同與正多邊形壓軸題專練（9大題型45道）

壓軸題型一垂徑定理問題

1.如圖，在。。中，直徑48垂直于弦CD,垂足為點(diǎn)￡,連接/C、DO,延長。。交/C于點(diǎn)尸.

⑴求證：AF2=OF-DF;

（2）如果。。=8,8￡=2,求。尸的長.

【答案】（1）見解析

【分析】（1）利用垂徑定理得出CE=DE,利用線段垂直平分線定理得出/C=ND,利用等腰三角形三線

合一性質(zhì)得出利用等邊對等角得出等量代換得出=可證

AAFOSADFA,再利用相似三角形的性質(zhì)即可得證；

（2）在RtZ^DEO中，利用勾股定理求出半徑，在RM4DE中，利用勾股定理求出然后利用（1）中相

似三角形的性質(zhì)求解即可.

【詳解】（1）解：連接N。，

?.?直徑48垂直于弦CD,

CE=DE=-CD,

2

,/AE1CD,

：.AC^AD,

ZFAO=NDAO,

*.?AO=DO,

：.ZDAO=NODA,

ZFAO=ZODA,

又AAFO=NDFA,

AAFO^ADFA,

,AF_DF

^~OF~~AF'

AF2=OF-DF

(2)解：；CE=DE=gcD,CD=8,

：.CE=DE=4,

設(shè)半徑為r,

?/BE=2,

OE=r—29

在RtZ\O￡。中，OE2^-DE2=DO\

：.(F-2)2+42=r2,

解得r=5,

OE=3,AE=AO+OE=8,

AD=yjAE2+DE2=475，

"：AAFOSADFA,

.AFOFAOnnAFOF5

"DF~AF~AD'OF+5AF4逐'

4y/5OF=5AF25

整理得「，解得。尸=77

5OF+25^4y/5AFH

【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，明確題

意，添加合適輔助線，構(gòu)造相似三角形求解是解題的關(guān)鍵.

2.如圖，在△ABC中，AB=AC=10,SC=12,AD，BC于D,。為2。上一點(diǎn)，以。為圓心，為半

徑的圓交48于G,交BC于E、F,且NG=NO.

⑴求E尸的長;

（2）連接。G,求N5DG的余切值.

【答案】⑴8

⑵3

【分析】本題主要考查了解直角三角形，相似三角形的性質(zhì)與判定，垂徑定理，三線合一定理等等：

（）先由垂徑定理，三線合一定理得到；進(jìn)而得到。

1AD=CO=8C=6,DF=DE,/=8,CF=BE,可得

BG=AB-AG=2,證明可得處=七三，解方程即可得到答案；

x2

（2）過點(diǎn)G作GM，80于M,則AD\\GM,可證明^BGM^BAD,利用相似三角形的性質(zhì)得到

GM=~,BM貝=8M=且，即可得至ijcotNBDG=cot=也=3.

555GM

【詳解】（1）解：如圖所示，連接/尸，EG

二AD7AB2-BD?=8，CF=BE,

AG=AD=8,

BG=AB-AG=2,

??,四邊形AFEG是圓內(nèi)接四邊形，

??.ZAFE+ZAGE=180°=ZAGE+ZEGB,

Z.ZAFB=ZEGB,

設(shè)CF=BE=x,貝IJB尸=12—x

XV/B=/B,

：?—FBs公EGB,

.ABBFnn1012—x

BEBGx2

解得x=2或x=10（舍去），

經(jīng)檢驗(yàn)，％=2是原方程的解,

EF=BC-2x=S；

(2)解：如圖所示，過點(diǎn)G作于則/O||GM,

ABGMsRAD,

GM_BMBG口口GMBM2

——，即---=----

~AD一訪AB86To

/.GM=—，BM=—,

55

DM=BD-BM=——

：.cot/BDG=cotZMDG=0f=3

GM

3.如圖，已知平行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、。都在半徑為5的。。上，且垂足為點(diǎn)

E,BC=6.

⑴求平行四邊形/BCD的邊的長；

(2)延長線段8。交4D于點(diǎn)尸，求點(diǎn)尸到CD的距離.

【答案】(1)3面

加27府

40

【分析】(1)如圖1,連接。8,由題意知，08=04=5,由可得8￡=ggC=3,由勾股定理

得，OE=yjOB1-BE1=4＞則/E=9,由勾股定理得，/B=J/爐+BE?，計(jì)算求解即可；

(2)如圖2,連接尸C,作松，8于則W為點(diǎn)尸到CD的距離，證明A4FOSA￡8O,貝|

W'即~T~=：'可求4F=—,由S口ABCD=S“BF+S^BCF+ScDF'可得

BEOE344

BCxAE=-xAFxAE+-xBCxAE+-CDxFM,gp6x9=-x—X9+-X6X9+-X3A/10x?,計(jì)算求解

2222422

即可.

