等腰三角形

第1頁第20講┃等腰三角形考點聚焦歸類探究考點1等腰三角形概念與性質考點聚焦回歸教材中考預測定義有____相等三角形是等腰三角形．相等兩邊叫腰，第三邊為底性質軸對稱性等腰三角形是軸對稱圖形，有____條對稱軸定理1等腰三角形兩個底角相等(簡稱為：__________)定理2等腰三角形頂角平分線、底邊上________和底邊上高相互重合，簡稱“三線合一”兩邊

一

等邊對等角

中線第2頁第20講┃等腰三角形考點聚焦歸類探究回歸教材中考預測拓展(1)等腰三角形兩腰上高相等(2)等腰三角形兩腰上中線相等(3)等腰三角形兩底角平分線相等(4)等腰三角形一腰上高與底邊夾角等于頂角二分之一(5)等腰三角形頂角外角平分線與底邊平行(6)等腰三角形底邊上任意一點到兩腰距離之和等于一腰上高(7)等腰三角形底邊延長線上任意一點到兩腰距離之差等于一腰上高第3頁第20講┃等腰三角形考點2等腰三角形判定定理假如一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所正確邊也相等(簡寫成：___________)拓展(1)一邊上高與這邊上中線重合三角形是等腰三角形(2)一邊上高與這邊所正確角平分線重合三角形是等腰三角形(3)一邊上中線與這邊所正確角平分線重合三角形是等腰三角形等角對等邊第4頁第20講┃等腰三角形考點3等邊三角形考點聚焦歸類探究回歸教材中考預測定義三邊相等三角形是等邊三角形性質等邊三角形各角都______，而且每一個角都等于______等邊三角形是軸對稱圖形，有______條對稱軸判定(1)三個角都相等三角形是等邊三角形(2)有一個角等于60°等腰三角形是等邊三角形相等

60°

3

第5頁第20講┃等腰三角形考點4

線段垂直平分線考點聚焦歸類探究回歸教材中考預測定義經過線段中點與這條線段垂直直線叫做這條線段垂直平分線性質線段垂直平分線上點與這條線段兩個端點距離________判定與一條線段兩個端點距離相等點，在這條線段____________上實質組成線段垂直平分線能夠看作到線段兩個端點________全部點集合相等垂直平分線距離相等

第6頁第20講┃等腰三角形探究一等腰三角形性質利用命題角度：1.等腰三角形性質；2.等腰三角形“三線合一”性質．考點聚焦歸類探究回歸教材中考預測歸類探究例1如圖20－1，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD是BC邊上中線，∠ABC平分線BG，交AD于點E，EF⊥AB，垂足為F.求證：EF＝ED.圖20－1第7頁第20講┃等腰三角形考點聚焦歸類探究回歸教材中考預測解析

依據等腰三角形三線合一，確定AD⊥BC.又因為EF⊥AB，然后依據角平分線上點到角兩邊距離相等可證實結論．第8頁第20講┃等腰三角形考點聚焦歸類探究回歸教材中考預測證實

∵AB＝AC，AD是BC邊上中線，∴AD⊥BC.∵BG平分∠ABC，EF⊥AB，∴EF＝ED.

第9頁第20講┃等腰三角形

(1)等腰三角形性質揭示了三角形中邊與角轉化關系，由兩邊相等轉化為兩角相等，是證實兩角相等慣用方法；(2)等腰三角形“三線合一”是證實兩條線段相等、兩個角相等以及兩條直線相互垂直主要依據．考點聚焦歸類探究回歸教材中考預測第10頁第20講┃等腰三角形探究二等腰三角形判定命題角度：等腰三角形判定．圖20－2

例2[·揚州]已知：如圖20－2，銳角△ABC兩條高BD、CE相交于點O，且OB＝OC.(1)求證：△ABC是等腰三角形；(2)判斷點O是否在∠BAC平分線上，并說明理由．第11頁第20講┃等腰三角形考點聚焦歸類探究回歸教材中考預測解析

(1)利用△BDC≌△CEB證實∠DCB＝∠EBC；(2)連接AO，經過HL證實△ADO≌△AEO，從而得到∠DAO＝∠EAO，利用角平分線上點到角兩邊距離相等，證實結論．第12頁第20講┃等腰三角形考點聚焦歸類探究回歸教材中考預測

解

(1)證實：∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB.∵BD、CE是兩條高，∴∠BDC＝∠CEB＝90°.又∵BC＝CB，∴△BDC≌△CEB(AAS)．∴∠EBC＝∠DCB,∴AB＝AC.∴△ABC是等腰三角形．第13頁第20講┃等腰三角形考點聚焦歸類探究回歸教材中考預測

解

(2)點O在∠BAC平分線上．理由以下：連接AO.∵△BDC≌△CEB，∴DB＝EC.∵OB＝OC，∴OD＝OE.又∵∠BDC＝∠CEB＝90°，AO＝AO，∴△ADO≌△AEO(HL)．∴∠DAO＝∠EAO.∴點O是在∠BAC平分線上

