PAGEPAGE61．圓的極坐標(biāo)方程1．曲線的極坐標(biāo)方程(1)在極坐標(biāo)系中，假如曲線C上隨意一點(diǎn)的極坐標(biāo)中至少有一個(gè)滿意方程f(ρ，θ)＝0，并且坐標(biāo)適合方程f(ρ，θ)＝0的點(diǎn)都在曲線C上，那么方程f(ρ，θ)＝0叫做曲線C的極坐標(biāo)方程．(2)建立曲線的極坐標(biāo)方程的方法步驟是：①建立適當(dāng)?shù)臉O坐標(biāo)系，設(shè)P(ρ，θ)是曲線上隨意一點(diǎn)．②列出曲線上隨意一點(diǎn)的極徑與極角之間的關(guān)系式．③將列出的關(guān)系式整理、化簡．④證明所得方程就是曲線的極坐標(biāo)方程．2．圓的極坐標(biāo)方程(1)圓心在C(a,0)(a＞0)，半徑為a的圓的極坐標(biāo)方程為ρ＝2acos_θ.(2)圓心在極點(diǎn)，半徑為r的圓的極坐標(biāo)方程為ρ＝r.(3)圓心在點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，\f(π,2)))處且過極點(diǎn)的圓的方程為ρ＝2asinθ(0≤θ≤π)．圓的極坐標(biāo)方程[例1]求圓心在(ρ0，θ0)，半徑為r的圓的方程．[思路點(diǎn)撥]結(jié)合圓的定義求其極坐標(biāo)方程．[解]在圓周上任取一點(diǎn)P(如圖)，設(shè)其極坐標(biāo)為(ρ，θ)．由余弦定理知：|CP|2＝|OP|2＋|OC|2－2|OP|·|OC|cos∠COP，故其極坐標(biāo)方程為r2＝ρeq\o\al(2,0)＋ρ2－2ρρ0cos(θ－θ0)．幾種特別情形下的圓的極坐標(biāo)方程當(dāng)圓心在極軸上即θ0＝0時(shí)，方程為r2＝ρeq\o\al(2,0)＋ρ2－2ρρ0cosθ，若再有ρ0＝r，則其方程為ρ＝2ρ0cosθ＝2rcosθ，若ρ0＝r，θ0≠0，則方程為ρ＝2rcos(θ－θ0)，這幾個(gè)方程常常用來推斷圖形的形態(tài)和位置．1．求圓心為Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)，\f(π,4)))，半徑為1的圓的極坐標(biāo)方程．解：設(shè)圓C上隨意一點(diǎn)的極坐標(biāo)為M(ρ，θ)，如圖，在△OCM中，由余弦定理，得|OM|2＋|OC|2－2|OM|·|OC|·cos∠COM＝|CM|2，即ρ2－2eq\r(2)ρcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＋1＝0.當(dāng)O，C，M三點(diǎn)共線時(shí)，點(diǎn)M的極坐標(biāo)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)±1，\f(π,4)))也適合上式，所以圓的極坐標(biāo)方程為ρ2－2eq\r(2)ρcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＋1＝0.2．求圓心在Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(3π,2)))處并且過極點(diǎn)的圓的極坐標(biāo)方程．解：設(shè)M(ρ，θ)為圓上除O，B外的隨意一點(diǎn)，連接OM，MB，則有|OB|＝4，|OM|＝ρ，∠MOB＝θ－eq\f(3π,2)，∠BMO＝90°，從而△BOM為直角三角形．∴有|OM|＝|OB|cos∠MOB即ρ＝4coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(3π,2)))＝－4sinθ.極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化[例2]把下列極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，并推斷圖形的形態(tài)．(1)ρ＝2acosθ(a>0)；(2)ρ＝9(sinθ＋cosθ)；(3)ρ＝4；(4)2ρcosθ－3ρsinθ＝5.[解](1)兩邊同時(shí)乘以ρ，得ρ2＝2aρcosθ，即x2＋y2＝2ax，整理得(x－a)2＋y2＝a2，它是以(a,0)為圓心，以a為半徑的圓．(2)兩邊同時(shí)乘以ρ，得ρ2＝9ρ(sinθ＋cosθ)，即x2＋y2＝9x＋9y，整理得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(9,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(9,2)))2＝eq\f(81,2).它是以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,2)，\f(9,2)))為圓心，以eq\f(9\r(2),2)為半徑的圓．(3)將ρ＝4兩邊平方，得ρ2＝16，即x2＋y2＝16.它是以原點(diǎn)為圓心，以4為半徑的圓．(4)2ρcosθ－3ρsinθ＝5，即2x－3y＝5，是一條直線．