第3章圓（知識歸納+題型突破）1．理解圓及其有關概念，理解弧、弦、圓心角的關系，探索并了解點與圓、直線與圓、圓與圓的位置關系，探索并掌握圓周角與圓心角的關系、直徑所對的圓周角的特征；2．了解切線的概念，探索并掌握切線與過切點的半徑之間的位置關系，能判定一條直線是否為圓的切線，會過圓上一點畫圓的切線；3．了解三角形的內心和外心，探索如何過一點、兩點和不在同一直線上的三點作圓；4．了解正多邊形的概念，掌握用等分圓周畫圓的內接正多邊形的方法；會計算弧長及扇形的面積、圓錐的側面積及全面積；一、圓的定義、性質及與圓有關的角1．圓的定義(1)線段OA繞著它的一個端點O旋轉一周，另一個端點A所形成的封閉曲線，叫做圓.(2)圓是到定點的距離等于定長的點的集合.要點：①圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小；確定一個圓應先確定圓心，再確定半徑，二者缺一不可；②圓是一條封閉曲線.2．圓的性質(1)旋轉不變性：圓是旋轉對稱圖形，繞圓心旋轉任一角度都和原來圖形重合；圓是中心對稱圖形，對稱中心是圓心.在同圓或等圓中，兩個圓心角，兩條弧，兩條弦，兩條弦心距，這四組量中的任意一組相等，那么它所對應的其他各組分別相等.(2)軸對稱：圓是軸對稱圖形，經過圓心的任一直線都是它的對稱軸.(3)垂徑定理及推論：①垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧.②平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.③弦的垂直平分線過圓心，且平分弦對的兩條弧.④平分一條弦所對的兩條弧的直線過圓心，且垂直平分此弦.⑤平行弦夾的弧相等.要點：在垂經定理及其推論中：過圓心、垂直于弦、平分弦、平分弦所對的優弧、平分弦所對的劣弧，在這五個條件中，知道任意兩個，就能推出其他三個結論.（注意：“過圓心、平分弦”作為題設時，平分的弦不能是直徑）3．兩圓的性質(1)兩個圓是一個軸對稱圖形，對稱軸是兩圓連心線.(2)相交兩圓的連心線垂直平分公共弦，相切兩圓的連心線經過切點.4．與圓有關的角(1)圓心角：頂點在圓心的角叫圓心角.圓心角的性質：圓心角的度數等于它所對的弧的度數.(2)圓周角：頂點在圓上，兩邊都和圓相交的角叫做圓周角.圓周角的性質：①圓周角等于它所對的弧所對的圓心角的一半.②同弧或等弧所對的圓周角相等；在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等.③90°的圓周角所對的弦為直徑；半圓或直徑所對的圓周角為直角.④如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形.⑤圓內接四邊形的對角互補；外角等于它的內對角.要點：(1)圓周角必須滿足兩個條件：①頂點在圓上；②角的兩邊都和圓相交.(2)圓周角定理成立的前提條件是在同圓或等圓中.二、與圓有關的位置關系1．判定一個點P是否在⊙O上設⊙O的半徑為，OP=，則有點P在⊙O外；點P在⊙O上；點P在⊙O內.要點：點和圓的位置關系和點到圓心的距離的數量關系是相對應的，即知道位置關系就可以確定數量關系；知道數量關系也可以確定位置關系.2．判定幾個點在同一個圓上的方法當時，在⊙O上.3．直線和圓的位置關系設⊙O半徑為R，點O到直線的距離為.(1)直線和⊙O沒有公共點直線和圓相離.(2)直線和⊙O有唯一公共點直線和⊙O相切.(3)直線和⊙O有兩個公共點直線和⊙O相交.4．切線的判定、性質(1)切線的判定：①經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.②到圓心的距離等于圓的半徑的直線是圓的切線.(2)切線的性質：①圓的切線垂直于過切點的半徑.②經過圓心作圓的切線的垂線經過切點.③經過切點作切線的垂線經過圓心.(3)切線長：從圓外一點作圓的切線，這一點和切點之間的線段的長度叫做切線長.(4)切線長定理：從圓外一點作圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角.5．圓和圓的位置關系設的半徑為，圓心距.(1)和沒有公共點，且每一個圓上的所有點在另一個圓的外部外離.(2)和沒有公共點，且的每一個點都在內部內含(3)和有唯一公共點，除這個點外，每個圓上的點都在另一個圓外部外切.(4)和有唯一公共點，除這個點外，的每個點都在內部內切.(5)和有兩個公共點相交.三、三角形的外接圓與內切圓、圓內接四邊形與外切四邊形1．三角形的內心、外心、重心、垂心(1)三角形的內心：是三角形三條角平分線的交點，它是三角形內切圓的圓心，在三角形內部，它到三角形三邊的距離相等，通常用“I”表示.(2)三角形的外心：是三角形三邊中垂線的交點，它是三角形外接圓的圓心，銳角三角形外心在三角形內部，直角三角形的外心是斜邊中點，鈍角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三個頂點的距離相等，通常用O表示.(3)三角形重心：是三角形三邊中線的交點，在三角形內部；它到頂點的距離是到對邊中點距離的2倍，通常用G表示.(4)垂心：是三角形三邊高線的交點.要點：(1)任何一個三角形都有且只有一個內切圓，但任意一個圓都有無數個外切三角形；(2)解決三角形內心的有關問題時，面積法是常用的，即三角形的面積等于周長與內切圓半徑乘積的一半，即(S為三角形的面積，P為三角形的周長，r為內切圓的半徑).(3)三角形的外心與內心的區別：名稱確定方法圖形性質外心(三角形外接圓的圓心)三角形三邊中垂線的交點(1)OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形內部內心(三角形內切圓的圓心)三角形三條角平分線的交點(1)到三角形三邊距離相等；(2)OA、OB、OC分別平分∠BAC、∠ABC、∠ACB；(3)內心在三角形內部.2．圓內接四邊形和外切四邊形(1)四個點都在圓上的四邊形叫圓的內接四邊形，圓內接四邊形對角互補，外角等于內對角.(2)各邊都和圓相切的四邊形叫圓外切四邊形，圓外切四邊形對邊之和相等.四、圓中有關計算1．圓中有關計算圓的面積公式：，周長.圓心角為、半徑為R的弧長.圓心角為，半徑為R，弧長為的扇形的面積.弓形的面積要轉化為扇形和三角形的面積和、差來計算.圓柱的側面圖是一個矩形，底面半徑為R，母線長為的圓柱的體積為，側面積為，全面積為.圓錐的側面展開圖為扇形，底面半徑為R，母線長為，高為的圓錐的側面積為，全面積為，母線長、圓錐高、底面圓的半徑之間有.要點：(1)對于扇形面積公式，關鍵要理解圓心角是1°的扇形面積是圓面積的，即；(2)在扇形面積公式中，涉及三個量：扇形面積S、扇形半徑R、扇形的圓心角，知道其中的兩個量就可以求出第三個量.(3)扇形面積公式，可根據題目條件靈活選擇使用，它與三角形面積公式有點類似，可類比記憶；(4)扇形兩個面積公式之間的聯系：.目錄：題型一圓的有關概念題型二垂徑定理題型三圓心角題型四圓周角題型五直線與圓的位置關系題型六圓內接正多邊形題型七弧長及扇形的面積題型八圓綜合解答題題型一圓的有關概念【例1】下列說法正確的是（

