第13課二次函數壓軸題-最值問題

一、解答題

1■已知拋物線y=a(x-l『+3”，其頂點為E,與，軸交于點〃(。,4).

(1)求拋物線的解析式；

(2)若直線/:y=尤+8與拋物線第一象限交于點B,交，軸于點A,求的值；

(3)若有兩個定點廠［1,9；4(0,8),請在拋物線上找一點K,使得的周長最小，并求出周長的最

小值.

【答案】(1)y=(x-l『+3；⑵NDBE的值為45。；(3)△KFA的周長的最小值為+標

4

【分析】(1)將。點(。，4)代入y=g—1)2+3〃，即可求解;

(2)由中點公式可得：點￡'(-1,5),則ZHBD二ZEBD,則ZABH=4鉆D-ZDBE,進而求解；

(3)設點K(x,y),貝ljKF?=(%一1)2+［一?),則"=y—grfijHK=y-^,即AF=HZ「進而求

解.

【解析】解：(1)將。點(。，4)代入y=a(%-l)2+3〃得:4=a+3a,解得a=l,

y—尤2-2x+4=(%—1)+3；

y=x+8

(2)由題意得：3

y=xz-2x+4

4

x=——

%=3「3

解得：,或1

y=776'

y二一

9

結合題意可得:3（3,7）,

1.y=（x-l）2+3,

???頂點E（l,3）,而。（0,4）,

BE1=（3—1/+（7—3）2=20,BD2=32+（7-4）2=18,DE1=I2+（4-3）2=2,

BE2=BD2+BE2,故BDLED,

連接上并延長至點&，使=

則3。是EE的中垂線，連接3F交V軸于點H,

圖2

由中點公式可得：點磯-1,5）,則ZHBD=ZEBD,

貝"ZABH=ZABD-ZDBE,

設W為：y=mx+n,

貝葉,[3m+n=7<,

\-m+n=5

1

m=—

解得：；，

n=——

[2

所以直線3F的函數表達式為：>=卜+￡故點"（0，?）,

:y=—尤+8,

3

A（0,8）

在AABH中，AB=JTU,AH=1-,BH一3小

DL1--------

2

過點H作斷_LAB與點K,設：KB=x,貝IJAK=7I5-X,

貝ljHK2=(1)2-(71O-x)2=(乎)2一x2,

解得*乎，則C"嚼=冬故,=45。,

即：ZABD-ZDBE=45°；

過點K作直線機交于點H,連接A/f,

則點G(O,2)，設點K(尤,y),y=x2-2x+4,

貝ljKF-=(無一l)2+(y-?)2=x2-2x+l+y2+^--^-y=y2-y>+^=(y-^)2

則行十號，而"=y-?,即"=%

^1AK+KF=AK+KH>AH>AG(點K位于點。時取等號),

故A7^+KF的最小值為AG=8—：=?,而AT7=更可，

444

故周長的最小值為：2"府.

4

【點睛】本題考查的是二次函數綜合運用，涉及到一次函數、解直角三角形等，其中（3）,關鍵在于確定

KF=KH,本題難度很大.

2.已知拋物線>=以2+灰+5（°,6為常數，。彳0）與x軸交于點A（-5,O）,3（-1,0）頂點為。，且過點

⑴求拋物線解析式和點C,D的坐標；

(2)點P在該拋物線上(與點8,C不重合)，設點尸的橫坐標為f.

①當點尸在直線BC的下方運動時，求PBC的面積的最大值；

②連接BD,當NPCB=ZCBD時,求點P的坐標.

【答案】(l)y=x2+6x+5,￡>(-3,-4),C(-4,-3)

(2)@y,②點P的坐標為尸卜|,-￡|或(0,5).

【分析】⑴把點4(-5,0),點3(-1,0)代入(=加+法+5,求出拋物線解析式,進一步可求出。(-3,T)，

C(T-3)；

(2)①由題意可知點尸坐標為卜，產+6r+5),過點尸作PHLx軸于點H交直線3c于點E,求出直線3c

的解析式為>=x+l.利用點尸的坐標可知T</<T,故點E的坐標為。J+1).進一步可求出

-f?+-T+—,所以當/=時，PBC的面積的最大值為二；②分情況討論：當點P在直線

Q.PBC2(2J828

BC的上方，求出直線的解析式為y=2x+2,和直線PC的解析式為y=2x+5.即可求出點P的坐標為

(0,5)；當點P在直線BC的下方時，設直線PC與2。交于點設M(m,2機+2),

求出機=-2.求出直線CM的解析式為y=進一步可求出.

