2024-2025學年高三上學期開學檢測

數(shù)學

注意事項：

i.答卷前，考生務必將自己的姓名和座位號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈

后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡的相應位置上。寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一.選擇題(共8小題，每小題5分，共40分，每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。)

1.記S,為等差數(shù)列｛叫的前〃項和，若。3+%=14,4%=63,則S,=()

A.21B.19C.12D.42

、％2+2“x—7,—,../、/yr4-4.

2.命題z=.［在xe(-2,2］上為減函數(shù)，命題q:g(x)=——r在。,+<?)為增函

+4JinQ—1,—2<%<—1x-1

數(shù)，則命題P是命題4的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

3.如圖所示，六氟化硫分子結(jié)構(gòu)是六個氟原子處于頂點位置，而硫原子處于中心位置的正八面體，也可將其六個

頂點看作正方體各個面的中心點.若正八面體的表面積為126，則正八面體外接球的體積為()

A.40兀B.4石兀C.127rD.36兀

4.將95,96,97,98,99這5個數(shù)據(jù)作為總體，從這5個數(shù)據(jù)中隨機選取2個數(shù)據(jù)作為一個樣本，則該樣本的平均數(shù)與

總體平均數(shù)之差的絕對值不超過1的概率為()

A—B.2C—D,1

5555

「2+9

5.已知關于x的不等式依2+"+c>O(a,b,ceR)的解集為(7,1),則上二的取值范圍為()

a+b

A.［-6,+oo)B.(-oo,6)C.(-6,+oo)D.(—8,-6］

22

6.已知耳耳是雙曲線々-斗=1(。>6>0)的左、右焦點，以工為圓心，。為半徑的圓與雙曲線的一條漸近線交于

ab

AB兩點，若31ABi>|耳聞，則雙曲線的離心率的取值范圍是()

C.(1,應)D.(1,73)

7.已知正實數(shù)工，>滿足x+y=l,貝！］()

°314

A.x?+y的最小值為：B.—+—的最小值為8

4xy

C.6+4的最小值為忘D.log?x+logQ沒有最大值

8.已知定義在R上的函數(shù)〃尤)在區(qū)間[0』上單調(diào)遞減，且滿足〃2+x)+〃x)=2〃-l),函數(shù)y=〃x-l)的對

稱中心為(2,0),則()(注：ln3al.099,In2no.693)

A.”2024)=0B./(0.5)+/(1.6)>0

C./(1.5)>/(log248)D.〃2sinl)>m

多選題(共3小題，每題6分，共18分。在每題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對得6分，部

分選對得3分，有選錯的得0分。)

22

9.已知％工分別是橢圓C：'+云=l(a>b>0)的左、右焦點，尸是橢圓C上一點，貝I()

A.當°=同時，滿足N片尸居=90。的點尸有2個

B.2月鳥的周長一定小于4a

2

c.PK鳥的面積可以大于幺

一2

D.若歸耳區(qū)2b恒成立，則C的離心率的取值范圍是(0,|

10.己知。，b,ceR,則下列結(jié)論正確的是()

hhA-C

A.若〃>人>0,貝!J—<------B.若a/〉。/,則

aa+c

...a+b1la+3

C-右a〉"。，EBT.D-忑q的取小值為2夜

x+1?

-----,x0

11.函數(shù)"x)=<x，關于X的方程尸(x)-同〃刈=0(〃zeR),則下列正確的是()

—,xN0

lex

A.函數(shù)〃x)的值域為R

B.函數(shù)/'(x)的單調(diào)減區(qū)間為(9,0),[1,??)

C.當^^^時，則方程有4個不相等的實數(shù)根

D.若方程有3個不相等的實數(shù)根，則根的取值范圍是

三.填空題(共3小題，每題5分，共15分。)

12.對于任意實數(shù)定義max{a,b}=F'"一?，設函/(尤)=一尤+6,g(x)=log。尤，則函數(shù)/z(x)=max{〃x),g(x)}

\a,a>b

的最小值是.

