高一開學(xué)數(shù)學(xué)

一、單選題(本大題共8小題，在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng))

1.設(shè)集合A』11'1II1//若A^B,則實(shí)數(shù)a,b必滿足

A.，+4<3B.|<7+Z?|>3

C.|tz—Z?|<3D.|?—^|>3

【答案】D

【解析】

【詳解】試題分析：A={x||x—4<1,%￡尺}={%|。-1<%<a+1},

B=司)2}={%|%)人+2^^<人一2},若A=B,則有/?+24〃一1或Z?-22。+1「?|〃一423

考點(diǎn)：L絕對(duì)值不等式解法；2.集合的子集關(guān)系

1,x>0;

2.與分段函數(shù)/(%)={?八的定義域和奇偶性均相同的函數(shù)是()

-l,x<0.

5

A

-g(x)=log2lxlB.gM=x3

c.g(無)=tanxD.g(x)=x2+-^-

x

【答案】B

【解析】

【分析】分別求出/(x),g(x)的定義域，再利用奇偶性的定義判斷即可.

1,x>0;/、/、

【詳解】因?yàn)?(尤)=1c的定義域?yàn)?7,0，(0,”)

當(dāng)x>0時(shí)，-x<0,/(x)=1,/(-%)=-1,所以/(X)=-/(-%)；

當(dāng)x<0時(shí),-x>0,/(%)=-1,/(-x)=l,所以/(%)=—/(-%)；

所以/(%)為奇函數(shù).

對(duì)于A,g(x)=log2|x|的定義域?yàn)?TO,0)(O,-Hx>)

g(-x)=log21-X|=log2\x\=g(x),所以g(x)為偶函數(shù);

1

對(duì)于B,g(x)=x3=_^的定義域?yàn)?YO,0)(0,+DO)

gr=而了=_存=—g("，所以g(x)為奇函數(shù)；

對(duì)于C,g(x)=tanx的定義域?yàn)?lt;+4eZ>,且g(x)為奇函數(shù);

對(duì)于D,8(%)=必+±的定義域?yàn)?-8,0>(0,十功,

X

g(f)=(-%)2+=爐+J=g⑴,

g(x)為偶函數(shù);

(一X)X

故選：B.

3.若a>b>0,且ab=l,則下列不等式成立的是

1b/7、B.?<log2(a+b)<a+3

A.a+g<<l1og2(〃+。)

1,/八匕】z八1b

C.〃+%<log2(a+b)<D.log?(a+b)<〃+g<

【答案】B

【解析】

b——

【詳解】因?yàn)閍>b>0,且次?=1,所以〃>1,0<Z?<l,「.強(qiáng)(l』og2(a+0)〉k)g22jatZ?=1,

設(shè)〃x)=2、—羽(犬>1),則/,(%)=2'ln2-l>0,所以=2、—蒼(x>1)單調(diào)遞增,

1-I1

所以2*>?+—>?+/?=>?+—>log(tz+/?)，所以選B.

bb2

【名師點(diǎn)睛】比較累或?qū)?shù)值的大小,若募的底數(shù)相同或?qū)?shù)的底數(shù)相同,通常利用指數(shù)函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)單

調(diào)性進(jìn)行比較,若底數(shù)不同,可考慮利用中間量進(jìn)行比較.本題雖小，但考查的知識(shí)點(diǎn)較多，需靈活利用指

數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及基本不等式作出判斷.

I7C?7C7C

4.已知函數(shù)/(%)=35詁［。％+1)(0〉0)的最小正周期為兀.則函數(shù)在-五%的最小值是()

33

A.B.C.0D.

~T22

【答案】D

【解析】

【分析】先根據(jù)函數(shù)的周期性求出0,再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合整體思想即可得解.

【詳解】由題意丁=臼27r=兀，所以口=2,

CD

可得/(X)=3sin+雪，

t兀兀/目GI兀兀2兀

由XG-----,一,得2%-|E-,,

L126J3L63J

所以當(dāng)2x+V=g即x=—M時(shí)，函數(shù)"%)取得最小值工

36122

故選：D.

5.己知函數(shù)/(x)=tan[2x+1],則下列說法正確是()

A.八%)在定義域內(nèi)是增函數(shù)B.“X)是奇函數(shù)

C."%)的最小正周期是無D.了⑴圖像的對(duì)稱中心是卓-/o]keZ

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)題意結(jié)合正切函數(shù)性質(zhì)逐項(xiàng)分析判斷.