【解析】⑴解：把點A(-5,0),點3(-1,0)代入丫=加+代+5,

a-b+5=0曰

可得25a-5b+5=0'角'付jb=6

；?拋物線解析式為y=回+6尤+5,

y=犬+6x+5=(x+3)~-4,

.??頂點。(-3,-4).

把代入在y=Y+6x+5,得加=一3,

.?.點C（*3）.

(2)解：由題意可知點尸坐標為“,r+6/+5),

①如圖，過點P作/軸于點H交直線BC于點E,

X

設直線BC的解析式為〉=履+N％/0),將8(-1,0),點C(TL3)代入,

-4k+b=-3-k=l

得

一k+b=。'解得b=l

直線BC的解析式為y=x+l.

■點P的坐標為，，產+6,+5),由題意可知Tv，<—1,

.??點E的坐標為(fj+l).

AEP=(r+l)-(?+6r+5)=-?-5z-4.

,,SAPBC=S4EPB+^/XEPC

=-x3EP

2

=-力+2+6

22

3|\27

z|I+T'

2+

3

V——<0,

2

二當"5時，PBC的面積的最大值為?7匚.

28

②存在.

如圖①，當點尸在直線BC的上方，且/PCB=NCB。時，則尸C〃BD,

2

設直線。2的解析式為丫="+4（4*0）,將8（-1,0）,點。（—31）代入,

一—k}+b,一=0解得&=2

得3M

4=2

.直線8。的解析式為＞=2x+2.

'PC//BD,

.設直線PC的解析式為y=2x+n.

?C（~3）,

—3=—8+n

?n=5.

.直線PC的解析式為y=2x+5.

'?x2+6x+5=2x+5.

解得石=0,%=-4（舍）.

當x=0時，y=2x+5=5.

???點尸的坐標為（0,5）.

如圖②，當點P在直線3C的下方時，設直線PC與交于點照

圖②

■:/PCB=NCBD,

：.MB=MC.

設M（m,2/n+2）,

MC=J（m+4『+（2”?+2+3）2,

MB=+咪+⑵”+2-Op,

（7/1+4）-+（2機+5）~=（〃z+l）~+（2:〃+2）2

解得機=一2.

???點M的坐標為（―2,—2）.

由點c（y—3）和點M（—2,-2）可得直線CM的解析式為y=gx-i,

由f+6%+5——x-1,

3

解得石=-萬，X2=-4（舍）.

所以點尸［■!，-：）.

綜上，點尸的坐標為尸或（0,5）.

【點睛】本題考查二次函數與一次函數的綜合，解題的關鍵是掌握待定系數法求函數解析式，會求兩直線

的交點坐標，掌握二次函數的圖象及性質.

3.已知：如圖，.ABC是等腰直角三角形，NA=90,AS=AC=3cm,動點P,Q同時從A,3兩點出發,

分別沿A3,3C方向勻速移動，尸的速度是lcm/s,。的速度是缶m/s,當點尸到達點B時，P,Q兩點停

止運動，設點尸的運動時間為Ks),解答下列問題：

(1)當f為何值時，尸5。是直角三角形？

(2)問：是否存在某一時刻f,使四邊形APQC的面積與_P8Q面積差最小？如果存在，求出相應的/值；

不存在，說明理由；

(3)設尸2的長為y(cm),試確定y與f之間的關系式；寫出當f分別為何值時，尸2達到最短和最長，并寫

出PQ的最小值和最大值.

【答案】(1)1或g；(2)存在，t=g；(3)丫=皿一|)*,f=g時，尸2最短，最小值為邛；”3時,

PQ最長，最大值為3亞

【分析】⑴由于RtAPBQ的直角不確定，需分N3PQ=90。和ZBQP=90。兩種情況討論.由于4=45。，

因此斜邊是直角邊的正倍，由此建立關于f的等量關系，就可解決問題.

(2)分兩種情況：①當時，作回于證出是等腰直角三角形，求出APBQ的面積，

得出四邊形APQC的面積ZBQ的面積是俅二次函數，即可得出結果；

②當時，作尸AQAB于同①得出四邊形APQC的面積-AP8Q的面積是r的二次函數，即可得出結果；

(3)由勾股定理得出二次函數，即可得出尸。的最小值；當P到達3時，。恰好到達C,即可得出結果.