）A．圓的對稱軸是直徑 B．相等的圓心角所對的弧相等C．等弧所對的弦相等 D．相等的弦所對的圓心角相等【答案】C【分析】根據在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量都分別相等對各選項進行判斷．【解析】解：A、圓的對稱軸是直徑所在的直線，原說法錯誤，本選項不符合題意；B、在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，原說法錯誤，本選項不符合題意；C、等弧所對的弦相等，本選項符合題意；D、在同圓或等圓中，相等的弦所對的圓心角相等，原說法錯誤，本選項不符合題意；故選：C．【點睛】本題考查了圓心角、弧、弦的關系：在同圓和等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等．推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量都分別相等．鞏固訓練：已知的半徑為2，，則點A在（）A．內 B．上 C．外 D．無法確定【答案】B【分析】本題考查了點與圓的位置關系，解題的關鍵是掌握判斷點與圓的位置關系，就是比較點與圓心的距離和半徑的大小關系．根據點在圓上，則；點在圓外，；點在圓內，（d即點到圓心的距離，即圓的半徑）判斷即可．【解析】解：的半徑為2，，∴點A在上．故選：B．2．在同圓或等圓中，若的長度等于的長度，則下列說法正確的有（）①的度數的度數；②所對的圓心角等于所對的圓心角；③和是等弧；④所對的弦長等于所對的弦長．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【分析】根據弧、弦、角的關系即可判斷．【解析】解：①∵的長度等于的長度，且在同圓或等圓中，∴的度數的度數．①正確；②在同圓或等圓中，等弧所對的圓心角相等．②正確；③∵的長度等于的長度，且在同圓或等圓中，∴和是等弧．③正確；④在同圓或等圓中，等弧所對的弦相等．④正確；故選：D【點睛】本題考查弧、弦、角的關系．熟記相關結論是解題關鍵．3．在矩形中，，以點A為圓心，4為半徑作，點C與的位置關系是（）A．點C在內 B．點C在上 C．點C在外 D．無法確定【答案】C【分析】本題主要考查了點與圓的位置關系，矩形的性質，勾股定理．根據矩形的性質和勾股定理求出的長，再根據點與圓的位置關系，即可求解．【解析】解：在矩形中，，∴，∴，∵的半徑為4，∴，∴點C與外邊，故選：C．題型二垂徑定理【例2】如圖是一個圓柱形的玻璃水杯，將其橫放，杯內水面，水深，則水杯半徑是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查垂徑定理，勾股定理，連接，，根據垂徑定理求出，再用勾股定理解即可．【解析】解：如圖，連接，，則，，，設水杯半徑，則，在中，，，解得，故選C．鞏固訓練：1．如圖，在中，是弦的中點，是過點的直徑，則下列結論中不正確的是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查了垂徑定理的推論，弧、弦、圓心角的關系等知識，理解并掌握垂徑定理及其推論是解題關鍵．平分弦的直徑垂直于這條弦，且平分這條弦所對的兩條弧；同弧或等弧所對的弦相等，所對的圓心角也相等，據此即可獲得答案．【解析】解：∵是弦的中點，是過點的直徑，∴，，，故選項A正確，不符合題意；∵，∴，，故選項B，C正確，不符合題意；已知條件無法確定，故選項D不正確，符合題意．故選：D．2．如圖，半徑為13cm的圓形鐵片上切下一塊高為8cm的弓形鐵片，則弦AB的長為（