連接08,

圖1

：.BE=-BC=3,

2

由勾股定理得,0E=yj0B2-BE2=4,

/.AE=9,

由勾股定理得,AB=dAE?+BE?=3屈，

/.48的長為3廂；

(2)解：如圖2,連接尸C,作rN_LCr(于則FM為點(diǎn)尸到8的距離,

:平行四邊形48C。，

:.AD〃BC,CD=AB=3>/10,

?.ZAF0=ZEB0,ZFA0=ZBE0,

：.AAFOSAEBO,

??一,即一,

BEOE34

解得，4尸=?,

4

=

,S口ABCDSAABF+S&BCF+SACDF，

BCxAE=-xAFxAE+-xBCxAE+-CDxFM,gp6x9=-x—x9+-x6x9+-x3V10X.FA/,

2222422

解得，尸屈=生叵，

40

.?.點(diǎn)F到CD的距離為生叵.

40

【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，勾股定理，平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識.熟練掌

握垂徑定理，勾股定理，平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

4.如圖1是一張乒乓球桌，其側(cè)面簡化結(jié)構(gòu)如圖2所示，臺面A8=274cm(臺面厚度忽略不計(jì))與地面平

行，且高度為76cm(臺面與地面之間的距離)，直線型支架PE與。尸的上端￡,尸與臺面下方相連,

P尸與。尸的下端尸，。與直徑為4cm的腳輪(側(cè)面是圓)相連(銜接之間的距離忽略不計(jì))，直線型支架CG

與。〃的上端C,。與臺面下方相連，下端G,H與PE,。尸相連，圓弧形支架G8分別與PE,。尸在

點(diǎn)G,X相連，5.PC1AB,OQ1AB,PE=QF,CG=DH,AB=BD,CE=DF,己知所=106cm,

—tanZECG=tanZFDH=-

CE93

(2)當(dāng)面所在的圓經(jīng)過點(diǎn)P、。時(shí)，求：南所在的圓的圓心到臺面42之間的距離

【答案】(l)6V73cm

(2)133.5cm

【分析】本題考查垂徑定理及解直角三角形的應(yīng)用，理解和靈活運(yùn)用垂徑定理，并能夠熟練地解直角三角

形是解答本題的關(guān)鍵.

(1)過點(diǎn)GNL48,交4B于點(diǎn)M.連接CP.根據(jù)已知條件求出CA/、MG,由勾股定理計(jì)算CG的長度；

(2)設(shè)點(diǎn)。為前所在圓的圓心.連接G〃、PQ、OG、OP,過點(diǎn)。作OKLGH,交GH于點(diǎn)、K,交尸0

于點(diǎn)N.由垂徑定理求得GK、PN,由勾股定理和半徑相等列方程，求出ON,進(jìn)而求出圓心到N3的距離.

【詳解】(1)解：過點(diǎn)6作6加，48,交48于點(diǎn)連接CP.

AC5

=84（cm）,

~CE9

9Q

，CE=——AE=——x84=54（cm）.

1414v7

又???CQ=76-4=72（cm）,

CP_72_4

tan/CEP=一，

~CE~543

MC_8MG4

?.?tan/ECG=,tan/CEP=——=—

~CM-3ME3

.CM_1

'?礪―2

；；（）QQ

CN=CE=x54=18cm,MG=-CM=-xl8=48（cm）,

：.CG=yJCM2+MG2=V182+482=6773（cm）.

（2）解：設(shè)點(diǎn)。為南所在圓的圓心.連接GH、PQ、0G、OP,過點(diǎn)。作。KLG8,交G8于點(diǎn)K,

交PQ于點(diǎn)N.

由垂徑定理，GK=^GH=ME+^EF=CE-CM+^EF=54--[8+^xW6=89（cm）,

PN=g尸0==；（E尸+2CE）=；x（106+2x54）=107（cm）.

/.KN=CP-MG=72-48=24（cm）.

VOP2=PN2+ON2,OG2=GK2+OK2,§LOP=OG,

：.PN2+ON2=GK2+OK-,

：.PN2+ON2=GK2+（KN+ON）2,即107?+ON2=892+（24+ON）2,

解得ON=61.5.

ON+CP=61.5+72=133.5（cm）.

.??麗所在的圓的圓心到臺面之間的距離為133.5cm.

5.新定義：如果一個(gè)三角形中有兩個(gè)內(nèi)角c,6滿足夕+2￡=90。，那我們稱這個(gè)三角形為“近直角三角

形

A

⑴若是“近直角三角形”，Z5>90°,ZC=50°,則44=度；

(2)如圖1,在RtZUBC中，ABAC=90°,43=3,AC=4.若8。是//8C的平分線，在邊/C上是否存

在點(diǎn)E(異于點(diǎn)。)，使得是“近直角三角形”？若存在，請求出CE的長；若不存在，請說明理由.

(3)如圖2,在RtZUBC中，ABAC=90°,點(diǎn)。為/C邊上一點(diǎn)，以AD為直徑的圓交2C于點(diǎn)E,連接4E

交BD于點(diǎn)尸,若△5C。為“近直角三角形"，且N8=5,AF=3,求tanNC的值.

