四川省南充市2025屆高三下學期高考適應性考試（二診）數學

試題

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

<o|,B-[y\y-x!

1.若集合/=，則/riB=（）

[x-3JL>

A.(2,3)B.[0,3]c.[0,2)D.(2,3]

2.已知復數z=i+i。，則匕,i|=()

A.0B.41C.2D.2V2

3.在遞增的等比數列｛%｝中，%%=8,%+%=9,則數列｛%｝的公比為（）

A.1B.2C.3D.4

Jra

4.已知V/5C的內角/,B,。所對應的邊分別為a,b,c,若4=彳,sinC=2sin8.則一=

3b

（）

A.2B.3C.V2D.V3

5.已知非零向量入B滿足彼=（2,o）,若?貝！u在B方向上的投影向量坐標為（）

A.（1,0）B.（2,0）C.（V2,0）D.（0,2）

6.若直線/：y=x+〃z與曲線C:x=3-"77有公共點，則實數加的取值范圍為（）

A.（-3,272-1]B.[-272-1,-3]

C.|^—3,2-\/2—1JD.|^—2^/2—1,2-72--1J

2兀

7.已知正三棱錐/-BCD底面邊長為2,其內切球的表面積為三，則二面角的

余弦值為（）

A.-B.—C.—D.—

3332

8.已知函數/（無）=/（無）=上有5個不相等的實數根，從小到大依次為

|lnx|,（x>0）

試卷第1頁，共4頁

X],x2,X3,x4,xs,則一J的取值范圍為（）

X4X5

A.（0,4）B.（0,2）C.（-2,0）D.（-4,0）

二、多選題

9.如圖所示為函數/(x)=sin(s+0)(。＞0,0＜。＜無)的部分圖象，則下列說法正確的

B./(x)在區間向用上單調遞增

C.將f(x)的圖象向右平移自個單位可以得到g(x)=cos2x的圖象

D.方程〃x)=0在(0㈤上有三個根

10.數學家波利亞說過：為了得到一個方程，我們必須把同一個量以兩種不同的方法表示出

來，即將一個量算兩次，從而建立相等關系.根據波利亞的思想，由恒等式

(1+x)"'+=(l+x)"""(切，〃eN*)左右兩邊展開式/(其中reN*,r＜n,r＜m)

系數相同，可得恒等式c：c：+c：c;「+…+c；c：=c1,，我們稱之為范德蒙德恒等式，下列

關于范德蒙德恒等式說法正確的是()

A.C：C：=CXB.C；葭+C；C；+…+C；C；=C'

C.C?oc；o+c；C°+…+c：°c；；=c；。D.(cJ+?)2+…+(c：)2=G,_1

11.已知拋物線C:/=4y的焦點為凡過X軸下方一點尸(%,%)作拋物線c的兩條切線，

切點為N,B,直線P8分別交x軸于N兩點，則下列結論中正確的是()

A.當點尸的坐標為(O,T)時，則直線方程為了=1

B.若直線48過點尸，則四邊形尸為矩形

試卷第2頁，共4頁

C.當片+/-2%-8=0時，\AF\-\BF\=3

D.|/a=4時，面積的最大值為4

三、填空題

12.某班從含有3名男生和2名女生的5名候選人中選出兩名同學分別擔任正、副班長，則

至少選到1名女生的概率.

13.已知4，4為雙曲線C：三-3=1的左、右頂點，直線y='(x-a)與雙曲線C的左

支相交于一點滿足/砌44=4/324,則雙曲線c的離心率的值為.

14.若函數〃x)=e'+(a+l)x+6(其中0>0),方程/(/(x))=x在上有解，則/+〃

的最小值為.

四、解答題

15.某公司在年終總結大會上開展了一次趣味抽獎活動.活動規則為：先在一個密閉不透光

的箱子中裝入6個標有一定金額的球(除標注金額不同外，其余均相同)，其中標注金額為

10元、20元、50元的球分別有3個、2個、1個.若員工甲每次從箱子中隨機摸出1個球，

記下摸出的球上的金額數，摸機次.規定：摸出的球上所標注的金額之和為其所獲得的抽獎

獎金總金額.

(1)若加=1,設員工甲獲得的金額2求J的分布列和數學期望；

(2)若m=2,采用有放回方式摸球,設事件X="員工甲獲得的總金額不低于40元”,求尸(X).

