新定義新情景壓軸解答題-2025高考數(shù)學(xué)壓

軸題專項(xiàng)訓(xùn)練含答案

泰枯敗型新定義新情看怒枯解答殿

壓軸履解讀

創(chuàng)新意識(shí)與創(chuàng)新應(yīng)用是新時(shí)代的主旋律，也是高中數(shù)學(xué)教學(xué)與學(xué)習(xí)中需要不斷滲透與

培養(yǎng)的一種基本精神與能力！借助“新定義”，可以巧妙進(jìn)行數(shù)學(xué)知識(shí)中的概念類比、公式

設(shè)置、性質(zhì)應(yīng)用、知識(shí)拓展與創(chuàng)新應(yīng)用等的交匯與融合,很好地融入創(chuàng)新意識(shí)與創(chuàng)新應(yīng)用.

所謂“新定義”型問(wèn)題，主要是指在問(wèn)題中定義了高中數(shù)學(xué)中沒有學(xué)過(guò)的一些概念、新運(yùn)

命題預(yù)測(cè)算、新符號(hào)，要求同學(xué)們讀懂題意并結(jié)合已有知識(shí)、能力進(jìn)行理解,根據(jù)新定義進(jìn)行運(yùn)算、推

理、遷移的一種題型。

2024年九省聯(lián)考之后，第19題將考查新定義問(wèn)題?，F(xiàn)在也有部分地區(qū)考試采用該結(jié)

構(gòu)考試，比如安徽合肥一中省十聯(lián)考等。預(yù)測(cè)2024年新高考試卷第19題結(jié)構(gòu)考查新定義

問(wèn)題，壓軸題,難度比較大.

（1）集合與數(shù)列新定義

（2）函數(shù)與導(dǎo)數(shù)新定義

高頻考法（3）立體幾何與解析幾何新定義

（4）概率與統(tǒng)計(jì)新定義

（5）高等數(shù)學(xué)背景下新定義

高分必?fù)?/p>

?題型01集合與數(shù)列新定義

解答新定義型創(chuàng)新題的基本思路是：

（1）正確理解新定義；

（2）根據(jù)新定義建立關(guān)系式；

（3）結(jié)合所學(xué)的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題；

（4）運(yùn)用所學(xué)的公式、定理、性質(zhì)等合理進(jìn)行推理、運(yùn)算，求得結(jié)果.

題目|T)(2024?北京?模擬預(yù)測(cè))對(duì)給定的正整數(shù)八，令&=

{a=(?Q,…,冊(cè))?味{0,l},i=1,2,…,n},對(duì)任意的rr=(如%…%),y=(4,紡，…,%)G&,定義①

|rc—y|H---------

與y的距離d(x,y)=\xx—yx\+22\-\xn—yn\.設(shè)A是&的含有至少兩個(gè)元素的子集,集合。

=^d{x,y)\x^y,x,yG人}中的最小值稱為4的特征，記作力(A).

(1)當(dāng)n=3時(shí)，直接寫出下述集合的特征：/={(0,0,0),(1,1,1)}田=

{(0,0,0),(0,l,l),(l,0,l),(l,l,0)},C={(0,0,0),(0,0,1),(0,1,1),(1,1,1)}；

(2)當(dāng)n=2020時(shí)，設(shè)AGQ2020且無(wú)(入)=2,求A中元素個(gè)數(shù)的最大值；

92020

(3)當(dāng)71=2020時(shí)，設(shè)A=02020且%(4)=3,求證：A中的元素個(gè)數(shù)小于金P

[題目|2](2024?重慶?模板預(yù)測(cè))在二維空間即平面上點(diǎn)的坐標(biāo)可用兩個(gè)有序數(shù)組(x,y)表示,在三維

空間中點(diǎn)的坐標(biāo)可用三個(gè)有序數(shù)組(x,y,z)表示，一般地在"⑺>2,nCN)維空間中點(diǎn)A的坐標(biāo)可用

幾個(gè)有序數(shù)組(ai,.”、0?)表示,并定義九維空間中兩點(diǎn)a?,,_8(法也,…也)間的"距離”

n

d[AB)=^\a-bi\.

i=l

])，求d(AB)；

⑴若4KM…申聞箕n+1

⑵設(shè)集合口={(電42,…,。7)g六{0,l},i=l,2,…,7}.元素個(gè)數(shù)為2的集合及為U的子集，且滿足對(duì)

于任意AGa，都存在唯一的B€M使得認(rèn)AB)w3,則稱河為“a的優(yōu)集”.證明：“a的優(yōu)集”M存

在，且又中兩不同點(diǎn)的“距離”是7.

???

題目叵（2024?江西上悅?二O對(duì)于數(shù)列A的,a2,a3（a怎N,i=1,2,3）,定義“F變換”：尸將數(shù)列A變

換成數(shù)列B仇也自，其中bt=舊一八|。=1,2）,且名=|a3-ail.這種“尸變換”記作口=尸（人），繼續(xù)對(duì)

數(shù)列B進(jìn)行“F變換”，得到數(shù)列C:q,C2,C3,依此類推，當(dāng)?shù)玫降臄?shù)列各項(xiàng)均為0時(shí)變換結(jié)束.

（1）寫出數(shù)列A2,5,3,經(jīng)過(guò)6次“尸變換”后得到的數(shù)列；

⑵若SQ,＜13不全相等，判斷數(shù)列AaiQQ經(jīng)過(guò)不斷的“尸變換”是否會(huì)結(jié)束，并說(shuō)明理由；

（3）設(shè)數(shù)列4185,3,188經(jīng)過(guò)％次“斤變換”得到的數(shù)列各項(xiàng)之和最小，求心的最小值.

題目區(qū)（2024?山西?模擬預(yù)測(cè)）對(duì)于數(shù)列｛%｝,若存在雙＞0,使得對(duì)任意nCN*,總有￡&+「叫＜

k=l

則稱｛冊(cè)｝為“有界變差數(shù)列”.

