勾股定理(6個知識點+10類題型突破)

01思維導圖

知識點01勾股定理知識點04勾股數

知識點02勾股定理證明勾股定理知識點05勾股定理的應用

知識點03勾股定理逆定理知識點06平面展開圖-最短路徑問題

02知識速記

知識點01勾股定理

直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.V

如圖：直角三角形N2C的兩直角邊長分別為“b,斜邊長為c,那么直角邊。7^

a2+b2=c2.c------1,一

直角邊

注意：(1)勾股定理揭示了一個直角三角形三邊之間的數量關系.

(2)利用勾股定理，當設定一條直角邊長為未知數后，根據題目已知的線段長可以建立方程求解，這樣就

將數與形有機地結合起來，達到了解決問題的目的.

(3)理解勾股定理的一些變式：a2=c2-b2,b2=c2-a2,c2=(a+b^-2ab.

運用：1.已知直角三角形的任意兩條邊長，求第三邊；

2.用于解決帶有平方關系的證明問題；

3.利用勾股定理，作出長為的線段

知識點02勾股定理證明

（1）鄒元治證法（內弦圖）：將四個全等的直角三角形拼成如圖（1）所示的正方形.

圖（1）中;;k2工產2-8°=L讓，所以/+/=1?

（2）趙爽弦圖（外弦圖）：將四個全等的直角三角形拼成如圖（2）所示的正方形.

圖（2）中￡,”^3=1=（七。尸+4x1油，所以d=『+乩

（3）總統證法：如圖（3）所示，將兩個直角三角形拼成直角梯形.

當<3=---------=2x-a6+-<;,所以

知識點03勾股定理逆定理

1.定義：如果三角形的三條邊長。，b,c,滿足/+〃=。2,那么這個三角形是直角三角形.

注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一個三角形是否是直角三角形.

（2）勾股定理的逆定理是把“數”轉為“形”，是通過計算來判定一個三角形是否為直角三角形.

2.如何判定一個三角形是否是直角三角形

（1）首先確定最大邊（如C）.

（2）驗證。2與/+〃是否具有相等關系.若/=/+〃，則△/5C是NC=90°的直角三角形；若

c2^a2+b2,則△NBC不是直角三角形.

注意:當時，此三角形為鈍角三角形；當/+〃〉02時，此三角形為銳角三角形，其中。為

三角形的最大邊.

知識點04勾股數

像15,8,17這樣，能夠成為直角三角形三條邊長的三個正整數，稱為勾股數.

勾股數滿足兩個條件：①滿足勾股定理②三個正整數

知識點05勾股定理的應用

勾股定理的逆定理能幫助我們通過三角形三邊之間的數量關系判斷一個三角形是否是直角三角形，在

具體推算過程中，應用兩短邊的平方和與最長邊的平方進行比較，切不可不加思考的用兩邊的平方和與第

三邊的平方比較而得到錯誤的結論.

知識點06平面展開圖-最短路徑問題

幾何體中最短路徑基本模型如下：

2

圓柱階梯問題長方體

基本思路：將立體圖形展開成平面圖形，利用兩點之間線段最短確定最短路線,構造直角三角形，利用

勾股定理求解

03題型歸納

題型一已知直角三角形的兩邊，求第三邊長

例題：（23-24八年級上?福建泉州?期末）一直角三角形的兩直角邊長分別為5和12,則斜邊的長是.

【答案】13

【分析】本題主要考查了勾股定理，根據直角三角形中兩直角邊的平方和等于斜邊的平方進行求解即可.

【詳解】解：???一直角三角形的兩直角邊長分別為5和12,

???該直角三角形的斜邊長為，5?+12?=13，

故答案為：13.

鞏固訓練

1.（23-24八年級下?吉林松原?期中）如圖，原來從“村到2村，需要沿路Cf3（ZC=90°）繞過兩

地間的一片湖，在/、8間建好橋后，就可直接從/村到8村.若/C=5km,8c=12km,那么建好橋后從月

村到B村比原來減少的路程為km.

【答案】4

【分析】本題考查了勾股定理的應用，熟記勾股定理是解題的關鍵.

根據勾股定理求出42的長，再和以前的距離作比較即可得出答案.

【詳解】解：由勾股定理得，

AB=ylAC2+BC2=A/52+122=13（km）

???建好橋后從/村到3村比原來減少的路程為（5+12）-13=4（km）,

3

故答案為4.

2.（23-24八年級下?河南新鄉?期中）在直角。3C中，AB=8,AC=6,則8C的長為

【答案】10或2將

【分析】本題考查了勾股定理.分43=8是直角邊或/3=8是斜邊兩種情況討論，利用勾股定理求解即可.

【詳解】解：當/8=8是直角邊時，

貝1BC=V62+82=10-

當4B=8是斜邊時，

貝1BC=782-62=2不，

故答案為：10或2⑺.

