2024-2025學(xué)年浙江省杭州市高一上學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測試

數(shù)學(xué)試題

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合

題目要求的.

]設(shè)全集為(二L2.3.4,5,6|,4=LJ.b,fZ?={L3,4]則8c(L/)二()

A.{L4；B.；2,5|C.；6；D"l,3,4,6}

2.已知匕相1(-*=；,、為第二象限角，則COST=(

)

A.叵B"C.3>/ion3710

10101010

3.已知sina+cosa=JT>貝Usina-cosa=()

D"

A6B.1C.0u.----

2

4.累函數(shù)y=/(.t)的圖象過點則函數(shù)y=x/(xl的值域是()

A(-00,+oo)B.卜8,；)C.-卜8)D.

2x

5.函數(shù)F=的圖象大致為()

第1頁/共5頁

855

6.若函數(shù)/（x]=----{6>a>0）的定義域為[a〃],值域為2a--.26--,貝Ua+力等于（）

55

A.-B.-C.5D.6

42

7.某學(xué)校生物興趣小組同學(xué)自制生態(tài)瓶，根據(jù)水中的生物種類數(shù)S與生物個體總數(shù)N研究生態(tài)瓶水質(zhì)，設(shè)

立生物豐富度指數(shù)d=R作為生態(tài)瓶水質(zhì)評價指標(biāo).生物豐富度指數(shù)d越大，水質(zhì)越好.若經(jīng)過老師指導(dǎo)

InN

調(diào)整以后生態(tài)瓶生物種類數(shù)S沒有變化，生物個體總數(shù)由，%變?yōu)?生物豐富度指數(shù)由3.1提高到4.65,

則（）

A.3V,=2,V,B,2V;=3.V,

C.D,N：=N：

8.在下列區(qū)間中，函數(shù)/3=4sin|2x-”-x1不存在零點的是（）

A.I，-2]B.[-2,0]c,[0,2]D,[2,4]

二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選

對的得6分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.以下結(jié)果正確的是（）

A.logI3+21g4+lg：+eK=?

：

B.若/a7_1,貝！）不-a=1I

l<U—1

c.673O'=L

8

Dsin72cos42-cos72sin42=-

第2頁/共5頁

10.下列命題正確的是（）

A.不存在函數(shù)/（x|、如力滿足定義域相同，對應(yīng)關(guān)系相同，但值域不同

B.命題（。+?）,Inx=X-1”的否定是“Vx史（0,+句，Inx=X-1

C.已知a,。是第一象限角，貝Ij“a>6”是“sina>sin^”的充要條件

4+8C

D.48（：三個內(nèi)角/,B,C滿足coL-=sin

22

11.已知函數(shù)/（x）=sin（（ox+<p）（co>0）,且/（：）■]*則（）

3兀.

A.若@=1,則對稱軸方程為?質(zhì)，kwZ

B.若3=3,則函數(shù)向左移動￡得到1=sin”

4

27r

C.函數(shù)/（X）周期為7=才,kwZ

—人'+1

D.若/（X）在區(qū)間上單調(diào)，則”>最大值為9

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

237r

12tan--=_____________.

6

13.已知〃x）=2sin（（ox+w）?>0）,M,N是直線F=-1與曲線I=/（”最近的兩個交點，且

|A/AT|=y,則3的值為

14.已知函數(shù)J=/（K）滿足：①/（X）=/（T）；②Y"*0,卜仆）

/l.vl'

，/x+y1/lx）+/（y]

f|-pI<:----廠一，請寫出一個你認(rèn)為符合上述要求的函數(shù).

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

15.已知函數(shù)/（x）=7Jpx+g,A=|x|/（x）>0）,集合~y>0.