（1）若各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列｛飆｝為有界變差數(shù)列，求其公比q的取值范圍；

（2）若數(shù)列｛bn｝滿足⑥+什：=2,且4=2,證明：｛&?｝是有界變差數(shù)列；

（3）若｛3｝,｛yn｝均為有界變差數(shù)列，且外＞%＞0,證明：［叁L］是有界變差數(shù)列.

???

?題型02函數(shù)與導(dǎo)數(shù)新定義

函數(shù)與導(dǎo)數(shù)新定義問(wèn)題主要分兩類:一是概念新定義型，主要是以函數(shù)新概念為背景，通常考查

考生對(duì)函數(shù)新概念的理解,涉及函數(shù)的三要素的理解;二是性質(zhì)新定義型，主要是以函數(shù)新性質(zhì)為背

景,重點(diǎn)考查考生靈活應(yīng)用函數(shù)性質(zhì)的能力,涉及函數(shù)的各種相關(guān)性質(zhì)的拓展延伸.________________

題目叵（2024?廣西?二?）定義:若函數(shù)/（為圖象上恰好存在相異的兩點(diǎn)PQ滿足曲線0=/（乃在

P和Q處的切線重合，則稱P,Q為曲線夕=/（土）的“雙重切點(diǎn)”，直線PQ為曲線9=/（為的“雙重切

線”

（1）直線?/=①一方是否為曲線/（力）=^X2-2X+21RT的“雙重切線”，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（e"+i,①W0,

（2）已知函數(shù)gQ）=.求曲線y=g（c）的“雙重切線”的方程；

0---4，力＞U,

x

（3）已知函數(shù)八Q）=cos為直線P。為曲線沙=八（n）的“雙重切線”，記直線PQ的斜率所有可能的取值

為自也,…，鼠，若自＞%＞及。=3,4,5,-"）,證明：￡＜詈,

???

［題目|6］（2024?喘三?浙江寧波?期末）在幾何學(xué)常常需要考慮曲線的彎曲程度,為此我們需要刻畫曲

線的彎曲程度.考察如圖所示的光滑曲線。：9=/（，）上的曲線段存，其弧長(zhǎng)為As,當(dāng)動(dòng)點(diǎn)從人沿曲

線段AB運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，A點(diǎn)的切線ZA也隨著轉(zhuǎn)動(dòng)到B點(diǎn)的切線加，記這兩條切線之間的夾角為△仇它

等于加的傾斜角與心的傾斜角之差）?顯然,當(dāng)弧長(zhǎng)固定時(shí)，夾角越大，曲線的彎曲程度就越大；當(dāng)夾角

固定時(shí)，弧長(zhǎng)越小則彎曲程度越大，因此可以定義卜=|1當(dāng)為曲線段余的平均曲率;顯然當(dāng)口越接

近4即As越小，K就越能精確刻畫曲線。在點(diǎn)A處的彎曲程度，因此定義=—回二

zSsl（l+y,2y

（若極限存在）為曲線。在點(diǎn)4處的曲率.（其中4,小'分別表示夕=/（為在點(diǎn)4處的一階、二階

導(dǎo)數(shù)）

（1）求單位圓上圓心角為60°的圓弧的平均曲率；

（2）求橢圓/+才=1在處的曲率；

（3）定義隊(duì)y）=，-口］為曲線4=/（為的“柯西曲率”.已知在曲線/（比）=X\IYX-2宓上存在兩點(diǎn)

（1+。）

「（如/（力1））和。（62J3）），且pQ處的“柯西曲率”相同，求溝+瘍的取值范圍.

???

題目區(qū)(2024?上海徐匯?二已知常數(shù)k為非零整數(shù),若函數(shù)0=/(辦爪[0,1]滿足:對(duì)任意如電

€[0,1],|/(的)一/(電)|W|(g+l)J(電+1力，則稱函數(shù)"=/(乃為乙(k)函數(shù).

(1)函數(shù)4=2宓，宓e[0,1]是否為L(zhǎng)(2)函數(shù)？請(qǐng)說(shuō)明理由；

(2)若g=f3)為L(zhǎng)⑴函數(shù)，圖像在te[0,1]是一條連續(xù)的曲線,/(0)=0,/(1)=。,且/(乃在區(qū)間

(0,1)上僅存在一個(gè)極值點(diǎn)，分別記/O)mmx、/(/)min為函數(shù)"=/(①)的最大、小值，求/(2)ma*-/(工)min

的取值范圍；

(3)若Q>0,/(劣)=0.05/2+0.&+aln(x+1)，且g=/(力)為L(zhǎng)(—1)函數(shù)，g(x)=/'(力)，對(duì)任意x,yE

[0,1],恒有|g(力)—g(g)|記M'的最小值為V(Q),求。的取值范圍及A1(Q)關(guān)于Q的表達(dá)式.

???

?題型03立體幾何與解析幾何新定義

空間立體幾何與解析幾何新定義試題呈現(xiàn)的結(jié)構(gòu)通常為“給出圖形的新定義-探索圖形的新性

質(zhì)-運(yùn)用圖形的新性質(zhì)解決問(wèn)題”，設(shè)問(wèn)的層次通常為從簡(jiǎn)單到復(fù)雜、從特殊到一般.理解概念重要

的不僅是概念如何定義，而且是概念能夠引出哪些性質(zhì)（具有哪些表征）;研究圖形重要的不僅是發(fā)現(xiàn)

了什么結(jié)論,而且是采用了怎樣的思想方法.這正是數(shù)學(xué)課程性質(zhì)中的抽象結(jié)構(gòu)思想和數(shù)學(xué)課程目

標(biāo)中的核心素養(yǎng)導(dǎo)向的體現(xiàn).

