云南省曲靖市2025屆高三上學期第一次質量檢測數學試題

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一、單選題

1.已知集合&={玳彳-6）（》-10）＜0},fi={6,7,8,9,10},則4口3=（）

A.{6,7,8,9,10}B.{7,8,9}C.（6,10）D.（7,9）

22

2.若雙曲線'-七=1（。＞0,6＞0）的焦距為4,實軸長為2,則其離心率為（）

cib

A.2B.1C.72D.1

3.記S“為等差數列{qj的前〃項和，若4+%=8,a6=12,則S,=（）

A.42B.49C.56D.72

4.已知復數Z［和Z?,滿足|zj=|引="-玄2|=1,則|zi+z/=（）

A.且B.3C.6D.1

2

5.有一組樣本數據為0,1,2,3,4,5,在其中添加一個數。構成一組新的樣本數據，若

ae（0,1,2,3,4,5},則新舊樣本數據的第25百分位數相等的概率為（）

A.-B.-C.-D.-

6336

6.在扇形AO2中，以。為坐標原點建立如圖所示的平面直角坐標系、若殖=（10,0）,

礪=（8,6）,C為A8的中點，則碇=（）

A.（9,3）B.（3亞,加）C.（573,5）D.（4君,2君）

7.已知正三棱錐尸-ABC的所有頂點都在球。的球面上，PA=A6AB=6,過棱A3作

球。的截面，則所得截面面積的取值范圍是（）

A.[971,12K]B.[971,16K]C.[12兀[6兀]D.[12K,36K]

8.已知4是函數/（x）=xlnx—2025的零點，%是函數且（力=3+%—1口2025的零點，貝|玉聲

的值為（）

2025e

A.------B.------C.,2025D.2025

e2025

二、多選題

9.已知函數〃x）=2sin12x-￡|,則（）

JT

A.“X）的最小正周期為兀B.在0,-上單調遞增

C.“X）的圖象關于直線x=丁對稱D.〃x）的圖象關于點對稱

O

10.若（8-岳）”的展開式的各二項式系數之和為32,則（）

A.n=5

B.展開式中只有第三項的二項式系數最大

C.展開式中尤4項的系數為1960

D.展開式中系數為有理數的項共有2項

11.“臉譜”是中國戲劇中特有的化妝藝術.“臉譜”圖形可近似看作如圖所示的由半圓和半橢

圓組成的曲線C.若半圓的方程為F+y2=36（y20）,半橢圓Q的方程為

22

-^+―=1（y<0）,則下列說法正確的是（）

10036I7

A.若點A在半圓C」，點3在半橢圓Q上，且則VAOB面積的最大值為30

B.若“（0,-8）,N（0,8）,。是半橢圓Q上的一個動點，貝Ucos/MDN的最小值是，

C.若尸、。是半橢圓G上的動點，H（異于坐標原點。）是線段尸。的中點，則

,,_25

KpQ,~0

試卷第2頁，共4頁

D.若曲線C在點石［彳,-6J處的切線為/,半橢圓<?2的焦點為尸，過點尸作直線/的垂

線,垂足為T,則|。刀=10

三、填空題

12.已知直線4：x+y+l=O與-(〃?+2)x+y+機=0平行，貝也與乙間的距離為.

13.在棱長為1的正方體的頂點中任取兩個不同的點，則這兩點間的距離的均值為.

14.已知min{a,6}=1：：：：,函數〃尤)=min卜,占卜,若使得關于x的不等

式〃x)W/(r)成立，則實數f的取值范圍是.

四、解答題

15.已知拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點為尸.過點廠的直線/與拋物線C相交于A,8兩

點，且線75段A3中點的橫坐標為上17.

(1)求拋物線c的方程；

(2)若直線/的傾斜角為銳角，。為坐標原點，求VA03外接圓的一般方程.

16.已知函數〃尤)=2&sinxcosx-2cos2*+1,設銳角VABC三個角A,B,C的對邊分別

為。，b,J

(1)若c=g,/(C)=2,2sinA=3sinB,求的值；

⑵將函數的圖象向左平移;個單位長度后得到函數g(x)的圖象，若g(A)=。，

m=(sinB,sinC),n=(cosC,-cosB),求沅.五的取值范圍.

17.在四棱錐尸—ABCD中，PA_L平面ABC。，PA=2#),AD=2.

B

⑴若AD//3C,M為尸C的中點，且DM〃平面上45,求BC的長；

(2)若尸。_LDC,且二面角的大小為45。，求三棱錐A-PDC的體積.