）A．10cm B．16cm C．20cm D．24cm【答案】D【分析】此題主要考查了垂徑定理以及勾股定理．首先構造直角三角形，再利用勾股定理得出的長，進而根據垂徑定理得出答案．【解析】解：如圖，過O作于C，交于D，∴，∵，∴，又∵，∴中，，∴．故選`：D．題型三圓心角【例3】如圖，在中，，劣弧的度數是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了弧所對的度數求解，只需求出弧所對的圓心角度數即可．連接，根據結合即可求出．【解析】解：連接，如圖所示：

則∵，∴∴故劣弧的度數是故選：D鞏固訓練：1．如圖，是的直徑，點E在上，點D，C是的三等分點，，則的度數是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】先根據圓心角、弧、弦的關系得到，然后利用平角的定義計算的度數．【解析】解：∵點D、C是的三等分點，即，∴，∴．故選：D．【點睛】本題考查了圓心角、弧、弦的關系：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量都分別相等．2．如圖，、是的直徑，弦，弧為，則的度數為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】連接，利用等邊對等角，弦，圓心角，弧的關系，平行線的性質計算即可.【解析】連接，解：∵弧為，∴，∵，∴，∵，∴，故選：C．【點睛】本題考查了等邊對等角，弦，圓心角，弧的關系，平行線的性質，熟練掌握平行線的性質，圓的性質是解題的關鍵.3．如圖，在中，，D、E分別是半徑與的中點，連接，，則下列結論不一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】在中，根據弧、弦、圓心角的關系可判斷A選項，證明可判斷B、C選項，根據已知條件，不能證明，可判斷D選項．【解析】解：在中，，，故A選項不符合題意；在與中，，，，，故C選項不符合題意；D、E分別是半徑的中點,，在與中，，，，，故B選項不符合題意；和不一定相等，和不一定垂直，故D選項符合題意．故選：D．【點睛】本題考查弧、弦、圓心角的關系以及全等三角形的判定與性質，掌握相關知識點是解決本題的關鍵．題型四圓周角【例4】．如圖，點A，B，C在上，，則的大小為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據圓周角定理得到，根據題意列出算式，計算即可．本題考查的是圓周角定理，在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．【解析】解：由圓周角定理得，∵∴，解得，，故選：A．鞏固訓練：1．如圖，是的兩條弦，且，點分別在和上，若，則的度數是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】此題主要考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角或弧的度數的一半．根據圓內接四邊形對角互補求得的度數，即可求得的度數，進而求得的度數，的度數，則的度數即可求解．【解析】解：在圓內接四邊形中，，則的度數是，又∵，∴的度數=的度數，∴的度數是，∴．故選：A．2．如圖，已知四邊形是的內接四邊形，若，則的度數為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了圓的內接四邊形互補及圓周角定理：一條弧所對圓周角等于它所對圓心角的一半，熟記相關結論即可求解．【解析】解：∵，∴，∴故選：D3．如圖，是的直徑，點在上，若，則的度數為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查同弧所對的圓周角相等，直徑所對的圓周角等于90度，圓的內接四邊形，連接，，得出，，進而可得出答案．【解析】解：連接，，