13.甲、乙玩一個游戲，游戲規(guī)則如下：一個盒子中裝有標號為1,2,3,4,5,6的6個大小質(zhì)地完全相同的小球，甲先從

盒子中不放回地隨機取一個球，乙緊接著從盒子中不放回地隨機取一個球，比較小球上的數(shù)字，數(shù)字更大者得1分，

數(shù)字更小者得0分，以此規(guī)律，直至小球全部取完，總分更多者獲勝.甲獲得3分的概率為.

22

14.過雙曲線二-二=1（。>0/>0）的上焦點月，作其中一條漸近線的垂線，垂足為直線居H與雙曲線的上、

ab

下兩支分別交于M，N,若NH=3HM，則雙曲線的離心率e=.

四.解答題（共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）

（14分）15.已知數(shù)列｛。“｝的前〃項和為S",“eN*,%=5,an+Y-an=1.

⑴求數(shù)列｛4｝的通項公式；

（2）設數(shù)列也｝滿足勿=—,求數(shù)列也｝的前〃項和T?.

an,a〃+l

（14分）16.如圖，在四棱柱ABC。—A4cQi中，A4]_L平面ABC。，底面A3CD為梯形，AD//BC,BC=4,

AB=AD=DC==2,Q為AD的中點.

D

（1）在AR上是否存在點p,使直線c。//平面AGP,若存在，請確定點尸的位置并給出證明，若不存在，請說明

理由；

⑵若（1）中點P存在，求平面AC/與平面AB及A所成的銳二面角的余弦值.

（15分）17.函數(shù)“X）的定義域為￡>=｛小*0｝,且滿足對于任意不,%w。，有/（菁?尤2）=〃西）+〃々），當

%>1時，f（x）>0.

⑴證明：/（尤）在（0,+8）上是增函數(shù)；

⑵證明：/（X）是偶函數(shù)；

⑶如果7（4）=1,解不等式

（16分）18.2021屆高考體檢工作即將開展，為了了解高三學生的視力情況，某校醫(yī)務室提前對本校的高三學生

視力情況進行調(diào)查，在高三年級1000名學生中隨機抽取了100名學生的體檢數(shù)據(jù)，并得到如下圖的頻率分布直方

圖.

年級名次

1-100101?1000

是否近視

近視4030

不近視1020

(1)若直方圖中前四組的頻數(shù)依次成等比數(shù)列，試估計全年級高三學生視力的中位數(shù)(精確到0.01)；

(2)該校醫(yī)務室發(fā)現(xiàn)，學習成績突出的學生，近視的比較多，為了研究學生的視力與學習成績是否有關系，對抽

取的100名學生名次在1~100名和101~1000名的學生的體檢數(shù)據(jù)進行了統(tǒng)計，得到表中數(shù)據(jù)，根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，

能否在犯錯的概率不超過0.05的前提下認為視力與學習成績有關系？

(3)在(2)中調(diào)查的不近視的學生中按照分層抽樣抽取了6人，進一步調(diào)查他們良好的護眼習慣，求在這6人中

任取2人，至少有1人的年級名次在1~100名的概率.

P(K2>k)0.100.050.0250.0100.005

k2.7063.8415.0246.6357.879

2

叱2n(ad-bc),

K=----------------------,其中孔=Q+b+c+d.

(a+b)(c+d)(〃+c)(b+d)

(18分)19.在平面內(nèi)，若直線/將多邊形分為兩部分，多邊形在/兩側(cè)的頂點到直線/的距離之和相等，則稱/為

22

多邊形的一條“等線”，已知。為坐標原點，雙曲線E京磊=1(八0]>0)的左、右焦點分別為的離心率

為2,點P為E右支上一動點，直線機與曲線E相切于點P,且與E的漸近線交于兩點，當產(chǎn)乙，x軸時，直線

y=l為尸大外的等線.