【詳解】對(duì)于選項(xiàng)AC：因?yàn)?(%)的最小正周期是T=方，可知/(%)在定義域內(nèi)不單調(diào)，故AC錯(cuò)誤;

對(duì)于選項(xiàng)B：/(O)=tan^=V3^O,可知了(%)不是奇函數(shù)，故B錯(cuò)誤；

jrKTTKTLJT

對(duì)于選項(xiàng)D：令2x+—=—/eZ,解得x=--------，左eZ,

3246

所以"％)圖像的對(duì)稱中心是[弓-弓，0)左wZ,故D正確；

故選：D.

6.函數(shù)y=/(x)的定義域?yàn)镽,若y=/(x+2)與y=/(x—2)都是奇函數(shù)，貝|()

A.y=/(x)是偶函數(shù)B.y=/(x)是奇函數(shù)

C./U)=/(x+4)D.y=/(x+6)可是奇函數(shù)

【答案】D

【解析】

【分析】由題意可得了(X)關(guān)于(—2,0)和(2,0)對(duì)稱，即可得到〃力=/(8+九)，即可判斷.

【詳解】因?yàn)閥=/(%+2)是奇函數(shù)，所以/(—x+2)=—/(x+2),

因?yàn)閥=J(x—2)是奇函數(shù),所以/(—x—2)=—“X—2),

即/(%)關(guān)于(-2,0)和(2,0)對(duì)稱，

所以/(—X)+/(4+*)=。,/(—x)+/(-4+x)=0,

得/(-4+%)=/(4+x)，得〃x)=/(8+x),

令g(x)=sin(7cv),/(x)=cos亍，

g(尤+2)=sin[兀(x+2)]=sinra;,g(x-2)=sin[ji(x—2)]=sima,?黃足條件，

而/(X+2)=COS^^TI=—sin[x,/(%—2)=COS^^TI=sin：x,滿足條件，

但g(x)=sing)是奇函數(shù)，/(x)=cos亍是偶函數(shù)，故AB都錯(cuò)；

且/(x+4)=cosM：4)=-cos：%w/(x)，故C錯(cuò)；

因?yàn)?(—%—2)=—f(x—2),所以/(—x—2+8)=—f(x—2+8),

即/(—x+6)=—/(x+6),所以y=/(x+6)可是奇函數(shù).故D對(duì)

故選：D

7.已知了(%)是定義在R上的函數(shù)，且/(x+1)關(guān)于直線x=—l對(duì)稱.當(dāng)x20時(shí)，

--x2+l

24

/(%)=<,o<x<2；若對(duì)任意的xe[“加+1],不等式/(2-2%)之/(1+機(jī))恒成立，則實(shí)數(shù)加

2-log2x,x>2

的取值范圍是()

A.一丁。]B.~,1C.[1,+co)D.1

—,+00

2

【答案】D

【解析】

【分析】結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，可知/(%)在[0,+8)上單調(diào)遞減，由/(X+1)關(guān)于直線x=—1對(duì)稱，

可知了(%)為偶函數(shù)，從而可將題中不等式轉(zhuǎn)化為|2—2%|4卜+制，整理得3x2—(8+2機(jī))x+4—枕2<0

對(duì)任意的工€卜口,加+日恒成立，進(jìn)而結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，可求出，"的取值范圍.

【詳解】當(dāng)04x<2時(shí)，=

函數(shù)y=—；必+1在［0,2)上單調(diào)遞減，且丁=2工是R上的增函數(shù)，

根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)了(%)在［0,2)上單調(diào)遞減，且/(同>2-$2、=1；

當(dāng)無22時(shí)，/(x)=2-log2x,易知函數(shù)在［2,+8)上單調(diào)遞減，且

/(x)</(2)=2-log22=l.

???函數(shù)在［0,+8)上單調(diào)遞減.

關(guān)于直線x=—1對(duì)稱，.?./(X)關(guān)于％=0對(duì)稱，即/(X)為偶函數(shù)，

‘不等式“2—2x)2/(x+間可化為川2—2刈之/(,+詞)，

二|2-2^4卜+計(jì)恒成立，

即|2—2x|2<|x+m|2,整理得3%2-(8+2m)x+4-7?2<0,

令g(x)=3*2-(8+2tn)x+4-m2,

...對(duì)任意的,g(x)W0恒成立，

.g(jn)=3m2—(8+2/?)/77+4-m2<0

g(m+l)=3(m+l)2-(8+2m)(m+1)+4-ZT?2<0

-8/W+4<0i

即〈,，C，解得機(jī)2不

-4m-l<02

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查不等式恒成立問題，考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的應(yīng)用，考查學(xué)生的推理能力與計(jì)算能

力，屬于較難題.