16.如圖,三棱柱/8C-4耳。中，側棱底面且各棱長均為2.及尸分別為

棱/5,5C，4q的中點.

(1)證明：E產〃平面4。；

試卷第3頁，共4頁

(2)求直線8g與平面4。所成角的正弦值.

17.已知°>0,函數/(x)=ax2-4x,g(x)=lnx.

(1)若a=；,求函數>=/(x)+3g(x)的極值；

(2)設6>0,/'(X)是/(x)的導數，g")是g(x)的導數，Mx)=/(x)+@(x)+4,〃(x)圖

像的最低點坐標為(2,4),對于任意正實數天，x2,且再+%=1,〃(無1)〃仁)2加恒成立.求

實數m的最大值.

18.已知F、尸分別是橢圓C:］+/=l(a>b>0)的左、右焦點，點在橢圓C上，

3

且ANFF'的面積為

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)過點7(4,0)的直線/與線段/9相交于S,與橢圓交于P、。兩點.

(I)證明：NPFS=NQFS；

(II)若S塘QS=SAPFS，求點尸的坐標.

19.對于無窮數列｛%｝和函數/(X),若x“+i=/(%*€N*),則稱/■(%)是數列｛%｝的生成

函數.

⑴定義在R上的函數g(x)滿足：對任意”eN*,都有8(2角)=28(2")+2",且g(2)=l；

又數列｛%｝滿足%=g(2").

(I)求證：/(x)=x+；是數列］畀的生成函數；

(II)求數列｛與｝的前〃項和s..

(2)已知/(x)="空獸是數列也｝的生成函數，且，=2.若數列”］的前〃項和為7；,

x+2026IA+2J

求證：25(1-0.99")<7；<250(1-0.999")(〃eN*,?>2).

試卷第4頁，共4頁

《四川省南充市2025屆高三下學期高考適應性考試(二診)數學試題》參考答案

題號12345678910

答案ACBDBCADACBCD

題號11

答案ABD

1.A

【分析】解分式不等式、求二次函數的值域確定集合45,再由集合的交集運算求結果.

【詳解】由/=]X|￡|<O|={X[(X-2)(X-3)<O}={X[2<X<3}=(2,3),

B={y\y=x2^={y|y>0}=[0,+co),

所以/ng=(2,3).

故選：A.

2.C

【分析】通過復數的運算求出z,進而根據模長公式計算即可.

【詳解】因為z=i+i=2i,

所以z-i=2i-i=-2,所以匕/|=卜2|=2.

故選：C.

3.B

【分析】由等比數列的性質有的3=的4=8,易知%是方程*-9x+8=0的兩個根，再

由已知及等比數列的通項公式求公比.

【詳解】由題設%%=4%=8,易知為”是方程Y-9x+8=0的兩個根，

又{%}為遞增的等比數列，所以q=1,%=8,故公比g=('=2.

故選：B

4.D

【分析】根據已知條件，利用三角形的內角和性質，利用兩角差的正弦公式求得角3,進而

利用正弦定理得解.

【詳解】由于三角形的內角和為兀，即：/+B+Cf已知/=(,所以：B+C卷，

代入C=至l」sinC=2sinB中，得至九：sin仁一4=2sinB,

答案第1頁，共15頁

2712兀.............巧]

展開并化簡：sincosB-cossinB=2sinB，即——cosB+—sinB=2sinB,

3322

整理得到：YaCOSB=-^-sinB,即V^cos8=3sin8,tanB=^>8=.

2

absi.n—兀

3

根據正弦定理:.兀「7,即巴=

sin—Sm.兀

36bsin—

62

故選：D.

5.B

【分析】根據一個向量在另一個向量方向上的投影向量的公式計算.

【詳解】首先，向量B的坐標為(2,0),其模長為2,因此|而2=22=4,

根據條件?-q丁，即它們的數量積為零：(b-a\b=Q

展開數量積：3.3-沆1=0,即:b2-a-b=0

因此：萬石=|訐=4,代入已知條件:

而a-b扃b=第B=B=(2，0)

因此，方在B方向上的投影向量坐標為(2,0),

故選：B.