⑴求E的方程；

(2)若y=是四邊形月的等線，求四邊形A居88的面積；

(3)設OG=：OP,點G的軌跡為曲線=，證明:「在點G處的切線〃為的等線

數(shù)學答案

1.A【詳解】｛見｝是等差數(shù)列，，%+%=2a6=14,即％=7,所以%=吧=9,

6x7

故公差d=%_/=2,/.％=a6-5d=-3f：.S7=7x(-3)H———x2=21,

2.A【詳解】要在xe(-2,2］上單調(diào)遞減，

則<〃+4<0,角畢得-5<?<-4,

-a-l>l-2a-7

===a+*在(1,+8)為增函數(shù)，則4+a<0,

解得a<T，

因為-5Wa<T是a<T的真子集，故命題P是命題Q的充分不必要條件.

3.B【詳解】如圖正八面體，連接AC和3D交于點。，

因為E4=EC,ED=EB,

所以EOLAC,EOLBD,又AC和為平面ABC。內(nèi)相交直線，

所以EO_L平面A3C￡),所以。為正八面體的中心，

設正八面體的外接球的半徑為R,因為正八面體的表面積為=12百，所以正八面體的棱長為",

4

所以EB=EC=BC=V6,OB=0C=V3,EO=y/EB2-OB2=V3)

則R=W=%R3=最3日4俗1.

4.D【詳解】依題意可知，總體平均數(shù)為97,

從這5個數(shù)據(jù)中隨機選取2個數(shù)據(jù)作為一個樣本，情況如下：

選到95,96,則樣本平均數(shù)為95.5,所以|95.5-97卜1.5,

選到95,97,則樣本平均數(shù)為96,所以|96-97|=1,

選到95,98,則樣本平均數(shù)為96.5,所以|96.5-97|=0.5,

選到95,99,則樣本平均數(shù)為97,所以|97-97|=0,

選到96,97,則樣本平均數(shù)為96.5,所以|96.5-97|=0.5,

選到96,98,則樣本平均數(shù)為97,所以|97-97|=0,

選到96,99,則樣本平均數(shù)為97.5,所以|97.5-97|=0.5,

選到97,98,則樣本平均數(shù)為97.5,所以|97.5-97|=0.5,

選到97,99,則樣本平均數(shù)為98,所以|98-97卜1,

選到98,99,則樣本平均數(shù)為98.5,所以|98.5-97卜1.5,

所以該樣本的平均數(shù)與總體平均數(shù)之差的絕對值不超過1的概率為584

5.D【詳解】由不等式以2+加一。>0（〃,瓦R）的解集為（-4,1）,

可知1和V■是方程辦2+陵+。=（）的兩個實數(shù)根，且。<0,

-4+1=-—

由韋達定理可得a,即可得〃=3a,c=Ta,

-4xl=-

a

222

C+9(-4a)+916(2+9“9(A9>c匚_[9)/

所以-----=---------=-------=4〃H---=—―4〃~\-----<—2-4ax-----=—6.

a+ba+3a4a4a1-4aJ\\—4a)

93

當且僅當-4〃==時，即〃二—1時等號成立；

-4a4

即可得C及€(-8,-6].

。+Z?

6.B【詳解】設以鳥（G。）為圓心，。為半徑的圓與雙曲線的一條漸近線近-改=。交于兩點，則工到漸近線

bx-ay=0的距離d=J,：=b,所以14回=2y1a2-b2,

因為31ABi>|耳閶,所以3x2而二F>2C，可得9/—%2>。2=4+〃,

即4/>5^=502-56,可得5c2<9",

所以￡■<2，所以e<當6,

a255

又e>l,所以雙曲線的離心率的取值范圍是，，苧］

7.A【詳解】對于A中，由正實數(shù)羽〉滿足x+y=l,可得0<x<l,0<y<l,且y=l-x,

則f+y=x2-x+i=（x—32+W，當尤=:時，x?+y取得最小值為：，所以A正確；

2424

,14/、/14__y4x__ly4x八

對于B中，由一+—=（%+丁）（一+一）=5+上+—>5+2—?一=9,

xy\xy

I

當且僅當上v=一4JC時，即％=：o時，等號成立，所以一1+一4的最小值為9,所以B不正確;

xy33xy

對于C中，由（?+4）=x+y+2y/xy<2（x+y）=2,

當且僅當x=y=（時，等號成立，所以6+4的最大值為正，所以C錯誤；

22

對于D中，由log2x+log4y=log4x+log4y=log4xy,

因為％=X2(l-X)=-X3+X2,設m(x)=-X3+爐,0〈尤v1,

可得加(x)=-3x2+2x=-x(3x—2),

9o

當xe(O,§)時，〃/(x)>0,在(0,1)上單調(diào)遞增；

當時，加(x)<0,在(1,1)上單調(diào)遞減，

所以，當x=：時，函數(shù)m(X)取得最大值，最大值為言，

4

則logzx+log4y的最大值為log4藥，所以D不正確.

