專題02坐標系中的循環周期問題（選擇壓軸）

1.如圖，已知點〃的坐標為（1,0）,將點兄繞著原點。按逆時針方向旋轉30。得到點片，

延長。4到鳥，使得。2=2。＜；再將點心繞著原點。按逆時針方向旋轉30。得到。A,延

長到2,使得。△=2。4……如此繼續下去，點2哨坐標為（）

y

4

2

OPQ

X

A.(-21010,^-21010)B.(O,21011)

C.(21010,^-2101(l)D.(>/3.21010,21010)

2.如圖，已知菱形OABC的頂點O(0,0),B(2,2),若菱形繞點0逆時針旋轉，每秒旋

轉45。，則第60秒時，菱形的對角線交點D的坐標為()

A.(1,-1)B.(-1,-1)C.(及，0)D.(0,-&)

3.在平面直角坐標系中，若干個半徑為1個單位長度，圓心角為60。的扇形組成一條連續

的曲線，點尸從原點。出發，沿這條曲線向右上下起伏運動，尸點在直線上的速度為1個

A.(1011,0)B,1010,^-C.1011,-^-D.1010,-

4.如圖所示，在平面直角坐標系中，將點/(-1,0)做如下的連續平移，A(-1,0)玲4

(-1,1)好山(2,1)玲4(2,-4)玲兒(-5,-4)-4J(-5,5)按此規律平移下去，

則出破的點坐標是()

y

A5(-5,5)

(LD小4(2,1)

(-1,0)AO

4(-5,-4)4(2,-4)

A.(100,101)B.(101,100)C.(102,101)D.(103,102)

5.如圖，在一單位為1的方格紙上，△A【A2』3,^A3A4A5,^A5A6A7...,都是斜邊在x軸上,

斜邊長分別為2,4,6,...的等腰直角三角形，若4/2/3的頂點坐標分別為4(2,0),A2(l,

-1),出(0，0),則依圖中所示規律，加切的坐標為()

A.(2,1010)B.(2,1011)C.(1,-1010)D.(1,-1011)

6.如圖，邊長為4的等邊"LBC,AC邊在x軸上，點8在,軸的正半軸上，以為邊作

等邊，邊與AB交于點O],以。出為邊作等邊△。|即，邊a4與AB交于點o2,

以QB為邊作等邊，邊。24與交于點。3,L,依此規律繼續作等邊△。,1即,,

則4021的橫坐標

7.如圖，已知AJ1,0),A2(1,1),A3(-l,1),A4(-l,-1),A5(2,-1)...,則A2021的坐標

是.

40

A10

_________________.^6

43____A2

?<~>

-3~~OAl~4x

“445

4—24

8.如圖，已知正方形ABC。的對角線AC,8。相交于點M,頂點A,B,C的坐標分別

為(1,3),(1,1),(3,1),規定"把正方形A5CD先沿x軸翻折，再向右平移1個單位”為一次變

換，如此這樣，連續經過2020次變換后，點M的坐標變為.

