武安一中2024——2025學年第一學期10月期中考試

局一數學

一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項符合題目要求）

1.設。為實數，已知直線4：辦+3了-2=0,，2：6x+（"3萬+4=0,#〃％,則。=（）

A.6B.-3C.6或—3D.-6或3

【答案】A

【解析】

【分析】由兩條直線的一般式方程平行的條件求解即可.

【詳解】因為4〃/2,所以a（a—3）=18,解得：a=6或a=—3.

當〃=6時，-6x+3y—2=0,/216x+3y+4=0,平行；

當Q=—3時，4:—3x+3y—2=0,：6x—6歹+4=0,可判斷此時重合，舍去.

故選：A

22

2.已知焦點在x軸上的橢圓二+匕=1的焦距為6,則實數機等于（）

m3

A.1B.6C.12D.12-673

【答案】C

【解析】

【分析】根據橢圓的焦點位置以及焦距，列式求解，即得答案.

22

【詳解】由于焦點在X軸上的橢圓土+匕=1的焦距為6,

m3

故加—3=32,...加=12,

故選：C

3.如圖是元代數學家郭守敬主持建造的觀星臺，其可近似看作一個正四棱臺4用G。1，若

45=244,點M在上，且氏以二3。幽，則CA/=（)

3—■3—?5—?3—■3—?5—?

A.-AA.+-AB——ADB.-AA.+-AB——AD

41884148

3—■3—?5—?3—■3—?5—?

C.-AA.——AB——ADD.-AA,——AB+-AD

41484188

【答案】C

【解析】

【分析】利用空間向量的基本定理可求解.

【詳解】因為：近=怒+擊=熬+1■礪，

所以:BD.=AD,-AB=AA.+-AD-AB.又因為：BM=3DM,

2X

—■3—■3—?3—?3—?

所以:BM=-BD.=-AA,+-AD--AB，

414184

—*，—--—-3—-3—*3—?—?3——?3一5—?

所以:CM=BM-BC=BM-AD=-AA.+-AD--AB-AD=-AA--AB--AD

418441}48

故C項正確.

故選：C.

4.過點且與圓/+/=5相切的直線方程為（）

A.x-2y+5=0B.x+2y+5=0

C.2x-y-5=0D.2x+y+5=0

【答案】A

【解析】

【分析】先判斷出點〃在圓上，進而求出切線斜率即可得到答案.

92

【詳解】因為（―1）~+22=5,所以點〃在圓上，而左0.=一=—2,

則切線斜率為g,所以切線方程為：y-2=^（x+l）^2y-x-5=0

即x-2〉+5=0

故選：A

5.“加＞2”是，方程^+上二=1表示雙曲線”的（）條件

2-mm+1

A.必要不充分條件B.充分不必要條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】

【分析】利用集合法進行求解.

22

【詳解】因為方程+一匚=1表示雙曲線，所以（2—加）（加+1）＜0,解得加＜—1或加＞2.

2-mm+1

即加￡（-00,-1）U（2,+G0）.

因為（2,+00）是（―8,—1）D（2,+8）的真子集，

22

所以“加＞2”是“方程^—+3^=1表示雙曲線”的充分不必要條件.

2-mm+1

故選：B.

6.一條光線從點P（4,2）射出，經過直線＞=x反射后與〉軸相交于點。（0,-2）,則入射光線所在直線的

方程為（）

A.x-3y-2=0B.3x-j-2=0C,x-3y+2=0D,x+3,v-10=0

【答案】C

【解析】

【分析】先求出點Q（0,-2）關于直線y=x的對稱點。（-2,0）,由光學知識可得反射光線經過點P,Q',

由直線的兩點式即可求解.

【詳解】根據題意可得反射光線經過點。（0,-2）,易得入射光線所在直線經過點。（-2,0）,

因為入射光線經過點P（4,2）,所以入射光線所在直線的方程為匕2=三土，

即x—3y+2—0.

故選：C.