6.C

【分析】確定曲線是半圓，作出曲線C,由圖形可得直線/與曲線有公共點時參數范圍.

【詳解】由x二3——y2得(x—3)2+(歹—2)2=4(x<3),

因此曲線C是圓(x-3y+(y-2)2=4的左半部分(直線x=3左側),

加=一3,

|3-2+m|

當直線/：＞=x+機與圓相切時,=2,加=+2^/2—1，

V2

答案第2頁，共15頁

由圖知當直線/：v=x+，w與曲線。相切時，機=2行-1，

所以機的范圍是[-3,21],

故選：C.

7.A

【分析】先根據內切球的表面積求出內切球半徑，再利用等體積法求出正三棱錐的高，最后

找出二面角/-的平面角，進而求出其余弦值.

【詳解】已知內切球表面積S=4口2=：,則/=：,解得”巫.

366

設正棱錐/-BCD的頂點A在底面8C。上的射影為。，取8C中點￡,連接

AE,OE,AO.

因為正棱錐的性質，ZO_L平面BCD,0E_L3C,根據三垂線定理可得NE_L3C,所以NNE。

就是二面角的平面角.

底面△BCD是邊長為a=2的正三角形，則OE=lx2xL也

233

設正棱錐/-BCD的體積為K，表面積為S表.

底面ABCD的面積,皿=中。2=字x22=^.

側面V/BC中，BC=2,AE=yjAO2+OE2=,則側面面積

s皿=gxBCx4E=；x2*

3

正棱錐A-BCD的表面積S表=S.BCD+凡ABC=6+3002+1

■AO,即:（用3小02+；）關=gCxAO

根據等體積法廠==

3

Cx/0,即*乎2

化簡AO+^=43XAO,

=島。-

兩邊平方：整理得至IJ-|NO2+CNO=O,即/0（一|/0+"）=0,解得40=0（舍去）或

AO-巫

3

OE_________

在RtA4E0中，cosZAEO=—,AE=^AO-+OE2=

AE+3

答案第3頁，共15頁

V3

所以//kcOE石1.

cosZAEO=——==-

AEC3

二面角N-8C-。的余弦值為:.

故選：A.

8.D

【分析】利用導數可得函數在(-8,0］上的單調性及極值，作出函數的圖象，由圖象可得

0<斤<4,再由對數函數的性質可得匕％=1,結合4，x2,￡是方程9+6工2+外：+后=0的三

個根，可得不馬馬=-左，即可求得答案.

【詳解】因為當x40時，/(x)=-x(x+3y=-9-6f-9x,

所以/,(X)=-3X2-12X-9=-3(X+3)(x+1),

所以當xe(-甩-3)時，r(x)<0,7(x)單調遞減；

當xe(-3,-1)時，r(x)>0,〃x)單調遞增；

當xe(-1,0)時，f'(x)<0,當x)單調遞減;

所以/(x)極小值=/(-3)=0,所以〃x)極大值=/(-1)=4,

-lux,0<x<1

當X>0時，/(x)=|lnx|=

lnx,x>1

所以函數在(0,1)上單調遞減，在(1,+8)上單調遞增,

作出函數的圖象，如圖所示:

答案第4頁，共15頁

當x?0時，令一%（尤+3）2=4,解得％=T或、=一1,

所以一4<玉<-3<x2<-1<x3<0<x4<1<x5vg,

又因為|皿|=|皿|,

所以lnx4+lnx5=lnx4x5=0,

所以工落=1；

由題意可得為，x2,/是方程左=-丁-6%2一9、，即d+6/+9%+后=0的三個根，

所以d+6x2+9x-k=（x-）（x-%）（x

3232

BPx+6x+9x+k=x-（xj+x2+x3）x+（xrr2+x1x3+x2r3）x-x1￥2r3,

所以左二-1也芻，

即x1x2x3=-k&（-4,0）,

所以^^_=%/2/=一左￡（—4,0）.

*415

故選：D.

【點睛】關鍵點點睛：關鍵點是畫出圖象，根據根的個數確定解的范圍，再結合對數運算性

質和對數函數，得到五％=1，即可解題.

9.AC

【分析】根據給定的函數圖象，利用五點法作圖求出函數解析式，再逐項求解判斷.