【答案】⑴20

7

(2)存在，CE=-

⑶tan/C的值為(或當(dāng)

【分析】(1)不可能是a或當(dāng)44=a時(shí)，ZC=0=50°,a+2￡=90。，不成立；故44=尸，

ZC=a,a+2/?=90°,則￡=20。

ABAC349

(2)由=則即——=——，即上==,解得：AE=-,即可求解

AEAB在34

(3)①如圖2所示，當(dāng)NN8O=Na8C=￡時(shí)，設(shè)BH=x,則/ffi=5-x,則AH2=AE?-HE。=AB?-HB?,

7

即52-X2=6,-(5-X)2,解得：x=y,即可求解；

②如圖3所示，當(dāng)乙tBD=NC=夕時(shí)，AF-.EF=AG:DE=3:2,則DE=2左，貝l|/G=3尢=R(圓的半徑)

=BG,點(diǎn)7/是8E的中點(diǎn)，貝!|Ga=；QE=后，在ABGH中，BH=yjBG2-GH2=ly/lk>由三角函數(shù)可求解.

【詳解】(1)解：不可能是a或4，

當(dāng)乙4=a時(shí)，Z-C=p=50°,a+2/3=90°,不成立；

故4=4，AC=a,a+2分=90。，則￡=20。，

故答案為20；

(2)存在，理由：

在邊NC上是否存在點(diǎn)￡(異于點(diǎn)。)，使得A8C￡是“近直角三角形”,

48=3,AC=4,則3c=5,

則AABE=ZC,

設(shè)N4BE=NC=a,則N42C=90°-a,

...Z￡5C=90°-a-a=90°-2(z,

：.NEBC+2/C=90°,

'：ZA=ZA,

貝I]^ABCsAAEB,

即理=W￡,即且49

解得：AE=~,

AEABfiE

97

則

(3)①如圖2所示，當(dāng)==4時(shí),

圖2

AD=DEy

：.AB=BE,

BF=BF,

:?AABFWEBF,

；?AE工BF,貝！Jz/=FE=3,貝lj4石=6,

AB=BE=5,

過點(diǎn)A作/aIBC于點(diǎn)〃，

設(shè)BH—x,則HE=5-x,

7

則4H2=4E?-HE?=4B?-HB。,即5?-x?=6?-(5-x>,解得：x=l;

RH7

cos/ABE=-^=^=cos20,貝卜@112/7=亍，

7

貝［|tana=-；

24

②如圖3所示，當(dāng)N/BD=NC=夕時(shí)，

圖3

過點(diǎn)A作4HLBE交BE于點(diǎn)、H,交于點(diǎn)G,

DE=DE

/DAE=ZDBE=a,

ZAEB=NABE=a+0,

：.AB=AE=5,

AH工BE,

：.BH=HE,

???AH為BE的垂直平分線，

???點(diǎn)G是圓的圓心（成的中垂線與直徑的交點(diǎn)），

EF=AE-AF=5-3=2,

???DELBC,AH1BC,

:.ED//AH,

：.AAGFs4EDF,

貝ljZ尸：斯=NG:OE=3:2,

則DE=2k,則/G=3左=火（圓的半徑）=BG,

???點(diǎn)a是郎的中點(diǎn)，G為50中點(diǎn)，

GH=-DE=k,

2

在△5G77中，BH=J5G2-GH?=2岳,

在△45"中，AB=5,BH=2?,AH=AG+HG=4k,

?：ZC+ZABC=90°,/ABC+/BAH=90。，

ZC=ABAH,

「BH2回V2

tanC=tan/BAH-=-------=—,

AH4k2

綜上，tanC的值為(或孝.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定以及性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角函數(shù)值，圓周角等

知識.屬于圓的綜合題，解決本題需要我們熟練各部分的內(nèi)容，對學(xué)生的綜合能力要求較高，一定要注意

將所學(xué)知識貫穿起來.

壓軸題型二圓周角與圓心角問題

6.如圖，點(diǎn)4B,C在。。上，順次連接48,BC,CA,且m=210。，AC=150°-

(1)求/氏4。的度數(shù)；

(2)若。。的半徑為2,求△ABC的面積.

【答案】⑴NA4C=30。

⑵工.=2+6

【分析】本題考查了圓中弧、弦、角的關(guān)系，垂徑定理以及勾股定理等知識點(diǎn)，掌握相關(guān)結(jié)論即可.

(1)根據(jù)前=初一公即可求解；

(2)求出標(biāo)的度數(shù)可得48=/C,過點(diǎn)A作4028。交8c于點(diǎn)。，連接。8,OC,分別求出8C,AD

即可求解.

【詳解】(1)解：：NE^=210。，AC=15O°>

BC=60°，

ABAC=30°.

(2)解：'：ACB=2\Q°,5C=150°>

?,?筋=公=150°，

AB=AC,

如圖，過點(diǎn)A作4018c交8c于點(diǎn)。，連接0AOC,

則4D過。，

由(1)可得/BOC=60。.

因?yàn)?8=0C

/.ABOC是等邊三角形，

2BOD=-NBOC=30°,BC=OB

2

。。的半徑為2,

BC=0B=2,

：.BD=-OB=\

2

?*-OD=^OB1-BD2=V3

/.AD=OA+OD=2+6,

葭族?=JxBCxAD=2+V3.

7.已知4B是。。的一條弦，點(diǎn)C在。。上，連接C。并延長，交弦4B于點(diǎn)。，且CD=C3.