【解析】解：(1)由題可得：ZA=90°,AB=3C=4,ZB=45°,BQ=AP=t,BP=4-t.

①當NPQ8=90。時，如圖1,

ZB=45°,

???BQ=PQ,

：.BP=^2BQ.

3-1=,\/2*,\/2?)

解得't=l

A

②當N3PQ=90。時，如圖2,

同理可得：BQ=s/2BP,

???萬=0(37),

a

解得：；

2

3

綜上所述；當，為1或7時，AP8Q是直角三角形.

2

(2)分兩種情況：

①當0＜口1時，作QM_L于M,如圖3所示：

.ZB=45°,

???幼加是等腰直角三角形，

:.QM=BM=^BQ=t,

11Q1

/.AP3Q的面積=_5P.QM」x(3T)x/=乙」*

2222

二?四邊形A.PQC的面積=AABC的面積-△尸BQ的面積=3*3、3-01/-；*)=3產一}+_1,

四邊形APQC的面積YPBQ的面積=?-3f+q=("}2+'當"g時，面積差最小,

3

但是不符合題意；

②當，＞1時，作于"，如圖4所示：

ZB=45°,

是等腰直角三角形，

.-.PM=BM=-BP=—(3-t),

22

「?”BQ的面積」也(3-%)=3二*

22222

四邊形APQC的面積=AABC的面積-AP3Q的面積

QQQ

四邊形APQC的面積-APBQ的面積="3f+]=(f-/2+；,

當時，面積差最小；

2

因此，存在某一時刻才，使四邊形APQC的面積與AP8Q面積差最小，右上；

2

(3)根據題意得：例;時，存在f的值，使尸。最短，f=|；理由如下：

乙D

如圖3所示：9=3-2/,QM^t,

由勾股定理得：尸。2=.、加2=(3-功+八力一⑵+9=5"|)2+|,

?.?y=/(T2+|，

.,.當"I時，y的最小值=^=w

當"1時，y=及其；

當時，y=*＞當;

綜上所述：當時，P。最短，最小值=地;

55

當P到達3時，。恰好到達C,此時「=3秒，P。的最大值=8C=7?行=3后.

【點睛】本題考查了等腰直角三角形的判定與性質、勾股定理、三角形面積的計算等知識；本題綜合性強,

難度較大，需要通過作輔助線進行分類討論才能得出結果.

k

4.如圖,在平面直角坐標系中，直線y=-x-l分別交x軸、y軸于點A、點8,交雙曲線y=—（左/0）于點C（3,〃）

X

3

拋物線、=依2+/了+（；（<7工0）過點3,且與該雙曲線交于點。，點。的縱坐標為-3.

（1）求雙曲線與拋物線的解析式

（2）若點尸為該拋物線上一點，點。為該雙曲線上一點，且P,。兩點的縱坐標都為-2,求線段PQ的長.

（3）若點M沿直線從點A運動到點C,再沿雙曲線從點C運動到點D.過點M作MNLx軸，交拋物線于

點N.設線段MN的長度為d,點M的橫坐標為肛直接寫出"的最大值，以及"隨機的增大而減小時加

的取值范圍.

【答案】⑴y=,y=-^-x2+^-x-l；（2）-—或9+"^；（3）d的最大值是三,-l<m<0,|-<m<3,

3（機<4時，d隨機的增大而減小.

【分析】（1）根據直線解析式求出點A、2、C的坐標，然后利用待定系數法求出反比例函數解析式，再

求出點。的坐標，再利用待定系數法求出二次函數解析式即可；

（2）根據拋物線和雙曲線解析式求出點尸、。的坐標，然后根據平行于％軸的直線上兩點間的距離的求法

求解即可；

（3）分點/在AB、BC、8上三種情況，根據直線、拋物線和雙曲線的解析式表示出"，再根據二次函

數的增減性解答.