兩種坐標(biāo)方程間進(jìn)行互化時(shí)的留意點(diǎn)(1)互化公式是有三個(gè)前提條件的，即極點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合、極軸與直角坐標(biāo)系的橫軸的正半軸重合，兩種坐標(biāo)系的單位長度相同．(2)由直角坐標(biāo)求極坐標(biāo)時(shí)，理論上不是惟一的，但這里約定只在0≤θ＜2π范圍內(nèi)求值．(3)由直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程，最終要留意化簡．(4)由極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程時(shí)要留意變形的等價(jià)性，通常總要用ρ去乘方程的兩端，應(yīng)當(dāng)檢查極點(diǎn)是否在曲線上，若在，是等價(jià)變形，否則，不是等價(jià)變形．3．曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－2x＝0，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，則曲線C的極坐標(biāo)方程為________．解析：將x2＋y2＝ρ2，x＝ρcosθ代入x2＋y2－2x＝0，得ρ2－2ρcosθ＝0，整理得ρ＝2cosθ.答案：ρ＝2cosθ4．把下列直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程．(1)y＝eq\r(3)x；(2)x2－y2＝1.解：(1)將x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入y＝eq\r(3)x得ρsinθ＝eq\r(3)ρcosθ，從而θ＝eq\f(π,3).(2)將x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入x2－y2＝1，得ρ2cos2θ－ρ2sin2θ＝1，化簡，得ρ2＝eq\f(1,cos2θ).5．把下列極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程．(1)ρ＝6cosθ；(2)ρ＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4))).解：(1)因?yàn)棣眩?cosθ，所以ρ2＝6ρcosθ，所以化為直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－6x＝0.(2)因?yàn)棣眩?cosθcoseq\f(π,4)＋2sinθsineq\f(π,4)＝eq\r(2)cosθ＋eq\r(2)sinθ，所以ρ2＝eq\r(2)ρcosθ＋eq\r(2)ρsinθ.所以化為直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－eq\r(2)x－eq\r(2)y＝0.一、選擇題1．極坐標(biāo)方程ρ＝sinθ＋cosθ表示的曲線是()A．直線 B．圓C．橢圓 D．拋物線解析：選B極坐標(biāo)方程ρ＝sinθ＋cosθ即ρ2＝ρ·(sinθ＋cosθ)，化為直角坐標(biāo)方程為x2＋y2＝x＋y，配方得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,2)))2＝eq\f(1,2)，表示的曲線是以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)))為圓心，eq\f(\r(2),2)為半徑的圓．故選B.2．如圖，極坐標(biāo)方程ρ＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))的圖形是()解析：選C圓ρ＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))是由圓ρ＝2sinθ繞極點(diǎn)按順時(shí)針方程旋轉(zhuǎn)eq\f(π,4)而得，圓心的極坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(π,4)))，故選C.3．在極坐標(biāo)系中，圓ρ＝－2sinθ的圓心的極坐標(biāo)是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(π,2))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(π,2)))C．(1,0) D．(1，π)解析：選B由ρ＝－2sinθ得ρ2＝－2ρsinθ，化成直角坐標(biāo)方程為x2＋y2＝－2y，即x2＋(y＋1)2＝1，圓心坐標(biāo)為(0，－1)，其對(duì)應(yīng)的極坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(π,2))).故選B.4．在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,3)))到圓ρ＝2cosθ的圓心的距離為()A．