⑴如圖1,如果3。平分/ABC,求證：AB=BC^

(2)如圖2,如果/O_LO8,求NO:OB的值；

(3)延長線段/。交弦BC于點(diǎn)E,如果AEOB是等腰三角形，且O。的半徑長等于2,求弦3C的長.

【答案】(1)見解析

(3)V5+1或2-\/2

【分析】（1）證明會(huì)AOBC即可解決問題.

（2）如圖2中，作。A/_LO8于M,DN1OA于N,設(shè)。M=a.首先證明/C￡>8=/CAD=75。，解直角

三角形求出4D,BD（用。表示）即可解決問題.

（3）由NOEB=NC+NCOE>NOBE,推出OEwOB,分兩種情形：如圖3-1中，當(dāng)8。=5￡時(shí)，如圖3-2中,

當(dāng)EO=胡時(shí)，分別求解即可解決問題.

【詳解】（1）證明：如圖1中,

8。平分N/5C,

VOB=OA=OC,

:"A=NABO,NC=ZOBC,

:.ZA=NC,

■：OB=OB,

：.AOBA知OBC(AAS),

AB=BC,

??

AB=BC?

(2)解：如圖2中，作Dl/_LO5于M,DNLOA于N,設(shè)=

AMON=ZDMO=ZDNO=90°,

.??四邊形。MON是矩形,

DN=OM=a,

?/OA=OB,ZAOB=90°,

/.NA=ZABO=45°,

:OC=OB,CD=CB,

ZC=ZOBC,ZCDB=ZCBD,

???ZC+ZCDB+NCBD=180°,

3ZC+90°=180°,

.\ZC=30°,

:"CDB=/CBD=75。,

/DMB=90°,

4MDB=/DBM=45°,

:.DM=BM,ZODM=30°,

:.DM=60M=島，DN=42DM=46a,AD=42DN=42a,

.AP_y/2ay/3

DBy/6a3

(3)解：如圖3-1中，當(dāng)=時(shí)，

CD=CB,

:"CDB=/CBD,

NA+ZAOD=AOBA+ZOBC,

???N/=/ABO,

/.ZAOD=ZOBC=ZC,

???AOD=/COE,

ZC=/COE=ZCBO,

???zc=zc,

???AOCES八BCO,

PCCE

~BC~~OC

,2EC

"1+EC~~T，

:.EC2+2EC-4=0，

解得EC=-1+V?或-1-石（舍棄）,

BC=V5+1.

如圖3-2中，當(dāng)E0=E3時(shí)，可得是等腰直角三角形,

EO=EB=EC=—OB=^2,

2

圖3-2

BC=2也，

???NOEB=ZC+ZCOE>NOBE,

OEwOB,

綜上所述，8c的值為6+1或2行.

【點(diǎn)睛】本題屬于圓綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和

性質(zhì)，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形或相似三角形解決問題，學(xué)會(huì)利用參數(shù)解

決問題，屬于中考壓軸題.

8.如圖，以48為直徑的圓。中，點(diǎn)。為圓心，C為弧4B的中點(diǎn)，過點(diǎn)C作。。〃/2且CO=O8.連接

AD,分別交。C,8C于點(diǎn)￡,F,與圓O交于點(diǎn)G,連接AD.

(1)求證：BD±AB

(2)連接BE,OF,求證：BE±OF.

【答案】(1)見解析

(2)見解析

【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的判定可得四邊形O3DC為平行四邊形，根據(jù)C為半圓的中點(diǎn)可得NCO3=90。,

根據(jù)矩形的判定可得平行四邊形OADC為矩形，即可證明；

（2）連接BE,OF,交于〃，結(jié)合（1）易知四邊形O3AC為正方形，可證AFOC0AEDC,得

ZCOF=ZCDF,再證。C垂直平分48,awffiZEBO=ZCDF=ZCOF,再根據(jù)角度之間的互余關(guān)系可得

ZOHB=90°,即可則證明8E_L。尸.

【詳解】（1）證明：CD//AB,CDOB,

二四邊形OBDC為平行四邊形，

為半圓的中點(diǎn)，

ACOLAB,即NCOS=90。，

，平行四邊形OADC為矩形.

二ZOBD=90°,

：.BDJ.AB.

（2）證明：連接BE,OF,交于H,

由（1）可知平行四邊形OADC為矩形，

,/OC=OB,

二四邊形0Aoe為正方形，則CD=C。，AOCB=ADCB=45°,

,/CF=CF,

:.xFOC卬FDC,

ZCOF=NCDF,

,/AB//CD,

ZA=NCDA,

CD

'：OA=OB,COLAB,

：.OC垂直平分AB,

AE=BE,

NA=ZEBA,

ZEBO=ZCDF=ZCOF,

ZCOF+ABOF=90°,

/.ZEBO+ZBOF=90°,

???/OHB=900,

：.BELOF.

【點(diǎn)睛】本題考查圓的基本性質(zhì)，矩形、正方形的判定及性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)、等腰三角形的

性質(zhì)等知識點(diǎn)，熟練掌握相關(guān)圖形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵.