【解析】解：（1）令>=0,貝k1=0,

解得x=-1,

令x=o,貝=

所以，點以-LO),5(0,-1),

x=3時，y=-3-l=-4:

所以，點C(3,-4),

k

設雙曲線解析式為y=4(發/0),

尤

則(=4

解得k=-12,

所以，雙曲線解析式為＞=-上12，

x

點。的縱坐標為-3,

.?上r

X

解得了=4,

點。(4,-3),

3

拋物線y=+,x+c過點5、D,

c=-1

3,

16a+—x4+c=-3

2

._1

解得「，

C=-1

二拋物線的解析式為;

13

(2)當y=-2時，一萬九+/%一1二一2,

整理得，X2-3X-2=0,

翻彳曰3+亞3-717

用半倚xx=——-——,x2=——-——,

二點戶的坐標為(如停，-2)或(土正，-2),

22

旦2

X

解得x=6,

「?點。的坐標為(6,-2),

?6_===或PQ=6一生；

2222

(3)①點"■在上時，—Ivmv。，

d=MN=(—m—1)—(――m2+—m—1)=—m2——m=———)2——,

2222228

隨冽的增大而減小,

②點加在8C上時，0〈根<3,

d=MN=(——m2+—m—1)—(—m—1)=——m2+—m=——(m——)2+—,

2222228

S25

時，d有最大值為臺，

2o

d隨機的增大而減小，

③點加在8上時，3<m<4,

13121312

d=MN=(——m2+—m-l)-()=——m2+—mH---1,

22m22m

由圖可知，d隨機的增大而減小，

255

綜上所述，d的最大值是其，-l</n<0,-<m<3,3<〃?<4時，d隨機的增大而減小.

【點睛】本題是二次函數綜合題型，主要利用了待定系數法求函數解析式(包括二次函數解析式，反比例

函數解析式)，二次函數與反比例函數圖象上點的坐標特征，二次函數的增減性，綜合題，但難點不大，(2)

要注意點P有兩個，(3)要注意分情況討論.

5.在平面直角坐標系中，。為原點，直線、=-2元-1與y軸交于點A,與直線丁=-了交于點點B關于原

點的對稱點為點C.

(2)尸為拋物線上一點，它關于原點的對稱點為。.

①當四邊形P3QC為菱形時，求點尸的坐標；

②若點尸的橫坐標為K-KrVD,當/為何值時，四邊形尸8QC面積最大，并說明理由.

【答案】⑴>

⑵①點P的坐標為(1-0,1-3)或(1+血，1+后)；②當f為。時，四邊形尸3QC面積最大，理由見解析

【分析】(1)聯立兩直線解析式可求得3點坐標，由關于原點對稱可求得c點坐標，由直線y=-2x-1可求

得A點坐標，再利用待定系數法可求得拋物線解析式；

(2)①當四邊形尸3QC為菱形時，可知尸QL8C,則可求得直線尸。的解析式，聯立拋物線解析式可求得P

點坐標；②過P作PDL3C,垂足為。，作x軸的垂線，交直線BC于點E,由/尸即=NAOC,可知當PE

最大時，尸口也最大，用f可表示出PE的長，可求得取最大值時的f的值.

(1)

[V=—X

解：聯立兩直線解析式可得.c

[y=-2x-l

A(X=~l

解得,,

[y=i

點坐標為(-U),

又C點為8點關于原點的對稱點，

??.C點坐標為(1,-1),

直線y=-2x-l與y軸交于點A,

.?.4點坐標為(0,-1),

設拋物線解析式為y=ax1+bx+c,

-1=c

把A、B、C三點坐標代入可得＜l=a-b+c

—1=〃+Z7+c

a=l

解得b=T,

c=-l

，拋物線解析式為y=/-x_：l,

故答案為：;

(2)

①當四邊形P8QC為菱形時，則PQL3C,

直線8C解析式為，=-匕

直線PQ解析式為丁=/

[y=x

聯立拋物線解析式可得.、

[y=x-x-1

x=l-V2尤=1+夜

解得或《

y=1-^2y=l+42

二尸點坐標為（1-夜，1一返）或（1+0,1+A/2）；

②當1=0時，四邊形P8QC的面積最大.

理由如下：

如圖，過P作PDL3C,垂足為。，作云軸的垂線，交直線3c于點E,

則$四邊形=2sApBC=2x萬8C.PD=BC-PD,

線段8C長固定不變，

.1當最大時，四邊形P3QC面積最大，

又NPED=ZAOC（固定不變），

當PE最大時，PD也最大，

尸點在拋物線上，E點在直線8C上,

二.尸點坐標為E點坐標為0,T）,

:.PE=-t-（t2-t-l）=-t2+l,

當r=0時，PE有最大值1,此時產。有最大值，即四邊形P3QC的面積最大.