9.如圖，在平面直角坐標系xQy中，正方形Q4BC的頂點A、C分別在x,y軸上，且

AO=\.將正方形Q4BC繞原點。順時針旋轉90。，且4。=240,得到正方形。4片￡，再

將正方OA耳G繞原點。順時針旋轉90。，且4。=240,得到正方形04星C2，以此規律,

10.如圖所示，一個機器人從。點出發，向正東方向走3m到達A點，再向正北方向走6m到

達4點，再向正西方向走9m到達4點，再向正南方向走12m到達&4點，再向正東方向走

15m到達4點，按照此規律走下去，相對于點。，機器人走到&時，點兒的坐標是

11.如圖，在平面直角坐標系中，將邊長為1的正方形0/3C繞點順時針旋轉45°后得到

正方形依此方式，繞點。連續旋轉2022次得到正方形。出必班022c2期，那么點

臺2022的坐標是

12.如圖，在平面直角坐標系中放置一菱形Q4BC,已知NABC=60。，點B在＞軸上，OA=1,

先將菱形沿x軸的正方向無滑動翻轉，每次翻轉60。，連續翻轉2022次，點8的落點

依次為耳，B2,B3,…,則%)22的橫坐標為

13.如圖，在平面直角坐標系中有一邊長為1的正方形。A8C,邊CM、OC分別在x軸、y

軸上，如果以對角線。2為邊作第二個正方形再以對角線。片為邊作第三個正方形

OB,B2C2......照此規律作下去，則。與g的長為

專題02坐標系中的循環周期問題（選擇壓軸）

1.如圖，已知點心的坐標為（1,0）,將點綜繞著原點。按逆時針方向旋轉30。得到點片,

延長。片到乙，使得。乙=2。4；再將點鳥繞著原點。按逆時針方向旋轉30。得到。鳥，延

長。鳥到乙，使得。舄=2。4......如此繼續下去，點2必坐標為（）

B.(0,21011)

1010^，1010)10101010

C.(22D.(73.2,2)

【答案】A

【分析】由題意可得。4=1,。《=。4=1,。6=。￡=2。々=2|=2,

。舄=O4=20心=22=4,可以推出0P2n=。&+|=2"(〃=0,1,2...),則。"==。/必=2叫

再由每經過24個點就落到x正半軸上,推出鳥儂在第二象限，且與了軸正半軸的夾角為30。，

再由含30度角的直角三角形的性質進行求解即可.

【詳解】解:"(1,0),

回。痣=1,

回oq=0%=1,

回04=0鳥=204=21=2,

回。舄=。4=2。6=2?=4,

回可以推出。&=。&+1=2"(77=0,1,2...)

回。R023=。&22=21011,

回外在X軸正半軸，4在y軸正半軸，匕在無軸負半軸，片8在V軸負半軸，舄4在無正半軸，

以在直線。巴上，

團每經過24個點就落到x正半軸上，

回2022+24=84余6,

回點心叫是第85循環組的第7個點，在第二象限，與y軸正半軸的夾角為30。，

回鼻⑼的橫坐標為：=-10^023=-1x210"=-210，°,

縱坐標y=J。*—=y/(21011)2-(-21010)2=6?1010,

即取23卜2⑼。，石-2皿°),故A正確.

故選：A.

【我思故我在】本題主要考查了旋轉的性質，點坐標的規律探索，含30度角的直角三角形

的性質，坐標與圖形，解題的關鍵在于能夠熟練掌握相關知識進行求解.

2.如圖，已知菱形OABC的頂點0(0,0),B(2,2),若菱形繞點。逆時針旋轉，每秒旋

轉45。，則第60秒時，菱形的對角線交點D的坐標為()

A.(1,-1)B.(-1,-1)C.(0,0)D.(0,-V2)

【答案】B

【詳解】試題分析：根據已知條件0(0,0),B(2,2),可求得D(1,1),OB與x軸、y軸的

交角為45。，當菱形繞點。逆時針旋轉，每秒旋轉45。，時，8秒可旋轉到原來的位置，因

60+8=7….4,所以第60秒時是第8循環的地上個位置，這時點D的坐標原來位置點D的坐

標關于原點對稱，所以為(-1,-1),故答案選B.

考點：規律探究題.

3.在平面直角坐標系中，若干個半徑為1個單位長度，圓心角為60。的扇形組成一條連續

的曲線，點P從原點。出發，沿這條曲線向右上下起伏運動，P點在直線上的速度為1個

【答案】A

【分析】設第〃秒運動到P"("為自然數)點，根據點尸的運動規律找出部分Pn點的坐標，

根據坐標的變化找出變化規律，依此規律即可得出結論.