8.C【詳解】/(2+x)+/(x)=2/(-l),故/'(4+x)+/(2+x)=2/(—1),

所以f(x)=〃x+4),

函數(shù)y=〃xT)的對稱中心為(2,0),

函數(shù)y=/(xT)往左平移I個單位得到函數(shù)y=〃x),

故函數(shù)y=的對稱中心為(1,0),

〃2+尤)+〃力=2〃-1),令x=T得，/(1)+/(-1)=2/(-1),

故〃T)=〃l)=0,即〃2+x)+/(尤)=0,

且“X)的對稱中心為(1,0),故y(2+x)+?=0,

故〃一x)=即/(%)的對稱軸為尤=0.

對于A,/(尤)在區(qū)間［0(上單調(diào)遞減，故〃0)>/(1)=0,

且〃x)=〃x+4),

所以〃2024)=〃0)>0,故A錯誤；

對于B,/(x)在區(qū)間［0』上單調(diào)遞減，對稱中心為(1,0),

故/(。5)+〃1.5)=0,且〃尤)在區(qū)間［1,2］上單調(diào)遞減，

則”1.5)>“1.6),

.?./(0.5)+/(1.6)<0,故B錯誤；

對于C,5<log248<6,1<log248-4=log23<2,

且log,3=1=ax黑>1.5,結(jié)合〃尤)在區(qū)間［1,2］上單調(diào)遞減，

In20.693

故/(log248)=/(log248-4)=/(log23)</(1.5),故C正確;

對于D,ln|=-ln3?-1.099,故/［inJ=〃7n3卜〃-1.099)=”1.099),

J3.2sin—<2sinl<2sin—A/2<2sinl<y/3,即1<1.099<2sinl<2,

43

結(jié)合在區(qū)間［1,2］上單調(diào)遞減，故"2sinl)<41nj,故D錯誤.

9.ABD【詳解】對于選項A：當點P的坐標為(0力)或(0,-與時，/々P鳥最大，此時，若。=回,

則6=c,所以/月「工=90。，A正確;

對于選項B：尸耳工的周長為2tz+2cv4a,故B正確；

對于選項c：Pf；工的面積為:忻閭回區(qū)加<4了=；,故c錯誤；

故于選項D：因為。—cw|p4|4a+c,所以O+CV2Z?,可得5c②+2℃-3/<0,

得5/+2e-340,得又ee(0,l),所以ee(0,g,故D正確.

hh+C

10.BC【詳解】對于A,當c=0時2=空，故A錯誤；

aa+c

對于B,若ac?>be?,則c?。。，即c>2>o,所以。>8,故B正確；

對于C,因為所以Q+2b22，5茄，當且僅當時取等號，

所以2a+2Z?2a+2d2ab,顯然a+2s］2ab>0,

所以〃+笠法之3,當且僅當〃=26時取等號，故C正確；

對于D,因為*=史已二l=2G+4，

+1y/a1+1+1

令t=FA，貝卜21,令/⑺=2f+；(d1),

(n

1不

由對勾函數(shù)的性質(zhì)可知，函數(shù)/(f)=2f+]=2t+彳在[1,+8)上單調(diào)遞增,

所以/(<L=/⑴=3,

所以27771+^￡=>3,當且僅當。=0時取等號，故D錯誤.