【點睛】本題主要考查二次函數的綜合應用，涉及待定系數法、點的對稱、菱形的判定和性質、三角形的

面積和二次函數的最值等知識點.在（1）中求得A、3、C三點的坐標是解題的關鍵，在（2）①中得出

直線PQ的解析式是解題的關鍵，在②中確定出四邊形P8QC面積最大的條件是解題的關鍵.本題涉及知識

點較多，綜合性較強，其中第（2）②小題是難點.

6.如圖，在平面直角坐標系中，等腰RtQ4B的斜邊在x軸上，。3=8.拋物線過點O,A,B.

（1）求該拋物線的解析式；

（2）點P（根,0）是線段08上一動點，過點P作y軸的平行線，交直線y尤于點E,交拋物線于點￡以EF

為一邊，在所的右側作矩形EFG”.

①若FG=2,求矩形EFGH面積的最大值；

②若FG=-,矩形班G”與等腰RtQ4B重疊部分為軸對稱圖形，求機的取值范圍.

2

【答案】（1）y=-$2+2》；⑵①矩形瓦G"面積的最大值為8；②m=3-若或m='或

【分析】（1）過點A作AD，x軸于D,先求出點B的坐標，根據等腰直角三角形的性質求出點A的坐標,

設拋物線的解析式為y=?x（x-8），將點A的坐標代入即可求出結論；

（2）①設拋物線、=-；必+2彳與直線y=；x的右交點為C,聯立方程求出點C的坐標，根據PF在點C

左側和PF在點C右側分類討論，利用m表示出矩形的面積，利用二次函數求出最值即可；

②根據矩形E/G”四個頂點的位置分類討論：⑴當矩形EH汨的四個頂點都在拋物線＞+對稱

軸左側時，易知此時四邊形瓦6”為正方形，利用EF=FG列出方程即可求解；（ii）當矩形EFGH的四個

頂點中，E、F在拋物線y=-1/+2x對稱軸左側、G、H在拋物線y=+2x對稱軸右側時，易知此時

拋物線的對稱軸直線x=4也是矩形跳G”的對稱軸，從而求解；（iii）當矩形EFG”的四個頂點都在拋物線

y=-J，+2x對稱軸右側，且H在AB左側時，畫出圖形可知，此時不符合題意；（iiii）當點H落在AB

上時，設直線y=gx與AB交于點M,由圖可知：從點H落在AB上到點E與點M重合之前，矩形EFGH

與等腰RtOAB重疊部分為等腰直角三角形，從而求出m的取值范圍；（iiiii）當即點E和點M重

合或點E在點M右側時，矩形EFGH與等腰Rt_Q4B無重疊部分，此時不符合題意.

【解析】解：（1）過點A作ADLx軸于D

，OD=DB=；O8=4,點B的坐標為(8,0)

/.AD=—OB=4

2

???點A的坐標為(4,4)

由拋物線過點O,A,B,設拋物線的解析式為y=or(x-8)

將點A的坐標代入，得

4=4x（4—8）a

解得：…：

二拋物線的解析式為十+2一

(2)①設拋物線y=_9+2x與直線y=的右交點為C,

1

y=——x+2%

4

聯立

1

y=-x

2

x=0.x=6

解得：y=0或

y=3

...點C的坐標為(6,3)

當gm<6時，如下圖所示,

二點E的坐標為(m,點F的坐標為(m,-gm2+2m)

24

?口F1112,3

..EF=—m+2m-—m=—m+—m

4242

1129

AS矩形EFGH二FG?EF=—］小2+3m=-—(m-3)+—

2

Q

???當m=3時，S矩形EFGH有最大值，最大值為萬；

當6<m<8時，如下圖所示

???點E的坐標為(m,2加)，點F的坐標為(m,-ym2+2m)

24

EF=—m-|--m2+2m\=—m2——m

2I4J42

；.S矩形EFGH=FG-EF=3機2-3機=g(m-3)2-|,對應拋物線的開口向上，對稱軸為直線m=3,

.??在對稱軸右側，y隨x的增大而增大

V6<m<8

...當m=8時，S矩形EFGH有最大值，最大值為8；

，矩形ERG”面積的最大值為8；

13

②⑴當矩形EFG”的四個頂點都在拋物線k-、2+2》對稱軸左側時，如下圖所示，此時，m+-<4,

42

即m<|,

若矩形EFGH與等腰RtO4B重疊部分為軸對稱圖形，易知此時四邊形為正方形

；.EF=FG

?12,3_3

422

解得：mi=3-百，ni2=3+百(不符合前提，舍去)