18.已知函數/(%)=62，+(1-2°)6”-口(a€11).

⑴當。=0時，求在x=0處的切線方程；

⑵討論的單調性；

(3)若/(x)有兩個零點，求。的取值范圍.

19.當今社會,每天都有海量信息通過網絡等渠道快速傳播,雖提供了豐富知識和多樣視角，

但也存在信息過載、虛假信息等問題,需要我們謹慎篩選辨別.信息論之父香農(C.E.Shannon)

在1948年發表的論文《通信的數學理論》中指出，任何信息都存在冗余，冗余大小與信息

中每個符號(數字、字母或單詞)的出現概率或者說不確定性有關，把信息中排除了冗余后

的平均信息量稱為“信息燧”，并給出了計算“信息幅”的數學表達式，從而解決了對信息的量

化度量問題.設隨機變量X的所有可能取值為1,2,…，w(weN*),且

P(X=7)=口>0。=1,2,…,〃)，￡p,=1,定義X的“信息捌為H(X)=-JAlog2Pi.

i=lz=l

⑴當”=1時，求"(x)的值；

(2)當〃=2時，若月??；』］,探究"(X)與”是正相關還是負相關，說明理由；

13

⑶若R=F，P2=F,P，=4Pk(k=2,3,…,n-L),求此時的"(X).

試卷第4頁，共4頁

《云南省曲靖市2025屆高三上學期第一次質量檢測數學試題》參考答案

題號12345678910

答案BACCDBBDABDAC

題號11

答案ACD

1.B

【分析】化簡集合A,根據集合的交集運算求解.

【詳解】VA={x|(.x-6)(x-10)<0}={x|6<x<10},3={6,7,8,9,10},

,-.AnB={7,8,9).

故選：B.

2.A

【分析】根據雙曲線的幾何性質求出得解.

【詳解】由題可得2c=4,2a=2,.'.a=l,c=2f

所以雙曲線的離心率為6=￡=2.

a

故選：A.

3.C

【分析】應用等差數列的性質結合等差數列求和公式計算求解.

【詳解】等差數列{%}中，因為4+%=24=8,則%=4,

Ulllc7(%+〃6)7(4+12)

7222

故選：C.

4.C

【分析】根據復數的模長平方關系計算求和即可.

【詳解】因為復數Z和Z2,滿足團=%|=歸一22|=1,

22

則|z|+Z2『+|z「Z2「=2(|Z1|+|Z2|)=2(1+1)=4,

所以|Z+Z2「+1=4,所以％+Z2|=JL

故選：C.

5.D

【分析】由百分位數的概念可知，當。為1,2,3,4,5時，新的樣本數據的第25百分位

答案第1頁，共13頁

數不變，進而求出概率.

7

【詳解】由題意，6x25%=1.5,7X25%=4=1.75,所以原數據和新數據的第25百分位數

4

均為第二個數，

所以，當。為1,2,3,4,5時，新的樣本數據的第25百分位數不變，

所以，新的樣本數據的第25百分位數不變的概率是尸=:.

0

故選：D.

6.B

【分析】先求出西與麗的模，進而得到-AO3的三角函數值，再根據C為鉆的中點，得

到^AOC的三角函數值，最后利用三角函數求出0C的坐標.

【詳解】根據向量模的計算公式，若a=(x,y),則|M|=J/+y2.

已知函=(10,0),則麗=,102+02=]0；

加=(8,6),則|函=Ja+G?=>/64+36=/5=10.

可得cosZAOB=

\OA\\OB\'

所以市?麗=10x8+0x6=80.

因為|比|=|)=10,設C?！?.

m=|oc|cos^^=10x^^=3>/10；

n=\dc\smZA0B=10x^-=s/l5.

II210

所以反=(3函,何).

故選：B.

答案第2頁，共13頁

7.B

【分析】求出三棱錐外接球的半徑，取A8的中點。，當OD垂直截面時，截面的面積最小，

此時截面圓的直徑為A3長，當截面過球心時，截面圓的面積最大，即可得解.

【詳解】如圖，作平面ABC,垂足為取A3的中點O,外接球的球心為0,連接

AO,AH,

易得H為VABC的中心，則4"=26，所以PH=4P曾-AH。=J48_12=6,

設外接球半徑為R,則AO?=4井+明？，即R?=i2+（6-R）2,解得R=4,

當OD垂直過A3的截面時，截面的面積最小，此時截面圓的直徑為A8長，

最小面積為兀x3?=9兀,

當截面過球心。時，截面圓的面積最大，最大面積為兀x4?=16兀，

故截面面積的取值范圍是［9兀,16兀］.