【詳解】解：設第〃秒運動到P"("為自然數點)

觀察，發現規律：吟亭，8(10)，門弓，-亭，片(2,0),皆,爭，…

-P(4”+1昌pf4n+2(4n+3百)4n+4-

,,Mzi+P—2-，~2>'々"+2、—2—一2-'-三-^'41+八—Q-

???2022=4x505+2

鳥022為(1011,0)

故選：A

【我思故我在】本題主要考查了規律型中的點的坐標，解題的關鍵是找出變化規律，并加以

運用.

4.如圖所示，在平面直角坐標系中，將點/(-1,0)做如下的連續平移，A(-1,0)-4

(-1,1)好山(2,1)玲4(2,-4)玲兒(-5,-4)玲兒(-5,5)按此規律平移下去，

則出破的點坐標是()

A5(-5,5)

(ID/-4(2,1)

(-1,0)AO~

A.(-5,-4)43(2,-4)

A.(100,101)B.(101,100)C.(102,101)D.(103,102)

【答案】C

【分析】根據題意可知，點/平移時每4次為一個周期，由102+4=25???2,可知點4破的

坐標與小"+2的點的坐標規律相同，分別求出42,A6,小。的坐標，找出規律，進而求解即

可.

【詳解】解：由題意可知，將點/(-1,0)向上平移1個單位長度得到4(-1,1),再向

右平移3個單位長度得到(2,1),再向下平移5個單位長度得到(2,-4),再向左平

移7個單位長度得到4(-5,-4)；再向上平移9個單位長度得到4(-5,5)

圉點A平移時每4次為一個周期.

回102+4=25?22,

回點A102的坐標與A4n+2的點的坐標規律相同.

<SA2(2,1),A6(6,5),Aio(10,9),

以此類推，

的/+2(4〃+2,4〃+1),

的”2的點坐標是(102,101).

故選：C.

【我思故我在】本題考查了規律型：點的坐標.分析題意得出點/平移時每4次為一個周

期，進而得到點AI02的坐標與4〃+2的點的坐標規律相同是解題的關鍵.

5.如圖，在一單位為1的方格紙上，△//小血，^A3A4A5,△出//7…，都是斜邊在x軸上,

斜邊長分別為2,4,6,...的等腰直角三角形，若小4^3的頂點坐標分別為4(2,0),A2(l,

-1),A3(0,0),則依圖中所示規律，出m的坐標為()

A.(2,1010)B.(2,1011)C.(1,-1010)D.(1,-1011)

【答案】D

【分析】根據下標確定出下標為偶數時的點的坐標，得到規律：當下標是2、6、10...時，橫

坐標為1,縱坐標為下標的一半的相反數，當下標是4、8、12....時，橫坐標是2,縱坐標

為下標的一半，然后確定出第2022個點的坐標即可.

【詳解】解：觀察點的坐標變化發現：

當下標為偶數時的點的坐標，得到規律：

當下標是2、6、10...時，橫坐標為1,縱坐標為下標的一半的相反數，

當下標是4、8、12....時，橫坐標是2,縱坐標為下標的一半，

因為2022+4=505...2,

所以橫坐標為1,縱坐標為=-ion,

故選：D.

【我思故我在】本題是對點的坐標變化規律的考查，根據2022是偶數，求出點的下標是偶

數時的變化規律是解題的關鍵.

6.如圖，邊長為4的等邊ULBC,AC邊在x軸上，點B在y軸的正半軸上，以為邊作

等邊,邊。4與AB交于點a,以0出為邊作等邊△()&&，邊與A,B交于點,

以0國為邊作等邊△0/4，邊。2&與&B交于點Q,L,依此規律繼續作等邊△0,-84,

則A021的橫坐標.

【分析】根據正三角形與旋轉的特點得到旋轉12次為一個循環，故可求出4()21的橫坐標.

【詳解】解：配L4BC是正三角形，BO^AC

^ABO=30°

同理NABA=NAB%==ZA^BA4=30°,

360°^30°=12,

回4的橫坐標旋轉12次為一個循環，

回2021+12=168…5,

回A2021與A在同一直線上，即y軸上，

回A2021的橫坐標為0.