二.此時m=3-V3；

(ii)當矩形屏GH的四個頂點中，E、F在拋物線y=-；d+2x對稱軸左側、G、H在拋物線y=-［必+2x

44

,,,,,_35

對稱軸右側時，如下圖所不，此時，m*且m+7>4,即；<m04,

22

若矩形￡FGH與等腰RtO4B重疊部分為軸對稱圖形，易知此時拋物線的對稱軸直線x=4也是矩形EFGH

的對稱軸

此時點E的橫坐標m=4-JFG=:；

24

(iii)當矩形EFG”的四個頂點都在拋物線y=-；d+2x對稱軸右側，且H在AB左側時，如下圖所示,

4

矩形￡FG”與等腰Rt_Q4B重疊部分為直角梯形，不可能是軸對稱圖形，不符合題意，舍去；

(iiii)當點H落在AB上時，設直線y=與AB交于點M,

ZEHA=ZOBA=45°

矩形EFG”與等腰RtOAB重疊部分為等腰直角三角形，即為軸對稱圖形

.??此時符合題意

設直線AB的解析式為y=kx+b

將點A、B的坐標代入，得

4=4左+b

Q=8k+b

k=-l

解得：

b=8

?,?直線AB的解析式為y=-x+8

由點E(m,-m)

31

???點H的坐標為(m+,,5加)，代入y=-x+8中，得

1/3、c

—m=-(m+—)+8

22

13

解得：

一1

V二-X

聯立「2

y=-x+8

f16

X=——

解得：j

o

二一

1y3

???點M的坐標為(g，|)

由下圖可知：從點H落在AB上到點E與點M重合之前，矩形EFGH與等腰Rt0AB重疊部分為等腰直角

三角形，即為軸對稱圖形

此時符合題意

.1316

..-<m<—；

3一3

(iiiii)當也當，即點E和點M重合或點E在點M右側時，如下圖所示，矩形EFG”與等腰Rt0AB無

重疊部分，故不符合題意，舍去；

綜上:m=3-A或m=Y^-y<m<g.

【點睛】此題考查的是二次函數與幾何圖形的綜合大題，此題難度較大，掌握利用待定系數法求二次函數

解析式、一次函數解析式、利用二次函數求最值、軸對稱圖形的定義、等腰直角三角形的判定及性質是解

題關鍵.

7.如圖，已知拋物線產-i+6x+c與一直線相交于A(-1,0),C(2,3)兩點，與y軸交于點N.其頂點為。.

(1)拋物線及直線AC的函數關系式；

(2)若拋物線的對稱軸與直線AC相交于點8,E為直線AC上的任意一點，過點E作E/〃80交拋物線于

點F,以dD,E,尸為頂點的四邊形能否為平行四邊形？若能，求點￡的坐標；若不能，請說明理由；

(3)若尸是拋物線上位于直線AC上方的一個動點，求AAPC的面積的最大值.

【答案】(1)y=-A2x+3,y=x+l；⑵滿足條件的點E的坐標為(0,1)或(匕姮，三叵)或(土叵，

222

拉叵)；(3)面積的最大值為二.

28

【分析】(1)根據點A,B的坐標，利用待定系數法即可求出拋物線及直線AC的函數關系式；

(2)利用配方法及一次函數圖象上點的坐標特征，可求出點B,。的坐標，設點E的坐標為(x,x+1),分

點E在線段AC上及點E在線段AC（或CA）延長線上兩種情況考慮：①當點E在線段AC上時，點尸在點

E上方，由2D的長結合點E的坐標可得出點尸的坐標為（x,x+3）,再利用二次函數圖象上點的坐標特征

可求出x的值，進而可得出點E的坐標；②當點E在線段AC（或CA）延長線上時，點尸在點E下方，由

BD的長結合點E的坐標可得出點F的坐標為（x,x-1）,再利用二次函數圖象上點的坐標特征可求出x的

值，進而可得出點E的坐標.綜上，此問得解；

（3）過點尸作尸軸，垂足為點M過點C作CNM軸，垂足為N,設點P的坐標為（x,-/+2x+3）

（-l<x<2）,則點M的坐標為（x,0）,結合點A,C的坐標及SzAPC=SWW+S胡形PMNC-SMCN,可

得出必APC關于x的函數關系式，再利用二次函數的性質即可解決最值問題.