3.（23-24七年級下?安徽馬鞍山?期中）若一個直角三角形的兩邊長為9和12,則這個三角形的斜邊長為—.

【答案】12或15

【分析】本題考查了勾股定理.注意12可能是直角邊，也可能是斜邊，所以得分兩種情況討論.

【詳解】解：當9和12都是直角邊時，

斜邊=49?+12?=15；

當9是直角邊，12是斜邊時，

斜邊為12.

故答案為：12或15.

題型二以直角三角形三邊為邊長的圖形面積

例題：（23-24八年級下?湖南湘西?期中）如圖所示，如果正方形N的面積為625,正方形8的面積為400,

則正方形C的邊長為.

【答案】15

【分析】設/的邊長為。，2的邊長為6,C的邊長為c,根據題意，得力=625,b2=400,c2=a2-b2,

計算即可.

4

本題考查了勾股定理，正確理解定理是解題的關鍵.

【詳解】解：設/的邊長為a,8的邊長為6,C的邊長為c,

根據題意，得/=625,b2=400,c2=a2-b2,

c2=625-400=225.

解得c=15.

故答案為：15.

鞏固訓練

1.（23-24七年級下?黑龍江大慶?期中）如圖，正方形4瓦。的邊長分別為直角三角形的三邊長，若正方形48

的邊長分別為4和8,則正方形C的面積為.

【分析】本題考查勾股定理的應用.由正方形48的邊長分別為4和8可得中間的直角三角形的一直角邊

和斜邊分別是4和8,再用勾股定理可求另一直角邊，即可得出答案.

?.?正方形43的邊長分別為4和8,

:,PN=4、MN=&

尸兒W是直角三角形，

PM2=MN2-PN2=64-16=48

二正方形C的面積=PM2=48.

故答案為：48.

2.（23-24八年級下?黑龍江大慶?期中）如圖，在RtZ\A8C中，ZC=90°,分別以4B、BC、/C為直徑作

半圓，圖中陰影部分圖形稱為“希波克拉底月牙”.當/8=13,BC=5時，則陰影部分的面積為一.

5

c

AB

【答案】30

【分析】本題考查了勾股定理，掌握勾股定理是解題的關鍵.

首先根據勾股定理求出力C=K二芯=13,然后根據陰影部分面積等于以/C,3C為直徑的2個半圓的面

積加上邑”c減去AB為半徑的半圓面積即冬期；，然后代數求解即可.

【詳解】解：：在中，ZC=90°,

：.AC2+BC-=AB2

■■■AB=13,BC=5

AC=ylAB2-BC2=13

+7IX5C-7IXJS

'S陰影部分=+；兀1Q^IQ^]

=-AC-BC+-TIX-（AC2+BC2-AB2]

224''

=-AC-BC

2

=-xl2x5

2

=30.

故答案為：30.

3.（2024?四川成都?二模）如圖，所有陰影部分的四邊形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方

形4B、。的面積依次為5、13、30,則正方形C的面積為.

【答案】12

【分析】本題主要考查了正方形和勾股定理，解題關鍵是勾股定理的正確應用.

由所有陰影部分的四邊形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，根據勾股定理得S，+SB=SE=S0-SC，

6

由正方形A、B、Z）的面積依次為5、13、30,得5+13=30-Sc，故正方形C的面積為12.

【詳解】解：由所有陰影部分的四邊形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，根據勾股定理得

SA+SB=SE=SD-SC，

由正方形A、B、。的面積依次為5、13、30,得5+13=30-5-

故正方形C的面積為12.

故答案為：12.

題型三利用等面積法求直接斜邊上的高問題

例題：（23-24八年級下?湖北武漢?期中）在如圖的網格中，小正方形的邊長均為1,4B、C三點均在正方

形格點上，則點A到直線BC的距離是.

【答案】2

【分析】本題考查了網格圖的問題，解題關鍵是正確應用勾股定理.用割補法求出。5c的面積，用勾股定

理求出3C的長，然后利用面積法求解即可.

【詳解】解:t^ABCM^R=4x4--x1x2--x2x4--x3x4=5,

由勾股定理得8C=出二百=5，

設點/到直線3c的距離是d,

得'x5x4=5,

2

解得d=2.

故答案為：2.

鞏固訓練

7

1.（23-24八年級下?黑龍江哈爾濱?階段練習）如圖，“3C的頂點4B,C在邊長為1的正方形網格的格點

上，于點。.則CO的長為.

13

【答案】y

【分析】本題考查了勾股定理與網格問題，利用勾股定理求出N3的長，利用網格求出。BC的面積，再根

據面積法即可求出CD的長，利用割補法求出"BC的面積是解題的關鍵.