［題目叵（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）人類對(duì)地球形狀的認(rèn)識(shí)經(jīng)歷了漫長(zhǎng)的歷程.古人認(rèn)為宇宙是“天圓地

方”的，以后人們又認(rèn)為地球是個(gè)圓球.17世紀(jì)，牛頓等人根據(jù)力學(xué)原理提出地球是扁球的理論，這一理

論直到1739年才為南美和北歐的弧度測(cè)量所證實(shí).其實(shí)，之前中國(guó)就曾進(jìn)行了大規(guī)模的弧度測(cè)量，發(fā)

現(xiàn)緯度越高,每度子午線弧長(zhǎng)越長(zhǎng)的事實(shí)，這同地球兩極略扁，赤道隆起的理論相符.地球的形狀類似

于橢球體，橢球體的表面為橢球面，在空間直角坐標(biāo)系下,橢球面「:《+4+4=

l（a>0,b>0,c>0）,這說(shuō)明橢球完全包含在由平面c=±Q,g=±b,z=±c所圍成的長(zhǎng)方體內(nèi)，其中a,

b,c按其大小，分別稱為橢球的長(zhǎng)半軸、中半軸和短半軸.某橢球面與坐標(biāo)面z=0的截痕是橢圓E:多

+y2=1.

（1）已知橢圓W+冬=l（a>b>0）在其上一點(diǎn)QQ。,為）處的切線方程為等+畔=1.過(guò)橢圓E

ab

的左焦點(diǎn)后作直線Z與橢圓E相交于AB兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A8分別作橢圓的切線，兩切線交于點(diǎn)又，求

?面積的最小值.

（2）我國(guó)南北朝時(shí)期的偉大科學(xué)家祖唯于5世紀(jì)末提出了祖昭原理:“幕勢(shì)既同，則積不容異”.祖唯原

理用現(xiàn)代語(yǔ)言可描述為:夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體,被平行于這兩個(gè)平面的任意平面所截，

如果截得的兩個(gè)截面的面積總相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等.當(dāng)b=c時(shí),橢球面「圍成的橢球

是一個(gè)旋轉(zhuǎn)體，類比計(jì)算球的體積的方法,運(yùn)用祖晅原理求該橢球的體積.

???

［題目3（2024?高三?河北?階段練習(xí)）已知力=,b=（22,紡,Z2）,C=（23,紡,23）,定義一種運(yùn)

算：（axfo）-C=xly2z3+x2y3z1+x3y1Z'2—x1y：iZ'2—x2y1z3—x3y2Z1,在平行六面體ABCD—ABCQi中，

~AB=（1,1,0）,AD=（0,2,2）,而=（1,-1,1）.

（1）證明:平行六面體ABCD—4BGA是直四棱柱；

（2）計(jì)算|（而x前）?瓦司，并求該平行六面體的體積，說(shuō)明|（布x尬）?瓦司的值與平行六面體

ABCD-4BGA體積的關(guān)系.

???

IfEJ（2024?遼寧沈陽(yáng)?二W蜂房是自然界最神奇的“建筑”之一，如圖1所示.蜂房結(jié)構(gòu)是由正六

棱柱截去三個(gè)相等的三棱錐H-ABC,J-CDE,K-EFA,再分別以AC,CE,及4為軸將4ACH,

△CEJ,A￡L4K分別向上翻轉(zhuǎn)180°,使三點(diǎn)重合為點(diǎn)S所圍成的曲頂多面體（下底面開口），如

圖2所示.蜂房曲頂空間的彎曲度可用曲率來(lái)刻畫，定義其度量值等于蜂房頂端三個(gè)菱形的各個(gè)頂點(diǎn)的

曲率之和,而每一頂點(diǎn)的曲率規(guī)定等于2兀減去蜂房多面體在該點(diǎn)的各個(gè)面角之和（多面體的面角是多

面體的面的內(nèi)角，用弧度制表示）.例如:正四面體在每個(gè)頂點(diǎn)有3個(gè)面角，每個(gè)面角是名，所以正四面

體在各頂點(diǎn)的曲率為2兀—3x尚■=兀.

圖1圖2

⑴求蜂房曲頂空間的彎曲度；

（2）若正六棱柱底面邊長(zhǎng)為L(zhǎng)側(cè)棱長(zhǎng)為2,設(shè)BH=x

⑴用力表示蜂房（圖2右側(cè)多面體）的表面積S（rr）；

（ii）當(dāng)峰房表面積最小時(shí),求其頂點(diǎn)S的曲率的余弦值.

???

[題目|11](2024?高三?浙江苒水?升學(xué)考試)數(shù)學(xué)中的數(shù)，除了實(shí)數(shù)、復(fù)數(shù)之外，還有四元數(shù).四元數(shù)

在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中有廣泛應(yīng)用，主要用于描述空間中的旋轉(zhuǎn).集合H=

{d-\-ai+bj-\-ck\a,b,c,dGR}中的元素a=d-\-ai+bj+ck稱為四元數(shù)，其中i,1,k都是虛數(shù)單位，d

稱為。的實(shí)部，aO+B+ck稱為a的虛部.兩個(gè)四元數(shù)之間的加法定義為(&+。日+與/+jk)+

(d2+a2i+b2j+c2fc)=(di+d2)+(ai+a2)i+(仇+戾)/+(Ci+c2)fc.

兩個(gè)四元數(shù)的乘法定義為：ij=~ji=k,jk=—kj=i,ki=—ik=j^=j2=k2=—l,四元數(shù)的乘法具有結(jié)

合律，且乘法對(duì)加法有分配律.對(duì)于四元數(shù)%若存在四元數(shù)￡使得奶=0a=1,稱6是。的逆，記為6

=。-1.實(shí)部為0的四元數(shù)稱為純四元數(shù)，把純四元數(shù)的全體記為

(1)設(shè)a,b,c,dGR,四元數(shù)a—d+ai+bj+ck.記a*=d—a/i—bj—ck表示a的共輒四元數(shù).