11'2x+l

(1)求B；

(2)若,4：8,求P，q值;

(3)若/(1)=。,求4

第3頁/共5頁

16.已知定義在I2,21上的函數(shù)〃圖象關(guān)于原點對稱，且=

4-x"3

（1）求/（W的解析式；

（2）判斷的單調(diào)性，并用定義證明；

⑶解不等式〃3'

17.在平面直角坐標(biāo)系xO.Y中，。是坐標(biāo)原點，角a的終邊0.4與單位圓的交點為A,射線04繞點。按逆

時針方向旋轉(zhuǎn)。弧度后交單位圓于點8,記點8的縱坐標(biāo)r關(guān)于。的函數(shù)為y=/（e）,終邊08對應(yīng)角仇

（2）對（1）中"，若/（用=egL.yj,求tan?；

Ji兀八3兀JT?

（3）若二＜。＜、＜0＜不，A的縱坐標(biāo)為土，B的橫坐標(biāo)為-二―，求8a.

18.為鼓勵應(yīng)屆畢業(yè)大學(xué)生自主創(chuàng)業(yè)，國家對應(yīng)屆畢業(yè)大學(xué)生創(chuàng)業(yè)貸款設(shè)立優(yōu)惠政策.現(xiàn)有應(yīng)屆畢業(yè)大學(xué)生

甲貸款開設(shè)某型號節(jié)能板銷售公司，銀行提供48萬元無息貸款作為啟動資金，同時提供貸款120萬元（年

利率為5%）.已知該企業(yè)每月運行成本為44000元，該節(jié)能板的進(jìn)價為每件140元，該店月銷售量0（百

件）與銷售價格p（元）的關(guān)系如下圖（每段圖象為直線段，/|140,22|,200.101,。260,4））.

第4頁/共5頁

I。(百件)A

20-\

15-\

10-V

5■\C

0\50100150200250p(x；)

(1)請寫出月利潤乙關(guān)于P的函數(shù)關(guān)系式；

(2)當(dāng)節(jié)能板的價格為每件多少元時，月利潤的余額最大?并求最大余額；

(3)該企業(yè)把所有利潤積累起來，準(zhǔn)備一次性還清所有貸款.假設(shè)該企業(yè)每月銷售情況不變，則該企業(yè)還清

貸款至少需要幾年

參考數(shù)據(jù)：1.05,*1.48,1.05',1.55,I.。嚴(yán)*1.63,1.051'-1.71,1.0543?8.15.1.0544?836)

19.一般地，設(shè)/,8分別為函數(shù)丁=/(x)的定義域和值域，如果由函數(shù)y=/(x)可解得唯一x=也

是一個函數(shù)即對任意一個IE8,都有唯一的』與之對應(yīng)，那么就稱函數(shù)K=(plj)是函數(shù)

的反函數(shù)，記作'(用?在、=/'(用中，y是自變量，x是y的函數(shù).習(xí)慣上改寫成

］，=/IxMxeB..re.4)的形式.比如：函數(shù).r=xlx20)的反函數(shù)求法為：第一步：反解：

vy=.ri>->()),.1..1=77；第二步：互換字母：.?.)?=五；第三步：求定義域：易知原函數(shù)

j=x1x20］值域為「2Q,故反函數(shù)定義域為CO,反函數(shù)為丁=“1x201.記函數(shù)

y=In1+J./+1)的反函數(shù)為F=g("，且有函數(shù)了=川x)滿足g(x)+/r(x)=e"(其中e為自然對數(shù)

的底數(shù))?

(1)求函數(shù)，M-v)；

(2)若關(guān)于x的不等式助12.v|+川X)N-g'(x)一片+1對xe［-In2」n2上恒成立，求實數(shù);.的取值范圍;

Ie"+1「+(e4-11"

(3)若關(guān)于X的方程g(x)+3〃(x)=4有兩根玉，川八>川，求'’-~L的最小值.

(X,+xj

2024-2025學(xué)年浙江省杭州市高一上學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測試

數(shù)學(xué)試題

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合

題目要求的.

1.設(shè)全集為"二g,(i，，],則()()

A.{L4jB.)2,5*C.；6；D.；l,3,4.6[

【答案】B

【解析】

【分析】先根據(jù)補集的定義求出6=[2,5,6),。/=[2,3,5),再由集合交集的定義求解即可.

