PAGEPAGE1專題20數列求和考綱要求：1.駕馭等差、等比數列的前n項和公式.2.駕馭特殊的非等差、等比數列的幾種常見的求和方法．二、概念駕馭及解題上的留意點：1.分組轉化法求和的常見類型(1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}為等差或等比數列，則可采納分組求和法求{an}的前n項和．(2)通項公式為an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(bn，n為奇數，,cn，n為偶數))的數列，其中數列{bn}，{cn}是或等差數列，可采納分組求和法求和．錯位相減法求和的適用范圍假如數列{an}是等差數列，{bn}是等比數列，求數列{an·bn}的前n項和時，可采納錯位相減法求和.3.錯位相減法求和的留意事項①在寫出“Sn”與“qSn”的表達式時應特殊留意將兩式“錯項對齊”以便下一步精確寫出“Sn－qSn”的表達式.②在應用錯位相減法求和時，若等比數列的公比為參數，應分公比等于1和不等于1兩種狀況求解.三、高考考題題例分析：例1.（2024天津卷）設{an}是等比數列，公比大于0，其前n項和為Sn（n∈N*），{bn}是等差數列．已知a1=1，a3=a2+2，a4=b3+b5，a5=b4+2b6．（Ⅰ）求{an}和{bn}的通項公式；（Ⅱ）設數列{Sn}的前n項和為Tn（n∈N*），（i）求Tn；（ii）證明=﹣2（n∈N*）．【答案】（Ⅰ），bn=n；（Ⅱ）（i）T【解析】：（Ⅰ）解：設等比數列{an}的公比為q，由a1=1，a3=a2+2，可得q2﹣q﹣2=0．∵q＞0，可得q=2．故．設等差數列{bn}的公差為d，由a4=b3+b5，得b1+3d=4，由a5=b4+2b6，得3b1+13d=16，∴b1=d=1．故bn=n；例2.（2024江蘇卷）已知集合A={x|x=2n﹣1，n∈N*}，B={x|x=2n，n∈N*}．將A∪B的全部元素從小到大依次排列構成一個數列{an}，記Sn為數列{an}的前n項和，則使得Sn＞12an+1成立的n的最小值為．【答案】27【解析】：利用列舉法可得：S26=，a27=43，?12a27=516，不符合題意．S27==546，28=45?1228=540，符合題意，故答案為：27．例3.【2024課標1，理12】幾位高校生響應國家的創業號召，開發了一款應用軟件.為激發大家學習數學的興趣，他們推出了“解數學題獲得軟件激活碼”的活動.這款軟件的激活碼為下面數學問題的答案：已知數列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一項是20，接下來的兩項是20，21，再接下來的三項是20，21，22，是A．440 B．330 C．220 D．110【答案】A例4.【2015高考新課標2，理16】設是數列的前n項和，且，，則________．【答案】【解析】：由已知得，兩邊同時除以，得，故數列是以為首項，為公差的等差數列，則，所以．例5.【2015高考山東，理18】設數列的前n項和為.已知.（I）求的通項公式；（II）若數列滿意，求的前n項和.【答案】（I）;（II）.（II）因為，所以當時，所以當時，所以兩式相減，得經檢驗，時也適合，綜上可得：例6.(2024·全國卷Ⅲ)設數列{an}滿意a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n.(1)求{an}的通項公式；(2)求數列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,2n＋1)))的前n項和．【答案】(1)an＝eq\f(2,2n－1).(2)Sn＝eq\f(2n,2n＋1)例7.(2024·山東高考)已知{an}是各項均為正數的等比數列，且a1＋a2＝6，a1a2＝a3.(1)求數列{an}的通項公式；(2){bn}為各項非零的等差數列，其前n項和為Sn.已知S2n＋1＝bnbn＋1，求數列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(bn,an)))的前n項和Tn.【答案】(1)an＝2n.(2)Tn＝5－eq\f(2n＋5,2n).【解析】：(1)設{an}的公比為q，由題意知a1(1＋q)＝6，aeq\o\al(2,1)q＝a1q2，又an>0，由以上兩式聯立方程組解得a1＝2，q＝2，所以an＝2n.