8.已知〃X),g(x)都是定義在R上的函數(shù)，對(duì)任意尤，y滿足/a-y)=/(x)g(y)-ga)〃y),且

/(-2)=/(1)^0,則下列說法正確的是()

A./(0)=1B.函數(shù)g(2x+l)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱

2023

cg⑴+g(—i)=0D.若/⑴=1,則￡“〃)=1

n=l

【答案】D

【解析】

27r2兀

【分析】利用賦值法結(jié)合題目給定的條件可判斷AC,^/(%)=sinyx,1?(%)=cosy對(duì)于

D,通過觀察選項(xiàng)可以推斷了(X)很可能是周期函數(shù)，結(jié)合〃x)g(y),g(x)〃y)的特殊性及一些己經(jīng)證明的

結(jié)論，想到令y=—1和y=l時(shí)可構(gòu)建出兩個(gè)式子，兩式相加即可得出/(%+l)+/(x—l)=—/(%),進(jìn)一

2023

步得出/(X)是周期函數(shù)，從而可求Z/(〃)的值.

n=i

【詳解】解：對(duì)于A,令x=y=0,代入已知等式得/(0)=/(0)g(0)—g(0)/(0)=0,得

/(0)=0,故A錯(cuò)誤；

27T27r

對(duì)于B,取y(x)=sin—x,g(x)=cos—%,滿足〃x-y)=/(x)g(y)-g(x)〃y)及/(—2)=/'⑴w0,

因?yàn)間(3)=cos27i=lwO,所以g(x)的圖象不關(guān)于點(diǎn)(3,0)對(duì)稱，

所以函數(shù)g(2x+l)的圖象不關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,令y=0,x=l,代入已知等式得/(l)=/(l)g(。)—g(l)/(O),

可得了⑴口―g(o)]=_g6〃o)=o,結(jié)合/■⑴#0得1—g(o)=o,g(o)=i,

再令x=0,代入已知等式得/■(—y)=/(o)g(y)—g(o)/(y),

將/(0)=0,g(O)=l代入上式，得/(—y)=—/(y),所以函數(shù)為奇函數(shù).

令x=l,y=-l,代入已知等式，得/(2)=/(l)g(—1)—g(l)/(—1),

因?yàn)?(—1)=—/⑴，所以/(2)=/(l)[g(—l)+g(l)],

又因?yàn)?(2)=_/(—2)=—/⑴，所以_/(l)=/(l)[g(—l)+g(l)],

因?yàn)榱恕?#0,所以g(l)+g(—1)=-1,故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,分別令y=-l和y=l,代入己知等式，得以下兩個(gè)等式：

/(x+l)=/(x)g(—l)—g(x)/(—l),/(x—l)=/(x)g(l)—g(x)/⑴,

兩式相加易得/(x+l)+/(x—l)=-/(￡)，所以有/(x+2)+/(x)=-/(x+l),

即：/(x)=—/(x+1)—/(x+2),

有：-/a)+/a)=/a+i)+/(i)-〃x+i)-〃x+2)=。，

即：/(x-l)=/(x+2),所以為周期函數(shù)，且周期為3,

因?yàn)椤?)=1,所以/(—2)=1,所以〃2)=_/(—2)=-1,/(3)=/(0)=0,

所以〃1)+/(2)+〃3)=0,

2023

所以￡/(〃)=1=/(1)+"2)+"3)++/(2023)=/(2023)=/(1)=1,故D正確.

n-\

故選：D.

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：對(duì)于含有龍,y的抽象函數(shù)的一般解題思路是：觀察函數(shù)關(guān)系，發(fā)現(xiàn)可利用的點(diǎn)，以及

利用證明了的條件或者選項(xiàng)；抽象函數(shù)一般通過賦值法來確定、判斷某些關(guān)系，特別是有蒼y雙變量，需

要雙賦值，可以得到一個(gè)或多個(gè)關(guān)系式，進(jìn)而得到所需的關(guān)系，此過程中的難點(diǎn)是賦予哪些合適的值，這

就需要觀察題設(shè)條件以及選項(xiàng)來決定.