7.已知M為直線/：2x+3y+l=0上的動點，點尸滿足赤=（2,-4）,則點尸的軌跡方程為（）

49

A.3x-2y+9=0B.（x-2）2+（v+4）2=—

4Q

C.2x+3y+9=0D.（x+2）2+（j^-4）2=—

【答案】C

【解析】

【分析】由點P坐標，得到M坐標，代入直線方程即可.

【詳解】設點尸（x,y）,因為礪=（2,—4）,所以M（x-2j+4）,

代入直線方程可得：2（x—2）+3（y+4）+l=0,

化簡可得：2x+3y+9=0

所以尸的軌跡方程為2x+3y+9=0.

故選：C

8.已知拋物線C:/=4y的焦點為尸，該拋物線C與直線/：了=去+1相交于兩點，則|MF|+3|八4|

的最小值為（）

A.2+26B.2+4百

C.4+26D.4+4百

【答案】C

【解析】

112

【分析】證明入^+轉由=一=1，根據基本不等式求|+31M3的最小值.

【詳解】根據題意判斷可得直線I過該拋物線的焦點F,

_112,1111

所以?人/"1+1AHI=一=1，（聯立直線與拋物線，應用韋達定理及用R+JT充=-----7+-------；即可證

1^1\NF\p\MF\|A^F|yM+lyN+l

明），

所以司+3|A/F|=（四盟+3|2VF|）[占+/]=4++粵》4+2后，

111111|^VF|J\MF\pvr]

當且僅當IMF|=I八"|=Ji+1時取“=”.

故選：C.

二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個選項中，有多項符

合要求，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）

9.已知雙曲線C：=1（?！?/〉0）的離心率e=2,C的右支上的點到其右焦點的最短距離為

a2b"

1,則（）

A.雙曲線C的焦點坐標為（±2,0）

B.雙曲線。的漸近線方程為y=±mx

C.點（2,3）在雙曲線C上

D.直線加x-y7*=0（meR）與雙曲線C恒有兩個交點

【答案】AC

【解析】

【分析】由題意求出見“c,即可求出雙曲線方程，可得焦點坐標，判斷AB；代入驗證可判斷C；求出直

線相加=0（加eR）所過定點，結合舉特值，即可判斷D.

【詳解】雙曲線C上的點到其焦點的最短距離為c—a=l,離心率e=￡=2,所以a=l,c=2,

a

2

所以〃=3,所以雙曲線C的方程為——=所以。的焦點坐標為（±2,0）,A正確.

雙曲線C的漸近線方程為^=±2%=±瓜，B錯誤.

a

因為22—1=1,所以點（2,3）在雙曲線。上，C正確.

直線加x—y-加=0即y=7"（x—l）,恒過點（1,0）,即雙曲線的右頂點，

當加=±6時，直線與雙曲線C的一條漸近線平行，此時直線與雙曲線只有一個交點，D錯誤.

故選：AC

10.已知48為圓=4的直徑，且45不與〉軸重合，直線/子=丘+1與〉軸交于點M,則

（）

A./與C恒有公共點

B.是鈍角三角形

C.AABM的面積的最大值為1

D./被C截得的弦的長度的最小值為2#

【答案】ABD

【解析】

【分析】/是一個在圓內的定點，可以判斷A,B選項；根據48是定值可以判斷到的距離最大時，三角

形面積最大，從而判斷C選項；/被C截得的弦的長度的最小時，圓心到直線的距離最大，從而判斷D選

項.

【詳解】直線/：y=Ax+l與歹軸交于點所以易知M在圓。：/+/=4內部，

所以/與C恒有公共點，/正確.

因為/在圓C:/+r=4內部，所以為鈍角，所以A/AW是鈍角三角形，B正確.

點”到的最大距離即點■與圓心之間的距離,為L所以…？4xl=2,C錯誤.

/被C截得的弦的長度最小時，圓心到直線/的距離最大，易知此距離為點M與圓心之間的距離為1,

所以最短弦長為2x在二「=2百，D正確.