【詳解】因為全集U=1,2,3,4,5,61,A=1.4.6,rtf=；1,3,4；,

所以8=；2,5,6：,「4=235，

所以8c(「4)=|2,5；.

故選：B.

2.已知tan|Jt-x)=—，X為第二象限角，則cost=()

A屈R710「3>/ion3M

10101010

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式計算可得tanr=-；,結(jié)合同角的三角函數(shù)關(guān)系建立方程組，解之即可求解.

【詳解】由tanf-xi=-lanv=1,得taav=-1，

?133

,?,工是第二象限角，

sinxI,—

tanx=-——-=——…J()

cos.v3，解得co”=-1.

?22t10

(sin*x+cos*x=1

故選：D

3.已知+cosa=y/T，則sina-cosa=()

第1頁/共20頁

A.JlB,1C.0D.7-

2

【答案】c

【解析】

【分析】將$ina+cosa=JT兩邊平方，可得Sinacosa=1,計算(sina-cosaf進(jìn)而可求解.

【詳解】將§ina+cosa=JT兩邊平方，得$in：a*2sinacosa*cos'a=2，

即r.acosa=1,所以(sina-ssa)?=l-2sinacosa=0,

所以$inacosa=0.

故選：C.

4.暴函數(shù)F=/(x)的圖象過點則函數(shù)y=x的值域是()

A.(-?>,+QO)B.b8,3)C.-；收)D.(-*00

【答案】C

【解析】

【分析】設(shè)/(K)=X",帶點計算可得〃x)=J，得到v=.［，令”［轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的值域求解

即可.

【詳解】設(shè)/g=x",

代入點|2.、6|得r="

.-./(x)=x5

則「?尸，令,二，此0

函數(shù)的值域是I"”

故選：C.

第2頁/共20頁

2x

5.函數(shù)，=-T—的圖象大致為（）

Inx\

【答案】B

【解析】

【分析】先求函數(shù)定義域，排除A,再根據(jù)函數(shù)奇偶性排除B,再通過特殊值排除D得答案.

2x

【詳解】函數(shù)丁=「的定義域為卜|.1工±1且,排除N項；

In11，

―2x2x

=7■七二m，二1=Fn奇函數(shù)，排除c項；

In|x|In\x\

4

再取特殊值當(dāng)j=2時，v=——>0,排除。項.

In2

故選：B.

【點睛】本題考查已知函數(shù)解析式選函數(shù)圖象問題，考查函數(shù)的定義域，奇偶性，函數(shù)值等性質(zhì)，是中檔

題.

br55

6.若函數(shù)〃X|=1-S>a>0）的定義域為[ab],值域為2a--,2b--,貝+〃等于（）

xL22.

55

A.-B.-C.5D.6

42

第3頁/共20頁

【答案】A

【解析】

【分析】由題意知/>0,確定函數(shù)/(."在可上的單調(diào)性和值域，列式求解即可得。+力的值.

【詳解】；，"、u>0,二』'>0,

6

，則函數(shù)/(*=土(。，人為常數(shù)，且方>。>口在(0.1工1單調(diào)遞增,

又?..函數(shù)的定義域為同，

二函數(shù)的值域為[/(“)，/?],

/|a)=-ah''=2a~—-ab=2a2--a

八/22

5

bAN?44

fl6)==2b—-ah=2h2—b

h22

5

：.a+b=

4

故選：A

7.某學(xué)校生物興趣小組同學(xué)自制生態(tài)瓶，根據(jù)水中的生物種類數(shù)S與生物個體總數(shù)N研究生態(tài)瓶水質(zhì)，設(shè)

,5-1

立生物豐富度指數(shù)d=,二作為生態(tài)瓶水質(zhì)評價指標(biāo).生物豐富度指數(shù)d越大，水質(zhì)越好.若經(jīng)過老師指導(dǎo)

InN

調(diào)整以后生態(tài)瓶生物種類數(shù)S沒有變化，生物個體總數(shù)由乂變?yōu)镹：,生物豐富度指數(shù)由3.1提高到4.65,

則()

A.3,V;=2,V,B."%=3.V,

C.N；=MD.N；=N：

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)公式列出調(diào)整前后的生物豐富度指數(shù)表達(dá)式，對①②式進(jìn)行變形，根據(jù)對數(shù)運算得出答案.