二、多選題(本大題共3小題)

9.下列說法正確的是()

A.函數(shù)/(x)=/T—2(a>0且awl)的圖像恒過定點(diǎn)(1,—2)

B.若函數(shù)g(x)滿足g(—x)+g(x)=6,則函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0,3)對(duì)稱

3L

C.當(dāng)x>0時(shí)，函數(shù)y=x+-----1的最小值為26—1

x+1

([\y-x—x+2

D.函數(shù)g")=_L的單調(diào)增區(qū)間為

【答案】BD

【解析】

【分析】對(duì)A：根據(jù)指數(shù)函數(shù)恒過的定點(diǎn)，結(jié)合已知解析式，直接求解即可；對(duì)B：根據(jù)對(duì)稱性的定義，轉(zhuǎn)

化后即可判斷；對(duì)C：利用基本不等式，即可求得函數(shù)最小值：對(duì)D：根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)解

析式和定義域，即可求得結(jié)果.

【詳解】對(duì)A：令x—1=0,解得x=l,當(dāng)x=l時(shí)，/(X)=—1,故"％)恒過定點(diǎn)(L-l),A錯(cuò)誤；

對(duì)B：因?yàn)間(—x)+g(x)=6,則g(x)+g(r)=3,故g(x)的圖象關(guān)于(0,3)對(duì)稱，B正確；

33/3

對(duì)C：因?yàn)閤>0,故丁=工+-----l=x+l+---------2>2j(x+l)x---------2=2V3-2,

x+1x+1Vv7x+1

當(dāng)且僅當(dāng)％=百-1時(shí)取得等號(hào)，故C錯(cuò)誤;

對(duì)D：要使g(x)=［］有意義，則—V—%+220,解得—2WxWl,

則g(x)的定義域?yàn)椋?2』,

由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得y=J—X+2在—2,-g單調(diào)遞增，在-g,l單調(diào)遞減，又7=［2］在

R上單調(diào)遞減，

故g(x)在-2,-g單調(diào)遞減，在一單調(diào)遞增，故D正確.

故選：BD.

10.下列選項(xiàng)正確的有()

A.“*eR,區(qū)2+依+1＜0”是假命題，則。(左＜4

B.函數(shù)〃x)=(x—咪的圖象的對(duì)稱中心是(1,0)

C.若y=/(x)存在反函數(shù)y=g(x),且43)=—1,則y=g(九—1)的圖象必過點(diǎn)(3,0)

D.已知國表示不超過x的最大整數(shù)，則函數(shù)/(x)=x—㈤值域?yàn)椋?,1)

【答案】BD

【解析】

【分析】轉(zhuǎn)化為“VxeR,依2+區(qū)+1〉0”為真命題，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，可判定A不正確；根據(jù)函數(shù)

圖象變換，可得判定B正確；根據(jù)反函數(shù)的性質(zhì)，可判定C錯(cuò)誤；根據(jù)函數(shù)的新定義，可判定D正確.

【詳解】對(duì)于A中，由命題“IxeR,近2+"+1＜0”是假命題，

可得命題“VxeR,近2+履+1〉。，，為真命題,

當(dāng)左=0時(shí)，1＞0恒成立，符合題意;

左＞0

當(dāng)上片0時(shí)，則滿足《解得0＜女＜4,

△=左2一4左＜0

綜上可得，實(shí)數(shù)左的取值范圍為［。,4),所以A不正確;

對(duì)于B中，函數(shù)/(x)=(x—1)3的圖象，可看成y=%3的圖象向右平移1個(gè)單位長度得到，

因?yàn)楹瘮?shù),=的對(duì)稱中心為(0,0),所以函數(shù)y(x)=(x—1)3的圖象關(guān)于(1,0)對(duì)稱，所以B正確；

對(duì)于C中，若y=/(x)存在反函數(shù)y=g(x),且”3)=—1,可得g(—1)=3,

即函數(shù)y=g(x)過點(diǎn)(T3),則函數(shù)y=g(x—1)的圖象必過點(diǎn)(0,3),所以c錯(cuò)誤；

對(duì)于D中，已知[可表示不超過x的最大整數(shù)，

當(dāng)％€[〃,〃+1),〃€2時(shí)，[可=〃，則函數(shù)/(%)=x-[x]=%-〃，

在[八,"+1)上此函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，故其值域?yàn)閇0,1),所以D正確.