9.如圖，45是。。的直徑，以45為腰作等腰△45C,底邊3C交。。于點(diǎn)。，連接4D,延長C/交。。

于點(diǎn)E,連接班、DE,

(1)求證：ZCAD=ABED；

24

⑵若8。=20,tanZBDE=—,求G>O的半徑長.

【答案】(1)證明過程見詳解

25

(2)00的半徑為了

【分析】(1)根據(jù)48是。。的直徑可得幺。工BC,根據(jù)等腰三角形的“三線合一”可得4D平分，A4C,再

根據(jù)同弧所對圓周角相等即可求證；

BE24

(2)根據(jù)題意可得“BE,ACBE是直角三角形，根據(jù)ZBDE=NBAE,可得—=—,^A￡=7x,BE=24x,

AE7

在Rt^4BE中，可求出N2=25x,結(jié)合(1)中等腰三角形/5C,可用含x的式子表示BE,CE的長，在

RtMBE中運(yùn)用勾股定理即可求解.

【詳解】(1)證明：???/Bn/C,

LABC是等腰三角形，

；48是。。的直徑，

AADB=90°,即AD18C,

二平分ZBAC,即ACAD=ABAD,

在。。中，圓周角NA4O與圓周角NAE7）所對弧相同,

ABAD=/BED,

：.ACAD=/BED；

(2)解：是。。的直徑,

??.ABDA=/BEA=90°,

???△/BE是直角三角形，且由(1)可知，BD=CD=20,貝i]5C=40,

???圓周角ZBDE與圓周角NBAE所對弧相同，

???ZBDE=/BAE,

BE24

tan/BDE=tanNBAE==——,

AE7

設(shè)/￡=7x,BE=24x,

在RtZ“5E中，AB=J/爐+BE?=J(7X)2+(24X?)=25x,

4B=4C=25x,則CE=/C+4E=25x+7x=32x,

在RbBCE1中，BC2=CE2+BE2,

：.4()2=(32x)2+(24x1

解得，X=1（負(fù)值舍去）,

AB=25x=25,

二。。的半徑為?25

2

【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的基礎(chǔ)知識，掌握等腰三角形的判定和性質(zhì)，同弧所對圓周角相等，直徑所對圓

周角為直角，正切值的計(jì)算方法，勾股定理等知識的綜合運(yùn)用是解題的關(guān)鍵.

10.如圖，△48C的邊是OO的直徑，點(diǎn)C在。。上，點(diǎn)。是邊05上的一點(diǎn)，點(diǎn)￡和點(diǎn)。關(guān)于8c對

稱，DE交邊BC于點(diǎn)、M,過點(diǎn)。作。E的垂線交EC的延長線于點(diǎn)尸，線段。廠交/C于點(diǎn)N.

（1）求證：四邊形CMJN是矩形；

（2）聯(lián)結(jié)C。，當(dāng)CD1/B時(shí)，求證：EF-CB=2AB-ME.

【答案】（1）見解析

（2）見解析

【分析】（1）利用三個(gè)角是直角的四邊形是矩形，即可得證；

（2）證明比例式，首先化成乘積式，然后找到相似的三角形，再證明三角形相似即可.

【詳解】（1）證明：???48是。。的直徑，

ZACB=90°,

???點(diǎn)E和點(diǎn)。關(guān)于3C對稱，

:.DM=EM,DELBC,

ZCMD=90°,

?:DELDF,

NEDF=90。,

ZACB=ZEDF=ZCMD=90°,

四邊形CMZ卯是矩形；

（2）如圖，連接CO,

CD工AB,

ZCDB=90°,

ZDCM+NB=90°,

???DE1DF,

ZCDM+ZDCM=90°,

ZCDM=ZB,

???點(diǎn)￡和點(diǎn)。關(guān)于月。對稱,

/.CD=CE,

ZCDM=ZE,

/./B=/E,

NACB=NEDF=90。,

:AACBSXFDE,

.BCAB

,~DE~^F9

即EF-BC=4B-DE,

由(1)得

DE=2ME,

:.EF-BC=AB-2ME,

即E尸=

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的判斷、三角形相似，解題的關(guān)鍵是熟練矩形的判斷方法，以及三角形相似的判

斷方法.

壓軸題型三直線與圓的位置關(guān)系問題

11.如圖，在平行四邊形48cD中，3=9,/5=15,8O_L3C,點(diǎn)尸在邊CO上運(yùn)動(dòng)，以尸為圓心，F(xiàn)D

圖1圖2

(1)當(dāng)圓尸與邊8c相切時(shí)，求￡0的長；

(2)設(shè)即=x,AEBE的面積為y,求y關(guān)于X的函數(shù)解析式，并寫出定義域;

(3)當(dāng)圓F與平行四邊形ABCD的邊有4個(gè)交點(diǎn)時(shí)，求x的取值范圍.

【答案】⑴2?0

11Q1C

(2)y=~x2+yx,定義域?yàn)椋?<x<y

2036—15

【分析】本題考查圓與平行四邊形綜合，涉及圓的切線的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定與

性質(zhì)，函數(shù)的解析式，定義域，熟練掌握這些性質(zhì)和定義是解題的關(guān)鍵.