【詳解】由題意得K=31①，2=465②，

InA,InM

則3.1lnjV,=4.65ln：V.,

第4頁/共20頁

即V—,即/6\:二/八：，

所以N；=N：,

故選：D

8.在下列區(qū)間中，函數(shù)/(xi=4sin|2x-l|-x1不存在零點的是()

A.[-4,-2)B,[-2,0]C.|0,2|D,[2,4]

【答案】D

【解析】

【分析】將函數(shù)的零點轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象交點，再利用數(shù)形結(jié)合可得答案.

(詳解】函數(shù)/(x)=4sin(2x-1)-x-1零點為g[X)=4sin(2x-1)與x)=x+1的圖象交點橫坐標(biāo),

在同一坐標(biāo)系中畫出g(x)=4sin12x-1)與川*=x+1的圖象

由圖可知g(x)=4sin(2xI)與川x)=.x-1的圖象在區(qū)間[2,4]上無交點.

所以選項中，函數(shù)/(x)=4sin|2r-l|-x1不存在零點的區(qū)間[2,4].

故選：D.

二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選

對的得6分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.以下結(jié)果正確的是()

3ta2

A.Iogl3+21g4+lg|+e=ll

goL

B?若不〃：一1，則。-Q：=11

uu-1

c6730，=3兀

8

第5頁/共20頁

D-Mn72co#42-COS72MI42--

【答案】ACD

【解析】

【分析】運用對數(shù)的運算法則計算即可判斷A；根據(jù)指數(shù)累的運算法則結(jié)合完全平方公式計算即可判斷B；

通過角度制與弧度制的互化可判斷C；通過逆用兩角差的正弦公式計算可判斷D.

【詳解】對于A選項，Iog13+2lg4+lg1+e””：

8

;b;

=logrl3+lg4+lg1+e

o

=--+lg|I6X-1+8

2\8/

1,17

=--+l+8o=—,故A正確；

對于B選項，因為，q，=1，兩邊平方，得。?J-2二1，

解得口,a二3,兩邊平方，得口：+。：+2=9,

所以a：+口：=7,故B錯誤；

k3

對于C選項，6730'=67.5=67.5x——=,故c正確；

IoUo

對于D選項，sin72,cos420-cos72'sin42'=sin（72°-42'j=sin300=—,故D正確.

故選：ACD.

10.下列命題正確的是（）

A.不存在函數(shù)/（力、gkl滿足定義域相同，對應(yīng)關(guān)系相同，但值域不同

8.命題“女€（0,+（動，ln.t=x-1”的否定是“Vx史（0.+8）,ln.r=i-1

C.已知a,P是第一象限角，貝ij"a>B”是“sina>sin^”的充要條件

A+B.C

D.三個內(nèi)角）,B,C滿足cos、-=sin、

【答案】AD

【解析】

【分析】對于A,利用相同函數(shù)定義即得；對于B,利用帶量詞的命題的否定要求即可判斷；對于C,通過

取反例即可排除；對于D,利用三角形內(nèi)角和關(guān)系與誘導(dǎo)公式推理即得.

第6頁/共20頁

【詳解】對于A,由函數(shù)的定義可知，當(dāng)兩個函數(shù)的定義域相同，對應(yīng)關(guān)系相同,

則值域一定相同，故A正確；

對于B,命題"上+工)，Ini=K1"否定是"Uxe(0,+8),Inxwx1",故B錯誤;

137rc兀n■n

對于C,若取a=T，p=~,滿足a,P是第一象限角，且a>6A,但Sina<sin#,故c錯誤;

o3

對于D,因為.4+B+C=x,所以』=

ABitCA+BnC.C

所以一^―=彳-彳，ffrKcos——=cos(--—)t=sin-,故D正確.