故選：BD.

11.已知。，b,ceR,若儲(chǔ)+k+02=],^(a-lXb-l)(c-l)=abc,則下列結(jié)論正確的是()

A.a+b+c=lB.ab+bc+ca<l

C.c的最大值為1D.a的最小值為-1

【答案】ABC

【解析】

【分析】

由題可得a/?+Z?c+ca=a+b+c—l,設(shè)Q+/?+C=X，則可得V-2(x-l)=1,即可解出

a+b+c=l,ab+bc+ca=Q,判斷AB正確；將條件轉(zhuǎn)化為〃+(〃—1屹+〃一〃=。，利用判別式可

求出。的范圍，同理求出。的范圍.

【詳解】由(〃-1)(人一1)(。-1)=Q〃C,abc-ab-bc—ca+a+b+c—A=ahc,

:.ab+bc+ca=a+b+c—\,

設(shè)〃+Z?+c=x,則Qb+bc+ca=x-l.

,a?+/72+/=(Q+Z?+c)2—2(ab+be+cci)—1,

x2-2(x-l)=1,解得x=l,即Q+Z?+C=1,ab+bc+ca-0故AB正確；

/.ab+(a+b)c=0,即ab+(a+b)(l-a-b)=0.

/.a2+/+ab—a—b=Q>BPb2+—1)Z?+a2—ci=Q.

由〃，Z?ER知，△=(〃一1)2—4(〃2—a)20.

???3a2-2a-1?0.解得—同理可得—工WcWl,故C正確，D錯(cuò)誤.

33

故選：ABC.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查根據(jù)已知等量關(guān)系求范圍，解題的關(guān)鍵是根據(jù)條件令a+Z?+c=x,轉(zhuǎn)化出

爐―2(x—1)=1,即可求出a+〃+c=l,進(jìn)一步利用判別式可求出a，c范圍.

三、填空題(本大題共3小題)

12.已知關(guān)于天的不等式依2+4%_人>0的解集為｛川一2<%<6｝,則a+b=.

【答案】-13

【解析】

【分析】利用不等式的解集與方程根的關(guān)系，由韋達(dá)定理得出方程組可解得得出結(jié)果.

【詳解】根據(jù)不等式ax2+4x-b>Q的解集為｛x|-2<x<6｝可得：

—2+6=----r

aCl——11

—2和6是方程依2+4%—/,=()的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，可得〈:，解得4.

Cabb=-12

、a

因止匕。+〃=一13.

故答案為：-13

13.己知函數(shù)/(%)=以%。％-1(。>0)在區(qū)間［0,2可有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，則。的取值范圍是.

【答案】［2,3)

【解析】

【分析】令/⑴=0,得cosox=l有3個(gè)根，從而結(jié)合余弦函數(shù)的圖像性質(zhì)即可得解.

【詳解】因?yàn)?<兀<2兀，所以0WaaW2697T,

^/(?^)=cos?x-l=0,貝！］cosox=1有3個(gè)/艮，

令/=則cos/=l有3個(gè)根，其中/€［0,2麗］,

結(jié)合余弦函數(shù)>=cost的圖像性質(zhì)可得4兀<2AOT<6兀，故2<0<3,

故答案為；［2,3).

x3+(x+1)

14.設(shè)函數(shù)/(x)=;在區(qū)間［-2,2］上的最大值為M,最小值為N,則A/+N的值為

x2+l

【答案】2

【解析】

【分析】構(gòu)造函數(shù)g(x)=/(x)-1，由其為奇函數(shù)即可求解;

x3+(x+l)“.x3+2x

【詳解】/(%)==1+———

x2+1x-+1

元3+2x

構(gòu)造函數(shù)g(x)==—2----定義域?yàn)镽,貝=故g(x)為奇函數(shù),

A+1

所以gmaxOO+g^naXM+N—Zn。,

所以M+N=2,

故答案為：2

四、解答題(本大題共5小題，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

15.如圖，以必為始邊作角1與，0＜，＜5＜&＜兀，它們的終邊分別與單位圓相交于點(diǎn)尸，。，已知

、2sinP+5cos(3

⑴求3sin夕-2cos尸的值;

(2)若OFLOQ,求產(chǎn)的坐標(biāo).

