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2025屆福建省寧德一中等重點中學高三畢業(yè)班適應性練習卷數(shù)學試題考生請注意:1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.正方形的邊長為,是正方形內(nèi)部(不包括正方形的邊)一點,且,則的最小值為()A. B. C. D.2.已知向量,(其中為實數(shù)),則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件3.在平面直角坐標系中,經(jīng)過點,漸近線方程為的雙曲線的標準方程為()A. B. C. D.4.已知直線y=k(x+1)(k>0)與拋物線C相交于A,B兩點,F(xiàn)為C的焦點,若|FA|=2|FB|,則|FA|=()A.1 B.2 C.3 D.45.已知集合,,則A. B.C. D.6.若復數(shù)()是純虛數(shù),則復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限7.將函數(shù)的圖象向右平移個周期后,所得圖象關于軸對稱,則的最小正值是()A. B. C. D.8.將函數(shù)的圖像向右平移個單位長度,再將圖像上各點的橫坐標伸長到原來的6倍(縱坐標不變),得到函數(shù)的圖像,若為奇函數(shù),則的最小值為()A. B. C. D.9.已知向量與向量平行,,且,則()A. B.C. D.10.下列函數(shù)中,在定義域上單調(diào)遞增,且值域為的是()A. B. C. D.11.已知雙曲線的一條漸近線傾斜角為,則()A.3 B. C. D.12.“中國剩余定理”又稱“孫子定理”,最早可見于中國南北朝時期的數(shù)學著作《孫子算經(jīng)》卷下第二十六題,叫做“物不知數(shù)”,原文如下:今有物不知其數(shù),三三數(shù)之剩二,五五數(shù)之剩三,七七數(shù)之剩二.問物幾何?現(xiàn)有這樣一個相關的問題:將1到2020這2020個自然數(shù)中被5除余3且被7除余2的數(shù)按照從小到大的順序排成一列,構成一個數(shù)列,則該數(shù)列各項之和為()A.56383 B.57171 C.59189 D.61242二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.某市高三理科學生有名,在一次調(diào)研測試中,數(shù)學成績服從正態(tài)分布,已知,若按成績分層抽樣的方式取份試卷進行分析,則應從分以上的試卷中抽取的份數(shù)為__________.14.執(zhí)行以下語句后,打印紙上打印出的結果應是:_____.15.已知a,b均為正數(shù),且,的最小值為________.16.直線是曲線的一條切線為自然對數(shù)的底數(shù)),則實數(shù)__________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知.(Ⅰ)若,求不等式的解集;(Ⅱ),,,求實數(shù)的取值范圍.18.(12分)在中,角A、B、C的對邊分別為a、b、c,且.(1)求角A的大小;(2)若,的平分線與交于點D,與的外接圓交于點E(異于點A),,求的值.19.(12分)某中學的甲、乙、丙三名同學參加高校自主招生考試,每位同學彼此獨立的從五所高校中任選2所.(1)求甲、乙、丙三名同學都選高校的概率;(2)若已知甲同學特別喜歡高校,他必選校,另在四校中再隨機選1所;而同學乙和丙對五所高校沒有偏愛,因此他們每人在五所高校中隨機選2所.(i)求甲同學選高校且乙、丙都未選高校的概率;(ii)記為甲、乙、丙三名同學中選高校的人數(shù),求隨機變量的分布列及數(shù)學期望.20.(12分)(1)已知數(shù)列滿足:,且(為非零常數(shù),),求數(shù)列的前項和;(2)已知數(shù)列滿足:(?。θ我獾?;(ⅱ)對任意的,,且.①若,求數(shù)列是等比數(shù)列的充要條件.②求證:數(shù)列是等比數(shù)列,其中.21.(12分)以坐標原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線的參數(shù)方程是(為參數(shù),常數(shù)),曲線的極坐標方程是.(1)寫出的普通方程及的直角坐標方程,并指出是什么曲線;(2)若直線與曲線,均相切且相切于同一點,求直線的極坐標方程.22.(10分)已知拋物線的焦點為,點在拋物線上,,直線過點,且與拋物線交于,兩點.(1)求拋物線的方程及點的坐標;(2)求的最大值.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.C【解析】