【詳解】解：由勾股定理可得，/8=斤1=5,

由網格可得，^sc=4x4-1x4xl-lx3xl-|x3x4=y,

VCD1AB,

S=—AB-CD=—x5xCD=—CD,

“ABRC222

5“13

,,嚴=5，

.-.cr>=y,

13

故答案為：—.

2.（23?24八年級下?浙江金華?階段練習）如圖，在6x6的正方形網格中，每個小正方形的邊長均為1,點

A,B,C都在格點上，求3C邊上的高長=.

【答案】2收

【分析】本題主要考查三角形面積公式，運用分割法求出“BC的面積，運用勾股定理求出5C的長，再運

用等積法即可求出3C邊上的高

111253

【詳解】解：^^ABC—5x6——x2x6——x5x5——xlx3=30—6-——=10；

8

由勾股定理得，BC=后備=5后，

所以，2C邊上的高長=1*=2收，

故答案為：2板.

3.（23-24七年級上?山東泰安?期末）如圖所示，的頂點/、B、C在邊長為1的正方形網格的格點上,

8D14C于點。，則2。的長為.

【分析】本題考查的是勾股定理，如果直角三角形的兩條直角邊長分別是。，b,斜邊長為c,那么

.根據題意求出“3C的面積，根據勾股定理求出/C,根據三角形的面積公式計算，得到答案.

【詳解】解：由圖形可知，BC=5,8c邊上的高為3,

.".LABC的面積='X5X3=,

由勾股定理得，AC=y/32+42=5.

貝|J5x5xBD=；,

解得，BD=3,

故答案為：3

題型四勾股數的判斷

例題：（23-24八年級下?廣東湛江?階段練習）下列四組數中，是勾股數的是（）

A.5,12,13B.4,5,6C.2,5,6D.1,2,3

【答案】A

【分析】本題考查了勾股數.解題的關鍵是理解勾股數的定義：有。，b,c三個正整數，滿足/+/=02,

稱為勾股數.想要判定是否為勾股數，必須根據勾股數是正整數，同時還需驗證兩條較短邊的平方和是否

等于最長邊的平方.

【詳解】解：A.52+122=169=132,能構成勾股數，故該選項正確；

B.42+52=41^62,不能構成勾股數，故該選項錯誤；

C.2?+52=29片62,不能構成勾股數，故該選項錯誤；

9

222

D.l+2=5^3,不能構成勾股數，故該選項錯誤.

故選4

鞏固訓練

1.（23-24七年級下?陜西西安?階段練習）我國是最早了解勾股定理的國家之一，它被記載于我國古代著名

的數學著作《周髀算經》中.下列各組數中，是“勾股數”的是（）

A.7,8,9B.5,12,13C.4,5,6D.2,3,4

【答案】B

【分析】本題主要考查了勾股數，關鍵是掌握勾股數的定義：若三個正整數。、b、c滿足/+"=02,則

稱b、c為勾股數.根據“勾股數”的定義，逐項判斷，即可求解.

【詳解】解：/、72+82^92,不是“勾股數”，不符合題意；

B、52+122=13\是“勾股數”，符合題意；

C、42+52^62,不是“勾股數”，不符合題意；

D、22+32^42,不是“勾股數”，不符合題意;

故選：B.

2.（23-24八年級下?廣西來賓?期中）下列各組數是勾股數的是（）

A.13,14,15B.4,5,6C.0.3,0,4,0.5D.9,40,41

【答案】D

【分析】本題考查勾股數，根據勾股數是滿足的三個正整數逐項判斷即可.

【詳解】解：4:132+142/152,??.13,14,15不是勾股數，不符合題意;

8、:42+5%62,4,5,6不是勾股數,不符合題意；

C、?.?0.3,0.4,0.5都不是整數，.?.0.3,0.4,0.5不是勾股數，不符合題意；

￡（、???92+402=4f，.?.9,40,41是勾股數,符合題意；

故選：D.

3.（23-24八年級下?江西新余?期中）下列各組數中，為勾股數的是（）

35

A.9,40,41B.5,6,7C.2,yD百，"，,

【答案】A

【分析】本題考查了勾股數的定義，勾股數就是可以構成一個直角三角形三邊的一組正整數，根據勾股數

的定義逐項判斷即可.

【詳解】解：/、?.-92+402=81+1600=1681=412,,9,40,41是勾股數，故此選項符合題意；

10

3、?.?52+6*=25+36H7之，，5,6,7不是勾股數,故此選項不符合題意；

C、3|5■不是正整數，3二萬，52,|■不是勾股數，故此選項不符合題意；

D、5在，石不是正整數，.1e，貶,若不是勾股數，故此選項不符合題意；

故選：A.