【答案】(1)-12、

［苴2亞

(2)P.彳，亍

7

【解析】

【分析】（1）首先由點(diǎn)。在單位圓上，求無，再根據(jù)三角函數(shù)的定義求sin/7,cos/7,即可求解；

（2）利用誘導(dǎo)公式求sina,cosa,再根據(jù)三角函數(shù)的定義求點(diǎn)尸的坐標(biāo).

【小問1詳解】

因?yàn)辄c(diǎn)Q在單位圓上且0（尸<],所以必+j半j=1,得彳=寺.

即攣,￡]，且由三角函數(shù)定義知，sin，=Y5，cos￡=^5，tan/=2=]

（55）55元2

,,2sinyff+5cos/32tan[3+52

nx==：=-]2.

3sin,一2cos,3tan'—2jx--2

2~

【小問2詳解】

由題意：sin<z=sin^/7+^=cos/?=~~>

'z?也

cosa=cosI/>+—l=-sinp=---,

故？--—i—.

I55,

16.已知幕函數(shù)y=/（尤）的圖像過點(diǎn)（8,m）和（9,3）.

（1）求實(shí)數(shù)"?的值；

（2）若函數(shù)g（x）=（a>0,aR1）在區(qū)間[16,36]上的最大值等于最小值的2倍，求實(shí)數(shù)a的值.

【答案】（1）272;（2）當(dāng)或五.

【解析】

【詳解】試題分析：⑴由幕函數(shù)丁=/（力的圖象過點(diǎn)（9,3）,可求出幕函數(shù)y=/（x）的解析式，將（8,加）

代入所求解析式即可的結(jié)果；（2）討論0<。<1與。>1兩種情況，分別求出最大值與最小值，利用最大值

等于最小值的2倍求解即可.

11

試題解析：⑴設(shè)/（%）=%、依題意可得9°=3，.?.。=3"（%）二/，

i

m=f（8）=S=242-

(2)g(x)=a&G[4,6],

...當(dāng)0<a<l時(shí)，g(x)=/g(x)=。6,由題意得/=2/,解得正；

當(dāng)a>l時(shí)，g(x)=a6,g(x)=。4,由題意得口6=2“4,解得

\/max\/min、

綜上，所求實(shí)數(shù)。的值為白或血.

4

17.已知函數(shù)/(x)=——

2+4x

(1)若函數(shù)/(%)的圖象關(guān)于(；力)成中心對(duì)稱圖形，求b值；

(2)判斷了(幻的單調(diào)性(無需證明)，并解關(guān)于尤的不等式/(1+依+/)+/(九)<2.

【答案】(1)1；

(2)答案見解析.

【解析】

【分析】(1)利用中心對(duì)稱的定義計(jì)算出/。)+/(1-%)的值即可.

(2)借助指數(shù)函數(shù)單調(diào)性確定/(%)的單調(diào)性，結(jié)合(1)及單調(diào)性化簡不等式，再解含參的一元二次不等

式.

【小問1詳解】

4444-4x8+4-4x

依題意'/(X)+/(lT)=W+b------1--------二--------------------

2+4'2-4x+42(2+4")

由函數(shù)/(%)的圖象關(guān)于點(diǎn)(g1)成中心對(duì)稱圖形，得2〃=2,

所以Z?=l.

【小問2詳解】

4

函數(shù)y=2+4*在R上單調(diào)遞增，則函數(shù)/(%)=——-在R上單調(diào)遞減，

-2+4

由⑴知，f(x)圖象關(guān)于(；』)成中心對(duì)稱圖形，即/⑴+/(1—x)=2,

不等式/(1+公+/)+/(月<2化為：f(l+ax+x2)<2-f(x),

即/(1+依+%2)〈/(1一%),則1+依+%2>1—%,整理得L2+(Q+])X>0,

當(dāng)〃=一1時(shí)，解得1。0；當(dāng)。>一1時(shí)，％<—々一1或尤>0；

當(dāng)。<一1時(shí)，解得％<0或%>—々一1,

所以當(dāng)a=—1時(shí)，原不等式解集為｛x|x/O｝；

當(dāng)a>—1時(shí)，原不等式的解集為｛x|x<—a—1或x>0｝；

當(dāng)a<—1時(shí)，原不等式的解集為｛x|x<0或x>—a—1｝.