故選：B.

8.D

【分析】根據題意可得％+ln%=lnw+ln（ln%）,利用函數y=x+lnx得單調性可得

%=111玉，運算得解.

玉1nxi=2025

【詳解】由題可得可得々+1n々=山（西In玉）=ln%1+ln（ln王），

x2+In/=山2025

因為函數V=x+lnx在（0,+e）上單調遞增,

所以％2=In石，則xxx2=%Inxx=2025.

故選：D.

【點睛】關鍵點點睛：本題解題的關鍵是由題得到X2+ln%=ln%+ln（ln%）,構造函數

答案第3頁，共13頁

y=x+lnx并根據單調性得到無2=也不.

9.ABD

【分析】根據給定的函數解析式，結合正弦函數的性質，逐項判斷作答.

【詳解】對于A,f（x）的最小正周期為7=胃=兀，故A正確；

對于B,xe0,y,:.2x-^e，由>=sinx的單調性可知，/（無）在0,；上單

_4J6|_63J|_4_

調遞增，故B正確；

對于C,將xj代入解析式得/?。?2sin（2xJ-U=2siW=l,

所以X=￡不是的對稱軸，故C錯誤；

6

對于D,當時，/『|）=2$皿卜］-胃=°，所以的圖象關于宿,02寸稱，

故D正確.

故選：ABD.

10.AC

【分析】由題設得2〃=32即可求解"判斷A；由"=5得二項式系數最大的是C；=C：即可求

解判斷B；求出展開式的通項公式，再令r=4即可求解判斷C；由通項公式令即可求

解判斷D.

【詳解】對于A,由題意得2"=32n〃=5,故A正確；

對于B,因為“=5,所以展開式中的二項式系數最大的是C；=C；,

分別為展開式中的第三項和第四項的二項式系數，故B錯誤；

對于C,（8-缶『的展開式的通項公式為（+］=?!旃-=（一1丫&？5T5a

令r=4,則3T?G=g>49X1960，即展開式中一項的系數為I960,故C正確；

對于D,因為（8-J7x）的展開式的通項公式為=（_ijc；?5T5尤「，

所以若;eZ,貝"=0,2,4時，對應的項為85,35840尤2,i960—,均為有理項，

所以展開式中系數為有理數的項共有3項，故D錯誤.

故選：AC

11.ACD

答案第4頁，共13頁

【分析】對A,易得|。4|=6,|O@V10,從而求解判斷；對B,由橢圓定義可得到

|DM+|DN|=20,由基本不等式可以得到|DW||DN|《網丁M，結合余弦定理即可求

出cos/MDN的最小值；對C,設尸（玉,%）,。（%2，%），”（飛,為）,將點P,Q的坐標代入

橢圓方程，利用點差法求解判斷；對D,求出曲線C在點E處的切線方程，進而求出直線FT

的方程，求出點T的坐標，求出|O"

【詳解】對于A,因為點A在半圓上，點B在半橢圓上，。為坐標原點，OA±OB,

貝|J|O4|=6,|OB|<10,S^OAB<||OA||OB|=1x6x10=30,

當點B在長軸的端點時，△OA3的面積最大，最大值為30,故A正確；

對于B,因為。是半橢圓上g上一點，所以|￡必+|。叫=20,

\2

\DM\"+\DN^-MN\

cosZMDN二

2\DM\\DN

(\DM|+|￡W210Mll

2\DM\\DN\

400-2ZJMDN-256

2\DM\DN

144-2|DM||Z)^|72—72j7

==

2|￡>^||￡>^|\DM\\DN\~~r\DM\+\DN\^~"25,

I2—,

當且僅當|DM|=|￡W|時，即點。在短軸頂點時等號成立，故B錯誤;

對于C,設尸（%,%）,。（孫％），"（如%），則玉+%=2/，%+%=2%,

^I2石2

+一

yl［兩式相減得y產工』

^lloo

1u346

+

lloo36

y

-+y_1002525

2W，即心0?上OH=-5■.故C正確;

xi-x2xl+x236

,2

對于D,由橢圓二+二=1在點（X。,為）處的切線方程為小+等=1,

/b2au

答案第5頁，共13頁

24

所以曲線C在點可告,-6］處的切線方程為-6y—x

一十二BPy=—.r-—

=193

10036

則切線/的斜率為％=,，點/（。,-8）,所以直線尸「的斜率為一卷,

9

直線FT的方程為y=--X-8,

故選：ACD.