題型五判斷能否構成直角三角形

例題：(23-24八年級下?安徽淮北?期中)在中，NA,NB,NC的對邊分別是a,b,c.下列條件

不能說明“8C是直角三角形的是()

A.NA=NC-NBB.a:6:c=5:12:13

C.(b+c)(b-c)=a2D.a=3+k,b=4+k,c=5+k(k>0)

【答案】D

【分析】本題考查了直角三角形的判定，勾股定理的逆定理，正確理解勾股定理的逆定理是解題的關鍵.判

斷三角形是否為直角三角形，已知三角形三邊的長，只要利用勾股定理的逆定理加以判斷即可.

【詳解】/、?.Z=NC-N3,

:.N4+/B=NC,

ZA+ZB+ZC=180°,

.■,2ZC=180°,

.-.ZC=90°,

:“BC是直角三角形，

故此選項正確，不符合題意；

B、設。=5x,貝!j6=12x,c=13x,

.?./+〃=(5x)2+(i2x>=169/=02,

:aABC是直角三角形，

故此選項正確，不符合題意；

C、'''(b+c)(b-c)=a2,

b2-c2=a2,

a2+c2-b2i

：.^ABC是直角三角形，

故此選項正確，不符合題意；

11

D、a=3+k,b=4+k,c=5+k（k>0）,

:.cT+b2,

不是直角三角形，

故此選項錯誤，符合題意.

故選D

鞏固訓練

1.（23-24八年級上?四川成都?期中）滿足下列條件的。BC,其中是直角三角形的為（）

A.ZA:ZB:ZC=34:5B.AB：BC：AC=3:4:5

C.AB=\BC=4,AC=5D.N/=30。，ZS=75°

【答案】B

【分析】本題考查了勾股定理的逆定理和三角形的內角和定理，能理解勾股定理的逆定理的內容是解此題

的關鍵.

根據三角形的內角和定理和勾股定理的逆定理逐個判斷即可.

【詳解】解：/、N/：NB：NC=34:5,ZC+ZB+ZA=1SO°,

???最大角為NC=房dx180°=75°,

：.^ABC不是直角三角形，

故該選項不符合題意；

B、設45、BC、4。分另ij為3匕4左,5左，

???（3左）？+（4左）2=25左2=（5左『，

AB2+BC2=AC2,

:"BC是直角三角形，

故本選項符合題意；

C、■-AB=1,BC=4,NC=5,1+4=5,

???不符合三角形三邊關系，

故本選項不符合題意；

D、■.■ZA=30°,4=75°,/C+〃+//=180°,

ZC=75°,

??.A/BC不是直角三角形,

故該選項不符合題意；

12

故選:B.

2.（23-24八年級下?云南昭通?期中）下列條件中，不能判斷。3c為直角三角形的是（）

A.a2=2,b2=3,c2=5B.。：b:c=5:12:13

C.ZA+ZB=ZCD.ZA:ZB:ZC=3:4:5

【答案】D

【分析】本題主要考查勾股定理和三角形內角和定理，掌握判定直角三角形的方法是解題的關鍵，

N、根據勾股定理的逆定理進行判定即可，

2、根據比值并結合勾股定理的逆定理即可判斷出三角形的形狀，

C、根據三角形的內角和為180度，即可計算出-C的值，

。、根據角的比值求出各角的度數，便可判斷出三角形的形狀.

【詳解】/、當/=1,b2=2,c2=3>

.?./+〃=5=/,故“3C是直角三角形；

B、當a:6:c=5:12:13時，設a=5x,b=12x,c=13x,

則a2+/=（5x）2+（12x）2=（13x）2=02,故是直角三角形,

C、當人+/8=/（7時，

■-ZA+ZB+ZC=180°,

.?./C+/C=180°,則/C=90。，故。3c是直角三角形，

D、當乙4:48:/。=3:4:5時，

???//+Z8+/C=180°,

則最大角為NC=180。x：=75°,故dBC不是直角三角形，

故選：D.

3.（23-24八年級下?內蒙古呼和浩特?期中）"BC中，NA、NB、/C的對邊分別為b、c,下列條

件中，不能判定“8C是直角三角形的是（）

A.ZA:ZB:ZC=3:4:5B.（a+b）（a-b）=c2

C.AA+AB=ZCD.a:b:c=l：4^>:2

【答案】A

【分析】本題主要考查了三角形內角和定理和勾股定理的逆定理，根據三角形內角和定理即可判斷/、C；

如果三角形的三邊長a,b,c滿足/+/=°2,那么這個三角形就是直角三角形，據此可判斷8、D.