7TTT27r

【詳解】觀察圖象，得/（X）的最小正周期7=4弓-（-力]=三，解得。=2,

612。

由/（一；^）=1,得2x（—與+0=5+2巧I,左￡Z,而0<。<兀，解得0=；-,

12z3

對于A,/（X）=sin（2x+韋，A正確；

rr-r-、r,廣兀r—27T5?T871..2715兀ari11兀>

對于B,當—，兀]時，2xH---G[—,—],當2XH----=—，即％=---時，

23333212

JT

“X）取得最大值，因此/（尤）在區間向無]上不單調，B錯誤；

對于C,/（x—^"）=sin[2（x—=sin（2+—）=cos2x,C正確；

對于D,當％6（0,兀）時，2x+—7TTe2,71871由/（幻=0,得2x+2臼71=兀或2x+2二7c=2兀，

33333

因此方程/（幻=0在（0,兀）上有2個根，D錯誤.

故選：AC

10.BCD

答案第5頁，共15頁

【分析】依據范德蒙德恒等式C：C：+C；CT+…+C?=C'（機,〃cN*,reN\r<n,

r<m｝，適當對賦值來判斷各個選項的正確性.

【詳解】根據范德蒙德恒等式C：C?+C；C；1+.??+&《=C；+,“，而不是C；C；“=C：：〉

例如〃=2,〃z=3/=1時，左邊C；C；=6,右邊C；=5,此時C；C；產C：二，A錯誤.

對于《建+C；C：+---+C泣,這里〃=5,加=6/=6.

根據范德蒙德恒等式，此時〃+加=5+6=11,r=6.

所以《建+c；c；+???+c沮=CMy,B正確.

對于C：oC；0+C；。。+…+C：°C；；,這里〃=10,機=10b=9.

由范德蒙德恒等式，n+m=10+10=20,r—9.

所以C?0C；0+//+??.+Cc；?=c：0Hoy,c正確.

對于?>+?）2+.??+?》,可以看作c：cL+QcF+…+c：c；（因為c：=c：?）.

這里〃=加，r=n,根據范德蒙德恒等式C：C：+C；C：T+…+C：C=C：+〃=CM而C：C：=1.

所以?y+?）2+...+（C：）2=就“YC；=就“-1,D正確.

故選：BCD.

II.ABD

【分析】設/（國,%），5（%,%）,由導數的幾何意義可得切線P4,尸3的方程，進而可得直

線的方程，把尸（O,T）代入即可判斷A；再由直線NB與拋物線方程聯立得韋達定理，利

用韋達定理即可判斷B；取P滿足的軌跡上的特殊點即可判斷C；由弦長公式得天和為滿足

的方程，再求出P到直線N8的距離，代入三角形面積公式，結合不等式即可判斷D.

r2

【詳解】方程變形為y=—,則y=5.設/（西，%），8（%,%），

42

直線4的方程：一兀=方”玉），即>

同理可得直線形的方程乙：y=^-x-^~,

點尸在直線尸8和尸B上，.'.為二五%-%,%=工%-9，

024024

答案第6頁，共15頁

AB的方程為y=g汽產-,

.J._

聯立，得Y一2x0x+4為=0①,

x1=4y

由韋達定理得，x,+x2=2x0,出=4%②.

對于選項A,當尸為（0,-1）時，y=l,故A正確;

對于選項B,若直線N8過點歹（0,1）時，為=-1,即尸

X"=f，尤"三，利用韋達定理，則心知=%一=「心=“"

22~2~X°u-2-

：.PM//FN,同理心

由②得X1%=4%=-4,FN-FM=^-+1=0,；.四邊形/WN為矩形，故B正確;

4

對于選項C,當需+了：-2%-8=0時，取尸（0,-2）,方程①變為，=8,

即得4卜2亞,2）,5（2后,2）,|">可=（乂+1）（%+1）=9,故C錯誤；

對于選項D,當|AB|=4時，由弦長公式得|/回=「^.也焉-16典=4,

即（4+x；）（x；-4%）=16,

4yoi

點尸到直線48的距離為4=+4>0,：.d<2,

Jx；+4

：.S=^\AB\d=2d<A,當x0=0取等號，故D正確.

故選：ABD.