故選：AD.

11.已知函數(shù)/(x)=sin((ox+(p)?>0),且=/yj=O,貝|()

3n,

A,若"=1,則對稱軸方程為、=-,，履，kwZ

4

B.若@=3,則函數(shù)向左移動￡得到〕=$in3x

4

27c

C.函數(shù)周期為r=,kwZ

NA?1

(7、

D.若/⑶在區(qū)間噌，2;JC上單調(diào)，則3最大值為9

【答案】ACD

【解析】

【分析】對于A,由已知求得〃x|=sin(x+：),求出對稱軸方程，即可判斷；對于B,由已知求得

〃x)=sin(3x-；J,由平移變換得到尸cos3x,即可判斷；對于c,由己知可得

37rli7T

;+h、l&eZ|,求出周期，即可判斷；對于D,由已知可得0<。412,

4442

又0=2N+1,kwZ,驗證可得3的最大值，即可判斷.

【詳解】對于A,當(dāng)e=1時，/(x)=sin|x?⑺，

nn

—+<p=2kn+—

由田，/42"71

°,得,(RGZ),

3n.

+(p=AK

第7頁/共20頁

解得g=2kn?

(x|=$in(x+

令x+E=女兀+工［AeZ),得工=〃苑+工(AwZ),

424

即'=-''-履，kwZ,故A正確；

4

對于B,當(dāng)0=3時，/(x)=sin(3x+(p),

解得0=2A”：(hZ),

/./(x)=sin卜x-：),

將/(xI向左平移5sinI3.v+^j=cos3.v,故B錯誤;

4

對于c,由八￡=TT,

=￡+i.L(iGZ),

\4y

27r

解得『=77；,AeZ,故c正確;

2A-+1

對于D,函數(shù)/(x)=sin(ox+<p)(o>0)在區(qū)間上單調(diào),

2nIKKTp__7t

則-------：——《一,解得丁2一,

3121226

2itn

所以即0<3412,

(o6

不2兀2n..,

又T=：7；~；=一,keZ,則?二2大+1,*eZ,

2A+1a)

檢驗：當(dāng)氏二5時，①二11,此時：口=§inI1一「，

又由/百=I,即嗚卜加「flllt\卜

第8頁/共20頁

解得C=4c/,

所以/（x）=sin（llx-：）,

此時函數(shù)/（x]在區(qū)間（工?,上不單調(diào),不滿足題意;

當(dāng)&=4時，?=9,止匕時I\=sin'<r+?,

又由/（：'=],即/（：）=sin（1+e）=l,解得9=2版keZ,

所以/（x）=sin9x+,

此時函數(shù)/（W在區(qū)間（爺,上是單調(diào)函數(shù)，滿足題意，

綜上所述，3的最大值為9,故D正確.

故選：ACD.

27r

【點睛】關(guān)鍵點點睛：D選項，得到0<co412后，由丁二二一，kcZ,得&=M+1,kcZ,再驗

2A+1

證可得3的最大值.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

237r

12.tan---=

6-------------

【答案】-W##」總

33

【解析】

【分析】直接利用誘導(dǎo)公式化簡計算即可

【詳解】tan-71tan[4兀-三]=-tan”=--,

6I6）63

故答案為：-正

3

13.已知/（X）=2sin（cox+@）（（o>0）,M,N是直線「--i與曲線,r=/（x）最近的兩個交點，且

第9頁/共20頁

，八,則3的值為.

9--------

【答案】3

【解析】

【分析】根據(jù)/3=1得磯…）彳，即可解出"■>的值.

【詳解】相鄰的兩個交點/，N的橫坐標(biāo)分別為，1,億>，/,則4，

?/2sin（to.t?<p|=1,

to.v+（p=-—+2kn或-''+2K,keZ,

66

,it5K

令&二0,得（叫+（/>=——,（t）k+（p=-----,

66

則-4)=仔,故a=3.