13

【詳解】解：A.vZA+ZB+ZC=180°fZA:ZB:ZC=3:4:5,

345

,-.ZA=180°x----------=45。，NZ=180°x-----------=60。，NZ=180°x-----------=75°,

3+4+53+4+53+4+5

不是直角三角形，符合題意；

B、,.,（4+6）（〃-6）=02,

2

???Q2-b=02,

222

???a=c+bJ

是直角三角形，不符合題意；

C、???NA+/B=/C,且4+Z8+/C=180。，

.?.ZC=90°,

??./BC是直角三角形，不符合題意；

D、?:a：b:c=l：6：2,

.??設〃=x,b=y/ix,c=2x,且%?+（6%）=x2+3x2=4x2=（2x）2,

是直角三角形，不符合題意；

故選：A,

題型六在網格中判斷直角三角形

例題：（23?24八年級下?云南昭通?期中）如圖，在每個小正方形邊長都為1的網格圖中，頂點都在格

點上，下列結論不正確的是（）

A.BC=5B.的面積為5

C.44=90。。.點A到3c的距離為g

【答案】D

【分析】本題考查的是勾股定理及其逆定理，利用網格圖計算三角形的面積，點到直線的距離.熟練掌握

勾股定理及其逆定理是解題的關鍵.

利用勾股定理求出8C長可判定4利用網格圖計算三角形的面積可判定反利用勾股定理及其逆定理判定

14

C；利用面積公式求出A/BC邊3c的高，即可利用點到直線的距離判定。.

【詳解】解：4■■■SC2=32+42=：25，

.■.BC=5,本選項結論正確，不符合題意；

B.邑,=4x4-gxlx2-；x2x4-gx3x4=5,本選項結論正確，不符合題意;

C.???AC2=12+22=5,AB2=22+4-2=20,BC2=32+42=25，

AC2+AB2=BC2,

:./B4c=90°,本選項結論正確，不符合題意；

D.點/到3c的距離=2%BC+3C=2X5+5=2,本選項結論錯誤，符合題意；

故答案為：D

鞏固訓練

1.（2024八年級下?全國?專題練習）如圖，在四個均由十六個小正方形組成的正方形網格中，各有一個三角

形，那么這四個三角形中，不是直角三角形的是（）

【答案】A

【分析】本題考查的是勾股定理及其逆定理，熟知如果三角形的三邊長。，b,。滿足/+/=°2,那么這

個三角形就是直角三角形是解答此題的關鍵.

根據勾股定理及其逆定理對各選項進行逐一判斷即可.

【詳解】解：/、如圖:

AC2=12+32=10,BC-=12+22=5,/4=F+42=17,

.?.AZBC不是直角三角形，故本選項符合題意;

B、如圖：

15

■.■AC2=22+42=20,BC2=l2+22=5,/爐=32+42=25,

.??△/BC是直角三角形，故本選項不符合題意;

C、如圖:

AC2=22+22=8,BC2=16,

.??△/BC是直角三角形，故本選項不符合題意;

D、如圖:

BC2=12+32=10,=22+42=20,

.??△/BC是直角三角形，故本選項不符合題意.

故選：A.

2.(23-24八年級下?遼寧鞍山?期中)如圖，在4x4的正方形網格中，每個小正方形的邊長都為1.

⑴求的周長；

(2)若點P為直線/C上任意一點，則線段AP的最小值為

【答案】⑴36+5

(2)2

【分析】此題考查了勾股定理與網格、勾股定理逆定理等知識，準確掌握勾股定理及其逆定理是解題的關

16

鍵.

(1)利用勾股定理求出各邊的長，求和即可得到"3C的周長；

(2)過8作3尸_L/C,證明“8C是直角三角形，/C為斜邊，利用等積法即可求出答案.

【詳解】(1)解：AB=W+2?=2石,BC=7F+F=V5-2C=打+42=5,

“8C的周長=2后+6+5=36+5；

(2)過B作

???AB2+BC2=(2廚+(可=25=3,

是直角三角形，/C為斜邊，

AABC的面積=-ABBC=-ACBP,

22

B|J-X2A/5XV5=-X5-BP,

22

解得8P=2,

即線段AP的最小值為2.

3.(23-24八年級下?廣東珠海?期中)如圖，四邊形/BCD的四個頂點都在網格上，且每個小正方形的邊長

⑴求四邊形/BCD的面積；

(2)判斷線段5c和CO的位置關系，并說明理由.

【答案】⑴17.5

(2)BCLCD,理由見解析

17

【分析】本題考查了四邊形的面積，三角形的面積，勾股定理的逆定理，熟練掌握勾股定理的逆定理是解

題的關鍵.

（1）根據四邊形Z3CD的面積等于長方形的面積減去四個直角三角形的面積和一個小長方形的面積計算即

可；

（2）根據勾股定理的逆定理判斷即可.

【詳解】（1）解：四邊形Z3C。的面積為：

7x5x4x2——xlx7x4x3xlx2—1x3

2222

=35-4-3.5-6-1-3

=17.5；

（2）解：BCLCD,

理由：如圖，連接AD,

5C2=42+22=20,CD-=22+12=5,BD-=32+42=25.