【點睛】關鍵點點睛：本題選項D解題的關鍵是求出橢圓在點E處的切線方程，進而求出

點T的坐標.

12.亞

【分析】由兩直線平行可求得力=-1,再由平行線間的距離公式代入計算可得結果.

【詳解】由4與4兩直線平行可得〃z+2=l,解得利=-1；

即可得4：x+y-1=0,

所以4與4間的距離為（駕=V2.

故答案為：&

133++-\/3

.7

【分析】立方體的8個頂點中任意選擇2個作為線段的端點共有瑪=28種可能，結合各種不

同的長度線段的條數可以計算得到線段長度的均值.

【詳解】立方體的8個頂點中任意選擇2個作為線段的端點共有《=28種可能，

其中有12條棱，長度為1,12條線段為立方體的6個表面的對角線，長度為&,

另有四條線段為立方體的體對角線，長度為G，

根據均值的定義，計算均值為1x12+0x12+島4=3+30+6.

287

故答案為：3+3凡.

答案第6頁，共13頁

14.U3,3

I2」12」

【分析】首先作出y=〃x)的圖象，即可求出“X)在xe[l,3]的取值范圍，依題意可得

了⑺斗結合圖象可得/(f)2；的解集，即可得解.

【詳解】因為〃x)=min卜，士j,則定義域為

所以/(x)的圖象是?。?/與＞=士圖象位于下方的部分，

作出y=〃x)的圖象如下所示(實線部分)：

因為土41,3],使得關于x的不等式/'⑺＜/(?)成立，

所以令/=；,解得尤=±g,

結合圖象可得了(。2；的解集為-1〈尤或

即實數f的取值范圍是3.

故答案為：—g口

【點睛】關鍵點點睛：本題解答的關鍵是畫出/(x)的圖象，結合圖象得到了。)2；的解集.

15.(l)y2=4x；

(2)x2+y2-^-x-^-y=0.

44

【分析】(1)設4冷％),3仇,必)，由焦點弦長公式結合中點坐標公式即可求出P得解;

(2)由題設設直線/的方程為了=%+1,與拋物線方程聯立依次求出M+%和無i+%即可

求出機，進而求出點A、B,再設VAQB外接圓的一般方程列出方程組即可計算求解.

答案第7頁，共13頁

玉+%2_17

2

【詳解】(I)設B(W,%)，則<..P=2,

25

x1+x2+p=—

???拋物線。的方程為＞2=4X.

(2)由題意可知直線/不與x軸重合，又尸(1,0),

故可設直線I的方程為x=my+l,

fy?=4x

由,得尸_4〃9一4=0,故M+%=4〃Z.

[x=my+1

173

又%+%2=(加>1+1)+(g2+1)=加(丁1+)2)+2=4加2+2=-,故加=±7.

3

??,直線/的傾斜角為銳角，???加=:，

4

□

將根=7帶入/一4畋一4=0,解得y=—l或y=4,

不妨設點A在x軸下方，則Ag,-11,3(4,4),

設7A0B外接圓的一般方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,

F=0

1173

HlJ-￡>-￡+F+—=0,解得E=

4164

4D+4E+F+32=0F=0

293

所以NAOB外接圓的一般方程為d+J--元-=y=0.

44

16.(1)<2=3,b=2.

V2

⑵

【分析】(1)由二倍角和輔助角公式求得/(x)==2sin12尤-聿)再結合正、余弦定理即可

求解；

(2)根據圖像變換確定g(x),求出A=%然后得到和萬=sin[2C+；],進而利用三角函

數的性質可求解.

【詳解】(1)f(x)=2V3sinxcosx-2cos2x+1=V3sin2x-cos2x=2sin2x-—I.

答案第8頁，共13頁

?.?/(C)=2,.?.sin^2C--^j=l.

又0<C</故冷，

2666

_7171,71

/.2C--=-,故L0=彳.

623

2sinA=3sinB,由正弦定理得2a=3b.

7

Q2

又c=V7,由余弦定理得79-

.,.a=3,b=2.

(2)由題意可知，g(x)=2sinI2(x+j=2sin(2x+-^j=2cos2x.

?.?g(A)=0且0<Ac],.?.A=：

/.m-n=sinBcosC-cosBsinC=s;:in(5-C)=sin[2C+；].

qr3TT7T

?「△AfiC為銳角二角形，/.0<C<—,0<B=——C<—,

?！肛?兀兀57r

一<Cv-,——<2C+-<——

42444

■*sin[2C+j*即而為的取值范圍是-9,9

17.(1)4

⑵壁.