故選：ABD

11.如圖，在正三棱柱48C—451G中，側棱長為3,AB=2,空間中一點尸滿足

A.若》=工，則三棱錐尸-44。的體積為定值

2

B.若了=；,則點尸的軌跡長度為3

C.若x+y=l,則尸片的最小值為今|1

3

D.若％=y，則點尸到8C的距離的最小值為一

2

【答案】ACD

【解析】

【分析】A：做出圖像，由已知和選項找到點P的位置，判斷P到平面441。的距離為定值，又△Z&C的

面積為定值可求出；B：作圖找到點尸位置，判斷軌跡長度即可；C：由向量共線得到尸的位置，再點到直

線的距離求必1最小值；D：建系，用空間向量關系求出產到8C的距離，再用二次函數的性質求出最值.

對A,若x=萬，分別作棱AB，44的中點。，E,連接￡>￡,則P在線段QE上，易知DE//平面441c，

故點P到平面N&C的距離為定值，又△幺4。的面積為定值，所以三棱錐P-44c的體積為定值，故A

正確；

若V=5，分別作Z4，85]的中點N,則點P的軌跡為線段易知MN=/8=2,故B錯誤;

若x+y=l,則4,P,3三點共線，即點尸在線段48上，易求點4到/逐的距離為鼠叵，故尸片的

13

最小值為小叵，故C正確；

13

若彳=歹，則點尸在線段Z81上，易證￡>8，DC,DE兩兩垂直，以。為坐標原點，DB,DC,￡>￡所

在直線分別為x,z軸建立空間直角坐標系，

則5(1,0,0),C(O,Ao),4(—1,0,3),4(1,0,3),

所以詬=(2,0,0),^C=(l,V3,o],5C=(-1,73,0),14=(0,0,3))衣=x(赤+怒)=(2x,0,3x),

所以而=Q—方=(2x—2,0,3x),

所以cosBP,BC

所以點尸到BC的距離d=\BP\x)-=yJ12x2-6x+3=

13

所以當X=7時，4血=Q，故D正確.

故選：ACD.

【點睛】方法點睛：本體考查平面向量關系和空間立體幾何的位置關系判定和體積，距離的求法，利用點

到直線的距離和二次函數和建立空間直角坐標系解答，計算量大，屬于比較難的試題.

三、填空題(本題共3小題，每小題5分，共15分)

12.過點尸(1,2)且在兩坐標軸上截距的和為0的直線方程為.

【答案】2x—y=0或x—y+1=0

【解析】

【分析】直線過原點有直線方程為2x—夕=0；直線不過原點時，設x軸截距為a(aw0),則〉軸截距為一

根據截距式并結合所過的點求。，寫出方程.

【詳解】當直線過原點時，得直線方程為2x—y=0；

當在坐標軸上的截距不為零時，設x軸截距為a(aw0),則歹軸截距為一。，可設直線方程為2+工=1,

a-a

將P(l,2)代入方程，可得Q=-1,得直線方程為X—歹+1=0.

工綜上，直線方程為2x—y=0或y+1=0.

故答案為：2x~y=0或％—y+l=0.

13.若雙曲線］——=1的一條漸近線與圓(x—lY+r=1交于48兩點，貝

【答案］巫

5

【解析】

【分析】根據雙曲線的標準方程，得到。，4c的值，結合雙曲線的幾何性質，求得雙曲線的漸近線方程，再

利用圓的弦長公式，即可求解.

【詳解】由雙曲線匕——=1,可得。=2/=1,

4

又由雙曲線的其中一條漸近線方程為^=-=2x,即2x—y=0,

b

因為圓(X—1)2+/=1的圓心為(1,0),半徑r=1,

」2x1-0275

所以圓心到漸近線的距離為d=+一=

#+(-1)25

由圓的弦長公式，可得|第=2,2—/=2

故答案為：正

5

14.已知橢圓。5+，=19>6>0）的左、右焦點分別為公,鳥，若尸為橢圓C上一點,

PF[_1片與。四巴的內切圓的半徑為三，則橢圓C的離心率為

【答案】-

3

【解析】

【分析】由內切圓半徑的計算公式，利用等面積法表示焦點三角形F與片的面積，得到生。方程，即可得到

離心率e的方程，計算得到結果.