【點睛】方法點睛：圓錐曲線中的最值問題解決方法一般分兩種：

一是幾何法，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關結論來求最值；

二是代數法，常將圓錐曲線的最值問題轉化為二次函數或三角函數的最值問題，然后利用基

本不等式、函數的單調性或三角函數的有界性等求最值.

7

12.—/0.7

10

【分析】根據題意，首先分析從5人中選出2人，再分析可得若選出的2人中至少有1名女

生，即包括1男1女和2女分別擔任正、副班長兩種情況，分別計算其情況數目，由等可能

答案第7頁，共15頁

事件的概率公式，計算可得答案.

【詳解】根據題意，從3名男生和2名女生中選出2名學生，有A；=20種選法，

若選出的2人中至少有1名女生，即包括1男1女和2女兩種情況，

147

共有C；C；A；+A：=14種選法，則選出的2人中至少有1名女生的概率為尸=^=77.

2010

故答案為：木7

13.V2

【分析】由直線方程可得=30°,貝匕4刖4=30°,所以|"|=2a,過〃作尤

軸于點表示出點M的坐標，代入雙曲線方程化簡可求出離心率.

【詳解】由直線了=，口一°),可知直線的斜率為理，且過點4(“，0)，

所以NK&4=30°,

因為=4ZMA2At,所以乙044=120°,

所以乙州八=30。，所以=闋=2%

過M作W_Lx軸于點〃,

則NM4"=60。，14M=a,\MH\=^4a2-a2=^3a,

所以點M的坐標為(-2a,-Ga),

22

因為點M在雙曲線C:=-==l上，

ab

所以喉一￡=1,得/=/,

a2b2

所以02=“2+°2=2屋，所以c=0q,

所以離心率e=￡=&.

a

故答案為：V2

答案第8頁，共15頁

14—

2e2

【分析】根據題意，將/+*的最小值為原點到直線_0+6+1=0的距離的平方，從而求解.

e

【詳解】令/(%)=￡,則要〃I(x))=x,BP/(O=x,兩式相加得/⑴+%

令g(x)=/(%)+X,貝(1g(x)=g(0,

又因為g'(x)=/'(%)+1=寸+a+2>0,所以為X)單調遞增,

所以x=%,即/(x)=x,

即/z(x)=/(x)—x=e*+ax+b=0在［—1,2］上有解.

/z(-l)<0

hf(x)=exa>0,所以〃(%)在［-1,2］上單調遞增,所以要

+A(2)>0

—a+b<0

即《e

e2+2a+b>0

11

則a2+b2的最小值為原點到直線-a+b+—=0的距離的平方，即=_￡.

eW"2?

故答案為：.

15.(1)分布列見解析，20；

⑵令.

12

【分析】(1)由題設有J的可能取值為10、20、50并求出對應概率值，即可得分布列，進

而求期望;

(2)根據題設，分析事件X所含的基本事件組成，再應用獨立事件乘法公式、互斥事件加

法求概率.

3191

【詳解】(1)4的可能取值為10、20、50,其中尸傳=10)=7==，P(^=20)=-=-,

6263

尸仁=50)=：.

O

故《的分布列如下:

自102050

P

~236

則數學期望為E(g)=10x」+20XL50x-=20.

236

答案第9頁，共15頁

(2)采用有放回方式摸球,

每次摸到10元的概率為

每次摸到20元的概率為&=；,

每次摸到50元的概率為P3=J.

事件X包含4種情況：

兩次均摸到20元；

一次摸到10元，一次摸到50元;

■次摸到20元，■次摸到50元;

兩次均摸到50元.

5

故尸(X)=C；x

12

16.(1)證明見解析

(2)身

【分析】(1)利用線面平行的判定定理證明即可;

(2)取線段4月的中點為“，連接。以點。為坐標原點，所在的直線分

別為坐標軸建立空間的直角坐標系。-中z,求出直線24的方向向量與平面4co的法向量,

利用空間向量法求解即可.

【詳解】(1)在三棱柱NBC-44G中，/C//4G，且/c=4G，

連結ED,在三角形/3C中，因為，￡分別為“3,3。的中點，

所以=且。E//NC,

2

又因為尸為4G的中點，可得4尸=DE,且4尸//。￡,

答案第10頁，共15頁

即四邊形AfiEF為平行四邊形，所以&DHEF,

又斯，平面4cD,D&U平面4°,所以跖//平面4°.