【解析】解：⑴將A（-1,0）,C（2,3）代入y=-^+bx+c,得：

-l-b+c=0b=2

解得：

-4+2Z?+c=3c=3

拋物線的函數關系式為>=-/+2x+3.

設直線AC的函數關系式為了=丘+。（原0）,

將A（-1,0）,C（2,3）代入y=^+a,得

—k+67=0k=l

解得

2k+a=3a=1

.??直線AC的函數關系式為y=x+l.

（2）：y=-/+2尤+3=-（x-1）2+4,

???點。的坐標為（1,4）.

當尤=1時，y=x+l=2,

.??點3的坐標為（1,2）.

設點E的坐標為（x,x+1）.

分兩種情況考慮（如圖1）：

①當點￡在線段AC上時，點尸在點E上方，

工點尸的坐標為（x,x+3）.

:點尸在拋物線上，

.,.x+3--/+2r+3,

解得：xi=0,尤2=1（舍去）,

；?點E的坐標為（0,1）；

②當點E在線段AC（或C4）延長線上時，點尸在點E下方,

???點p的坐標為（X,X-1）.

??.點尸在拋物線上，

；.尤-1=-^+2x+3,

解得?無.匕姮x.匕姮

二點E的坐標為（三位,1Z姮）或（出便，如叵）.

2222

綜上：滿足條件的點E的坐標為（0,1）,（上姮,三姮）或（!±^叵，2±近）.

2222

（3）過點P作PM_Lx軸，垂足為點M,過點C作CN_Lx軸，垂足為N,如圖2所示.

設點尸的坐標為（x,-x+2x+3）（-l<x<2）,則點M的坐標為（x,0）.

???點A的坐標為（-1,。），點C的坐標為（2,3）,

：.AM=x+l,MN=2-x,PM=-^+2x+3,CN=3,AN=3,

：.S^APC=SAAPM+S梯形PMNC-SAACN,

=：AM-PM+g（PM+CN）.MN—；AN-CN

=；（元+1）（—x?+2尤+3）+^（-%2+2x+3+3）（2-:r）—gx3x3

【點睛】本題考查了待定系數法求二次函數解析式、待定系數法求一次函數解析式、二次函數圖象上點的

坐標特征、一次函數圖象上點的坐標特征、平行四邊形的性質、三角形的面積、梯形的面積以及二次函數

的性質，解題的關鍵是：(1)根據點的坐標，利用待定系數法求出二次(一次)函數解析式；(2)分點￡

在線段AC上及點E在線段AC(或CA)延長線上兩種情況，求出點E的坐標；(3)利用分割圖形求面積法,

找出SMPC關于x的函數關系式.

8.如圖，拋物線兇=-；(》-。。-+4)。>0)與*軸的交點為8,A(點B在左邊)，過線段0A的中點M作

MP_Lx軸，交直線為=-2為+5慎>0)于點口

⑴當t=3時，直線MP于拋物線對稱軸之間的距離為；當直線MP于拋物線對稱軸距離為3時，t

(2)把拋物線在直線MP左側部分的圖像(含與直線MP的交點)記為y3,用t表示丫3最高點的坐標.

(3)在⑵的條件下，當t>4時，圖像丫3的最高點與P之間的距離何時有最大值，并求出最大值.

【答案】(1)1,10；(2)0<t<4Bt,(t-2,2),t=4時，(2,2),t>4時，(《，”))；⑶無最大值.

【分析】(1)將t=3代入得到解析式，求出點A及對稱軸，求出OM即可求得距離；用含t的代數式表示

點M及對稱軸，解得t的值.

(2)分三種情況依次討論：0<r<4時，t=4時和t>4時，分別求出最高點的坐標.

(3)根據解析式分別求出點D、P的坐標，再計算距離即可.

【解析】解：(1)7=3時，M=-；(X-3)(X+1)=-〈(無一1)2-2,

當y=o時，解得X1=3,X2=-l,

???A(3,0),B(-l,0)

二*0)

3

直線MP：一

:對稱軸X=1

31

.??距離為；-1=?