故答案為：3.

14.已知函數(shù)y=/U)滿足:①/3=/|x|；②Y"*0,/僅；③

\y)f[y]

JX*Vy/1.VI+f（v|

/—,請寫出一個你認(rèn)為符合上述要求的函數(shù)

【答案】〃*=丁（答案不唯一

【解析】

【分析】由題意，可知函數(shù)為偶函數(shù)，舉例驗證即可.

【詳解】由八一W二八”，知函數(shù)為偶函數(shù)，

M_/u)(x+y]<+

當(dāng)xw0時,

⑴一/(M【工尸2~

可取函數(shù)/（X）=/,則/（T）j-xfMX，=/（X）,故滿足①;

3產(chǎn)、2』/（X）

當(dāng)Xw0時,［才亍=7=7（7）故滿足②;

第10頁/共20頁

…/(口=("斤,

l2J422

x:+v:(x+y尸x2+y2-2xy(x-y):.

----乙—-——=----L--------=-——>0，

2444

故'故滿足③

\2)2

故答案為：答案不唯一?

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

3_2x

(x>.

(1)求8；

(2)若4=8,求p,q的值；

(3)若〃1)=0,求4

【答案】(l)1.v|-1<-v<|l

,3

(2)p=-\,q=-(3)解析見詳解

4

【解析】

【分析】(1)解分式不等式即可；

(2)根據(jù)集合相等，利用函數(shù)的零點和方程根的關(guān)系結(jié)合韋達(dá)定理求解；

(3)先由./(1)=。得到p,q的關(guān)系，代入后求解含參的一元二次不等式即可.

【小問1詳解】

3.2x1313

由^^_；■>()得，3-2x(2x+l)>0,解得一7(xv；,即

2x+\2222

【小問2詳解】

[?3]

由8=(x|-二<K<彳｝，4=8知，

第11頁/共20頁

【小問3詳解】

因為/11|=-1、p+夕=0,所以(/=p+1,

所以一Y-px+p+l>0,Bp|x+p+l)(x-l)<0,

當(dāng)即p>-?時，-p-I<i<I,止匕時d=(i|-/>-I<x<I);

當(dāng)-P-I=I,即p=-2時，(x-l|'<0,解集為0,此時.4=0；

當(dāng)-即時，此時-I=：,r1<r<--1；

16.已知定義在，上的函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱，且/（-"=-!?

4—X5

（1）求的解析式；

（2）判斷/（W的單調(diào)性，并用定義證明;

（3）解不等式〃3'-1卜;>0.

【答案】（1）〃“=盧亍

4-x*

（2）單調(diào)遞增，證明見解析

（3）Ilog,2.1|

【解析】

【分析】（1）由關(guān)于原點對稱可得〃0）=0,=再結(jié)合代入計算即可得;

（2）借助單調(diào)性的定義證明即可；

（3）結(jié)合奇函數(shù)性質(zhì)及函數(shù)單調(diào)性，列不等式求解即可.

【小問1詳解】

定義在（22）上的函數(shù)/"=+h圖象關(guān)于原點對稱，

為（—22）上的奇函數(shù)，.==0,解得分=0；

4—0

ax

???/(x)=

4-x:'

t.一o1r

又〃叫=匚可故"1，"3=口,

其滿足=47r=-/3,故/（W為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱,

第12頁/共20頁

即/111二,;

4-i

【小問2詳解】

〃“在（2,2）上單調(diào)遞增;

證明如下：令-<J,<J：<->

X]x,4x.-x.x；-4x,+x,x?

???/xj-/X=—Ly-—4-=-

2『；2上「2、

4-±4-4（4-XI）（4-X^）

_*演-±）+.yq（3-士）_（4+0-KJ

（4-x*）（4-x^）（4-X,2）（4-X；）

由-?<T<J<：,

則內(nèi)>0,X]_.q<0,（4_x：）（4_x；）>0,

■1?/（-<））-/（巧）<0,

即在（-22）上單調(diào)遞增；

【小問3詳解】

由題意可得/（“為奇函數(shù)，

故由/（3=1卜；>0,==

又/（x|在（22）上單調(diào)遞增，

31-1>1,、

則有1、、，.、，解得：5<，

-2<3-1<2

故不等式的解集為（bg、21|.