(1)設(shè)圓尸與3c相切于點(diǎn)P,連接抄，證明△CBOs^c尸尸，利用相似對應(yīng)邊比相等列式求解即可；

(2)過點(diǎn)尸作TKJ.5D于點(diǎn)尸，通過△。相S2XDC8解得/K=w，DK=~>利用垂徑定理求出。E，

求出3￡=12-g,即可求解析式，由點(diǎn)￡在邊3。上，求出當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)5重合時(shí)無的值，即可求解；

(3)①由題可得當(dāng)。尸與邊3C相切后，至。尸與邊43相切前，。尸與平行四邊形/BCD的邊有四個(gè)交點(diǎn);

②當(dāng)。尸過點(diǎn)。、B、C時(shí)，。廠與平行四邊形NBCD的邊有四個(gè)交點(diǎn)；分別求解即可.

【詳解】(1)解：如圖，設(shè)圓尸與2。相切于點(diǎn)P,連接尸尸，

FP1BC,

?.?四邊形ABCD是平行四邊形，

AD//BC,CD=AB=15,BC=AD=9,

"：BDLBC,

BD=ylCD2-BC2=12>FP//BD,

：.ACBDsACPF,

.CDBD

''~CF~~FP'

T^DF=X,貝l|C尸=15-X,FP=X,

.1512

??二,

15-xx

解得：X=y,

即。尸=?；

(2)解：如圖，過點(diǎn)尸作用，3。于點(diǎn)尸，

■C7c

E

A

B

BDLBC,

：.FK//BC,

：.ADFKsADCB,

DFFKDK

??皮―茄—市’

?xFK_DK

“I?一$—IT'

3x4x

解得：FK=1,OK=當(dāng)，

■:FK1BD,

Qy

DE=2DK=y,

Qy

?,.BE=BD-DE=12--,

：.y-S^FBE=^BE-FK=^

當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)2重合時(shí)，如圖,

B(E)

a\^DE=—=BD=n,

由點(diǎn)￡在邊AD上，

則定義域?yàn)椋篛Wxvt，

綜上，y=-x2+^x,定義域?yàn)椋?<%<^

(3)解：當(dāng)。尸過點(diǎn)c時(shí)，

,/ZDBC=90°,

此時(shí)點(diǎn)5也在。尸上，

①當(dāng)。尸與邊8c相切后，至。尸與邊相切前，。廠與平行四邊形的邊有四個(gè)交點(diǎn),

又當(dāng)。尸與邊3C相切時(shí)，由（1）可得此時(shí)X=y

當(dāng)。尸與邊48相切時(shí)，如圖，設(shè)切點(diǎn)為點(diǎn)尸

FP工AB,

S口AbRLrUn=2/S\AA!AJRD=2x—xADxBD=108=ABxFP,

：.FP=y,

：.DF=^,

.?.當(dāng)。尸與邊BC相切后，至O尸與邊48相切前，。尸與平行四邊形/BCD的邊有四個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)x的取值

范圍為:

②當(dāng)。尸過點(diǎn)。、B、C時(shí)，。尸與平行四邊形N8CZ）的邊有四個(gè)交點(diǎn)，

由（2）可知此時(shí)x=z；

2

綜上，x的取值范圍為：或x=￡.

12.如圖①，已知：在矩形48co的邊“。上有一點(diǎn)。，04=也,以。為圓心，。4長為半徑作圓，交AD

于M恰好與AD相切于H過//作弦即〃48,弦坂=3.若點(diǎn)￡是C。邊上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)、E與C,。不

重合），過E作直線EF//BD交于F,再把尸沿著動(dòng)直線EF對折，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)為G.設(shè)CE=x,AEFG

與矩形4B8重疊部分的面積為S.

BFcaq

vs.I1^

圖①備用圖

（1）求矩形48co的周長;

(2)A￡FG的直角頂點(diǎn)G能落在上嗎？若能，求出此時(shí)x的值；若不能，請說明理由;

(3)求：S與x之間的函數(shù)關(guān)系式及其定義域，并直接寫出尸G與。。相切時(shí)，S的值.

【答案】(1)6+66

(2)能,x=2

—X2(0<X<2)31-73

(3)5=2V),S=^-6

-V3X2+6A/3X-6V3(2<X<3)6

【分析】(1)連接OH,可以求出/HOD=60。，/HDO=30°,從而可以求出4B=3；

(2)當(dāng)點(diǎn)G落到4。上時(shí)，可以證到點(diǎn)G與點(diǎn)M重合，可求出x=2.

(3)當(dāng)0<xW2時(shí)，如圖①，S=S.EGF，只需求出尸G,就可得到S與x之間的函數(shù)關(guān)系式；當(dāng)2<x<3時(shí),

如圖④，S=S.GEF-S.SGR，只需求出SG、RG,就可得到S與x之間的函數(shù)關(guān)系式.當(dāng)尸G與。。相切時(shí),

如圖⑤，得FK=AB=3,KQ=AQ-AK=2-2^3+J3x.再由尸K=6K。即可求出x,從而求出S.

【詳解】(1)證明：連接OH,如圖①所示.