22

11,

%=_5(%_/)(X―r+4)=一~(x—t+2)+2,

當yi=O時，解得xi=t,x2=-t-4,

A(r,0),B(r-4,0)

0)

直線MP：龍=1.

2

對稱軸：x=t-2.

d=t—2——=3

2

,??%=10或，=-2(舍去)，

???，=10.

(2)直線MP：x=1

對稱軸：x=t-2

①當0<r<4時

X=t-2,y3max=-1x(-2)x2=2

；?坐標為0-2,2)

.??坐標為(2,2)

③當"4時

X=~,ymax-),(4--)=?-—

232228

?二坐標為

2o

綜上所述：0<t<4時，(t-2,2),t=4時，(2,2),t>4時，(：，/-：/)；

28

(3)t>4時，最高點D坐標為聲-切

P點坐標為(；,T+5)

22

￡?P=|(f-L)-(T+5)|=|-L+2f-5|無最大值

88

【點睛】此題是一道二次函數的綜合題，考查函數的性質，求函數的最大值，圖像內兩點間的距離，動圖

形問題.

9.如圖1,拋物線y=ax2+bx+c經過A(-2,0)、B(8,0)、C(0,4)三點，頂點為D,連結AC,BC.

(1)求拋物線的函數表達式及頂點D的坐標；

(2)判斷三角形ABC的形狀，并說明理由；

(3)如圖2,點P是該拋物線在第一象限內上的一點.

①過點P作y軸的平行線交BC于點E,若CP=CE,求點P的坐標；

②連結AP交BC于點F,求M的最大值.

1325

【答案】(1)丫k2+產4,頂點D坐標為⑶彳)；⑵三角形ABC是直角三角形，理由詳見解析；

⑶①P(4,6)；②：.

【分析】⑴設拋物線的解析式為y=a(x+2)(x-8),將點C的坐標代入可求得a的值，從而得到拋物線的解析

式，然后依據拋物線的對稱性得到拋物線的對稱軸方程，將x=3代入可求得拋物線的頂點坐標.

⑵根據三角形ABC是直角三角形，求得AC2+BC2=AB2,即可利用勾股定理進行證明.

⑶①如圖1所示：作CMXPE,垂足為M.先利用待定系數法求得BC的解析式，

設點P(m,-ym2+|-m+4),則點E(m,-1m+4),M(m,4),接下來依據等腰三角形的性質可得到

422

PM=EM,從而得到關于m的方程，于是可求得點P的坐標.

②作PNLBC,垂足為N.先證明△PNE~ACOB,由相似三角形的性質可知PN與PE的關系，然后再證

PF

明4PFN-ACAF,由相似三角形的性質可得到PF：AF與m的函數關系式，從而可求得了最大值.

AF

【解析】⑴設拋物線的解析式為y=a(x+2)(x-8).

???拋物線經過點C(0,4),

-16a=4,解得a=-Y.

4

113

.??拋物線的解析式為丫=-；(x+2)(x-8)=；x2+；x+4.

442

???A(-2,0)、B(8,0),

拋物線的對稱軸為x=3.

???將x=3代入得：丫2=5?，

4

拋物線的頂點D坐標為(3,925).

(2)三角形ABC是直角三角形，理由如下：

VAB=10,AC=2,BC=4V5,

.?.AC2+BC2=AB2.

.-.ZBCA=90°,所以三角形ABC是直角三角形.

⑶①如圖1所示：作CMXPE,垂足為M.

設直線BC的解析式為y=kx+b.

???將B、C的坐標代入得：，,解得k=-g,b=4,

[6=47t

二直線BC的解析式為y=-1x+4.

13

設點P(m,--m2+—m+4),則點E(m,-ym+4),M(m,4)

42

VPC=EC,CM_LPE,

???PM=EM.

13

----m2+—m+4-4=4-(-—m+4),解得：m=0（舍去）,m=4

???P(4,6).

②作PNLBC,垂足為N.

；PE〃y軸，PN±BC,

.\ZPNE=ZCOB=90°,ZPEN=ZBCO.

AAPNE^ABOC.

?小一OB一8一正

*'PEBC4君--F'

.\PN=^PE=^(--m2+2m).

554

由(2)知NBCA=90。，

又?.,/PFN=NCFA,

AAPFN^ACAF.

APAC2j5

???當m=4時，三PF的最大值為4：

AF5

【點睛】本題考