18.己知函數(shù)/(x)=2sin(<ur+0)(f：<0(O,0〉O)的圖象關(guān)于直線％對(duì)稱，且兩相鄰對(duì)稱中心之間

6

7T

的距離為一.

2

(1)求了(%)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)若函數(shù)g(x)=/(x+a)為偶函數(shù)，求同的最小值.

(3)若關(guān)于x的方程/(x)+log2左=0在區(qū)間上總有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)上的取值范圍.

兀2兀

【答案】(1)T=n,函數(shù)y=/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間kn+-,kn+—，左eZ；

⑵時(shí)的最小值為:；

,「1J

(3)kw-,4.

_2_

【解析】

【分析】(1)根據(jù)相鄰對(duì)稱中心的距離求出周期，得。的值，根據(jù)對(duì)稱軸求出。，得出解析式，結(jié)合正弦函

數(shù)的單調(diào)性求單調(diào)區(qū)間；

(2)根據(jù)奇偶性的性質(zhì)列方程求的最小值.

(2)將方程有實(shí)數(shù)根轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)有交點(diǎn)，求值域的問題，由此可求左的取值范圍.

【小問1詳解】

TT

因?yàn)楹瘮?shù)兩相鄰對(duì)稱中心之間的距離為一，

2

所以函數(shù)“X)的最小正周期T=71,

271

所以廠［=兀，又。>0,所以。=2,

TTJi'JI

函數(shù)圖象關(guān)于直線X=—對(duì)稱，2x—+0=E+—,左￡Z,

662

兀

解得：(p=kit+—,keZ,一兀<0<0,

所以夕=一期，/(x)=2sin(2x—g

由24兀一巴<2x———<2kn+—.keZ,

262

JI2兀

得：kuH—?%VkitH----,keZ,

63

兀27c

所以函數(shù)y=/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間kn+-,kn+—，左eZ；

【小問2詳解】

由⑴g(x)=2sin2x+2a-^-\,

因?yàn)楹瘮?shù)g(x)為偶函數(shù),

所以2sin12x+2a——)=2sinf—2,x+2a—5—7r

6

5兀

所以4。----二2左兀+兀或4x=2E(舍去),keZ,

3

LL-E2兀,

所以。=---1-------，kGZ,

23

【小問3詳解】

71571兀

當(dāng)0,-時(shí),2」e/(x)=2sin——je[-2,1],

26~6,6

因?yàn)殛P(guān)于X的方程/(x)+log2左=0在區(qū)間上總有實(shí)數(shù)解，

所以函數(shù)y=—/(九)的圖象與函數(shù)y=log2上的圖象有交點(diǎn)，

所以log2^=-/(x)e[-l,2],

所以一l<log2左<2,

所以左e1,4

19.設(shè)A,8是非空實(shí)數(shù)集，如果對(duì)于集合A中的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)x,V,按照某種確定的關(guān)系/,在8中

都有唯一確定的數(shù)Z和它對(duì)應(yīng)，那么就稱y：A-3為從集合A到集合8的一個(gè)二元函數(shù)，記作

z=/(羽y),X,ytA,其中A稱為二元函數(shù)/的定義域.

⑴已知.(x,y)=Jf+y2,若/(3,yj=i,〃々,%)=2，%々+%%=2,求

/(%+9,%+%)；

(2)設(shè)二元函數(shù)/定義域?yàn)?,如果存在實(shí)數(shù)Af滿足：

①\/x,ye/,都有/(羽y)之Af,

②*o，%e/,使得/■(%%)=".

那么，我們稱M是二元函數(shù)/(x,y)的下確界.

若x,ye(O,”)，且g+；=l,判斷函數(shù)/(x,y)=f+y2_8沖是否存在下確界，若存在，求出此

函數(shù)的下確界，若不存在，說明理由.

(3)的定義域?yàn)镽,若兌>0,對(duì)于X/尤，yeDcR,都有/(x,y)W〃x+/z,y+/z),貝ij稱

了在。上是關(guān)于h單調(diào)遞增.已知f(x,y)=--［先在［L2］上是關(guān)于a單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)k的取值范

圍.

【答案】(1)/(%+%2，X+%)=3

(2)答案見解析(3)一!，+“］?

【解析】

【分析】(1)由二元函數(shù)的定義求解即可；

(2)根據(jù)基本不等式即二次函數(shù)的性質(zhì)判斷即可；

(3)根據(jù)二元函數(shù)在定義域上單調(diào)