第14頁第20講┃等腰三角形

要證實一個三角形是等腰三角形，必須得到兩邊相等，而得到兩邊相等方法主要有：(1)經過等角對等邊得兩邊相等；(2)經過三角形全等得兩邊相等；(3)利用垂直平分線性質得兩邊相等．考點聚焦歸類探究回歸教材中考預測第15頁第20講┃等腰三角形探究三等腰三角形多解問題命題角度：1．碰到等腰三角形問題時，注意邊有腰與底邊之分，角有底角和頂角之分；2．碰到等腰三角形高線問題要考慮高在形內和形外兩種情況．考點聚焦歸類探究回歸教材中考預測例3[·畢節]

已知等腰三角形一邊長為4，另一邊長為8，則這個等腰三角形周長為(

)A．16B．20或16C．20D．12C

第16頁第20講┃等腰三角形考點聚焦歸類探究回歸教材中考預測解析

因為已知長度為4和8兩邊，沒有明確哪條邊是底邊哪條邊是腰，所以有兩種情況，需要分類討論．①當4為底時，其它兩邊長都為8，長為4、8、8三條線段能夠組成三角形，周長為20；第17頁第20講┃等腰三角形考點聚焦歸類探究回歸教材中考預測解析

②當4為腰時，其它兩邊長分別為4和8，∵4＋4＝8，∴不能組成三角形，故舍去．∴答案只有20.第18頁第20講┃等腰三角形

綜合利用三角形內角和定理與外角性質、角平分線性質，靈活地利用這些基礎知識，合理地推理，能夠靈活處理內外角關系．得到結論．考點聚焦歸類探究回歸教材中考預測第19頁第20講┃等腰三角形探究四等邊三角形判定與性質命題角度：等邊三角形判定與性質綜合．考點聚焦歸類探究回歸教材中考預測例4如圖20－3，在等邊三角形ABC中，D、E分別是BC、AC上點，且CD＝AE，AD與BE相交于點P.(1)求證：∠ABE＝∠CAD；(2)若BH⊥AD于點H，求證：PB＝2PH.圖20－3第20頁第20講┃等腰三角形考點聚焦歸類探究回歸教材中考預測解析

(1)欲證∠ABE＝∠CAD，能夠經過證實△ABE≌△CAD得出；(2)欲證PB＝2PH，因為BH⊥AD于點H，在Rt△PBH中依據含30°直角三角形性質由∠BPH＝60°即可得到答案．第21頁第20講┃等腰三角形考點聚焦歸類探究回歸教材中考預測證實

(1)∵等邊△ABC，∴AC＝AB，∠C＝∠CAB.∵CD＝AE，∴△CAD≌△ABE.∴∠CAD＝∠ABE.(2)∵∠BPH＝∠BAD＋∠ABP＝∠BAD＋∠CAD＝60°，且BH⊥AD于點H，∴∠EBH＝30°.∴在Rt△PBH中，PB＝2PH.第22頁第20講┃等腰三角形

等邊三角形中隱含著三邊相等和三個角都是60°等條件，所以要充分利用這些隱含條件，證實全等或者結構全等．考點聚焦歸類探究回歸教材中考預測第23頁第20講┃等腰三角形探究五等腰三角形創新應用命題角度：等腰三角形性質“等邊對等角”與“等腰三角形三線合一”利用．考點聚焦歸類探究回歸教材中考預測例5如圖20－4，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，點A坐標是(1，0)，點B、C在y軸上，在x軸上是否存在點P，使△PAB、△PBC、△PAC都是等腰三角形？假如存在，請寫出點P坐標；假如不存在，請說明理由．圖20－4第24頁第20講┃等腰三角形考點聚焦歸類探究回歸教材中考預測解析

先由等腰三角形三線合一性質得出OB＝OC，∠OAB＝∠OAC＝60°，再取∠BPA＝BAP＝60°，所以PB＝AB＝PC＝AC，從而依據等腰三角形定義得出△PAB、△PBC、△PAC都是等腰三角形．第25頁第20講┃等腰三角形考點聚焦歸類探究回歸教材中考預測中考預測已知：如圖20－6，△ABC中，∠ABC與∠ACB平分線交于點F，過點F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E.請說明BD＋EC＝DE理由．圖20－6第26頁第20講┃等腰三角形

解

∵DE∥BC，∴∠3＝∠2(兩直線平行，內錯角相等)．又∵BF平分∠ABC，∴∠1＝∠2.∴∠1＝∠3，∴DB＝DF(等角對等邊)．同理，EF＝CE，∴BD＋EC＝DF＋EF，即BD＋EC＝DE.圖20－6第27頁第20講┃等腰三角形考點聚焦歸類探究回歸教材中考預測

解

在x軸上存在點P(－1，0)，P(3，0)使△PAB、△PBC、△PAC都是等腰三角形．理由以下：①∵AB＝AC＝2，AO⊥BC，∠BAC＝120°，∴OB＝OC，∠OAB＝∠OAC＝∠BAC＝60°，∴取A(1，0)關于y軸對稱點P(－1，0)，則PB＝AB