分別以直線為軸,直線為軸建立平面直角坐標系,設,根據(jù),可求,而,化簡求解.【詳解】解:建立以為原點,以直線為軸,直線為軸的平面直角坐標系.設,,,則,,由,即,得.所以=,所以當時,的最小值為.故選:C.【點睛】本題考查向量的數(shù)量積的坐標表示,屬于基礎題.2.A【解析】

結合向量垂直的坐標表示,將兩個條件相互推導,根據(jù)能否推導的情況判斷出充分、必要條件.【詳解】由,則,所以;而當,則,解得或.所以“”是“”的充分不必要條件.故選:A【點睛】本小題考查平面向量的運算,向量垂直,充要條件等基礎知識;考查運算求解能力,推理論證能力,應用意識.3.B【解析】

根據(jù)所求雙曲線的漸近線方程為,可設所求雙曲線的標準方程為k.再把點代入,求得k的值,可得要求的雙曲線的方程.【詳解】∵雙曲線的漸近線方程為設所求雙曲線的標準方程為k.又在雙曲線上,則k=16-2=14,即雙曲線的方程為∴雙曲線的標準方程為故選:B【點睛】本題主要考查用待定系數(shù)法求雙曲線的方程,雙曲線的定義和標準方程,以及雙曲線的簡單性質(zhì)的應用,屬于基礎題.4.C【解析】

方法一:設,利用拋物線的定義判斷出是的中點,結合等腰三角形的性質(zhì)求得點的橫坐標,根據(jù)拋物線的定義求得,進而求得.方法二:設出兩點的橫坐標,由拋物線的定義,結合求得的關系式,聯(lián)立直線的方程和拋物線方程,寫出韋達定理,由此求得,進而求得.【詳解】方法一:由題意得拋物線的準線方程為,直線恒過定點,過分別作于,于,連接,由,則,所以點為的中點,又點是的中點,則,所以,又所以由等腰三角形三線合一得點的橫坐標為,所以,所以.方法二:拋物線的準線方程為,直線由題意設兩點橫坐標分別為,則由拋物線定義得又①②由①②得.故選:C【點睛】本小題主要考查拋物線的定義,考查直線和拋物線的位置關系,屬于中檔題.5.D【解析】

因為,,所以,,故選D.6.B【解析】

化簡復數(shù),由它是純虛數(shù),求得,從而確定對應的點的坐標.【詳解】是純虛數(shù),則,,,對應點為,在第二象限.故選:B.【點睛】本題考查復數(shù)的除法運算,考查復數(shù)的概念與幾何意義.本題屬于基礎題.7.D【解析】

由函數(shù)的圖象平移變換公式求出變換后的函數(shù)解析式,再利用誘導公式得到關于的方程,對賦值即可求解.【詳解】由題意知,函數(shù)的最小正周期為,即,由函數(shù)的圖象平移變換公式可得,將函數(shù)的圖象向右平移個周期后的解析式為,因為函數(shù)的圖象關于軸對稱,所以,即,所以當時,有最小正值為.故選:D【點睛】本題考查函數(shù)的圖象平移變換公式和三角函數(shù)誘導公式及正余弦函數(shù)的性質(zhì);熟練掌握誘導公式和正余弦函數(shù)的性質(zhì)是求解本題的關鍵;屬于中檔題、常考題型.8.C【解析】

根據(jù)三角函數(shù)的變換規(guī)則表示出,根據(jù)是奇函數(shù),可得的取值,再求其最小值.【詳解】解:由題意知,將函數(shù)的圖像向右平移個單位長度,得,再將圖像上各點的橫坐標伸長到原來的6倍(縱坐標不變),得到函數(shù)的圖像,,因為是奇函數(shù),所以,解得,因為,所以的最小值為.故選:【點睛】本題考查三角函數(shù)的變換以及三角函數(shù)的性質(zhì),屬于基礎題.9.B【解析】