(2)由題意知S2n＋1＝eq\f(2n＋1b1＋b2n＋1,2)＝(2n＋1)bn＋1，又S2n＋1＝bnbn＋1，bn＋1≠0，所以bn＝2n＋1.令cn＝eq\f(bn,an)，則cn＝eq\f(2n＋1,2n).因此Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝eq\f(3,2)＋eq\f(5,22)＋eq\f(7,23)＋…＋eq\f(2n－1,2n－1)＋eq\f(2n＋1,2n)，又eq\f(1,2)Tn＝eq\f(3,22)＋eq\f(5,23)＋eq\f(7,24)＋…＋eq\f(2n－1,2n)＋eq\f(2n＋1,2n＋1)，兩式相減得eq\f(1,2)Tn＝eq\f(3,2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(1,22)＋…＋\f(1,2n－1)))－eq\f(2n＋1,2n＋1)，所以Tn＝5－eq\f(2n＋5,2n).例8.(2024·北京高考)已知{an}是等差數列，{bn}是等比數列，且b2＝3，b3＝9，a1＝b1，a14＝b4.(1)求{an}的通項公式；(2)設cn＝an＋bn，求數列{cn}的前n項和．【答案】(1)an＝2n－1(n＝1,2,3，…)．(2)n2＋eq\f(3n－1,2).(2)由(1)知an＝2n－1，bn＝3n－1.因此cn＝an＋bn＝2n－1＋3n－1.從而數列{cn}的前n項和Sn＝1＋3＋…＋(2n－1)＋1＋3＋…＋3n－1＝eq\f(n1＋2n－1,2)＋eq\f(1－3n,1－3)＝n2＋eq\f(3n－1,2).數列求和練習一、選擇題1．已知等差數列{an}的前n項和為Sn，若S3＝9，S5＝25，則S7＝()A．41 B．48C．49 D．56【答案】C2．數列{1＋2n－1}的前n項和為()A．1＋2n B．2＋2nC．n＋2n－1 D．n＋2＋2n【答案】C【解析】：由題意得an＝1＋2n－1，所以Sn＝n＋eq\f(1－2n,1－2)＝n＋2n－1．3．數列{an}的通項公式是an＝(－1)n(2n－1)，則該數列的前100項之和為()A．－200 B．－100C．200 D．100【答案】D【解析】：依據題意有S100＝－1＋3－5＋7－9＋11－…－197＋199＝2×50＝100，故選D．4．數列1eq\f(1,2)，3eq\f(1,4)，5eq\f(1,8)，7eq\f(1,16)，…，(2n－1)＋eq\f(1,2n)，…的前n項和Sn的值等于()A．n2＋1－eq\f(1,2n) B．2n2－n＋1－eq\f(1,2n)C．n2＋1－eq\f(1,2n－1) D．n2－n＋1－eq\f(1,2n)【答案】A【解析】：該數列的通項公式為an＝(2n－1)＋eq\f(1,2n)，則Sn＝[1＋3＋5＋…＋(2n－1)]＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(1,22)＋…＋\f(1,2n)))＝n2＋1－eq\f(1,2n).5．數列{an}的前n項和為Sn，若an＝eq\f(1,nn＋1)，則S5等于()A．1 B．eq\f(5,6)C．eq\f(1,6) D．eq\f(1,30)【答案】B【解析】：∵an＝eq\f(1,nn＋1)＝eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)，∴S5＝a1＋a2＋…＋a5＝1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＋…－eq\f(1,6)＝eq\f(5,6).6．數列{an}的通項公式是an＝eq\f(1,\r(n)＋\r(n＋1))，前n項和為9，則n等于()A．9 B．99C．10 D．100【答案】B7．已知數列{an}中，an＝－4n＋5，等比數列{bn}的公比q滿意q＝an－an－1(n≥2)且b1＝a2，則|b1|＋|b2|＋|b3|＋…＋|bn|＝()A．1－4n B．4n－1C．eq\f(1－4n,3) D．eq\f(4n－1,3)【答案】B【解析】：由已知得b1＝a2＝－3，q＝－4，∴bn＝(－3)×(－4)n－1，∴|bn|＝3×4n－1，即{|bn|}是以3為首項，4為公比的等比數列．