故答案為：0.

【我思故我在】此題主要考查坐標的旋轉變換，解題的關鍵是根據圖形的特點找到變換規律.

7.如圖,已知A/1,0),A2(l,1),A3(-l,1),A4(-l,-1),A5(2,-1)...,則A2cBi的坐標

是.

4”

4i

A10

，7_________________

43____A2

?-?~>

-3~~OA1~4x

“445

4-24

【答案】(506,-505)

【分析】根據題意可得各個點分別位于象限的角平分線上（Ai和第四象限內的點除外），逐

步探索出下標和個點坐標之間的關系，總結出規律，根據規律推理點A2021的坐標.

【詳解】解：通過觀察可得數字是4的倍數的點在第三象限，

回2021+4=505...1,

國點A2021在第四象限，縱坐標為-505,橫坐標為505+1=506,

EIA2021的坐標是（506,-505）.

故答案為（506,-505）.

【我思故我在】本題考查規律型-點的坐標，解題的關鍵是注意觀察，尋找規律，利用規律

解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題.

8.如圖，已知正方形ABCD的對角線AC,50相交于點頂點A,B,C的坐標分別

為（1,3）,（1,1）,（3,1）,規定"把正方形ABCD先沿x軸翻折，再向右平移1個單位"為一次變

換，如此這樣，連續經過2020次變換后，點/的坐標變為.

【答案】（2022,2）

【分析】根據正方形的性質和中點坐標公式求出點M坐標，然后根據軸對稱與平移坐標變

換特征總結出點M坐標變換規律：第〃次變換后點/的對應點的坐標為：當”為奇數時，

（2+〃,-2）,當"為偶數時，（2+%2）,根據規律求解即可.

【詳解】解：?.?正方形ABC。，頂點4（1,3）,5（1,1）,C（3,l）,

???對角線交點/坐標為（2,2）.

根據翻折與平移的性質，

第1次變換后點M的對應點的坐標為（2+1,-2）,即（3,-2）；

第2次變換后點M的對應點的坐標為（2+2,2）,即（4,2）；

第3次變換后點M的對應點的坐標為（2+3,-2）,即（5,-2）；

第?次變換后點M的對應點的坐標為：

當〃為奇數時，點/的坐標為（2+-2）；

當〃為偶數時，點/的坐標為（2+,,2）,

???連續經過2020次變換后，

點"的對應點的坐標為（2020+2,2）,即（2022,2）.

故答案為：（2022,2）.

【我思故我在】此題主要考查坐標的變換，解題的關鍵是根據題意找到變換的規律進行求解.

9.如圖，在平面直角坐標系xQy中，正方形Q4BC的頂點A、C分別在x,y軸上，且

AO=].將正方形。45C繞原點。順時針旋轉90。，且4。=240,得到正方形OA瓦G，再

將正方月G繞原點。順時針旋轉90。，且得到正方形星Cz，以此規律，

得到正方形922019c2019,則點B2019的坐標為.

【答案】（-22。匕2刈9）

【分析】根據題意得出B點坐標變化規律，進而得出與39的坐標位置即可.

【詳解】解：回四邊形0ABe正方形，且49=1,

配點的坐標為（1,1）,

將正方形OABC繞原點O順時針旋轉90°,且A1O=2AO,得到正方形片G，

此時Bi的坐標為（2,-2）,

再將正方片G繞原點。順時針旋轉90。，且A0=2A。，得到正方形。4222c”

此時B2的坐標為（4-4）,

依次類推得B3的坐標為（-8,8）,B4的坐標為（16,16）,

團每四次循環一周，

2019+4=504...3,

回點B2019與B3同在一個象限內，

0-4=-22,8=23,16=2%

回點B2019的坐標為（-22019,22019）,

故答案為：（一22019,22019）.