(i)計(jì)算aa*；

(w)若aW0,求。一1；

(m)若aW0,0EW，證明：郊/6W;

(2)在空間直角坐標(biāo)系中，把空間向量a=(Q,b,c)與純四元數(shù)a=Q〃+#+ck看作同一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象.

設(shè)a,6eW，Y=---(a/3—/3a).

⑴證明：7GW;

(譏)若a,6是平面X內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，證明：丁是X的一個(gè)法向量.

???

?題型04微率與^計(jì)新定義

解概率與統(tǒng)計(jì)下的新定義題，就是要細(xì)讀定義關(guān)鍵詞,理解本質(zhì)特征，適時(shí)轉(zhuǎn)化為“熟悉”問(wèn)題.

總之,解決此類問(wèn)題，取決于已有知識(shí)、技能、數(shù)學(xué)思想的掌握和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累，還需要不斷的

實(shí)踐和反思,不然就談不上“自然”的、完整的解題.

0回至］（2024?吉林長(zhǎng)春?三模）入冬以來(lái)，東北成為全國(guó)旅游話題的“頂流”.南方游客紛紛北上，體

驗(yàn)東北最美的冬天.某景區(qū)為給顧客更好的體驗(yàn)，推出了入和B兩個(gè)套餐服務(wù)，并在購(gòu)票平臺(tái)上推出

了優(yōu)惠券活動(dòng),顧客可自由選擇［和8兩個(gè)套餐之一,下表是該景區(qū)在購(gòu)票平臺(tái)10天銷售優(yōu)惠券情

況.

日期112345678910

銷售量虱千張）1.91.982.22.362.432.592.682.762.70.4

1101010

經(jīng)計(jì)算可得：y=22%=2.2,￡地,=118.73,Z端=385.

i=li=l

（1）由于同時(shí)在線人數(shù)過(guò)多，購(gòu)票平臺(tái)在第10天出現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)擁堵，導(dǎo)致當(dāng)天顧客購(gòu)買的優(yōu)惠券數(shù)量大幅減

少，現(xiàn)剔除第10天數(shù)據(jù)，求g關(guān)于t的回歸方程（精確到0.01）,并估計(jì)第10天的正常銷量；

（2）假設(shè)每位顧客選擇4套餐的概率為卷，選擇8套餐的概率為與,其中A套餐包含一張優(yōu)惠券，B套

55

餐包含兩張優(yōu)惠券,截止某一時(shí)刻,該平臺(tái)恰好銷售了n張優(yōu)惠券,設(shè)其概率為2,求2；

⑶記⑵中所得概率Pn的值構(gòu)成數(shù)列｛2｝⑺eN*）.

①求數(shù)列｛2｝的最值；

②數(shù)列收斂的定義：已知數(shù)列｛冊(cè)｝，若對(duì)于任意給定的正數(shù)S，總存在正整數(shù)N。，使得當(dāng)">以時(shí)，

|冊(cè)—a|<￡,（a是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)），則稱數(shù)列｛%｝收斂于a.根據(jù)數(shù)列收斂的定義證明數(shù)列｛2｝收斂.

n

^^Xjy—nx?y

回歸方程口=合+5/中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：。=士^--------，a=y—bx.

f4-后

i=l

題目應(yīng)］（2024?黑龍江哈爾濱?一模）入冬以來(lái)，東北成為全國(guó)旅游和網(wǎng)絡(luò)話題的“頂流”.南方的小

土豆們紛紛北上體驗(yàn)東北最美的冬天，這個(gè)冬天火的不只是東北的美食、東北人的熱情,還有東北的洗

浴中心，擁擠程度堪比春運(yùn)，南方游客直接拉著行李箱進(jìn)入.東北某城市洗浴中心花式寵“且”，為給顧

客更好的體驗(yàn)，推出了人和8兩個(gè)套餐服務(wù),顧客可自由選擇4和B兩個(gè)套餐之一，并在入網(wǎng)平臺(tái)上

推出了優(yōu)惠券活動(dòng),下表是該洗浴中心在人沖平臺(tái)10天銷售優(yōu)惠券情況.

日期力12345678910

銷售量飲千張）1.91.982.22.362.432.592.682.762.70.4

[101010

經(jīng)計(jì)算可得：7=+匯納=22?演=118.73,匯后=385.

1=11=12=1

⑴因?yàn)閮?yōu)惠券購(gòu)買火爆，人依平臺(tái)在第10天時(shí)系統(tǒng)出現(xiàn)異常，導(dǎo)致當(dāng)天顧客購(gòu)買優(yōu)惠券數(shù)量大幅減

少，現(xiàn)剔除第10天數(shù)據(jù)，求g關(guān)于t的經(jīng)驗(yàn)回歸方程（結(jié)果中的數(shù)值用分?jǐn)?shù)表示）；

（2）若購(gòu)買優(yōu)惠券的顧客選擇A套餐的概率為，選擇8套餐的概率為9并且A套餐可以用一張優(yōu)

55

惠券，B套餐可以用兩張優(yōu)惠券,記App平臺(tái)累計(jì)銷售優(yōu)惠券為n張的概率為R,求兄；

（3）記（2）中所得概率2的值構(gòu)成數(shù)列｛2｝（"€N*）.

①求2的最值；

②數(shù)列收斂的定義：已知數(shù)列｛%｝，若對(duì)于任意給定的正數(shù)e,總存在正整數(shù)以,使得當(dāng)">以時(shí)，

\an-a\<￡,（a是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)），則稱數(shù)列｛冊(cè)｝收斂于a.根據(jù)數(shù)列收斂的定義證明數(shù)列｛2｝收斂.

Z（x-x）（y-y）^Xiy-nx-y

參考公式：b=e”----------=---------,a=y—bx.

f（g-Z）2-nx

i=li=l

???