∵同弧所對的圓周角相等，∴，∵是的直徑，∴，∴，∴，故選：C．題型五直線與圓的位置關系【例5】．已知的直徑為10，直線l與相交，則圓心O到直線l的距離可能是（

）A．4 B．5 C．6 D．8【答案】A【分析】本題考查直線與圓的位置關系，解題的關鍵是記住①直線和相交②直線和相切③直線和相離．根據直線和相交，即可判斷．【解析】解：的直徑為10，的半徑為5，直線與相交，圓心O到直線的距離的取值范圍是，只有選項A符合題意，故選：A．鞏固訓練：1．如圖，PA，PB分別與☉O相切于點A，B，連接PO并延長與☉O交于點C，D．若CD=12，PA=8，則sin∠ADB的值為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】如圖，連接AO，BO，∵PA，PB分別與☉O相切于點A，B，∴∠PAO=∠PBO=90°，PA=PB=8.∵DC=12，∴AO=6，∴OP=10，在Rt△PAO和Rt△PBO中，∴Rt△PAO≌Rt△PBO（HL），∴∠AOP=∠BOP，∴，∴∠ADC=∠BDC.∵∠AOC=2∠ADC，∴∠ADB=∠AOC，∴sin∠ADB=sin∠AOC=.2．如圖，AB是☉O的切線，B為切點，連接AO交☉O于點C，延長AO交☉O于點D，連接BD．若∠A=∠D，且AC=3，則AB的長度是（

）A．3 B．4 C．3 D．4【答案】C【解析】如圖，連接OB，∵AB是☉O的切線，B為切點，∴OB⊥AB，∴AB2=OA2-OB2．∵OB和OD是半徑，∴∠D=∠OBD．∵∠A=∠D，∴∠A=∠D=∠OBD，∴△OBD∽△BAD，AB=BD，∴OD∶BD=BD∶AD，∴BD2=OD·AD，即OA2-OB2=OD·AD．設OD=x，∵AC=3，∴AD=2x+3，OB=x，OA=x+3，∴(x+3)2-x2=x(2x+3)．解得x=3或x=-3(負值舍去)，∴OA=6，OB=3，∴AB2=OA2-OB2=27，∴AB=3．3．如圖，是的直徑，C為上一點，連接、，于點E，是的切線，且，若，，則的長為（

）A． B．5 C． D．4【答案】C【分析】本題考查了切線的性質，解直角三角形，相似三角形的判定和性質，連接，通過證明，得出，則，求出，則，根據切線的定義，求出，最后根據，即可解答．【解析】解：連接，如圖，∵是的直徑，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵是的切線，∴，∴，∴，故選：C．題型六圓內接正多邊形【例6】．如圖，正六邊形內接于，若的周長是，則正六邊形的邊長是（

）A． B．3 C．6 D．【答案】B【分析】連接、，由正六邊形內接于，可知是等邊三角形，由的周長是，可得，即可得出結果．本題主要考查了圓內接正六邊形的性質，等邊三角形的判定及性質，正確運用圓與正六邊形的性質是解此題的關鍵．【解析】解：如圖，連接、，

∵正六邊形內接于，∵，是等邊三角形，∵的周長是，，即正六邊形的邊長是，故選：B鞏固訓練：1．正三角形的內切圓半徑、外接圓半徑和正三角形高的比為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查正多邊形和圓；根據題意畫圖如下，作出輔助線、，證明為直角三角形且為，即可求出、的比，進而求出內切圓半徑、外接圓半徑和高的比．【解析】解：如圖，連接、；