圖①

ZADC=ABAD=90°,BC=AD,ABCD.

HP//AB,

:.NANH+/BAD=180°.

ZANH=90°.

13

,-.HN=PN=-HP=-.

22

OH=OA<,

..sin/HON=-----=—?

OH2

/HON=60°

?.?2。與OO相切于點(diǎn)",

...OH±BD.

ZHDO=30°.

OD=243.

AD=3y/3.

BC=3>/3.

-.?ABAD=90°,ZBDA=30°.

tanABDA------

AD

...AB=3

.?.矩形/BCD的周長=2（/8+4￡>）=2（3+36）=6+6行；

（2）AE萬G的直角頂點(diǎn)G能落在。。上.

如圖②所示，點(diǎn)G落到上.

圖②

:.ZFEC=ZBDC.

???ZS￡>C=90°-30°=60°,

NCEF=60°.

由折疊可得：NGEF=NCEF=60。.

AGED=60°.

?/CE=x,

:.GE=CE=x,ED=DC-CE=3-x.

,「LAED3-x1

cos/GED------=一.

GEx2

..%=2.

/.GE=2,￡0=1.

GD=B

0G=AD-AO-GD=343-43-43=43.

OG=OM.

，點(diǎn)G與點(diǎn)”重合.

此時(shí)AEFG的直角頂點(diǎn)G落在。。上，對應(yīng)的x的值為2.

當(dāng)&EFG的直角頂點(diǎn)G落在OO上時(shí)，對應(yīng)的x的值為2.

(3)如圖①，

在RSEGF中，

tanZFEG=—=—=s/3.

GEx

尸G=氐.

:.S^-GE-FG=-x-y/3x^—x2.

222

如圖③，

RE=2ED=6-2x,

圖③

GR=GE-ER=x-(6-2x)=3x-6.

tanZSRG=-=-^-

RG3x-63

SG=s/3(x-2).

SSGR=gSG?RG=：?/(x_2)?(3x-6).

~(x-2)2.

22,

sGEF-2人

,,S=S&GEF-S^SGR

號坐E

=-盡+6瓜一6日

綜上所述：S=2'7

-岳2+6氐一6石（2<x<3）

當(dāng)尸G與O。相切于點(diǎn)7時(shí)，延長FG交/。于點(diǎn)。，過點(diǎn)尸作尸KL4D,垂足為K,如圖④所示.

?.?四邊形A8CZI是矩形,

BC〃AD,ZABC=ABAD=90°

AAQF=ZCFG=60°.

OT=^>,

:.OQ=2.

AQ=y/3+2.

VZFKA=ZABC=ABAD=90°,

四邊形/BFK是矩形.

:.FK=AB=3,AK=BF=36-瓜.

:.KQ=AQ_AK=（6+2）_（3舁瓜）=2-2他+瓜.

在RtA尸K。中，tanNFQK=》=C.

QK

/.FK=6QK.

，3=g（2-2G+瓜）.

解得：x=3一冬2.

.:FG與。。相切時(shí)，S的值為三叵一6.

6

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，矩形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、切線的性質(zhì)、切線長定理、垂徑定理、

軸對稱性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值、30。角所對的直角邊等于斜邊的一半、等腰三角形的性質(zhì)等知識，綜合

性非常強(qiáng).

13.如圖1,在邊長為6的正方形48。中，￡是邊CD的動(dòng)點(diǎn)，以E為圓心，為半徑作圓，4F與G>E

相切于點(diǎn)尸，連接E尸并延長交2C于點(diǎn)G,連接4E、AG.

(1)求證：AABG會(huì)—FG；

(2)如圖2,/E與相交于點(diǎn)"連接3〃并延長交/。于點(diǎn)K,當(dāng)滿足OK+EG+CG=12時(shí)，試判斷5K

與的位置關(guān)系并說明理由.

【答案】(1)見解析

(2)歐與的位置關(guān)系是相切，理由見解析

【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，圓的切線的判定定理和性質(zhì)定理，找出全

等三角形是解題關(guān)鍵.

(1)根據(jù)正方形的性質(zhì)和圓的切線的性質(zhì)，可證Rt"E尸之Rt”即(HL),進(jìn)而推出NO=N尸=/3,利用

“HL”即可證明△43G經(jīng)△AFG；

(2)同(1)理可證：RUABG^Rt^AFG,推出OK+QE=6,從而得出花=OE,證明小肱為。4磯5人$),

得到=ZDK4,進(jìn)而得到/4麻=90。，證明出BK是的切線，即可得解.