題目舊(2024?海南?？?一模)在計(jì)算機(jī)科學(xué)中，八維數(shù)組X=(傷,電,…,0),為C{0,l},iCN+，n>

2是一種基礎(chǔ)而重要的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu),它在各種編程語(yǔ)言中被廣泛使用.對(duì)于n維數(shù)組A=(as：%),

B=(仇&,…也)，定義人與口的差為A—B=(血一仇|,血一戾|,…,此—bj),A與口之間的距離為d(A

B)=A1=1ail

(1)若n維數(shù)組若=(0,0,…,0),證明:磯AC)+d(B,C)>d(A,B)；

(2)證明:對(duì)任意的數(shù)組ABC,有d(A—C,B—C)=d(A,B)；

(3)設(shè)集合S”={X\X=(x1,x2,---,xn),Xi&{0,1},iGN+,n>2},PGSn，若集合尸中有m(m>2)個(gè)九維

數(shù)組，記P中所有兩元素間的距離的平均值為d(P),證明：5(F)mn.

2(m—1)

[題目〔15](2024?高三?全國(guó)?專題練習(xí))在三維空間中，立方體的坐標(biāo)可用三維坐標(biāo)(出42?3)表示，

其中a了{(lán)0,l}(l<iW3,iCN).而在八維空間中⑺>2,nGN),以單位長(zhǎng)度為邊長(zhǎng)的“立方體”的頂

點(diǎn)坐標(biāo)可表示為n維坐標(biāo)(chQQ,.,%),其中a.;€{0,1}(14iWn,i€N).現(xiàn)有如下定義:在"維

空間中兩點(diǎn)間的曼哈頓距離為兩點(diǎn)(電《2?3,……,an)與(仇&,如……，吼)坐標(biāo)差的絕對(duì)值之和，即為

屆一仇|+向一蚓+血一如+...+\an—bn\.回答下列問(wèn)題：

(1)求出71維“立方體”的頂點(diǎn)數(shù)；

(2)在八維“立方體”中任取兩個(gè)不同頂點(diǎn)，記隨機(jī)變量X為所取兩點(diǎn)間的曼哈頓距離

①求出X的分布列與期望；

②證明:在"足夠大時(shí)，隨機(jī)變量X的方差小于0.25儲(chǔ).

???

[題目|16](2024?高三?湖北?階段練習(xí))設(shè)(X,Y)的所有可能取值為(外%)，稱p產(chǎn)P(X=Xi,Y=%)

(i=l,2,---,n,j=l,2,--,m)為二維離散隨機(jī)變量(X,V)的聯(lián)合分布列，用表格表示為：

YXViV2VkVmPi-

XiPn012PlkPimP\-

X2P21P22PlkP2mP2-

2kPkiPk2Pkk0kmPk-

XnPmPn2PnkPmnPn-

p-jP-iP-2p-kP,rm1

仿照條件概率的定義，有如下離散隨機(jī)變量的條件分布歹u：定義p(y=%)=%=匯為，對(duì)于固定的，,

i=l

若p.j>0,則稱p*=P^X=Xf\Y=yj')==1,2,…,n)為給定Y=%條件下的X條件分布列.

Ii=l?

離散隨機(jī)變量的條件分布的數(shù)學(xué)期望(若存在)定義如下：E(X\Y=y)=YiXiP^X=xi\Y=y).

⑴設(shè)二維離散隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布列為

YX123Pi-

10.10.30.20.6

20.050.20.150.4

p-j0.150.50.351

求給定X=1條件下的y條件分布列；

⑵設(shè)(X,Y)為二維離散隨機(jī)變量,且E(X)存在,證明：E(X)=￡E(X|V=%)?pj；

(3)某人被困在有三個(gè)門的迷宮里,第一個(gè)門通向離開迷宮的道，沿此道走30分鐘可走出迷宮;第二個(gè)

門通一條迷道,沿此迷道走50分鐘又回到原處;第三個(gè)門通一條迷道,沿此迷道走70分鐘也回到原處.

假定此人總是等可能地在三個(gè)門中選擇一個(gè),試求他平均要用多少時(shí)間才能走出迷宮.

???

?題型05高等數(shù)學(xué)背景下新定義

1、泰勒公式有如下特殊形式：當(dāng)/(力)在力=0處的階導(dǎo)數(shù)都存在時(shí)，/(力)=

mm、工/〃(0)2"⑶(0)3,工產(chǎn))(0)□注、事一

/(0)+/(°)/H----審—xH-----——x+…H-------;—xH.汪：/(力)表示/(1)的2

4?O>IL\

階導(dǎo)數(shù)，即為/'(力)的導(dǎo)數(shù),/5)(力)⑺)3)表示/(%)的九階導(dǎo)數(shù),該公式也稱麥克勞林公式.

2、【極值點(diǎn)第二充分條件】已知函數(shù)/(力)在力=&處二階可導(dǎo)，且/'(g)=0,/〃(g)W0

⑴若/(0)>0,則/(力)在g處取得極小值；

(2)若于"(X。)V0,則/(力)在力0處取得極大值.

3、帕德近似是法國(guó)數(shù)學(xué)家亨利.帕德發(fā)明的用有理多項(xiàng)式近似特定函數(shù)的方法.給定兩個(gè)正整

數(shù)小，九,函數(shù)/(，)在力=0處的［m,n］階帕德近似定義為：H(%)=+~~+。叱，且

1+b1x+…+6九力

滿足：/(O)=H(O),/'(O)=H'(O),/"(O)=H"(O),…,『「力(。)=任<+")(。).(注J"

3)=［f(劃,1r3)=［/〃3)］"⑷3)=［『(=］"⑸3)=［/⑷3)］'，…/3)為

產(chǎn)t)3)的導(dǎo)數(shù)).