【我思故我在】本題考查了規律的探索，根據題意總結出規律是解題關鍵.

10.如圖所示，一個機器人從。點出發，向正東方向走3m到達A點，再向正北方向走6m到

達4點，再向正西方向走9m到達4點，再向正南方向走12m到達4點，再向正東方向走

15m到達4點，按照此規律走下去，相對于點。，機器人走到&時，點4的坐標是,

點AO22的坐標是.

4

A3(LA2；

______|小r

-603~x

4-6

【答案】（9,12）（3033,3036）

【分析】根據題意求出點A的坐標為（3,0）；點兒的坐標為（3,6）；點的坐標為（-6,6）；點

4的坐標為（F-6）；點&的坐標為（9,-6）；點4的坐標為（9,12）,依此類推，從點為開

始，每走動4次一個循環，從而得到點人臉位于第一象限內，再由落在第一象限內的點每

個循環，橫坐標增加6,縱坐標增加6,即可求解.

=3,A4=6,44=9,A3A4=12,A4A=15,&&=18,

回點4的坐標為（3,o）；

點4的坐標為（3,0+6）,即（3,6）；

點4的坐標為（3-9,6）,即（-6,6）；

點4的坐標為（-6,6-12）,即（-6,-6）；

點&的坐標為（-6+15,—6）,BP（9,-6）；

依此類推，可得點A的坐標為（9,-6+18）,即（9,12）.

由此發現，從點4開始，每走動4次一個循環，

肌2022TH4=505……匕

回點4期位于第一象限內，

回點4的坐標為（3,6）,點4的坐標為（9,12）,點4。的坐標為（15,18）,

回落在第一象限內的點每個循環，橫坐標增加6,縱坐標增加6,

回點&。22的坐標為（505?63,505?66）,即（3033,3036）.

故答案為①（9,12）,②（3033,3036）.

【我思故我在】本題主要考查了坐標確定位置的運用，解題的關鍵是發現規律，利用規律解

決問題.

11.如圖，在平面直角坐標系中，將邊長為1的正方形。N3C繞點順時針旋轉45。后得到

正方形OA山＜1，依此方式，繞點。連續旋轉2022次得到正方形。加被汨2022c2022，那么點

史必的坐標是.

【答案】

【分析】根據圖形可知：點B在以。為圓心，08為半徑的圓上運動，再根據旋轉可知：將

正方形CM3C繞點。順時針旋轉45。后得到正方形O///G,相當于將線段08繞點。順

時針旋轉45°,可得對應8的坐標，然后發現規律8次一循環，進而得出答案.

【詳解】解：團四邊形CMBC是邊長為1的正方形，

回8（-L1）,

團將正方形0/5C繞點。順時針旋轉45。后得到正方形04小Q,相當于將線段繞點。

順時針旋轉45°,

國耳（0,夜），層（1，1），鳥（近，0），鳥（1，一1），風（°，一夜），《（TT）’禺（一夜,0）,B8（-l,l）,

以。，⑹，……，

發現是8次一循環，則2022+8=252...6,

回點B2022的坐標是（-L-1）,

故答案為：（T-1）.

【我思故我在】此題主要考查了旋轉的性質，坐標與圖形的變化，解題關鍵是學會從特殊到

一般的探究規律的方法.

12.如圖，在平面直角坐標系中放置一菱形OABC,已知ZABC=60。，點8在丁軸上，=1,

先將菱形Q4BC沿x軸的正方向無滑動翻轉，每次翻轉60。，連續翻轉2022次，點8的落點

依次為與，層，B3,■?則與吠的橫坐標為.

【答案】1348

【分析】連接AC,根據條件可以求出AC,畫出第5次、第6次、第7次翻轉后的圖形，容

易發現規律：每翻轉6次，圖形向右平移4,由于2022=336x7,因此點與向右平移1348（即

337x