∴|b1|＋|b2|＋…＋|bn|＝eq\f(31－4n,1－4)＝4n－1．8．在數列{an}中，an＋1－an＝2，Sn為{an}的前n項和．若S10＝50，則數列{an＋an＋1}的前10項和為()A．100 B．110C．120 D．130【答案】C【解析】：{an＋an＋1}的前10項和為a1＋a2＋a2＋a3＋…＋a10＋a11＝2(a1＋a2＋…＋a10)＋a11－a1＝2S10＋10×2＝120.故選C．9．[數學文化]中國古代數學著作《算法統宗》中有這樣一個問題：“三百七十八里關，初行健步不犯難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關，要見次日行里數，請公細致算相還．”其意思為：有一個人走378里路，第一天健步行走，從其次天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達目的地，請問其次天走了()A．192里 B．96里C．48里 D．24里【答案】B【解析】：由題意，知每天所走路程形成以a1為首項，公比為eq\f(1,2)的等比數列，則eq\f(a1\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,26))),1－\f(1,2))＝378，解得a1＝192，則a2＝96，即其次天走了96里．故選B.10．已知數列5,6,1，－5，…，該數列的特點是從其次項起，每一項都等于它的前后兩項之和，則這個數列的前16項之和S16等于()A．5 B．6C．7 D．16【答案】C11．已知函數f(x)＝xa的圖象過點(4,2)，令an＝eq\f(1,fn＋1＋fn)，n∈N*，記數列{an}的前n項和為Sn，則S2019＝()A．eq\r(2018)－1 B．eq\r(2019)－1C．eq\r(2020)－1 D．eq\r(2020)＋1【答案】C【解析】：由f(4)＝2得4a＝2，解得a＝eq\f(1,2)，則f(x)＝xeq\f(1,2).∴an＝eq\f(1,fn＋1＋fn)＝eq\f(1,\r(n＋1)＋\r(n))＝eq\r(n＋1)－eq\r(n)，S2019＝a1＋a2＋a3＋…＋a2019＝(eq\r(2)－eq\r(1))＋(eq\r(3)－eq\r(2))＋(eq\r(4)－eq\r(3))＋…＋(eq\r(2020)－eq\r(2019))＝eq\r(2020)－1.12．已知函數f(x)的圖象關于x＝－1對稱，且f(x)在(－1，＋∞)上單調，若數列{an}是公差不為0的等差數列，且f(a50)＝f(a51)，則{an}的前100項的和為()A．－200 B．－100C．0 D．－50【答案】B【解析】：因為函數f(x)的圖象關于x＝－1對稱，又函數f(x)在(－1，＋∞)上單調，數列{an}是公差不為0的等差數列，且f(a50)＝f(a51)，所以a50＋a51＝－2，所以S100＝eq\f(100a1＋a100,2)＝50(a50＋a51)＝－100，故選B.二、填空題13．設數列{an}的前n項和為Sn，且an＝sineq\f(nπ,2)，n∈N*，則S2018＝__________.【答案】1【解析】：an＝sineq\f(nπ,2)，n∈N*，明顯每連續四項的和為0.S2018＝S4×504＋a2017＋a2018＝0＋1＋0＝1.14．計算：3·2－1＋4·2－2＋5·2－3＋…＋(n＋2)·2－n＝__________.【答案】4－eq\f(n＋4,2n)15．(2024·全國卷Ⅱ)等差數列{an}的前n項和為Sn，a3＝3，S4＝10，則eq\o(∑,\s\up10(n),\s\do9(k＝1))eq\f(1,Sk)＝________.【答案】eq\f(2n,n＋1)【解析】：設等差數列{an}的公差為d，則由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a3＝a1＋2d＝3，,S4＝4a1＋\f(4×3,2)d＝10，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝1，,d＝1.))∴Sn＝n×1＋eq\f(nn－1,2)×1＝eq\f(nn＋1,2)，eq\f(1,Sn)＝eq\f(2,nn＋1)＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋1))).