4、拉格朗日中值定理又稱拉氏定理:如果函數(shù)/(力)在［a,加上連續(xù)，且在(a,b)上可導(dǎo)，則必

有占G(a,b),使得f飛)(b-a)=f(b)-/(a).

5、羅爾定理描述如下:如果H上的函數(shù)/(c)滿足以下條件:①在閉區(qū)間［a,b］上連續(xù)，②在開區(qū)

間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，③/(a)=/(b),則至少存在一個(gè)占W(a,b),使得/'(占)=0.

6、微積分

知識(shí)卡片1：一般地，如果函數(shù)/(力)在區(qū)間［a,b］上連續(xù)，用分點(diǎn)a=gV力i<?-Vg_L<

力￡<???<&=6將區(qū)間［a,b］等分成九個(gè)小區(qū)間,在每個(gè)小區(qū)間［力i,力］上任取一點(diǎn)2

nn7

(i=1,2「：口)，作和式2/(g1)4%=Z-----2/(2)(其中△力為小區(qū)間長(zhǎng)度)，當(dāng)?if8時(shí)，

i=ii=in

上述和式無(wú)限接近某個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)叫做函數(shù)/(力)在區(qū)間［a,6］上的定積分，記作(力)d力

Ja

Pn7

即J/Q)d片潁2亍/⑸.這里，a與b分別叫做積分下限與積分上限，區(qū)間［a,b］叫做

an〃=in

積分區(qū)間，函數(shù)/(力)叫做被積函數(shù)，力叫做積分變量，/(力)de叫做被積式.從幾何上看，如果在區(qū)

間［a,b］上函數(shù)/(力)連續(xù)且恒有/(7)>0,那么定積分［/(力)d力表示由直線為=a,2=

Ja

b(aWb),y=U和曲線y=f(x)所圍成的曲邊梯形的面積.

15

知識(shí)卡片2：一般地;如果/（力）是區(qū)間［a,b］上的連續(xù)函數(shù)，并且尸⑸=/（力），那么］/（力）

b

dx=尸Q）f=尸（b）-尸（a）.這個(gè)結(jié)論叫做微積分基本定理，又叫做牛頓—萊布尼茨公式.

\a

知識(shí)卡片3:在微積分中,求極限有一種重要的數(shù)學(xué)工具--洛必達(dá)法則,法則中有結(jié)論:若函數(shù)

,g（力）的導(dǎo)函數(shù)分別為了'（力），g\x），且啊i/Q）=螞9（2）=o,則

］./（力）1./（力）

nm..=nm———.

岔Tag（x）Lag，Q）

7、伯努利不等式（8emoaZ，slneqaQZ沆必，又稱貝努利不等式，是高等數(shù)學(xué)的分析不等式中最常

見的一種不等式，由瑞士數(shù)學(xué)家雅各布?伯努利提出:對(duì)實(shí)數(shù)ce（—1,+8）,在ne［1,+a））

時(shí)，有不等式（1+力廠>1+九力成立；在九e（0,1）時(shí)，有不等式（1+力廣&1+九力成

立.

8、設(shè)連續(xù)函數(shù)/（力）的定義域?yàn)椋踑,b］,如果對(duì)于［a,b］內(nèi)任意兩數(shù)與g，都有電；"？）

&.（力J；/（力2），則稱/（力）為［①切上的凹函數(shù)；若力12）打、（力J:、（力2）,則稱

于（x）為凸函數(shù).若/（力）是區(qū)間［a,6］上的凹函數(shù)，則對(duì)任意的g,力2,…,力幾￡［a,6］,有琴生不

等式什應(yīng)+…+力《/（…（旬+…”）恒成立（當(dāng)且僅當(dāng)，產(chǎn)g=一

力九時(shí)等號(hào)成立）.

［題目叵（2024?淅江?二榭①在微積分中，求極限有一種重要的數(shù)學(xué)工具——洛必達(dá)法則，法則中有

結(jié)論:若函數(shù)/（/）,g（/）的導(dǎo)函數(shù)分別為/（/）,/（力）,且螞/（力）=1四gQ）=0,則

lim44

5ag(x)l。g'Q)

②設(shè)a>0,k是大于1的正整數(shù),若函數(shù)/⑸滿足:對(duì)任意xE［0,a］,均有于⑺成立，且叫

/（c）=0,則稱函數(shù)/Q）為區(qū)間［O,a］上的k階無(wú)窮遞降函數(shù).

結(jié)合以上兩個(gè)信息，回答下列問(wèn)題：

（1）試判斷/（為=X3-3X是否為區(qū)間［0,3］上的2階無(wú)窮遞降函數(shù)；

1

（2）計(jì)算：lim（l+/尸；

力fo

（3）證明：（sin力）3<COSN,X6（兀，春兀）.

1力—兀，\2,

???

題目叵］（2024?湖南益陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè)）我們知道，二維空間（平面）向量可用二元有序數(shù)組@Q）表

示；三維空間向盤可用三元有序數(shù)組（出,（12,。3）表示.一般地，4維空間向量用九元有序數(shù)組

@,電,…，冊(cè)）表示，其中隊(duì)（k=1,2,?-,?1）稱為空間向量的第力個(gè)分量，k為這個(gè)分量的下標(biāo).對(duì)于

九（九>3）維空間向量（Q.Q2,…,冊(cè)），定義集合4（m）={kIak=m,fc=1,2,???,?!}.記A（7n）的元素的個(gè)

數(shù)為|4（恒）|（約定空集的元素個(gè)數(shù)為0）.

（1）若空間向量=（6,3,2,5,3,7,5,5）,求A（5）及|A（5）|；

（2）對(duì)于空間向量（Qi,電,…,M）?若［/?）、1H-----卜?J、?=n，求證：Vi,/G{1,2,…,n},若

\A（a2）\\A（an）\

iW力貝！Ia3電；

（3）若空間向量（QIQQ，…,a/的坐標(biāo)滿足4恁-2+。1）=依},。1=。2=1,當(dāng)h>3時(shí)，求證：Q：+Q|

+VCLn>2為一1（1n.

