邊形APQB是平行四邊形，建立關于t的一元一次方程方程，解方程求出符合題意的t值即可；（3）當PD＝CQ時，四邊形PDCQ是平行四邊形；建立關于t的一元一次方程方程，解方程求出符合題意的t值即可．【解答】解：（1）t，12﹣t，15﹣2t，2t（2）根據題意有AP＝tcm，CQ＝2tcm，PD＝（12﹣t）cm，BQ＝（15﹣2t）cm．∵AD∥BC，∴當AP＝BQ時，四邊形APQB是平行四邊形．∴t＝15﹣2t，解得t＝5．∴t＝5s時四邊形APQB是平行四邊形；（3）由AP＝tcm，CQ＝2tcm，∵AD＝12cm，BC＝15cm，∴PD＝AD﹣AP＝（12﹣t）cm，如圖1，∵AD∥BC，即PD∥CQ，∴當PD＝QC時，四邊形PDCQ是平行四邊形．即：12﹣t＝2t，解得t＝4s，∴當t＝4s時，四邊形PDCQ是平行四邊形．【點評】本題考查了平行四邊形的判定和性質的應用，題目是一道綜合性比較強的題目，難度適中，解題的關鍵是把握“化動為靜”的解題思想．

考點卡片1．一元一次方程的應用（一）一元一次方程解應用題的類型有：（1）探索規律型問題；（2）數字問題；（3）銷售問題（利潤＝售價﹣進價，利潤率=利潤進價×100%）；（4）工程問題（①（5）行程問題（路程＝速度×時間）；（6）等值變換問題；（7）和，差，倍，分問題；（8）分配問題；（9）比賽積分問題；（10）水流航行問題（順水速度＝靜水速度+水流速度；逆水速度＝靜水速度﹣水流速度）．（二）利用方程解決實際問題的基本思路如下：首先審題找出題中的未知量和所有的已知量，直接設要求的未知量或間接設一關鍵的未知量為x，然后用含x的式子表示相關的量，找出之間的相等關系列方程、求解、作答，即設、列、解、答．列一元一次方程解應用題的五個步驟1．審：仔細審題，確定已知量和未知量，找出它們之間的等量關系．2．設：設未知數（x），根據實際情況，可設直接未知數（問什么設什么），也可設間接未知數．3．列：根據等量關系列出方程．4．解：解方程，求得未知數的值．5．答：檢驗未知數的值是否正確，是否符合題意，完整地寫出答句．2．三角形三邊關系（1）三角形三邊關系定理：三角形兩邊之和大于第三邊．（2）在運用三角形三邊關系判定三條線段能否構成三角形時并不一定要列出三個不等式，只要兩條較短的線段長度之和大于第三條線段的長度即可判定這三條線段能構成一個三角形．（3）三角形的兩邊差小于第三邊．（4）在涉及三角形的邊長或周長的計算時，注意最后要用三邊關系去檢驗，這是一個隱藏的定時炸彈，容易忽略．3．全等三角形的判定與性質（1）全等三角形的判定是結合全等三角形的性質證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關鍵是選擇恰當的判定條件．（2）在應用全等三角形的判定時，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當輔助線構造三角形．4．等腰三角形的性質（1）等腰三角形的概念有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性質①等腰三角形的兩腰相等②等腰三角形的兩個底角相等．【簡稱：等邊對等角】③等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合．【三線合一】（3）在①等腰；②底邊上的高；③底邊上的中線；④頂角平分線．以上四個元素中，從中任意取出兩個元素當成條件，就可以得到另外兩個元素為結論．5．等腰三角形的判定與性質1、等腰三角形提供了好多相等的線段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是證明線段相等、角相等的