設,根據(jù)題意得出關于、的方程組,解出這兩個未知數(shù)的值,即可得出向量的坐標.【詳解】設,且,,由得,即,①,由,②,所以,解得,因此,.故選:B.【點睛】本題考查向量坐標的求解,涉及共線向量的坐標表示和向量數(shù)量積的坐標運算,考查計算能力,屬于中等題.10.B【解析】

分別作出各個選項中的函數(shù)的圖象,根據(jù)圖象觀察可得結果.【詳解】對于,圖象如下圖所示:則函數(shù)在定義域上不單調(diào),錯誤;對于,的圖象如下圖所示:則在定義域上單調(diào)遞增,且值域為,正確;對于,的圖象如下圖所示:則函數(shù)單調(diào)遞增,但值域為,錯誤;對于,的圖象如下圖所示:則函數(shù)在定義域上不單調(diào),錯誤.故選:.【點睛】本題考查函數(shù)單調(diào)性和值域的判斷問題,屬于基礎題.11.D【解析】

由雙曲線方程可得漸近線方程,根據(jù)傾斜角可得漸近線斜率,由此構造方程求得結果.【詳解】由雙曲線方程可知:,漸近線方程為:,一條漸近線的傾斜角為,,解得:.故選:.【點睛】本題考查根據(jù)雙曲線漸近線傾斜角求解參數(shù)值的問題,關鍵是明確直線傾斜角與斜率的關系;易錯點是忽略方程表示雙曲線對于的范圍的要求.12.C【解析】

根據(jù)“被5除余3且被7除余2的正整數(shù)”,可得這些數(shù)構成等差數(shù)列,然后根據(jù)等差數(shù)列的前項和公式,可得結果.【詳解】被5除余3且被7除余2的正整數(shù)構成首項為23,公差為的等差數(shù)列,記數(shù)列則令,解得.故該數(shù)列各項之和為.故選:C.【點睛】本題考查等差數(shù)列的應用,屬基礎題。二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】

由題意結合正態(tài)分布曲線可得分以上的概率,乘以可得.【詳解】解:,所以應從分以上的試卷中抽取份.故答案為:.【點睛】本題考查正態(tài)分布曲線,屬于基礎題.14.1【解析】

根據(jù)程序框圖直接計算得到答案.【詳解】程序在運行過程中各變量的取值如下所示:是否繼續(xù)循環(huán)ix循環(huán)前14第一圈是44+2第二圈是74+2+8第三圈是104+2+8+14退出循環(huán),所以打印紙上打印出的結果應是:1故答案為:1.【點睛】本題考查了程序框圖,意在考查學生的計算能力和理解能力.15.【解析】

本題首先可以根據(jù)將化簡為,然后根據(jù)基本不等式即可求出最小值.【詳解】因為,所以,當且僅當,即、時取等號,故答案為:.【點睛】本題考查根據(jù)基本不等式求最值,基本不等式公式為,在使用基本不等式的時候要注意“”成立的情況,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想,是中檔題.16.【解析】

根據(jù)切線的斜率為,利用導數(shù)列方程,由此求得切點的坐標,進而求得切線方程,通過對比系數(shù)求得的值.【詳解】,則,所以切點為,故切線為,即,故.故答案為:【點睛】本小題主要考查利用導數(shù)求解曲線的切線方程有關問題,屬于基礎題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(Ⅰ);(Ⅱ).【解析】

(Ⅰ)利用零點分段討論法把函數(shù)改寫成分段函數(shù)的形式,分三種情況分別解不等式,然后取并集即可;(Ⅱ)利用絕對值三角不等式求出的最小值,利用均值不等式求出的最小值,結合題意,只需即可,解不等式即可求解.【詳解】(Ⅰ)當時,,,或,或,或所以不等式的解集為;(Ⅱ)因為,又(當時等號成立),依題意,,,有,則,解之得,故實數(shù)的取值范圍是.【點睛】本題考查由存在性問題求參數(shù)的范圍、零點分段討論法解絕對值不等式、利用絕對值三角不等式和均值不等式求最值;考查運算求解能力、分類討論思想、邏輯推理能力;屬于中檔題.18.(1);(2)【解析】