+1

_l_11

11.BD【詳解】①當x<0時，/(x)=—r=1+-,

xx

則在(-8,0)單調(diào)遞減，且漸近線為y軸和y=l,恒有/(x)<L

3（D

②當X20時，/（A：）=—,

當0Vxv1,y，(x)>O,/(x)在(0,1)單調(diào)遞增；當％>1,/(x)<0,/(x)在。+8)單調(diào)遞減,

故/(元)=且恒有人無)>0,綜上①②可知，/(%)_=-,

綜上，作出函數(shù)/(X)大致圖象，如下圖：

對于A,由上可知函數(shù)的值域為(-雙：,故A錯誤；

對于B,函數(shù)〃力的單調(diào)減區(qū)間為(7,0),(1,+8),故B正確；

對于C,當秋毛時，則方程r(x)_J〃x)|=OWeR),解得,(x)|=0或|"刈=:,

由尤)|=0,得x=0或x=-l,有兩個實數(shù)根；

由圖象可知，由|/(x)|=：得此時有4不相等的實數(shù)根，且均不為0,也不為-1,

對于D,若關于x的方程f(x)-同/(x)|=0(meR)有3個不相等的實數(shù)根,

即方程/(耳|=0與方程|/(可|=機共有3個不相等的實數(shù)根，

又因為忙⑸=0已有兩個不等的實數(shù)根0，T，

則方程|/(x)|=機有且僅有1個根，且不為0,-1.

所以y=|〃x)|與尸根有且僅有1個公共點，

由圖象可知相>3，滿足題意，即相的取值范圍是［3,+。］,故D正確.

【詳解】由題意得久6(0,+8),

因為函數(shù)/■(x)=r+6在久e(0,+8)上單調(diào)遞減,

函數(shù)g(x)=iog2尤在xe(o,+8)上單調(diào)遞增,

X/(4)=^+6=2,g(4)=log24=2,

所以點(4,2)是兩個函數(shù)的交點，

所以當XN4時,/(x)<g(x),可得〃(x)=g(x),

當0<x<4時,f(x)>g(x),可得=

可得八。)的大致圖象，如下圖，

8

【詳解】將問題轉(zhuǎn)化為：在三個盒子中各放入2個編號不同的小球，甲從每個盒子中各取一個小球，求甲取到每個

盒子中編號較大小球的概率.

甲從三個盒子中各取一球，共有23=8種取法，三個都是編號較大小球只有一種取法，

所以，甲獲得3分的概率為!.

O

14.75

【詳解】設雙曲線右焦點為工，由題耳(0,c),雙曲線的一條漸近線方程為y=即改+勿=0,

b

\lyc\\bc\

過該漸近線作垂線，則由題|近叫=/!I,=*=6,W=C,

a+b

^\HM\=t,則由題|Mf|=3乙閨N|=bT,國2=>+3，,

所以內(nèi)兇=b+3t-2a,\F2^\=b-t+2a,

/OFM-西怛石『一歸_—+（2蛾一色一+24

在△片中,cos

12忸M][閭2伍7）（2c）

忸N『+忸耳12TgN/伍+3"+（2c『-（6+3f-2a『

在△耳N4中,cosZOF.M=U----J-2-i——1—

2忸MM同2（Z7+3r）（2c）

（Z?-/）2+（2c）2-（/>-/+2a）2

b化簡解得r=4,

由①②得

2（67）（2c）a+b

bab

由①③得化簡解得”

2（6+3f）（2c）3（/?-a）,

abab

所以=>b=2〃，

a+b3優(yōu)-a）

22

a2+b2a+（2?）

故雙曲線的離心率=?

aa2a2

15.（1M=2"5"N*）⑵小合

【詳解】（1）由--為=2可知數(shù)列｛的J是以公差d=2的等差數(shù)列,

又％=5得%=4+（5-1）義1,

解得為--3,

故q=-3+2（幾—1）,

即q=2〃—5（〃￡N*）.

（2）因為么=—1—__I_____q

aa（2〃-5）Q-3）2⑵-52n-3）

n-n+l

1

2n-5

16.（1）存在，尸是42中點，證明見解析；⑵里

【詳解】（1）存在，證明如下:

在四棱柱ABCD-A4G2中，因為平面〃平面,

所以可在平面44GA內(nèi)作G尸〃CQ,

由平面幾何知識可證△6，尸名48。，所以RP=DQ,可知產(chǎn)是AR中點,

因為C「u平面AGP,所以C。〃平面AC/.