:.BC2+CD2=BD2,

,△BCD是直角三角形且ZBCD=90°,

即BC±CD.

題型七利用勾股定理的逆定理求解

例題：（23-24八年級下?江西吉安?階段練習）在四邊形48CD中，已知4B=4D=8,ZA=60°,SC=10,

CD=6.

（1）連接2。，試判斷△48。的形狀，并說明理由;

（2）求，ADC的度數.

【答案】（1）△加為等邊三角形，理由見解析.

18

(2)ZADC=150°.

【分析】本題考查了等邊三角形的判定和性質，直角三角形的判定和性質.

(1)連接AD,根據/8=4D=8,44=60。，得出△血)是等邊三角形即可；

(2)根據勾股定理的逆定理判斷三角形8OC是直角三角形，從而求得44。。=150。.

【詳解】(1)解：是等邊三角形.

?1-AB=AD,ABAD=60°,

:.^ABD是等邊三角形；

(2)解：是等邊三角形，

ZADB=60°,BD=AB=8,

在中，CD2+SZ)2=62+82=100,8c2=1()2=100,

:.CD2+BD1=BC2,

ZBDC=90°,

NADC=NBDC+ZADB=90°+60°=150°.

鞏固訓練

1.(23-24八年級下?云南昭通?期中)如圖，在“8C中，AD1BC,垂足為D,BD=9,AD=12,CD=16.

(1)求/C的長；

(2)判斷A/BC的形狀，并說明理由.

【答案】⑴20

(2)“8C是直角三角形，理由見解析

【分析】本題考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，正確理解定理是關鍵.

(1)在直角△4DC中利用勾股定理即可求解.

(2)利用勾股定理的逆定理即可判斷.

【詳解】(1)-：AD1BC,

??.”OC是直角三角形，//DC=90。.

AC=y]AD2+CD2=V122+162=20.

(2)"8C是直角三角形，理由如下：

AD1BC,

.?.△408是直角三角形，乙408=90。.

AB^ylAD2+BD2=7122+92=15，

:.BC=BD+CD=9+16=25.

■,-152+202=252,

48c是直角三角形，N2/C是直角.

2.(23-24八年級下?重慶長壽?期中)如圖，在四邊形Z8CD中，已知/3=90。，ZACB=3Q°,AB=3,

AD=10,CD=S.

(1)求線段2C的長；

(2)求證：A/。是直角三角形.

【答案】(1)36

(2)見解析

【分析】本題考查勾股定理，勾股定理的逆定理：

(1)先根據含30度角的直角三角形的性質得出/C=2/3=6,再根據勾股定理得出答案即可;

222

(2)得出6?+8?=1()2,^AC+CD=AD,即可得出結論.

【詳解】(1)解：???/8=90°,zL4C5=30°,AB=3,

AC=2AB=6,

22

???BC=yjAC-AB=373；

(2)證明：-：AD=\G,CD=8,AC=6,

22

.-.6+8=10\即4。2+。￡>2=必，

：.ZACD=9Q°,

20

.?.A/CA是直角三角形.

3.（23-24八年級下?湖北黃石?期中）如圖，四邊形48CD中，zJB=90°,/C為對角線，DEIAC^E,

AB=8,5C=6,CD=2瓜AD=2A/W.

⑴確定-4OC的度數;

（2）求線段的長.

【答案】（1）90。；

（2）26.

【分析】（1）由勾股定理求出/C的長，再利用勾股定理的逆定理即可作出判斷；

（2）利用等面積法即可求解.

本題考查了勾股定理及其逆定理，掌握等積法是關鍵.

【詳解】（1）證明：在直角。5c中，NB=9Q°,48=8,BC=6,

AC=yjAB2+BC2=782+62=10.

CD=2y/15,AD=2VH）,

CD2+AD2=（2A/15）2+（2廂爐=60+40=100=y4C2,

.?.△/CO是直角三角形，且/4）C=90。.

（2）W：■-S^ACD=^AC-DE=^AD-DC,

:.DE=理0=①但6=2a.

AC10

題型八勾股定理逆定理的實際應用

例題：（23-24八年級下?廣東湛江?階段練習）如圖，在一條東西走向河流的一側有一村莊C,河邊原有兩個

取水點A,B,由于某種原因，由C到A的路現在已經不通，該村為方便村民取水決定在河邊新建一個取

21

水點H（A,H,8）在同一條直線上），并新修一條路CH,測得C8=L5千米，S=L2千米，HB=Q9

千米.問CH是否為從村莊C到河邊最近的路？請說明理由.