2 B.eq\r(4＋\f(π2,9))C.eq\r(1＋\f(π2,9)) D.eq\r(3)解析：選D極坐標(biāo)系中的點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,3)))化為平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)為(1，eq\r(3))，極坐標(biāo)系中的圓ρ＝2cosθ化為平面直角坐標(biāo)系中的圓為x2＋y2＝2x，即(x－1)2＋y2＝1，其圓心為(1,0)．所求兩點(diǎn)間的距離為eq\r((1－1)2＋(\r(3)－0)2)＝eq\r(3).故選D.二、填空題5．把圓的一般方程x2＋(y－2)2＝4化為極坐標(biāo)方程為________．解析：圓的方程x2＋(y－2)2＝4化為一般方程為x2＋y2－4y＝0，將x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入，得ρ2cos2θ＋ρ2sin2θ－4ρsinθ＝0，即ρ＝4sinθ.答案：ρ＝4sinθ6．曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ＝3sinθ，則曲線C的直角坐標(biāo)方程為________．解析：由ρ＝3sinθ，得ρ2＝3ρsinθ，故x2＋y2＝3y，即所求方程為x2＋y2－3y＝0.答案：x2＋y2－3y＝07．在極坐標(biāo)系中，若過點(diǎn)A(3,0)且與極軸垂直的直線交曲線ρ＝4cosθ于A，B兩點(diǎn)，則|AB|＝________.解析：由題意知，直線方程為x＝3，曲線方程為(x－2)2＋y2＝4，將x＝3代入圓的方程，得y＝±eq\r(3)，則|AB|＝2eq\r(3).答案：2eq\r(3)三、解答題8．把下列直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程進(jìn)行互化．(1)x2＋y2＋2x＝0；(2)ρ＝cosθ－2sinθ；(3)ρ2＝cos2θ.解：(1)∵x2＋y2＋2x＝0，∴ρ2＋2ρcosθ＝0，∴ρ＝－2cosθ.(2)∵ρ＝cosθ－2sinθ，∴ρ2＝ρcosθ－2ρsinθ，∴x2＋y2＝x－2y，即x2＋y2－x＋2y＝0.(3)∵ρ2＝cos2θ，∴ρ4＝ρ2cos2θ＝(ρcosθ)2∴(x2＋y2)2＝x2，即x2＋y2＝x或x2＋y2＝－x.9．過極點(diǎn)O作圓C：ρ＝8cosθ的弦ON，求弦ON的中點(diǎn)M的軌跡方程．解：法一(代入法)：設(shè)點(diǎn)M(ρ，θ)，N(ρ1，θ1)．因?yàn)辄c(diǎn)N在圓ρ＝8cosθ上，所以ρ1＝8cosθ1.因?yàn)辄c(diǎn)M是ON的中點(diǎn)，所以ρ1＝2ρ，θ1＝θ，所以2ρ＝8cosθ，所以ρ＝4cosθ.所以點(diǎn)M的軌跡方程是ρ＝4cosθeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(點(diǎn)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))除外)).法二(定義法)：如圖，圓C的圓心C(4,0)，半徑r＝|OC|＝4，連接CM.因?yàn)镸為弦ON的中點(diǎn)，所以CM⊥ON.故M在以O(shè)C為直徑的圓上，所以動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程是ρ＝4cosθeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(點(diǎn)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))除外)).10．若圓C的方程是ρ＝2asinθ，求：(1)關(guān)于極軸對(duì)稱的圓的極坐標(biāo)方程；(2)關(guān)于直線θ＝eq\f(3π,4)對(duì)稱的圓的極坐標(biāo)方程．解：法一：設(shè)所求圓上隨意一點(diǎn)M的極坐標(biāo)為(ρ，θ)．(1)點(diǎn)M(ρ，θ)關(guān)于極軸對(duì)稱的點(diǎn)為(ρ，－θ)，代入圓C的方程ρ＝2asinθ，得ρ＝2asin(－θ)，即ρ＝－2asinθ為所求．(2)點(diǎn)M(ρ，θ)關(guān)于直線θ＝eq\f(3π,4)對(duì)稱的點(diǎn)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ρ，\f(3π,2)－θ))，代入圓C的方程ρ＝2asinθ，得ρ＝2asineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－θ))，即ρ＝－2acosθ為所求．法二：由圓的極坐標(biāo)方程ρ＝2asinθ得ρ2＝2ρa(bǔ)sinθ，利用公式x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，ρ＝eq\r(x2＋y2)，化為直角坐標(biāo)方程為x2＋y2＝2ay，即x2＋(y－a