（2）取線段的中點為連接DM,因為側棱底面43C,且各棱長均相等，

所以直線。兩兩垂直.

以點。為坐標原點，DM,DA,DC所在的直線分別為坐標軸建立如圖所示空間的直角坐標系

D-xyz,

由于/8=2,則。（0,0,0）,4（2,1,0）,C（0,0,^3）,5,（2,-1,0）,5（0,-1,0）,

所以期1=（2,0,0）,=（2,1,0），DC=（0,0,6）,

r/、-DA,=0

設平面45的法向量〃=（x,y,z）,則」,

nDC=0

2%+y=0T/\

所以■,設X=l,貝獨=一2,所以〃=（1,一2,0）,

A/3Z=0

I/一?竭?方2x1J5

設直線5片與平面45所成角為凡則sin6=cos（即㈤=_=——,

1\Zl|幽?同2X"+（_2『5

所以直線3月與平面4CD所成角的正弦值為孝.

715

17.（1）極大值-鼻，極小值31n3—

⑵等.

【分析】（1）求出時的函數解析式，再求導，利用導數可得函數的單調性，進而可得

函數的極值；

（2）利用基本不等式結合已知條件可得“，6的值，從而可得〃（x）的解析式，化簡

答案第11頁，共15頁

〃=〃(%)〃(%),利用導數可得其最大值，從而可得用的取值范圍，進而可得加的最大值.

【詳解】(1)當。=：時，/(x)+3g(x)—4x+31nx,

,.3X2-4X+3(X-1)(X-3)

V=x-4+—=--------=----△----乙,x>0,

xxx

當l<x<3時，?'<0,當x〉3或0cx<1時，歹’>0,

所以>=/(x)+3g(x)在(0,1)單調遞增，(1,3)單調遞減，(3,+。)單調遞增.

7

y=f(x)+3g(x)在x=l處取得極大值/(l)+3g(l)=

y=f(x)+3g(x)在x=3處取得極小值〃3)+3g⑶=31n3-g.

(2)由題意，得〃(x)=2ax+",則〃(x)=2ax+"2,

當且僅當x—隹時，等號成立.

\2a

IS2［1

'V2a,解得'2,

2y/2^b=4［方=4

所以〃(x)=x+上又力(毛)力卜2)2機恒成立,

、

+也+4土+三

xrx2再,

16.x?+x；

=-----F4------

再入2中2

2

16,(x,+x)-2X.X2

—-----F4*------2--------

x{x2xrx2

200

所以〃=XxX2H-----8.

XxX2

^t=XxX2,則［=再/］］再；"2

u=(/)^=t+———8,

因為-“⑴=1寸20＜0，

所以〃=%+：—8在方金［。,］上單調遞減.

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289

所以〃2〃

4

289

所以最大的實數〃,=亍

22

瓜嗚+>

3]甫

（2）（i）證明見解析；（n）小或

【分析】（1）根據點在橢圓上及三角形面積公式求橢圓參數，即可得方程;

（2）設。（再,%），/：尤=勿+4,聯立橢圓方程，并寫出對應韋達公式，（I）根

ASPS

據勺尸+與9=0,即可證；（II）由三角形面積相等有,進而得至

QS

3

再確定P為線段4尸的中垂線》=:與橢圓的交點，即可求P的坐標.

4

3133

【詳解】⑴由的面積為:，得已2"5=不解得。=1,所以/=1①,

又點不I,3在橢圓c上，所以F_]②,

/+H-

f—422

聯立①②解得,2二,所以橢圓C的標準方程為土+匕=L

\b2=343

x=W+4

2

（2）設。（再,弘），P（x2,y2）,l:x=ty+4,聯立方程，x?y,

143

消X得：”+4產+247+36=0,直線/與線段/少交于S點，則t<-2,

所以iF，36

MR，

必?%%,y2物%+3（%+%）

（I）因為%尸+左PF=-------------1-------------------------------1----------2------

再一1x2-lWi+3仇+3（%+3）（仇+3）

所以/PFS=NQFS,

你1+3）（仇+3）

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(Il)由%2s=2明得：|0S||/S|=|尸葉網|,即*=不，又NASP=NFSQ.

所以A4