【答案】是，理由見解析

【分析】此題考查勾股定理的逆定理的應用、垂線段最短，熟練掌握勾股逆定理是解決本題的關鍵.根據

勾股定理的逆定理驗證ACAS為直角三角形，進而得到再根據點到直線的距離垂線段最短即可

解答；

【詳解】解：是，理由如下：

在ACHB中，：CH2+BH2=1.22+0.92=2.25=1.52=BC2,

^CH2+BH2=BC2,

為直角三角形，且NC7仍=90。，

CHLAB,

由點到直線的距離垂線段最短可知，CH是從村莊C到河邊4B的最近路；

鞏固訓練

1.（23-24八年級下?陜西西安?期中）如圖，陽光中學有一塊四邊形的空地/BCD,為了綠化環境，學校計

劃在空地上種植草皮.經測量N/=90。，AB=9m,DA=Um,BC=8m,CD=17m,若每平方米草皮需要

100元，種植這塊草皮需要投入多少資金？（其他費用不計）

【答案】11400元

【分析】本題考查了勾股定理的應用，熟練掌握勾股定理及逆定理是解本題的關鍵.連接8。，在Rt△板

中，利用勾股定理求出再利用勾股定理的逆定理判斷得到RtaOBC,最后利用

S四邊形4BCD=S&BAD+S&DBC即可解答.

22

【詳解】解：解：如圖，連接8。,

在RtA4S。中，BD2=AB2+AD2=92+122=152,

在△CBD中,CD2=172,BC-=8\

而82+152=172,

即BC2+BD-=CD2,

.?.△DBC為直角三角形，

NDBC=90°,

2

^?a>=^+^c=|-^-^+1z)5.5C=1xl2x9+lxl5x8=114(m),

所以需費用114x100=11400(元).

2.(23-24八年級下?廣東廣州?期中)如圖，在筆直的公路48旁有一座山，從山另一邊的C處到公路上的停

靠站/的距離為NC=15km,與公路上另一停靠站8的距離為3c=20km,停靠站/,8之間的距離為

48=25km,為方便運輸貨物現要從公路N8上的。處開鑿隧道修通一條公路到C處，且CZ)d.48.

(1)求證：N4CB=9Q°；

(2)求修建的公路CD的長.

【答案】(1)見解析

(2)12km

【分析】本題考查了勾股定理，勾股定理逆定理的應用，以及三角形的面積公式等知識，熟練掌握這兩個

定理是解題關鍵.

(1)根據勾股定理的逆定理，由4c2+BC2=N長得到A43C是直角三角形，進而得解；

(2)利用AA8C的面積公式可得，CD-AB^ACBC,從而求出8的長.

23

【詳解】（1）解：證明：15km,BC=20km,AB=25km,152+202=252,

-AC2+BC2=AB2,

：.AACB=9Q°.

（2）vCDLAB,

.-.S△^A4zB>cC=2-ABCD=-2AC-BC,

iACBC15x20…\

：.CD=----------=----------=12（km）.

AB25''

答：修建的公路CD的長是12km.

3.（23-24八年級下?河北衡水?階段練習）如圖，某社區有一塊四邊形空地/BCD,N3=15m,CD=8m,

AD=\lm.從點/修了一條垂直3c的小路4E1（垂足為E）,E恰好是3c的中點，且/E=12m.

(1)求邊2c的長；

(2)連接/C,判斷△/OC的形狀;

(3)求這塊空地的面積.

【答案】⑴18m

(2)Z\/DC是直角三角形

(3)這塊空地的面積為168m②

【分析】本題考查了勾股定理及其逆定理，三角形的面積計算，掌握勾股定理和三角形面積公式是解題關

鍵.

(1)利用勾股定理以及線段中點的性質即可.

(2)通過計算三條邊的長度，根據勾股定理的逆定理來判斷三角形的形狀.

(3)把四邊形的面積分割成兩個三角形的面積來計算.

【詳解】(1)VAE±BC,

：.NAEB=90°.

在比中，

---AB=15m,AE=12m,

24

BE=ylAB2-AE2=A/152-122=9m-

E是BC的中點，

BC=2BE=l8m.

(2)W：VAE1BC,E是3c的中點，

，AC=AB=15m.

vAD=llm,CD=8m,

CD2+AC2=AD2,

?-.ZACD=90°,

???△/DC是直角三角形.

(3)解：由(2)可知，△ZOC是直角三角形，AC=l5m,

11,

2

.■.S^ACD=-AC-CD=2xl5x8=60m,

由(1)可知，BC=18m,

11,

2

S4A,B?Lr=-2SC^￡=-2xl8xl2=108m

這塊空地得面積為：SMC+$△,=108+60=168m2.

題型九應用勾股定理解決汽車是否超速與受影響問題

例題：（23-24八年級下?廣東廣州?期中）某段公路限速是27m/s.“流動測速小組”的小王在距離此公路400m

的/處觀察，發現有一輛可疑汽車在公路上疾駛，他趕緊拿出紅外測距儀，可疑汽車從C處行駛10s后到達

8處，測得48=500m,若ACJLBC.求出速度并判斷可疑汽車是否超速？

【答案】30m/s,超速了

【分析】本題考查了勾股定理，解題的關鍵是掌握直角三角形兩直角邊平方和等于斜邊平方.