∴eq\o(∑,\s\up10(n),\s\do9(k＝1))eq\f(1,Sk)＝eq\f(1,S1)＋eq\f(1,S2)＋eq\f(1,S3)＋…＋eq\f(1,Sn)＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)＋\f(1,2)－\f(1,3)＋\f(1,3)－\f(1,4)＋…＋\f(1,n)－\f(1,n＋1)))＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,n＋1)))＝eq\f(2n,n＋1).16．已知數列{an}的前n項和為Sn，若Sn＝2an－2n，則Sn＝__________.【答案】n·2n(n∈N*)三、解答題17．已知數列{an}的前n項和Sn滿意：Sn＝n2＋2n，n∈N*.(1)求數列{an}的通項公式；(2)求數列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,anan＋1)))的前n項和.【答案】(1)an＝2n＋1(2)eq\f(n,6n＋9)【解析】：(1)當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1，a1＝S1＝3也滿意an＝2n＋1，所以數列{an}的通項公式為an＝2n＋1.(2)由(1)知eq\f(1,anan＋1)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n＋1)－\f(1,2n＋3)))，則Tn＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－\f(1,5)＋\f(1,5)－\f(1,7)＋…＋\f(1,2n＋1)－\f(1,2n＋3)))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－\f(1,2n＋3)))＝eq\f(1,6)－eq\f(1,4n＋6)＝eq\f(n,6n＋9).18.已知等差數列{an}的前n項和為Sn，且a1＝1，S3＋S4＝S5.(1)求數列{an}的通項公式；(2)令bn＝(－1)n－1an，求數列{bn}的前2n項和T2n.【答案】(1)an＝1＋(n－1)×2＝2n－1(2)T2n＝－2n.19.已知等差數列{an}中，2a2＋a3＋a5＝20，且前10項和S10＝100.(1)求數列{an}的通項公式；(2)若bn＝eq\f(1,anan＋1)，求數列{bn}的前n項和.【答案】(1)an＝2n－1(2)eq\f(n,2n＋1)【解析】：(1)由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a2＋a3＋a5＝4a1＋8d＝20，,10a1＋\f(10×9,2)d＝10a1＋45d＝100，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝1，,d＝2，))所以數列{an}的通項公式為an＝1＋2(n－1)＝2n－1.(2)bn＝eq\f(1,2n－12n＋1)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1)))，所以Tn＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)＋\f(1,3)－\f(1,5)＋…＋\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1)))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2n＋1)))＝eq\f(n,2n＋1).20．已知數列{an}的前n項和Sn＝eq\f(nn＋1,2)，數列{bn}滿意bn＝an＋an＋1(n∈N*)．(1)求數列{bn}的通項公式；(2)若cn＝2an·(bn－1)(n∈N*)，求數列{cn}的前n項和Tn.【答案】(1)bn＝2n＋1(2)Tn＝(n－1)×2n＋2＋4.21.已知等差數列{an}的前n項和為Sn，若Sm－1＝－4，Sm＝0，Sm＋2＝14(m≥2，且m∈N*).(1)求m的值；(2)若數列{bn}滿意eq\f(an,2)＝log2bn(n∈N*)，求