［題目叵］（2024?貴州貴陽(yáng)?一模）英國(guó)數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)了如下公式：1=1+2+圣+/+…+耳+

…其中n!=lx2x3x4x…xn,e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，e=2.71828…….以上公式稱為泰勒公式.設(shè)

/3）=亙”，。（乃=亙當(dāng)二，根據(jù)以上信息，并結(jié)合高中所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，解決如下問(wèn)題?

（1）證明：e">l+g

（2）設(shè)cC（0,+oo）,證明：/^VgQ）；

（3）設(shè)FQ）=g（c）—a（l+,若刀=0是f（力）的極小值點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

???

壓軸題預(yù)測(cè)

題目叵給出以下三個(gè)材料:①若函數(shù)/（比）可導(dǎo)，我們通常把導(dǎo)函數(shù)/3）的導(dǎo)數(shù)叫做的二階導(dǎo)

數(shù),記作尸3）.類似地，二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做三階導(dǎo)數(shù)，記作f’（為,三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做四階導(dǎo)數(shù)…

…一般地，TZ—1階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做外階導(dǎo)數(shù)，記作廣）（力）=②若71eN*,定義？i!=

nx（n-1）x（n-2）x…x3x2x1.③若函數(shù)/（c）在包含&的某個(gè)開區(qū)間（a,6）上具有九階的導(dǎo)數(shù)，

那么對(duì)于任一/e（a,b）有g(shù)（/）=/（x0）+/（2一&）+于⑶一切斗』"（2—gf+…

+.“，）（尤-g）”,我們將。⑸稱為函數(shù)/Q）在點(diǎn)c=g處的n階泰勒展開式.例如，y=e"在點(diǎn)力=

n!

0處的71階泰勒展開式為1+①+-1x2+…+3犬.根據(jù)以上三段材料，完成下面的題目：

2n!

（1）求出力（力）=sinx在點(diǎn)x=0處的3階泰勒展開式gi（a），并直接寫出上⑺=cos/在點(diǎn)x=0處的3

階泰勒展開式。2（/）；

⑵比較⑴中力⑺與縱⑸的大小.

（3）證明：e"+sin/+COST>2+2名.

???

題目已知各項(xiàng)均不為0的數(shù)列｛an｝滿足an+2an=an+1an+a^+1（n是正整數(shù)），。產(chǎn)a2—1,定義函數(shù)g

=九（力）=1+之A/（%＞。），e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

k=l卜?

｛等｝是等差數(shù)列，并求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式;

⑴求證:數(shù)列

x

(2)記函數(shù)g=gn(x)，其中g(shù)n(x)=1-e~fn(x).

（i）證明:對(duì)任意力＞0,0＜g3（x）《啟力）一53）；

⑹數(shù)列｛bn｝滿足圖=2］，設(shè)北為數(shù)列｛bJ的前n項(xiàng)和.數(shù)列｛北｝的極限的嚴(yán)格定義為:若存在一個(gè)

an

常數(shù)T,使得對(duì)任意給定的正實(shí)數(shù)〃（不論它多么?。?，總存在正整數(shù)小滿足：當(dāng)n＞小時(shí)，恒有\(zhòng)Tn-T\

＜〃成立，則稱T為數(shù)列｛黑｝的極限.試根據(jù)以上定義求出數(shù)列｛黑｝的極限T.

.題耳［22］已知數(shù)列｛冊(cè)｝為有窮數(shù)列，且aneN*，若數(shù)列｛冊(cè)｝滿足如下兩個(gè)性質(zhì)，則稱數(shù)列｛冊(cè)｝為小的R

增數(shù)列：

①Q(mào)1+Q2+Q3+—\-an=m；

②對(duì)于14iV，W4,使得的＜出的正整數(shù)對(duì)（ij）有k個(gè).

（1）寫出所有4的1增數(shù)列；

（2）當(dāng)n=5時(shí)，若存在7n的6增數(shù)列，求7n的最小值.

???

題目叵已知數(shù)列入：出42,…,<ZN(N>3)的各項(xiàng)均為正整數(shù),設(shè)集合T=上降=a-a,,1&iV/&N},

記T的元素個(gè)數(shù)為P(T).

⑴若數(shù)列AL3,5,7,求集合如并寫出P(T)的值；

(2)若A是遞減數(shù)列,求證:“P(T)=N—1"的充要條件是“A為等差數(shù)列”；

(3)已知數(shù)列A2,22,…,2",求證:P(T)=N(N：D.

題目［^心對(duì)正整數(shù)？ri>3,">6,設(shè)數(shù)列AaiQ,…,a”,a，e{O,l}(i=1,2,…,n)._8是m行ri列的數(shù)陣，%

表示B中第i行第4列的數(shù)，％C{0,1}(1=1,2,--,??；4=1,2,-仙)，且8同時(shí)滿足下列三個(gè)條件@每

行恰有三個(gè)1；②每列至少有一個(gè)1；③任意兩行不相同.記集合{i,也-a2加+…+M廉=0或

3,i=l,2,---,m）中元素的個(gè)數(shù)為K.

H11000、

⑴若41,1,1,0,0,0,B=101100，求K的值;

,00011L

(2)若對(duì)任意p,qE<1,2,---,n}(p<g),B中都恰有r行滿足第p列和第q列的數(shù)均為1.

①B能否滿足巾=3r?說(shuō)明理由；

②證明：((4—4日).

???