先根據勾股定理求出=300m，再根據速度公式求出速度，即可解答.

【詳解】解：???/C/3C,AB=500m,AC=400m,

25

???根據勾股定理可得：BC=y)AB2-AC2=300m,

???該汽車的速度為那=30(m/s),

v27m/s<30m/s,

???可疑汽車超速了.

鞏固訓練

1.(23-24八年級下?廣西玉林?期中)某路段限速標志規定：小汽車在此路段上的行駛速度不得超過

75km/h,如圖，一輛小汽車在該筆直路段/上行駛，某一時刻剛好行駛到路對面的車速檢測儀A的正前方

30m的點C處，2s后小汽車行駛到點B處，測得此時小汽車與車速檢測儀A間的距離為50m,

/ACB=90°.

7Z

車速檢測儀

(1)求3c的長.

(2)這輛小汽車超速了嗎？并說明理由.

【答案】(l)40m

(2)這輛小汽車不超速，理由見解析

【分析】本題考查了勾股定理的應用，由勾股定理求出8C的長是解題的關鍵.(1)由勾股定理求出3c的

長即可；(2)求出這輛小汽車的速度，即可解決問題.

【詳解】(1)解：根據題意得：乙4cB=90。,AC=30m,AB=50m,

BC=y]AB2-AC2=A/502-302=40(m),

答：BC的長為40m；

(2)解：這輛小汽車不超速，理由如下：

該小汽車的速度為40+2=20(m/s)=72(km/h)<75km/h,

這輛小汽車不超速.

2.(2024?湖南永州?模擬預測)如圖某貨船以20海里/h的速度將一批重要的物資由A處運往正西方向的B處,

經16%的航行到達，到達后必須立即卸貨.此時，接到氣象部門的通知，一臺風中心、以40海里/〃的速度

由A處向北偏西60。方向移動，距臺風中心200海里以內的圓形區域會受到影響.(內土1.73)問：

26

(1)B處是否會受到臺風的影響？請說明理由.

(2)如果3處受到臺風影響，那么求出影響的時間.

【答案】(1)會受臺風影響，理由見解析

(2)6小時

【分析】本題主要考查含30度直角三角形的性質及勾股定理解三角形，解題的關鍵是理解題意，靈活運用

相關知識.

(1)B處是否會受到臺風影響，其實就是5到/C的垂直距離是否超過200海里，如果超過則不會影響，反

之受影響，過點8作30,4c交4C于點。，求出8。即可求解；

(2))結合題意可得在點。右側相同的距離內點B也受影響，即可求出時間；將實際問題轉化為數學問題,

構造出與實際問題有關的直角三角形是解題的關鍵.

43=20x16=320海里,

8O=；A8=160海里，

??1160<200,

???會受臺風影響;

(2)如圖2,

27

圖2

如圖，3￡=200海里,

在Rt/\BDE中，DE=4BE--BD1=72002-1602=120海里，

同時在點D右側相同的距離內點3也受影響，

120x2+40=6小時，

影響的時間為6小時.

3.（23-24八年級下?云南昭通?期中）6號臺風“煙花”風力強，累計降雨量大，影響范圍大，有極強的破壞

力.如圖，臺風“煙花”中心沿東西方向由/向8移動，已知點C為一海港，且點C與直線上的兩點

/、3的距離分別為NC=300km,BC=400km,又48=500km,經測量，距離臺風中心260km及以內的

地區會受到影響.

⑴海港C受臺風影響嗎?為什么？

（2）若臺風中心的移動速度為20千米/時，則臺風影響該海港持續的時間有多長?

【答案】（1）會受到影響，理由見解析

（2）10小時

【分析】本題考查的是勾股定理在實際生活中的運用，解答此類題目的關鍵是構造出直角三角形，再利用

勾股定理解答.

（1）利用勾股定理的逆定理得出“3C是直角三角形，進而得出N/C5的度數；利用三角形面積得出CD

的長，進而得出海港C是否受臺風影響；

（2）利用勾股定理得出以及防的長，進而得出臺風影響該海港持續的時間.

【詳解】（1）海港C受臺風影響，理由：

AC=300km,BC=400km,AB=500km,

28

：.AC2+BC-=AB~,

48c是直角三角形，/4C5=90。；

過點C作于。，

?.?△4BC是直角三角形，

:.ACBC=CDAB,

.■.300X400=500XCD,

CD=240km,

以臺風中心為圓心周圍260km以內為受影響區域,

海港C受臺風影響；

(2)如圖，