3

【分析】(1)取PB的中點為E,易證由。0〃平面可得DM//AE,四

邊形ADME為平行四邊形，得BC=2AD=4得解;

(2)以點。為坐標原點，建立空間直角坐標系，設OC=a(a>0),求出平面ACP和平面

CPD的一個法向量結合二面角A-CP-O的大小為45。，求出。，由匕Y0C=K-DC運算得

解.

【詳解】(1)如圖，取"的中點為E,連接EM,EA,

則EM〃3C,S.EM=-BC.

2

vAD/ZBC,

答案第9頁，共13頁

:.EM//AD.

?.■DM//^^PAB,DMu平面ADME,平面R4Bc平面ADME=AE,

:.DM//AE.

又EM//AD,.?.四邊形ADME為平行四邊形.

:.EM=AD,又EM」BC,

2

BC=2AD=4.

（2）平面ABCD,￡>Cu平面ABCD,

:.PA±DC,又PD_LDC,PDCPA=P,且尸APOu平面PAD,

平面PAD,ADu平面PAD,

:.DC±AD.

如圖所示，以點。為坐標原點，建立空間直角坐標系，設。C=a（4>0）,

則。（0,0,0）,A（2,0,0）,P（2,0,273）,C（0,a,0）.

.-.C?=（2,-a,2V3）,Q=（0,0,2@,設平面ACP的一個法向量為用=（"J,ZJ,

2x-ay,+2J3z1=0,、

則彳r",令西=a,則y=2,故加=（a,2,0）.

2<3Z]=0

又加=（2,0,2-），反=（0,a,0）,設平面CPD的一個法向量為為二1,方*?）,

則卜+2岳2=0,令餐?1,可得.=5故”（3

ay2=0'/

答案第10頁，共13頁

Im-wl門

,??二面角A—CP—。的大小為45°,所以匕合=cos45,

.#)a_y/2

27a2+42，

a=20，即DC=2/.

-'-^A-PDC=^P-ADC=^^^ADC-=-X—X2X2^X2A/3=,

即三棱錐A-PDC的體積為睫.

3

18.(l)3x-y+2=0

(2)答案見解析

⑶(L+⑹.

【分析】(1)利用導數的幾何意義，求出切線斜率和切點坐標，即得切線方程；

(2)函數求導分解因式后，對參數。分類討論導函數的符號即得原函數的單調性；

(3)根據(2)的結論，對參數。分類，分析函數的單調性，極值以及圖象變化趨勢，結合

特殊值，即可得解.

【詳解】(1)當。=0時，/W=e2l+e\

.?OZe?』，，二［(0)=3.

又〃0)=2,故在x=。處的切線方程為：3尤7+2=0.

(2)/(無)=2e2x+(l-2a)ex-a=(2ex+l)(ev-?).

當a?0時,r(%)>0,故在R上單調遞增；

當a>0時，令/'(尤)<0,得x<lna,令/''(無)>0,得x>lno,

故〃x)在(-8,Ina)上單調遞減，在(Ina,+。)上單調遞增.

綜上所述，當aWO時，/(*)在R上單調遞增；

當。>0時，”X)在(-8,Ina)上單調遞減，在(lna,+8)上單調遞增.

(3)當時，”尤)在R上單調遞增，不符合題意，故a>0.

由(2)知，當a>0時，/(x)^=/(lna)=a(l-a-lno).

答案第11頁，共13頁

?."(X)有兩個零點，

又ra〉。，:A-a-yna<Q.

令/?(a)=l-a-lna(a>0),則/(a)=-1--=<0,

.?/(a)在(0,+8)上單調遞減，且可1)=0,

二當。>1時,h(a)<0,即〃必<0.

▽八11-2。11a(e-2)

又/(一1)=F+----+a=^-+-+—----->0,

v7e2ee2ee

\f(x)在(Tina)上有一個零點；

1_?ex>x,；-f(尤)>e?"-2aex-ax>elx-2aex-aex-ex(ex-3a).

，當x>ln3a時，/(x)>0,

\在(lna,ln3a)上有一個零點.

綜上所述，〃x)有兩個零點時，。的取值范圍是(1,—).

【點睛】關鍵點點睛：本題第三問解題的關鍵是由(2)得。>0,

f(x)injn=f(lna)^a(l-a-lna)<0,構造函數Ma)=l-a-lna(a>0)利用導數研究零點?

19.(1)0

(2)負相關，理由見解析

◎MX),[./—1

【分析】(1)直接利用公式求解；

(2)先求出〃(X)=-[Rog