17.在平面直角坐標(biāo)系1。卜中，。是坐標(biāo)原點，角a的終邊0.4與單位圓的交點為A,射線04繞點。按逆

時針方向旋轉(zhuǎn)9弧度后交單位圓于點8,記點8的縱坐標(biāo)「關(guān)于8的函數(shù)為了=/（。），終邊08對應(yīng)角人

第13頁/共20頁

(2)對(1)中a,若八町二成上#,Oej九4：'■求tan。；

'4I3J

(3)若A縱坐標(biāo)為3y5,8的橫坐標(biāo)為-也，求8a.

422510

【答案】(l)?"+2E(AeZi

6

3n:

(2)1(3)—

4

【解析】

【分析】(1)根據(jù)三角函數(shù)的定義求解即可；

(2)根據(jù)誘導(dǎo)公式得sin(9+；)=-&：6,利用同角的平方關(guān)系求出ian(6+：

結(jié)合

tan6=lan[(6+^)一￡和兩角差的正切公式計算即可；

(3)根據(jù)三角函數(shù)的定義、同角的平方關(guān)系和二倍角的正余弦公式計算可得sin2a=：、cos2a3

5

sin(a+。)=-、￥,結(jié)合cos[(0+a|-2aj和兩角差的余弦公式計算即可求解.

【小問1詳解】

因為sina=-；,且加＜0,點/在第三象限，

所以a=女?2AJT?AeZ?；

6

【小問2詳解】

第14頁/共20頁

工十,.yjl+y/b.(In八.(八nAV?+>/6

由于f(Q\=_———,得sin|—+。=-sm0+—=——-——

4k6J1674

日n?r0J、V2+V64n)

即sin0+--=一■--------，又UwK.〈I，

I6)4k3)

得O+言，所以cos(0+g<0,

6\2/\6,

n

tan0+--tan

71I6

得tanO=tan0+—〃=1;

661▲InnVn

I+tan0+—tani-

l66

【小問3詳解】

2J5

易知sina=----cos(a+fl)=--

10

7rA3兀-JJ5311AC兀C

由<a<一可知，coset=—，<a+e<27t,-<2a<x，

422542

43

從而sin2a=5,uos2a,由co$(a+6)=-

102

可知-：<a+0<二f,所以sin(a+0)=-

從而cos[[8+a）-2a]=——,易知。-aej.Jt|,

故。-a=—.

4

18.為鼓勵應(yīng)屆畢業(yè)大學(xué)生自主創(chuàng)業(yè)，國家對應(yīng)屆畢業(yè)大學(xué)生創(chuàng)業(yè)貸款設(shè)立優(yōu)惠政策.現(xiàn)有應(yīng)屆畢業(yè)大學(xué)生

甲貸款開設(shè)某型號節(jié)能板銷售公司，銀行提供48萬元無息貸款作為啟動資金，同時提供貸款120萬元（年

利率為5%）.已知該企業(yè)每月運行成本為44000元，該節(jié)能板的進(jìn)價為每件140元，該店月銷售量。（百

第15頁/共20頁

件)與銷售價格P(元)的關(guān)系如下圖(每段圖象為直線段，^1140.221,200.101,。260,4)).