即存在線段42的中點，滿足題設條件.

滿足條件的點只有一個，證明如下：

當CQII平面AG尸時，因為CQH平面A4GA,

所以過C|作平行于CQ的直線既在平面AGP內(nèi)，也在平面內(nèi)，

而在平面AqGA內(nèi)過G只能作一條直線GP〃CQ,

故滿足條件的點尸只有唯一一個.

所以，有且只有4R的中點為滿足條件的點P,使直線C。〃平面AC/.

(2)過點。作±BC,垂足為尸，又因為平面A8CD,

B

所以D4,DF,兩兩互相垂直,

以。為坐標原點，分別以D4,DF,DR所在直線為x軸，y軸，z軸建立如圖的空間直角坐標系。-型,

則4(2,0,0),P(1,O,2),q(-1,^,2),4(2,0,2),網(wǎng)3,有,0),

PA=(l,0,-2),PC,=(-2,73,0),AB=(l,V3,0),胡=(0,0,2)

設平面PAG的法向量為祠=(居y,z),

n-PA=0,x-2z=0,

則有＜即

nPC[=0,—Lx+—0.

令x=2&,得y=4,z=V3,所以〃=（2石,4,若）.

設平面AB4A的法向量為7”=(x,y,z).

AB-m=0,

則有＜即

AAX-m=0,2z=0.

令x=JL得y=-i,z=0,所以機=(G,-i,o).

n-m_6-4+0_A/31

所以cosn,m=

|n||m|2^/3T31

故平面ACtP與平面ABB^所成的銳二面角的余弦值為息.

17.⑴證明見解析(2)證明見解析(3)(-63,1)"1,65)

【詳解】(1)設。"＜3，則洋%)一/(尤2)=/(尤)1一/(尤1*逡)=/01)-"(再)+/盧)]=一/'盧),

由于0＜玉＜%，所以三＞1，所以/(X)＞。，

X]X]

所以〃%)-/(3)＜0,所以/(為)＜/(%),

所以f(x)在(0,+8)上是增函數(shù);

(2)因?qū)Χx域內(nèi)的任意再，X2^D,/(%1-%2)=/(%!)+/(x2),

令X[=x，無2=-1,則有f(-x)=f(x)+/(-I),

又令%=%=-1,#2/(-1)=/(1),

再令％=3=1,得/(1)=0,從而/(-1)=0,

于是有〃-幻=/(幻，所以〃x)是偶函數(shù).

(3)由于/(4)=1,所以3=l+l+l=/(4)+/(4)+/(4)=/(4x4x4)=/(64),

于是不等式f(x-1)<3可化為/(x-1)</(64),

由(2)可知函數(shù)“X)是偶函數(shù)，則不等式可化為制》-1|)</(64),

/、(x-1<64

又由(1)可知/Xx)在(。,+8)上是增函數(shù)，所以可得°，

-63<x<65

解得所以不等式/(%-1)<3的解集為(-63,1)(1,65).

3

18.(1)4.74；(2)能；(3)j.

【詳解】(1)由圖可知，第三組和第六組的頻數(shù)為100x0.8x0.2=16人

第五組的頻數(shù)為100x1.2x0.2=24人

所以前四組的頻數(shù)和為100-(24+16)=60人

而前四組的頻數(shù)依次成等比數(shù)列

故第一組的頻數(shù)為4人，第二組的頻數(shù)為8人，第四組的頻數(shù)為32人

所以中位數(shù)落在第四組，設為X,

必士x—4.650—(4+8+16),一1＜,，c”、

因ra此有-----=-------------(或1.6(無-4.6)=0.22)

0.232

解得尤=4.7375

所以中位數(shù)是4.74

100x(40x20-30x10)2

(2)因為片=

50x50x70x30

所以K?=—q4.762

21

所以片＞3.841

因此在犯錯的概率不超過0.05的前提下認為視力與學習成績有關系

(3)依題意按照分層抽樣在不近視的學生中抽取了6人中年級名次在1~100名和

101-1000名的分別有2人和4人

從6人中任意抽取2