(1)由,利用正弦定理轉(zhuǎn)化整理為,再利用余弦定理求解.(2)根據(jù),利用兩角和的余弦得到,利用數(shù)形結合,設,在中,由正弦定理求得,在中,求得再求解.【詳解】(1)因為,所以,即,即,所以.(2)∵,.所以,從而.所以,.不妨設,O為外接圓圓心則AO=1,,.在中,由正弦定理知,有.即;在中,由,,從而.所以.【點睛】本題主要考查平面向量的模的幾何意義,還考查了數(shù)形結合的方法,屬于中檔題.19.(1)(2)(i)(ii)分布列見解析,【解析】

(1)先計算甲、乙、丙同學分別選擇D高校的概率,利用事件的獨立性即得解;(2)(i)分別計算每個事件的概率,再利用事件的獨立性即得解;(ii),利用事件的獨立性,分別計算對應的概率,列出分布列,計算數(shù)學期望即得解.【詳解】(1)甲從五所高校中任選2所,共有共10種情況,甲、乙、丙同學都選高校,共有四種情況,甲同學選高校的概率為,因此乙、丙兩同學選高校的概率為,因為每位同學彼此獨立,所以甲、乙、丙三名同學都選高校的概率為.(2)(i)甲同學必選校且選高校的概率為,乙未選高校的概率為,丙未選高校的概率為,因為每位同學彼此獨立,所以甲同學選高校且乙、丙都未選高校的概率為.(ii),因此,.即的分布列為0123因此數(shù)學期望為.【點睛】本題考查了事件獨立性的應用和隨機變量的分布列和期望,考查了學生綜合分析,概念理解,實際應用,數(shù)學運算的能力,屬于中檔題.20.(1);(2)①;②證明見解析.【解析】

(1)由條件可得,結合等差數(shù)列的定義和通項公式、求和公式,即可得到所求;(2)①若,可令,運用已知條件和等比數(shù)列的性質(zhì),即可得到所求充要條件;②當,,,由等比數(shù)列的定義和不等式的性質(zhì),化簡變形,即可得到所求結論.【詳解】解:(1),,且為非零常數(shù),,,可得,可得數(shù)列的首項為,公差為的等差數(shù)列,可得,前項和為;(2)①若,可令,,且,即,,,,對任意的,,可得,可得,,數(shù)列是等比數(shù)列,則,,可得,,即,又,即有,即,數(shù)列是等比數(shù)列的充要條件為;②證明:對任意的,,,,,當,,,可得,即以為首項、為公比的等比數(shù)列;同理可得以為首項、為公比的等比數(shù)列;對任意的,,可得,即有,所以對,,,可得,,即且,則,可令,故數(shù)列,,,,,,,,,是以為首項,為公比的等比數(shù)列,其中.【點睛】本題考查新定義的理解和運用,考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義和通項公式的運用,考查分類討論思想方法和推理、運算能力,屬于難題.21.(1),,表示以為圓心為半徑的圓;為拋物線;(2)【解析】

(1)消去參數(shù)的直角坐標方程,利用,即得的直角坐標方程;(2)由直線與拋物線相切,求導可得切線斜率,再由直線與圓相切,故切線與圓心與切點連線垂直,可求解得到切點坐標,即得解.【詳解】(1)消去參數(shù)的直角坐標方程為:.的極坐標方程.∵,.當時表示以為圓心為半徑的圓;為拋物線.(2)設切點為,由于,則切線斜率為,由于直線與圓相切,故切線與圓心與切點連線垂直,故有,直線的直角坐標方程為,所以的極坐標方程為.【點睛】本題考查了極坐標,參數(shù)方程綜合,考查了學生綜合分析,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學運算的能力,屬于中檔題.22.(1),;(2)1.【

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