【詳解】由題意，可知尸片為橢圓通徑的一半，故尸片="，△尸耳"的面積為4?2c?尸片=”,

a2a

又由于△下>片片的內切圓的半徑為;，則月的面積也可表示為:（2a+2c）q,

所以g2c.p￡=g（2a+2c）5，即C￡=g（2a+2c>|,

整理得：2/—℃—3c2=0,兩邊同除以/,

2

得3/+e—2=0，所以e=§或一1,

2

又橢圓的離心率ee（0,1）,所以橢圓C的離心率為].

故…答案i為：—2.

3

四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

15.已知圓/過點（3,3）,圓心M在直線2X+.V—5=0上，且直線x—2y+5=0與圓M相切.

（1）求圓M的方程；

（2）過點。（0,-2）的直線/交圓加于48兩點.若A為線段。8的中點，求直線/的方程.

【答案】（1）（X—2）2+（y—1）2=5

（2）x=0或5x-12y-24=0.

【解析】

【分析】(1)由待定系數法即可求解;

(2)設/(x,y),從而得到B(2x,2y+2),由48在圓上，代入方程求解即可解決問題.

【小問1詳解】

設圓M的方程為(x-a)2+(y-6)2=/，

因為圓M過點(3,3),所以(3—4+(3-4=/①，

又因為圓心M在直線2x+y—5=0上，所以2a+6—5=0②,

\a-2b+5\

直線x—2y+5=0與圓”相切，得至i]r=T=③,

45

由①②③解得：a=2,6=1/=若因此圓M的方程為(x—2)2+(y—1)2=5.

【小問2詳解】

設/(x,y),因為/為線段3。的中點，所以5(2x,2y+2),

24

X=——

(x—2)2+"—丁=5x=013

因為48在圓M上，所以解得《或V

(2X-2)2+(2J+1)2=5"0一16

y=----

13

當A(0,0)時,由。(0,—2)可知直線I的方程為％=0；

_2+16

當/蔣，—時,由。(0,—2)可得斜率k=yp-=-1-，

I1313yN-1Z

故直線/的方程為y=，x—2,即5x—12y—24=0.

綜上，直線/的方程為x=0或5x—12y—24=0.

16.如圖，四棱錐P—48C。的底面為正方形，尸2，平面48。。,48=2,尸2=3,2同7=礪，

m=NDjH=^PA.

p

BC

>(1)證明：C,M,H,N四點共面；

(2)求點尸到平面跖VC的距離.

【答案】(1)證明見解析

c6V109

109

【解析】

—?3——?1—■

【分析】(1)建立如圖所示的空間直角坐標系，結合空間向量線性運算的坐標表示可得CH=—CW+—CN,

42

進而求證；

(2)求出平面MVC的法向量，結合空間向量知識求解即可.

【小問1詳解】

證明：因為PZ_1_平面45c,4Du平面48cZ),48u平面48cZ),

所以,

又四邊形48C￡?為正方形，所以A8_L/D.

以A為坐標原點，45,4D,4P所在直線分別為x軸、>軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.

由2而=而,兩=而兩=；溝,

\PM\1\PN\1\PH\_1

倚阿3，\PD\2'I%4

則。（2,2,0）也停,0,2）,吊0,1，）,五（0,0,0,尸（0,0,3）.

所以國=1_2,_2,(1,而=]_g4,—2,2)國=m，

3

^CH=ACM+JJCN,

4

-2=——2-2//

331

則《—2=—22—〃,解得2=—,fj.=—

42

93

-=22+-//

42

所以函=3國+工西，

42

敬C,M,H,N四點共面.

【小問2詳解】

設平面MNC的法向量為慶=（/"c）,

4

——。一26+2。=0

CM-m=03

由＜_，得＜

3

CN-m=0-2a-b+—c=0

2

取a=3,則成=（3,6,8）,

又加=1o,o，T，

8

所以點尸到平面跖VC的距離HP-m46^/109.

17.已知橢圓。：［+4=1伍〉6〉0）的左、右頂點分別為48，點產（0,2）,連接尸4必交橢圓C于點

a"b"

3

M,N,△尸48為直角三角形，且MN=—AB.