【詳解】(1)證明：???四邊形458是正方形，

:.AB=AD,ZB=ZADC=90°,

??,以E為圓心，DE為半徑作圓，4月與。E相切于點(diǎn)R

EF=ED,ZAFE=90°,

在RIAAEF和Rt"ED中，

[AE=AE

\EF=ED，

.?—ETWRt"瓦）（HL）,

...AD=AF,

AF=AB,

在RUABG和RtAAFG中，

fAG=AG

[AB=AF'

,RtRtA^FG(HL)；

(2)解：3K與。石的位置關(guān)系是相切，理由如下:

???四邊形/5CQ是正方形，

/.AB=BC=CD=AD=6,

同(1)理可證：Rt"5GgRt△/產(chǎn)G,

BG=FG,

EG=EF+FG=DE+BG,

'：DK+EG+CG=\2,

:.DK+DE+BG+CG=DK+DE+BC=n,

.\DK+DE=6,

?「AD=AK+DK=6,

AK=DE,

在△4BK和△"￡中，

AB=AD

<ZBAK=ZADE=90°,

AK=DE

:ABK知DAE(SAS),

:.ZAKB=ZDEA,

???/DAE+ZDEA=180°-ZADE=90°,

.?./DAE+/AKB=90。,

ZAHK=90°f^AELBK,

???EH是半徑,

:.BK是OE的切線.

14.如圖，是。。的直徑，連接5。交。。于點(diǎn)。，連接/C、AD,使得4B2=BDBC.

C

￡

(()j

⑴試判斷AC與QO的位置關(guān)系并說明理由

(2)若點(diǎn)E是麗的中點(diǎn)，4E與BC交于點(diǎn)尸,求證：CA=CF.

【答案】(1)相切，理由見詳解

(2)見詳解

【分析】(1)由圓周角定理得到4408=90。，證得4/8。5/i。氏4,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得至!|

/4DB=/C4B=90。，根據(jù)切線的判定定理即可證得結(jié)論；

(2)由弧和圓周角的關(guān)系證得=根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和三角形的外角定理證得

ZCAF=ZAFC,由等腰三角形的判定定理即可證得結(jié)論.

【詳解】(1)解：相切，理由如下，

48是是。的直徑,

ZADB=90°,

?1-AB-=BDBC,

.ABBD

-AB)

ZABD=NCBA,

AABDsACBA,

ZADB=/CAB=90°,

:.ACLAB,

是。。的切線；

(2)證明：；ZADB=NCAB=90°,

：.ZCAD+ZC=ZC+ZB,

ZCAD=NB

:點(diǎn)E是訪的中點(diǎn)，

NBAE=ZDAE,

ZAFC=ZB+ZBAF,

ZCAF=ZCAD+ZDAE=ZB+ZBAF=ZAFC,

CA=CF.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理，弧和圓周角的關(guān)系,

等腰三角形的性質(zhì)和判定，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)定理是解決問題的關(guān)鍵.

15.如圖1,。是正方形/BCD對角線上一點(diǎn)，以。為圓心，0C長為半徑的。。與4。相切于點(diǎn)￡,與/C

相交于點(diǎn)尸.

/ED/ED

⑴求證：48與。。相切.

（2）若正方形的邊長為行+1，點(diǎn)”是半徑OC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作"NLOC交近于點(diǎn)N.當(dāng)

QW:FW=1:4時(shí)，求CN的長

【答案】（1）證明見解析；

屈

-5

【分析】（1）如圖1,連接OE,過點(diǎn)。作。GL/8于G,證明ACME*AONG（AAS）,得至l]OE=OG,即可

求證；

（2）連接OE,并反向延長OE交8c于〃，連接ON,可得EHJ.BC,得到/OHC=90。，

EH=CD=41+\'進(jìn)而得△O〃C為等腰直角三角形，得到0。=收0〃，設(shè)。。的半徑為無，貝U

OE=ON=OC=x,AC=2x,可得的=^+l-x，即得。。=也。以=/（收+l-x）,得至

x=V2（V2+l-x）,即可得x=VI,得至IJOE=ON=OC=血，/C=2也，再由CW:=1:4可得

CM=-y4C=—,得至1]。11=。。-。/=逑，最后利用勾股定理得到上W=，0鑄-0”=逑,進(jìn)而

5555

利用勾股定理即可求解；

【詳解】（1）證明：如圖1,連接OE,過點(diǎn)。作。GLAB于G,

為。。的切線，點(diǎn)E為切點(diǎn)，

OE1AD,

：.ZAEO=NAGO=90°,

???四邊形N2CD是正方形，4C是對角線,

Z.ZOAE=NOAG=45°,

XVAO=AO,

；.AOAE^AOAG(AAS),

：.OE=OG,

：.4B與。O相切；

A______&D

圖1

(2)解：連接OE,并反向延長OE交3c于〃，連接ON,

?；4D為。。的切線，點(diǎn)E為切點(diǎn)，

OE±AD,

:四邊形4BCD是正方形，

Z.AD//BC,//CB=45。，

/.EH1BC,

：.AOHC=90°,EH=CD=6+I，

：.△OHC為等腰直角三角形，

OC=42OH，

設(shè)。。的半徑為x,貝l]OE=ON=OC=x,AC=2x,

??OH=V2+1—x>

OC=V2O//=V2(V2+l-x),

X-V2+1-X),

解得x=A/2,

：.OE=ON=OC=6，F(xiàn)C=2V2，

'：CM:FM=1:4,

?1口廠2^2

??CM=—FC=,

55

??OM=OC—CM=J2---------=-------,

55

MN1OC,

：.ZOMN=ZCMN=90°,

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判

定和性質(zhì)，勾股定理，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

壓軸題型四正多邊形問題

16.