∵、切圓與，∴，，又∵，，∴，故；又為等邊三角形，，，，，∴，∴內切圓半徑、外接圓半徑和高的比是．故選：．2．如圖所示，A、B、C、D是一個外角為的正多邊形的頂點，若O為正多邊形內一點，且到各頂點的距離相等，則的度數為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】先根據多邊形外角和定理求出這個正多邊形的邊數，再由題意可得O為正多邊形的外接圓圓心，據此求出，再由等邊對等角，結合三角形內角和定理得到．【解析】解：由題意得，這個正多邊形的邊數為，∵O為正多邊形內一點，且到各頂點的距離相等，∴O為正多邊形的外接圓圓心，∴，∵，∴，故選B．【點睛】本題主要考查了正多邊形與圓，等邊對等角，三角形內角和定理，求出該正多邊形的邊數是解題的關鍵．題型七弧長及扇形的面積【例7】．如圖，已知的半徑為6，，是的弦，若，則的長是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查的圓周角定理的應用，弧長的計算；先求解，再利用弧長公式進行計算即可．【解析】解：連接，∵，∴，∴弧的長，故選：B．鞏固訓練：1．如圖，在中，，，分別以A、B、C為圓心，2為半徑畫弧，3條弧與所圍成的陰影部分的周長是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了勾股定理，求弧長．先求出，則，再根據得出，即可解答．【解析】解：根據勾股定理可得：，∴，∵，∴，∴陰影部分的周長，故選：D．2．如圖，在矩形中，以點A為圓心，以長為半徑畫弧交于點E，將扇形剪下來做成圓錐，若，則該圓錐底面半徑為（

）A． B． C．1 D．2【答案】A【分析】此題考查圓錐的計算，正方形的性質，勾股定理，解題的關鍵是熟練掌握扇形的弧長公式．首先由正方形的性質得到是等腰直角三角形，進而得到，然后由勾股定理求出，然后根據扇形的弧長等于圍成的圓錐的底面圓的周長列方程求解即可．【解析】解：在矩形中，，∵，是等腰直角三角形，，，，扇形的弧長等于圍成的圓錐的底面圓的周長，圓錐的底面圓的半徑為，，解得．故選：A．題型八圓綜合解答題【例8】．26．如圖，是的外接圓，，是直徑，且，連接，求的長．【答案】【分析】先根據圓周角定理可求出，，由銳角三角函數的定義即可求出的長．此題考查了圓周角定理、解直角三角形等知識，熟練掌握圓周角定理是解題的關鍵．【解析】解：在中，∵，∴.∵是直徑，，∴，∴.鞏固訓練：1．如圖，在中．．(1)用直尺和圓規作出，使圓心在邊上，并與其他兩邊都相切，與邊相切于點；（保留作圖痕跡，不寫作法）(2)通過作圖，試說明與相切的理由；(3)求的半徑．【答案】(1)見解析；(2)見解析；(3)3．【分析】（1）作的角平分線交于點，以點為圓心，的長為半徑作圓即可；（2）過點作，垂足為點．由題可知，是的角平分線，利用圓心到直線的距離等于半徑時，直線與圓相切即可證明；（3）由勾股定理得，根據切線長定理得，進而得，在中，利用勾股定理構造方程即可求解．【解析】（1）解：如圖所示，（2）證明：過點作，垂足為點．由題可知，是的角平分線∵，是的角平分線又∵，是的半徑，與相切；（3）解：在中，．與相切設半徑為，則，根據勾股定理得，解得半徑為．【點睛】本題主要考查了切線得判定、切線長定理、勾股定理、尺規作角的角平分線以及角平分線的性質定理，熟練掌握切線判定、切線長定理、勾股定理、尺規作角的角平分線是解題的關鍵．2．如圖，已知內接于，是的直徑，的平分線交于點，交于點，連接，作，交的延長線于點．(1)求證：是的切線；(2)若，，求的半徑．【答案】(1)見解析(2)的半徑為．【分析】（1）連接，根據平分，，，證明即可；（2）設的半徑為，則有，在中，，根據勾股定理建立方程，解方程即可求解．【解析】（1）解：連接，∵是的直徑，∴，即，∵平分，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵是的半徑，∴是的切線．（2）解：設的半徑為，則有，在中，，∴，解得．∴的半徑為．【點睛】本題考查了切線的性質與判定，等腰三角形的性質，垂線定義，角平分線的定義，勾股定理，熟練掌握切線的性質與判定是解題的關鍵．3．如圖為上的四點，點為延長線上的一點，且，點為弧的中點．(1)若，求的度數．(2)若，求的長．【答案】(1)(2)8【分析】本題考查了直徑所對的圓周角是直角，同弧所對的圓周角相等