O\50100150200250P0t)

(1)請寫出月利潤/關(guān)于P的函數(shù)關(guān)系式；

(2)當(dāng)節(jié)能板的價格為每件多少元時，月利潤的余額最大?并求最大余額；

(3)該企業(yè)把所有利潤積累起來，準(zhǔn)備一次性還清所有貸款.假設(shè)該企業(yè)每月銷售情況不變，則該企業(yè)還清

貸款至少需要幾年

參考數(shù)據(jù)：105'=1.48,1.05、1.55,1.05'°”.63，1.05“=1.71」.05"=8.15,1.05“=8.56)

,-20P'+7800P-744000,(140<P200|

【答案］(1)L=<

(-10P-+4400P-464000,(200<P<260)

(2)當(dāng)戶=220元時，月利潤余額最大為20000元

(3)最早可望在11年后還清

【解析】

【分析】(1)求出。與P的關(guān)系式，由題意可得A=140|xl0044000,繼而即可求解；

(2)由(1)解析式，分1404戶4200和200<P<260時討論，結(jié)合二次函數(shù)的最值即可求解;

(3)設(shè)可在第"年還清，結(jié)合題意可得R-2-5x2(I,代入?yún)⒖紨?shù)據(jù)計算繼而可求解.

【小問1詳解】

設(shè)該店月利潤余額為乙

則由題設(shè)得/?=(?(?140|x|0044000,

。-107-200

由圖可得線段AB的方程為:1404P4200,

22-10-140-200

即「-DIP+50.140<P<21)0；

g-IOP-200

線段8c的方程為:200<P<260,

4-10-260-200

第16頁/共20頁

即。=-D.IP-30,2(1。<P<260；

-0.2P+50J404P4200

所以。=?

-0.1P+30,200<PS260’

(-0.2P+50)(P-140)x100-44000,(1404P4200)

所以A=J

(-0.1P+30|(P-140)xl00-44000,(200<P<260)

一20尸+78OOP-744000,(140<P$200)

即L=.

TOP2+4400P-464000,(200<P<,260)

【小問2詳解】

當(dāng)1404P4200時，L=-20P:?7S00P-744000>

7X00

所以當(dāng)p=-------?=195元時，=16500(元)，

2x(-20)

當(dāng)200Vp4260時，￡=-10P:?4400P-464000>

4400

當(dāng)尸=------'=220元時，L量+=20000(元)，

2x(-10)至大

故當(dāng)戶=220元時，月利潤余額最大為20000元；

【小問3詳解】

設(shè)可在第”InEN')年還清，依題意有12ax2-48-120x1.05'>0>

BP?-2-5X|.O5*>0，

r=x-2的圖象與j=5KI.D、的圖象至多有兩個點，

又當(dāng)〃=10時，?-2-5xl,O5r?8-5xI.6J=-0,15<0.

,

當(dāng)”=11時，n.2-5xl.05?9-5x1.71=0.55>0-

當(dāng)“=43時，i-2-5x1.05'?41-5x8.15=0.25>0?-2-5x|.O5'?42-5x8.55=-0,75<0>

當(dāng)〃=44時，B-2-5x1.05'?42-5x8.56=-0.8<0>

可知函數(shù)/(〃)=〃-2-5x1.05”有兩個零點“(1011),%e(43,44),

當(dāng)〃時，R-2-5X1.05'>0>

又〃eN',所以最早可望在11年后還清.

第17頁/共20頁

19.一般地，設(shè)/,8分別為函數(shù)F=/(x)的定義域和值域，如果由函數(shù)F=/U)可解得唯一x=<P(]')也

是一個函數(shù)即對任意一個IE8,都有唯一的IW」與之對應(yīng)，那么就稱函數(shù)x=wl\|是函數(shù)

F=/(K)的反函數(shù)，記作x=/'(田?在田中，y是自變量，X是>的函數(shù).習(xí)慣上改寫成

.r=/re*的形式.比如：函數(shù)卜=*1x20]的反函數(shù)求法為：第一步：反解：

vy=.v2|.x>Oi,:.x=^；第二步：互換字母：；.]?=；第三步：求定義域：易知原函數(shù)

p=x1xN0)值域為r2。，故反函數(shù)定義域為CO,反函數(shù)為.r=.記函數(shù)

)=In1+G+I)的反函數(shù)為F=g⑶，且有函數(shù)1=川x)滿足g(x)+Mx)