5

（1）求橢圓的標準方程;

(2)設直線/與橢圓。交于AE兩點，若BD-BE=。，求證：直線/過定點

2

【答案】(1)—+y2=1

4

(2)證明見解析

【解析】

1312

【分析】(1)根據題意知。P=一4B,求出。，再由MV=-48=—求出6,即可求出橢圓的標準方程;

255

(2)設。(X]，x),￡(%,%)，設DE的方程為x=0+加(加彳2),聯立橢圓方程消元后得到韋達定理，

由麗?礪=0代入求出m=-|,即可求出直線恒過的定點.

【小問1詳解】

解：因為△尸48為直角三角形，

所以由橢圓的對稱性知，OP=-AB,

2

即2=：x2a,所以a=2,JW=|/5=],則

代與+?=1，得SiCT1，解得，b=l,

a2b2^+==1

ab

2

所以橢圓的標準方程為土+J?=1.

4

【小問2詳解】

證明：由題意，可設直線DE的方程為*=加+加(加彳2),

2

fx2,

聯立<4消去x得，(k1+4)j^2+2kmy+m2-4=0,

x=ky+m

設。(國,%),￡自2，/)，則乂+J2=7T^7=7^7?

k+4k+4

因為詼‘市,所以麗?屜=0,由⑴知，8(2,0),

所以麗=區—2,%),而=(%—2,%),

貝|-2)(X2-2)+yxy2=0,

將xl=ky]+m,x2=ky2+m代入上式得,

(k-+1)必歹2+k(m-2)(%+%)+(加—2)2=0，

將①代入上式，(左2+1)二——-+k(m-2)+(加-2/=0=>5m2-16m+12=0

KIT-KIT,

解得，加=［或加=2(舍)，故直線/恒過點g,0)

18.如圖，在四棱錐尸—4BS中，平面PDC,平面48CD,4D，￡>C,48〃￡>C,

4B=LCD=/￡>=1,M為棱PC的中點.

2

(2)若PC=?PD=\,

(i)求二面角尸—DM-3的余弦值;

(ii)在線段PN上是否存在點。，使得點。到平面5。/的距離是城？若存在，求出尸。的值；若不

~一9

存在，說明理由.

【答案】(1)證明見解析

(2)(i)—1；(ii)存在，尸0=述

63

【解析】

【分析】(1)通過證明四邊形/a0N是平行四邊形，可得BMIIZN,即可證明;

(2)(i)建立空間直角坐標系，利用向量法求解；(ii)利用點到面距離的向量法求解即可.

【詳解】(1)取尸。的中點N,連接AN,MN,如圖所示：為棱PC的中點，

???AB//CD,Z8=；CD,AB//MN,AB=MN,

四邊形48W是平行四邊形，.?.8M||ZN,

又BMy平面PAD,ANu平面PAD,BM//平面PAD.

(2)vPC=45,PD=1,CD=2,PC2=PD2+CD2PD1DC,

..?平面PDC±平面ABCD,平面PDCA平面ABCD=DC,PDu平面PDC,

PD1平面ABCD,

又AD,CDu平面ABCD,:.PDLAD,而，CD,AD±DC,，以點。為坐標原點,

。4。。,。尸所在直線分別為方A2軸建立空間直角坐標系，

如圖：則P(O,O,1),D(0,0,0),/(1,0,0),C(0,2,0),

?.?M為棱尸。的中點，

設平面BDM的一個法向量為n=(x,y,z),

_——.1

n-DM=y+—z=0

則《2，令z=2,則y==,.元=(1,一1,2),

n-DB=x+y=0

平面POM的一個法向量為￡%=(1,0,0),

n-DA1V6

cos(n,DA)=

\n\\~DA\~1x^6"6'

根據圖形得二面角P-OM-3為鈍角，則二面角的余弦值為-Y6

6

(ii)假設在線段PZ上存在點。，使得點。到平面8。M的距離是哀8,

一9

設?=2中,OWX<1,

則2(2,0,1-2),50=(2-1,-1,1-2),

由(2)知平面的一個法向量為為=(1,—1,2),

BQ-n=2-1+1+2(1-A)=2-A,

點Q到平面BDM的距離是

\BQ-n\2-22A/