1目酋若有窮自然數(shù)數(shù)列A:電,a2,-,an（n>2）滿足如下兩個(gè)性質(zhì)，則稱人為凡數(shù)列：

①a彘max{ai+Qk_i，Q2+ak―2,…，恁―i+@i}（k=2,3,***,n），其中,max{ci,力2,…，g}表示g,力2,…，力§，這s

個(gè)數(shù)中最大的數(shù)；

②Qk<min{ai+Qk_i，Q2+Qk—2,1+&}+l（k=2,3,—,n），其中，min{x1,x2,—,xs}表示/i,g,…,g，這

s個(gè)數(shù)中最小的數(shù).

⑴判斷42,4,6,7,10是否為瓦數(shù)列，說(shuō)明理由;

⑵若4…,。6是瓦數(shù)列，且。1，02,。3成等比數(shù)列，求。6；

（3）證明:對(duì)任意礴數(shù)列A：QiQ,…，冊(cè)（九>2）,存在實(shí)數(shù)/I,使得念=［fc/l］（fc=1,2,—,n）.（［a:］表示不超

過(guò)C的最大整數(shù)）

題目［26］三棱錐P—ABC中，4（3,0,0），8（0,0,2）,C（0,4,0）,P（3,4,2）.

（1）E是AB的中點(diǎn)，尸是PC的中點(diǎn)，求異面直線PE與BF所成的角的大?。ㄓ梅慈呛瘮?shù)表示）.

（2）對(duì)于實(shí)數(shù)電，仇”2，戾,稱的?為二階行列式，定義其一種運(yùn)算：的?=電戾一a?如對(duì)于向量

。2仇a2仇

4=（力1,%力）,3=（力2,紡,g），稱日X6為日與辦的向量積，定義一種運(yùn)算：axS=

（"］，卜，（卜/）.試計(jì)算/=竺"普的值，并說(shuō)明這一運(yùn)算的幾何意義.

\V2|乃力21I電V2>\ABxAC\

（3）試計(jì)算巨入了的值，指出|巨4?詞的幾何意義,并求出三棱錐P-ABC的體積.

???

：1目巨已知S為正比例系數(shù)，定義：S=魯閩為建筑物暴露在空氣中的面積(單位：平方米)，%為建

Vo

筑物的體積(單位:立方米).

(1)若有一個(gè)圓柱體建筑的底面半徑為七高度為方,求該建筑體的S(用R,H表示)；

(2)現(xiàn)有一個(gè)建筑體，側(cè)面皆垂直于地面，設(shè)4為底面面積，刀為建筑底面周長(zhǎng).已知/為正比例系數(shù)，

方與/成正比，定義：/=與,建筑面積即為每一層的底面面積,總建筑面積即為每層建筑面積之和，值

yj.

為T.已知該建筑體推導(dǎo)得出S=+蚩，幾為層數(shù),層高為3米，其中/=18,T=10000,試求當(dāng)

取第幾層時(shí),該建筑體S最??？

題目|28]在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓「：4+4=1(。＞匕＞0)的離心率為手，直線，與「相

ab23

切，與圓O：a?+y2=3a2相交于4B兩點(diǎn).當(dāng)Z垂直于a?軸時(shí)，=2娓.

(1)求：T的方程；

(2)對(duì)于給定的點(diǎn)集河，N,若河中的每個(gè)點(diǎn)在N中都存在距離最小的點(diǎn),且所有最小距離的最大值存

在，則記此最大值為d(M,N).

(i)若M,N分別為線段與圓O上任意一點(diǎn)，P為圓O上一點(diǎn)，當(dāng)APAB的面積最大時(shí),求d(M,

N)；

(ii)若d(M,N),d(N,M)均存在,記兩者中的較大者為已知H(X,Y),H(Y,Z),H(X,Z)均

存在，證明：H(X,Z)+H(y,z)＞H[X,y).

If叵直線族是指具有某種共同性質(zhì)的直線的全體，例如x=ty+l表示過(guò)點(diǎn)(1,0)的直線，直線的包

絡(luò)曲線定義為:直線族中的每一條直線都是該曲線上某點(diǎn)處的切線，且該曲線上的每一點(diǎn)處的切線都

是該直線族中的某條直線.

22

(1)若圓C1:x+y=1是直線族mzr+Tiy=l(m,n€R)的包絡(luò)曲線，求7n,九滿足的關(guān)系式；

2

(2)若點(diǎn)P(xo,yo)不在直線族：Q：(2a—4)x+4y+(a—2)=0(aER)的任意一條直線上,求y0的取值

范圍和直線族。的包絡(luò)曲線E;

(3)在(2)的條件下，過(guò)曲線后上兩點(diǎn)作曲線E的切線Zi,L，其交點(diǎn)為P.已知點(diǎn)。(0,1),若

三點(diǎn)不共線，探究=是否成立？請(qǐng)說(shuō)明理由.

［題目叵在平面直角坐標(biāo)系xOy中，重新定義兩點(diǎn)A(g,%),B(g,%)之間的“距離”為MB=\x2-X1\+

版—加，我們把到兩定點(diǎn)E(—c,0)譙(c,0)(c>0)的“距離”之和為常數(shù)2a(a>c)的點(diǎn)的軌跡叫“橢

圓”.

(1)求“橢圓”的方程；

⑵根據(jù)“橢圓”的方程，研究“橢圓”的范圍、對(duì)稱性,并說(shuō)明理由；

(3)設(shè)c=l,a=2,作出“橢圓”的圖形，設(shè)此“橢圓”的外接橢圓為的左頂點(diǎn)為過(guò)月作直線交C

于兩點(diǎn)，ZVIMN的外心為Q,求證:直線OQ與的斜率之積為定值.

???

題目叵］閱讀材料：

2

在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)M(x,y)與定點(diǎn)F(c,O)(或斤'(一c,0)的距離和它到定直線l-.x=二(或l':x=

C

--)的距離之比是常數(shù)9(0<c<a),則=馬化簡(jiǎn)可得4+/v=1，設(shè)/=a2-c2

Ca?1_aQ2Q2—02